2. Siendo VV conjunto de todas las ternas ordenadas de números reales (o,y,z);(o,y,z);

(
0
,
y
,
z
)
⊕
(
0
,
y
'
,
z
'
)
=
(
0
,
y
+
y
'
,
z
+
z
'
)
(
0
,
y
,
z
)
⊕
(
0
,
y
'
,
z
'
)
=
(
0
,
y
+
y
'
,
z
+
z
'
)

(1)
c
⊙
(
0
,
y
,
z
)
=
(
0
,
0
,
c
z
)
c
⊙
(
0
,
y
,
z
)
=
(
0
,
0
,
c
z
)

(2)
Determine si VV es cerrado dadas las anteriores operaciones.

- Tomado de: Algebra Lineal, Bernard Kolman, ejercicio 6.1

- Resuelto por Daniel Cárdenas.

Solución

Tomamos valores genéricos

V
→
=
(
0
,
y
1
,
z
1
)
V
→
=
(
0
,
y
1
,
z
1
)

(3)
U
→
=
(
0
,
y
2
,
z
2
)
U
→
=
(
0
,
y
2
,
z
2
)

(4)
Tenemos entonces:

V
→
⊕
U
→
=
(
0
,
y
1
+
y
2
,
z
1
+
z
2
)
V
→
⊕
U
→
=
(
0
,
y
1
+
y
2
,
z
1
+
z
2
)

(5)
Tomando y1+y2y1+y2 como yy, y z1+z2z1+z2 como zz :

V
→
⊕
U
→
=
(
0
,
y
,
z
)
V
→
⊕
U
→
=
(
0
,
y
,
z
)

(6)
Como vemos, la suma es cerrada para VV.

Luego, tenemos:

c
⊙
V
→
=
(
0
,
0
,
c
z
1
)
c
⊙
V
→
=
(
0
,
0
,
c
z
1
)

(7)
Como 0 es un real tambien, podemos decir que y=0y=0 y definir:

c
⊙
V
→
=
(
0
,
y
,
c
z
1
)
c
⊙
V
→
=
(
0
,
y
,
c
z
1
)

(8)
y como cualquier cc por z1z1, siendo reales, daran cualquier real que
diremos que es zz

c
⊙
V
→
=
(
0
,
y
,
z
)
c
⊙
V
→
=
(
0
,
y
,
z
)

(9)
vemos que la multiplicación por escalar también es cerrada.