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Optimizacion Matematica

Module by: Nicolas Pachon. E-mail the author

Summary: Con este proceso se busca conocer un valor intermedio que permita obtener una unidad minima o maxima.

Optimización Matemática:

1) Un campesino desea cercar el área marcada por la línea punteada, cuenta con 200 unidades de reja para hacer este corral, que valor debe tomar uno de los lados laterales para que el lado superior y toda su área se un máximo. El campesino nos pregunta como seria la forma de cercar.

El ejercicio que nos da?:

  • Una variable a maximizar o minimizar
  • Un enunciado de palabras que relacionan la variable Con otras variables.

Que nos piden?:

  • Que maximicemos una variable

Plan a seguir:

  1. Encontrar la cantidad que se puede maximizar.
  2. Expresar la variable dependiente como función de la variable independiente.
  3. Aplicar cálculo para hallar puntos críticos.
  4. Identificar números máximos y mínimos.
  5. Responder la incógnita.

Ejecución del plan:

Necesitamos encontrar una ecuación que nos permita trabajar con la figura designada.

Sabemos que el área de un rectángulo es :

Área del rectángulo = Base * altura

Pero el ejercicio nos plantea un rectángulo de tres lados entonces es necesario designar valores para entender mejor:

X

Y Y

Muro

Siguiendo los pasos del plan:

  1. Encontrar la cantidad que se puede maximizar:

Tomando el área del rectángulo

remplazamos por los valores

designado en el dibujo

A = X * Y

  1. Expresar la variable dependiente como función de la variable independiente:

Con la formula del perímetro

relacionamos las 2 variables

designadas.

200 = 2Y + X

Luego despejamos X para

trabajar con la variable Y

X = 200 – 2Y

Retomamos la formula del

perímetro y la evaluamos

con el termino Y

A(Y)= Y ( 200 – 2Y )

  1. Aplicar cálculo para hallar puntos críticos:

Multiplicamos Y por

200 y Y por 2Y y obtenemos

A(Y) = 200Y – 2Y²

Luego derivamos para

encontrar los puntos críticos

A´(Y) = 200 – 4Y

Luego la derivación la igualamos

a cero para despejar Y y encontrar

un máximo para la variable Y

A´(Y) = 0

200 – 4Y = 0

200 = 4Y

Y = 50

  1. Identificar números máximos y mínimos:

(A(Y))

Y No es el único punto critico en este caso consideramos los extremos como punto críticos.

Máximo

Mínimo Mínimo

0 50 200 (Y)

  1. Responder la incógnita:

Retomamos la ecuación del perímetro evaluada en Y, y remplazamos Y por 50

A(Y) = Y (200 – 2Y)

A(50) = 50 (200 – 2(50))

=50 (200 -100)

=50 (100)

A(50) = 5000 Unidades

Las partes mas importantes de esta clase de ejercicios son los puntos 1 y 2 pues estos son puntos donde uno necesita analizar todo lo que nos dan, una ves resuelto estos dos, los siguientes pasos son procedimientos de aritmética y calculo. Nota: Este ejercicio cuenta con dibujos de explicacion, la verdad no se como editar para que estos aparescan.

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