Skip to content Skip to navigation Skip to collection information

OpenStax_CNX

You are here: Home » Content » Векторска алгебра » Правоаголни координати на вектор

Navigation

Recently Viewed

This feature requires Javascript to be enabled.
 

Правоаголни координати на вектор

Module by: Liljana Stefanovska. E-mail the author

Summary: Се прикажува вектор во простор и операции со вектори преку нивните координати.

Правоаголни координати на вектор

Векторот aa size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} во тродимензионален про­с­тор чиј почеток е во координатниот почеток О(0, 0, 0), а крајот во точката А(x,y, z), аналитички се означува со aa size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {x, y, z}.

Реалните броеви x, y и z се нарекуваат координа­ти на векторот aa size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} (Сл. 1.6.)

Нула векторот има координати oo size 12{ {o} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {0, 0, 0}.

Table 1
graphics1.jpg
Слика 1.6. Вектор во простор

Понатаму следат операциите со векторите дефинирани аналитички, т.е. преку нивните координати.

Еднаквост на вектори

Векторите aa size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {x1, y1, z1} иbb size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {x2, y2, z2} се еднакви ако им се еднакви соодветните координати, т.е.

a=ba=b size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } = {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} size 12{ dlrarrow } {}x1 = x2, y1 = y2, z1 = z2.

Сума, разлика и множење на вектор со скалар

За векторите aa size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {x1, y1, z1} иbb size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {x2, y2, z2} се дефинираат претходно воведените основни операции со вектори, но сега преку нивните координати:

a+ba+b size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } + {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2}

abab size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {x1 x2, y1 y2, z1 z2}

λaa size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= λ{x1, y1, z1} = {λx1, λy1, λz1}.

Пример 1. Ако aa size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {5, -2, 7} иbb size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {0, 3, -1}, тогаш

a+ba+b size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } + {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {5+0, -2 +3, 7-1} = {5, 1, 6}

abab size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {5-0, -2 -3, 7- (-1)} = {5, -5, 8}

- 3 bb size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = -3{0, 3, -1} = {0, -9, 3}

2a+4b2a+4b size 12{2 {a} cSup { size 8{ rightarrow } } +4 {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= 2{5, -2, 7} + 4{0, 3, -1} =

= {10, -4, 14} + {0, 12, -4} = {10, 8, 10}. ◄

Колинерни вектори

Векторите aa size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {x1, y1, z1} и bb size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {x2, y2, z2} се колинерни ако {}a=λba=λb size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } =λ` {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}, (λ ≠ 0), односно ако важи

x1x2=y1y2=z1z2=λx1x2=y1y2=z1z2=λ size 12{ { {x rSub { size 8{1} } } over {x rSub { size 8{2} } } } = { {y rSub { size 8{1} } } over {y rSub { size 8{2} } } } = { {z rSub { size 8{1} } } over {z rSub { size 8{2} } } } =λ} {}.

Пример 2. Векторите aa size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {2, 3, - 5} и bb size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {- 6, - 9, 15} се колинерни бидејќи

x1x2=y1y2=z1z2=26=39=515=13x1x2=y1y2=z1z2=26=39=515=13 size 12{ { {x rSub { size 8{1} } } over {x rSub { size 8{2} } } } = { {y rSub { size 8{1} } } over {y rSub { size 8{2} } } } = { {z rSub { size 8{1} } } over {z rSub { size 8{2} } } } = { {2} over { - 6} } = { {3} over { - 9} } = { { - 5} over {"15"} } = - { {1} over {3} } } {}. ◄

Закони на векторската алгебра

Нека aa size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}, bb size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и cc size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се вектори, а λ и μ скалари, тогаш важат следните закони:

a+b=b+aa+b=b+a size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } + {b} cSup { size 8{ rightarrow } } = {b} cSup { size 8{ rightarrow } } + {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} (комутативен закон за собирање на вектори);

a+(b+c)=(a+b)+ca+(b+c)=(a+b)+c size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } + \( {b} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) = \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } + {b} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} (асоцијативен закон за собирање на вектори);

λ(μa)=λμa=μ(λa)λ(μa)=λμa=μ(λa) size 12{λ \( μ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \) = ital "λμ" {a} cSup { size 8{ rightarrow } } =μ \( λ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \) } {} (асоцијативен закон за множење со скалар);

(λ+μ)a=λa+μa(λ+μ)a=λa+μa size 12{ \( λ+μ \) {a} cSup { size 8{ rightarrow } } =λ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } +μ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} (дистрибутивен закон);

λ(a+b)=λa+λbλ(a+b)=λa+λb size 12{λ \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } + {b} cSup { size 8{ rightarrow } } \) =λ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } +λ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}(дистрибутивен закон).

Координати на вектор меѓу две точки

Векторот aa size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} за кој точката А(x1, y1, z1) е почетна а B(x2, y2, z2) крајна точка, е определен со следните координати

a=ABa=AB size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } = { ital "AB"} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {x2 x1, y2 y1, z2 z1}.

Пример 3. Да се определат координатите на векторот aa size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}за кој А(2, 4, -3) е почетна, а

B(0, -1, 12) крајна точка.

Решение.a=ABa=AB size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } = { ital "AB"} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = {0- 2, -1 -4, 12- (-3)} = {-2, -5, 15}. ◄

Пример 4. Да се определат координатите на крајната точка B на векторот

aa size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {2, 3, - 5}, ако А(1, 0, - 2) е почетна точка.

Решение. Векторот aa size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} со почеток во точката А(1, 0, - 2) и крај во B(x, y, z) ќе има координати

a=ABa=AB size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } = { ital "AB"} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {x - 1, y - 0, z- (-2)}.

Бидејќи координатите на векторот aa size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се дадени, од условот за еднаквост на векторите ќе следи

{x - 1, y - 0, z- (-2)} = {2, 3, - 5}

од каде

x - 1 = 2 size 12{ drarrow } {}x = 3,

y - 0 = 3 size 12{ drarrow } {}y = 3,

z+ 2 = - 5 size 12{ drarrow } {}z = - 7.

Значи, бараната крајна точка на векторот е B(3, 3, - 7). ◄

Интензитет на вектор

Интензитетот на векторот aa size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {x, y, z} зададен преку неговите координати, се определува со a=x2+y2+z2a=x2+y2+z2 size 12{ \lline {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \lline = sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } +z rSup { size 8{2} } } } {}.

Пример 5. Да се определи итензитетот на векторотa+2ba+2b size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } +2 {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} ако aa size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = {-2, 3, 2},

bb size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {5, 0, - 1}.

Решение. Векторот a+2ba+2b size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } +2 {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} е со координати

a+2ba+2b size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } +2 {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {-2, 3, 2} + 2{5, 0, - 1} = {­-2 + 10, 3 + 0, 2 -2} = {8, 3, 0}

и со интензитет

a+2b=(8)2+32+02=64+9=73a+2b=(8)2+32+02=64+9=73 size 12{` lline ` {a} cSup { size 8{ rightarrow } } +2 {b} cSup { size 8{ rightarrow } } ` rline = sqrt { \( 8 \) rSup { size 8{2} } +3 rSup { size 8{2} } +0 rSup { size 8{2} } } = sqrt {"64"+9} = sqrt {"73"} } {}. ◄

Пример 6. Да се определи единичниот вектор a0a0 size 12{ {a rSub { size 8{0} } } cSup { size 8{ rightarrow } } } {} за векторот aa size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {-2, 3, 2}.

Решение.a0=aaa0=aa size 12{ {a rSub { size 8{0} } } cSup { size 8{ rightarrow } } = { { {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } over { \lline {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \lline } } } {} = {-2, 3, 2}/ 1717 size 12{ sqrt {"17"} } {}= {- 2/ 1717 size 12{ sqrt {"17"} } {} , 3/ 1717 size 12{ sqrt {"17"} } {}, 2/ 1717 size 12{ sqrt {"17"} } {}}. ◄

Единични вектори на кординатните оски

На координатните оски се определуваат единични вектори и тоа:

на x- оската единичен вектор ii size 12{ {i} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {1, 0, 0},

на y- оската единичен вектор jj size 12{ {j} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {0, 1, 0},

на z- оската единичен вектор kk size 12{ {k} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {0, 0, 1}.

Овие три единични вектори се линерано независни, што значи дека ниту еден од нив не може да се претстави како линерна комбинација од останатите два вектора и затоа нивната линерна комбинација αα size 12{α} {}ii size 12{ {i} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} + ββ size 12{β} {}jj size 12{ {j} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} + γγ size 12{γ} {}kk size 12{ {k} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= oo size 12{ {o} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} e можна само за α=β=γ=0α=β=γ=0 size 12{α=β=γ=0} {}.

Секој вектор aa size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {x, y, z} во простор може да се напише како линерна комбинација од единичните вектори

aa size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= xii size 12{ {i} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} + yjj size 12{ {j} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}+ zkk size 12{ {k} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} ,

бидејќи

aa size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {x,y,z} = {x,0, 0} + {0,y,0} + {0,0,z} =

= x{1, 0, 0} + y{0, 1, 0} + z{0, 0, 1} = xii size 12{ {i} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} + yjj size 12{ {j} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}+ zkk size 12{ {k} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}.

Затоа векторот aa size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {-2, 3, 2} разложен по единичните вектори од коорди­нат­ни­те оски е

aa size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {-2, 3, 2} = - 2 ii size 12{ {i} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}+ 3 jj size 12{ {j} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}+ 2 kk size 12{ {k} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}.

Пример 7. Да се покаже дека векторите aa size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {1, -1, 2},bb size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {1, 2, -1} и cc size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {3, 1, 1} се линерно независни.

Решение. Трите вектори aa size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}, bb size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и cc size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се линерано независни ако линеарната комбинација

αα size 12{α} {}aa size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} + ββ size 12{β} {}bb size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}+ γγ size 12{γ} {}cc size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = oo size 12{ {o} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}

е можна само за α=β=γ=0α=β=γ=0 size 12{α=β=γ=0} {}.

Поаѓајќи од равенството за линерна комбинација на векторите

αα size 12{α} {}{1, -1, 2} + ββ size 12{β} {}{1, 2, -1} + γγ size 12{γ} {}{3, 1, 1} = oo size 12{ {o} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}

се добива

{ αα size 12{α} {} + ββ size 12{β} {} + 3 γγ size 12{γ} {}, - αα size 12{α} {} + 2 ββ size 12{β} {} + γγ size 12{γ} {}, 2 αα size 12{α} {}ββ size 12{β} {} + γγ size 12{γ} {}} = oo size 12{ {o} cSup { size 8{ rightarrow } } } {},

а ова векторско равенство се сведува на хомоген систем од три линеарни равенки со три непознати

αα size 12{α} {} + ββ size 12{β} {}+ 3 γγ size 12{γ} {}= 0

αα size 12{α} {}+ 2 ββ size 12{β} {} + γγ size 12{γ} {} = 0

2 αα size 12{α} {}ββ size 12{β} {}+ γγ size 12{γ} {}= 0.

Детерминантата на системот D = 3 ≠ 0, од каде следува дека системот има едно единствено решение и тоа е тривијалното решение α=β=γ=0α=β=γ=0 size 12{α=β=γ=0} {}. Значи, трите вектори се линеарно независни. ◄

Пример 8. Да се претстави векторот xx size 12{ {x} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {-1, 1, 5} како линеарна комбинација од векторите aa size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {1, 0, 1},bb size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {3, 2, 0} и cc size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {0, 1, 1}.

Решение. За претставување (разложување) на векторот xx size 12{ {x} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} преку векторите aa size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}, bb size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и cc size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}се поаѓа од релацијата за линеарна комбинација

x = α a + β b + γ c x = α a + β b + γ c size 12{ {x} cSup { size 8{ rightarrow } } =α {a} cSup { size 8{ rightarrow } } +β {b} cSup { size 8{ rightarrow } } +γ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}

во која треба да се определат константите α,βиγ. Запишувајки ја горната релација со вектори преку нивните координати се добива

{-1, 1, 5} = α {1, 0, 1} + β {3, 2, 0} + γ {0, 1, 1}

односно

{-1, 1, 5} = {α + 3 β + 0γ, 0α+ 2 β + γ, α + 0β + γ},

и од еднаквоста на векторите се добива нехомогениот систем равенки

{ α + = 1 + γ = 1 α + γ = 5 { α + = 1 + γ = 1 α + γ = 5 size 12{ left lbrace matrix { α+3β~`= - 1 {} ## ~2β+γ=1 {} ## α+~~γ=5 } right none } {}

чии решенија се α = 2, β= -1, γ = 3. Тоа значи дека векторот xx size 12{ {x} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} може да се запише како линерна комбинација од векторите aa size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}, bb size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и cc size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}со изразот

x=2ab+3cx=2ab+3c size 12{ {x} cSup { size 8{ rightarrow } } =2 {a} cSup { size 8{ rightarrow } } - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } +3 {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}. ◄

Collection Navigation

Content actions

Download:

Collection as:

EPUB (?)

What is an EPUB file?

EPUB is an electronic book format that can be read on a variety of mobile devices.

Downloading to a reading device

For detailed instructions on how to download this content's EPUB to your specific device, click the "(?)" link.

| More downloads ...

Module as:

PDF | EPUB (?)

What is an EPUB file?

EPUB is an electronic book format that can be read on a variety of mobile devices.

Downloading to a reading device

For detailed instructions on how to download this content's EPUB to your specific device, click the "(?)" link.

| More downloads ...

Add:

Collection to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks

Module to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks