Skip to content Skip to navigation

Connexions

You are here: Home » Content » Вектори

Navigation

Recently Viewed

This feature requires Javascript to be enabled.
 

Вектори

Module by: Liljana Stefanovska. E-mail the author

Summary: Се дефинира вектор во просторен координатен систем и операции со векторите. Definition of a vector and operations with vectors

ПРАВОАГОЛЕН ПРОСТОРЕН КООРДИНАТЕН СИСТЕМ

Три бројни оски кои се нормални меѓу себе образуваат правоаголен тродимензионален координатен систем и определуваат тродимензи­онален простор кој накратко се нарекува простор.

Table 1
graphics1.jpg
Слика 1.1. Просторен координатен систем
Едната оска се нарекува x-оска или апсциса, втората е y-оска или ордината и третата е z-оска или апликата. Точката O која е пресек на оските се нарекува координатен почеток. Секоја точка M во троди­мен­зио­налниот про­стор е наполно определена со подредената тројка реални броеви x, y, z кои се нарекуваат нејзини коорди­нати, односно М(x, y, z).

Секој пар координатни оски определува рамнина нарече­на координатна рамнина.

Во просторниот координатен систем се определуваат 3 координатни рамнини:

xOy координатна рамнина (определена со x-оската и y-оската);

xOz координатна рамнина (определена со x-оската и z-оската);

yOz координатна рамнина (определена со y-оската и z-оската).

Секоја точка M(x, y,z) која лежи на некоја од координатните рамнини или оски има координати:

Table 2
област координати
xOy рамнина (x,y, 0)
xOz рамнина (x,0, z)
yОz рамнина (0,y, z)
x- оска (x,0, 0)
y- оска (0,y, 0)
z- оска (0, 0, z)

Со координатните рамнини тродимензионалниот простор се дели на 8 делови наречени октанти. Знаците на координатите на произволна точка по октанти се:

Table 3
О ктант З наци на координати
I x> 0, y > 0, z > 0
II x< 0, y > 0, z > 0
III x< 0, y < 0, z > 0
IV x> 0, y < 0, z > 0
V x> 0, y > 0, z < 0
VI x< 0, y > 0, z < 0
VII x < 0, y < 0, z < 0
VIII x> 0, y < 0, z < 0

ВЕКТОРИ

Постојат величини кои се определуваат само со бројна вредност, додека други, освен со бројна вредност се определуваат уште и со правец и насока.

Дефиниција. Величините кои се определуваат само со бројна вредност се нарекуваат скалари.

Дефиниција. Величините кои се определуваат со бројна вредност, правец и насока се нарекуваат вектори.

Скаларни величини или накратко скалари се на пр. температурата, плоштината, должината и др. и тие се наполно определени со нивната бројна вредност. Затоа доволно е да се каже дека температурата на воздухот е 200C, плоштината на некоја геометриска слика е 20 cm2, должината на отсечка е 5 m и тн.

Брзината е векторска величина и како таква е определена со бројна вредност, правец и насока. Затоа брзината со која дува ветерот се определува со бројната вредност на пр. нека таа е 5 m/s, во правец север-југ и во насока од север кон југ.

Table 4
graphics2.jpg
Слика 1.2. Вектори
Векторот геометриски се претста­вува со ориентирана отсечка т.е. дел од права ограничена со две точки од кои едната е почетна а другата е крајна. Векторот меѓу точките А и B, од кои А е почетна а B крајна точка се означува со AB→AB→ size 12{ { ital "AB"} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} (Сл. 1.2.). Освен ова означување, за векторите се користат и малите букви одозгора означени со стрелка на пр. a→,b→...a→,b→... size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } ,` {b} cSup { size 8{ rightarrow } } "." "." "." } {} или пак со мали задебелени букви на пр. а,b.

Значи, секој вектор се дефинира со:

- интензитет (должина или модул) на вектор е растојанието помеѓу почетната и крајната точка на векторот и се означува со

∣AB→∣,AB¯,∣a→∣∣AB→∣,AB¯,∣a→∣ size 12{ \lline { ital "AB"} cSup { size 8{ rightarrow } } \rline ,`~ {overline { ital "AB"}} ,`~ \lline {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \lline } {};

- правец на векторот е правецот кој го определува правата на која лежи векторот и правата се нарекува носач на векторот;

- насока на векторот е ориентацијата од неговата почетна кон крај­ната точка.

Видови вектори

Векторите може да бидат:

- Вектори врзани за точка;

- Вектори врзани за права (носач);

- Слободни вектори.

Слободните вектори не се врзани ниту за почетната точка ниту за правата на која лежат и тие може слободно да се транслатираат во просторот. При транслација векторите си ја запазуваат должината и насоката, а носачите им се паралелни прави. Понатаму, под поимот вектор ќе се подразбира слободен вектор.

Слободните вектори се еднакви ако имаат еднакви интензитети, лежат на иста или на паралелни прави и имаат исти насоки.

Дефиниција. Нула вектор е вектор на кој му се поклопуваат почетната и крајната точка.

Нула векторот нема определен правец и насока и се означува со o→o→ size 12{ {o} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}. Секоја точка може да се смета за нула вектор со нула интензитет и со произволен правец и насока.

Основни операции со вектори

Најпрво геометриски ќе се дефинираат основните операции со векторите.

Збир на вектори

Нека се дадени векторите a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и b→b→ size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}. Векторот a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}+ b→b→ size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се нарекува збир на векторите a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и b→b→ size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и геометриски може да се определи по правилото на триаголник или паралелограм.

За да се примени правилото на триаголник, на крајот од првиот вектор се надоврзува почетокот на вториот вектор и збирот ќе биде векторот со почеток во почетокот на првиот вектор, а крајот е во крајната точка од вториот вектор (Сл. 1.3. а).

За определување на збирот на два вектора по правилото на паралелограм, векторите се доведуваат до заеднички почеток при што тие се две соседни страни на еден паралелограм, а збирот на овие вектори е дијагоналата во паралелограмот која почнува во заедничкиот почеток на векторите (Сл. 1.3. б)

Дефиниција. Вектори кои имаат исти должини и правец, а спротивни насоки се нарекуваат спротивни вектори.

Така, спротивни се векторите a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и −a→−a→ size 12{ - {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}.

Разлика на вектори

Нека a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и b→b→ size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се вектори, тогаш векторот a→−b→a→−b→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}се нарекува разлика на векторите a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и b→b→ size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и геометриски се определува како вектор формиран меѓу крајните точки на векторите a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и b→b→ size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} кои се доведени до заеднички почеток и со насока од крајот на векторот b→b→ size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} кон крајот на векторот a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}(Сл. 1.3. в).

Table 5
graphics3.jpg
Слика 1.3. а) Збир на вектори по правило на триаголник; б) Збир по правило на паралелограм; в) Разлика на вектори

Множење на вектор со скалар

Производот на скаларот λ≠0 со векторот a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} (Сл.1.4.) е вектор λ a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}кој се карактеризира со:

- интензитет ∣λa→∣=∣λ∣∣a∣→∣λa→∣=∣λ∣∣a∣→ size 12{ \lline λ` {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \lline = lline λ rline \lline {a \lline } cSup { size 8{ rightarrow } } } {};

- правец кој е ист со правецот на векторот a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {};

- насоката е иста со насоката на векторот a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} ако λ>0, или е со спротивна насока од a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} ако λ<0.

Table 6
graphics4.jpg
Слика 1.4. Множење на вектор со скалар

Пример 1. (Теорема за средна линија во триаголник) Да се покаже дека средната линија во триаголник е паралелна со спротивната старана на триаголникот и е со должина половина од неа (Сл. 1.5.).

Доказ: Во триаголникот ABC страните му се векторите AB→,BC→,CA→AB→,BC→,CA→ size 12{ { ital "AB"} cSup { size 8{ rightarrow } } ,` { ital "BC"} cSup { size 8{ rightarrow } } ,` { ital "CA"} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} образувани од трите темиња А, B, C. Нека точките М и N се средини на страните АC и BC. При тоа MA→+MC→=0MA→+MC→=0 size 12{ { ital "MA"} cSup { size 8{ rightarrow } } + { ital "MC"} cSup { size 8{ rightarrow } } =0} {} и NB→+NC→=0NB→+NC→=0 size 12{ { ital "NB"} cSup { size 8{ rightarrow } } + { ital "NC"} cSup { size 8{ rightarrow } } =0} {}.

Table 7
graphics5.jpg
Слика 1.5. Средна линија во триаголник

Изразувајќи го векторот MN→MN→ size 12{ { ital "MN"} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} на два начини, како збир од векторите на страните од четириаголникот MABN и триаголникот MNC, се добиваат равенствата

MN → = MA → + AB → + BN → MN → = MA → + AB → + BN → size 12{ { ital "MN"} cSup { size 8{ rightarrow } } = { ital "MA"} cSup { size 8{ rightarrow } } + { ital "AB"} cSup { size 8{ rightarrow } } + { ital "BN"} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}

и

MN → = MC → + CN → MN → = MC → + CN → size 12{ { ital "MN"} cSup { size 8{ rightarrow } } = { ital "MC"} cSup { size 8{ rightarrow } } + { ital "CN"} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}
(1)

и со нивно собирање се добива

2MN→=(MA→+MC→)+AB→+(BN→+CN→)=0+AB→+0=AB→2MN→=(MA→+MC→)+AB→+(BN→+CN→)=0+AB→+0=AB→ size 12{2 { ital "MN"} cSup { size 8{ rightarrow } } = \( { ital "MA"} cSup { size 8{ rightarrow } } + { ital "MC"} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + { ital "AB"} cSup { size 8{ rightarrow } } + \( { ital "BN"} cSup { size 8{ rightarrow } } + { ital "CN"} cSup { size 8{ rightarrow } } \) =0+ { ital "AB"} cSup { size 8{ rightarrow } } +0= { ital "AB"} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} ,

од каде

MN→=AB→2MN→=AB→2 size 12{ { ital "MN"} cSup { size 8{ rightarrow } } = { { { ital "AB"} cSup { size 8{ rightarrow } } } over {2} } } {},

што покажува дека средната линија MN е паралелна со основата на триаголникот и е половина од должината на таа страна. ◄

Дефиниција. Ако векторот a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} може са се запише како како сума на n производи меѓу скаларите λiλi size 12{λ rSub { size 8{i} } } {} и векторите ai→ai→ size 12{ {a rSub { size 8{i} } } cSup { size 8{ rightarrow } } } {} , односно со релацијата

a→=∑i=1nλiai→a→=∑i=1nλiai→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } = Sum cSub {i=1} cSup {n} {λ rSub { size 8{ size 9{i}} } ` {a rSub {i} } cSup { rightarrow } } } {},

за векторот a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се вели дека е линеарна комбинација на векторите ai→ai→ size 12{ {a rSub { size 8{i} } } cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и скаларите λiλi size 12{λ rSub { size 8{i} } } {}.

Векторите ai→ai→ size 12{ {a rSub { size 8{i} } } cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се нарекуваат компоненти на векторот a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}. Ако векторот a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} не може да се напише како линеарна комбинација од векторите ai→ai→ size 12{ {a rSub { size 8{i} } } cSup { size 8{ rightarrow } } } {}, односно ако a→=∑i=1nλiai→a→=∑i=1nλiai→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } = Sum cSub {i=1} cSup {n} {λ rSub { size 8{ size 9{i}} } ` {a rSub {i} } cSup { rightarrow } } } {} е можно единствено кога сите скалари λiλi size 12{λ rSub { size 8{i} } } {} = 0, тогаш векторите a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и ai→ai→ size 12{ {a rSub { size 8{i} } } cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се линеарно независни.

Дефиниција. Вектор со интензитет еднаков на 1 се нарекува единичен вектор.

Единичен вектор кој има ист правец и насока со векторот a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се нарекува негов единичен вектор, се означува со a0→a0→ size 12{ {a rSub { size 8{0} } } cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и се определува со релацијата

a0→=a→∣a→∣a0→=a→∣a→∣ size 12{ {a rSub { size 8{0} } } cSup { size 8{ rightarrow } } = { { {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } over { \lline {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \lline } } } {}.

Дефиниција. Вектори кои лежат на иста права или на паралелни прави се нарекуваат колинеарни вектори.

Два колинеарни вектора a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и b→b→ size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се запишуваат како a→=λb→a→=λb→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } =λ` {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}, (λ ≠ 0, λ∈Rλ∈R size 12{λ in R} {}).

Content actions

Download module as:

PDF | EPUB (?)

What is an EPUB file?

EPUB is an electronic book format that can be read on a variety of mobile devices.

Downloading to a reading device

For detailed instructions on how to download this content's EPUB to your specific device, click the "(?)" link.

| More downloads ...

Add module to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks