Векторите a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {x₁, y₁, z₁} иb→b→ size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {x₂, y₂, z₂} се еднакви ако им се еднакви соодветните координати, т.е.

a→=b→a→=b→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } = {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}⇔⇔ size 12{ dlrarrow } {}x₁ = x₂, y₁ = y₂, z₁ = z₂.

За векторите a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {x₁, y₁, z₁} иb→b→ size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {x₂, y₂, z₂} се дефинираат претходно воведените основни операции со вектори, но сега преку нивните координати:

a→+b→a→+b→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } + {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {x₁ + x₂, y₁ + y₂, z₁ + z₂}

a→−b→a→−b→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {x₁ － x₂, y₁ － y₂, z₁ － z₂}

λa→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= λ{x₁, y₁, z₁} = {λx₁, λy₁, λz₁}.

Пример 1. Ако a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {5, －2, 7} иb→b→ size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {0, 3, －1}, тогаш

a→+b→a→+b→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } + {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {5+0, －2 +3, 7－1} = {5, 1, 6}

a→−b→a→−b→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {5－0, －2 －3, 7－ (－1)} = {5, －5, 8}

－ 3 b→b→ size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = －3{0, 3, －1} = {0, －9, 3}

2a→+4b→2a→+4b→ size 12{2 {a} cSup { size 8{ rightarrow } } +4 {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= 2{5, －2, 7} + 4{0, 3, －1} =

= {10, －4, 14} + {0, 12, －4} = {10, 8, 10}. ◄

Векторите a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {x₁, y₁, z₁} и b→b→ size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {x₂, y₂, z₂} се колинерни ако {}a→=λb→a→=λb→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } =λ` {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}, (λ ≠ 0), односно ако важи

x1x2=y1y2=z1z2=λx1x2=y1y2=z1z2=λ size 12{ { {x rSub { size 8{1} } } over {x rSub { size 8{2} } } } = { {y rSub { size 8{1} } } over {y rSub { size 8{2} } } } = { {z rSub { size 8{1} } } over {z rSub { size 8{2} } } } =λ} {}.

Пример 2. Векторите a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {2, 3, － 5} и b→b→ size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {－ 6, － 9, 15} се колинерни бидејќи

x1x2=y1y2=z1z2=2−6=3−9=−515=−13x1x2=y1y2=z1z2=2−6=3−9=−515=−13 size 12{ { {x rSub { size 8{1} } } over {x rSub { size 8{2} } } } = { {y rSub { size 8{1} } } over {y rSub { size 8{2} } } } = { {z rSub { size 8{1} } } over {z rSub { size 8{2} } } } = { {2} over { - 6} } = { {3} over { - 9} } = { { - 5} over {"15"} } = - { {1} over {3} } } {}. ◄

Нека a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}, b→b→ size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и c→c→ size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се вектори, а λ и μ скалари, тогаш важат следните закони:

a→+b→=b→+a→a→+b→=b→+a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } + {b} cSup { size 8{ rightarrow } } = {b} cSup { size 8{ rightarrow } } + {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} (комутативен закон за собирање на вектори);

a→+(b→+c→)=(a→+b→)+c→a→+(b→+c→)=(a→+b→)+c→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } + \( {b} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) = \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } + {b} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} (асоцијативен закон за собирање на вектори);

λ(μa→)=λμa→=μ(λa→)λ(μa→)=λμa→=μ(λa→) size 12{λ \( μ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \) = ital "λμ" {a} cSup { size 8{ rightarrow } } =μ \( λ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \) } {} (асоцијативен закон за множење со скалар);

(λ+μ)a→=λa→+μa→(λ+μ)a→=λa→+μa→ size 12{ \( λ+μ \) {a} cSup { size 8{ rightarrow } } =λ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } +μ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} (дистрибутивен закон);

λ(a→+b→)=λa→+λb→λ(a→+b→)=λa→+λb→ size 12{λ \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } + {b} cSup { size 8{ rightarrow } } \) =λ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } +λ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}(дистрибутивен закон).

Векторот a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} за кој точката А(x₁, y₁, z₁) е почетна а B(x₂, y₂, z₂) крајна точка, е определен преку следните координати

a→=AB→a→=AB→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } = { ital "AB"} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {x₂ － x₁, y₂ － y₁, z₂ － z₁}.

Пример 3. Да се определат координатите на векторот a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}за кој А(2, 4, －3) е почетна, а

B(0, －1, 12) крајна точка.

Решение.a→=AB→a→=AB→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } = { ital "AB"} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = {0－ 2, －1 －4, 12－ (－3)} = {－2, －5, 15}. ◄

Пример 4. Да се определат координатите на крајната точка B на векторот

a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {2, 3, － 5}, ако А(1, 0, － 2) е почетна точка.

Решение. Векторот a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} со почеток во точката А(1, 0, － 2) и крај во B(x, y, z) ќе има координати

a→=AB→a→=AB→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } = { ital "AB"} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {x － 1, y － 0, z－ (－2)}.

Бидејќи координатите на векторот a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се дадени, од условот за еднаквост на векторите ќе следи

{x － 1, y － 0, z－ (－2)} = {2, 3, － 5}

од каде

x － 1 = 2 ⇒⇒ size 12{ drarrow } {}x = 3,

y － 0 = 3⇒⇒ size 12{ drarrow } {}y = 3,

z+ 2 = － 5 ⇒⇒ size 12{ drarrow } {}z = － 7.

Значи, бараната крајна точка на векторот е B(3, 3, － 7). ◄

Интензитетот на векторот a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {x, y, z} зададен преку неговите координати, се определува со ∣a→∣=x2+y2+z2∣a→∣=x2+y2+z2 size 12{ \lline {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \lline = sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } +z rSup { size 8{2} } } } {}.

Пример 5. Да се определи итензитетот на векторотa→+2b→a→+2b→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } +2 {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} ако a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = {－2, 3, 2},

b→b→ size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {5, 0, － 1}.

Решение. Векторот a→+2b→a→+2b→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } +2 {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} е со координати

a→+2b→a→+2b→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } +2 {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {－2, 3, 2} + 2{5, 0, － 1} = {­－2 + 10, 3 + 0, 2 －2} = {8, 3, 0}

и со интензитет

∣a→+2b→∣=(8)2+32+02=64+9=73∣a→+2b→∣=(8)2+32+02=64+9=73 size 12{` lline ` {a} cSup { size 8{ rightarrow } } +2 {b} cSup { size 8{ rightarrow } } ` rline = sqrt { \( 8 \) rSup { size 8{2} } +3 rSup { size 8{2} } +0 rSup { size 8{2} } } = sqrt {"64"+9} = sqrt {"73"} } {}. ◄

Пример 6. Да се определи единичниот вектор a0→a0→ size 12{ {a rSub { size 8{0} } } cSup { size 8{ rightarrow } } } {} за векторот a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {－2, 3, 2}.

Решение.a0→=a→∣a→∣a0→=a→∣a→∣ size 12{ {a rSub { size 8{0} } } cSup { size 8{ rightarrow } } = { { {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } over { \lline {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \lline } } } {} = {－2, 3, 2}/ 1717 size 12{ sqrt {"17"} } {}= {－ 2/ 1717 size 12{ sqrt {"17"} } {} , 3/ 1717 size 12{ sqrt {"17"} } {}, 2/ 1717 size 12{ sqrt {"17"} } {}}. ◄

На координатните оски се определуваат единични вектори и тоа:

на x- оската единичен вектор i→i→ size 12{ {i} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {1, 0, 0},

на y- оската единичен вектор j→j→ size 12{ {j} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {0, 1, 0},

на z- оската единичен вектор k→k→ size 12{ {k} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {0, 0, 1}.

Овие три единични вектори се линерано независни, што значи дека ниту еден од нив не може да се претстави како линерна комбинација од останатите два вектора и затоа нивната линерна комбинација αα size 12{α} {}i→i→ size 12{ {i} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} + ββ size 12{β} {}j→j→ size 12{ {j} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} + γγ size 12{γ} {}k→k→ size 12{ {k} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= o→o→ size 12{ {o} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} e можна само за α=β=γ=0α=β=γ=0 size 12{α=β=γ=0} {}.

Секој вектор a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {x, y, z} во простор може да се напише како линерна комбинација од единичните вектори

a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= xi→i→ size 12{ {i} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} + yj→j→ size 12{ {j} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}+ zk→k→ size 12{ {k} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} ,

бидејќи

a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {x,y,z} = {x,0, 0} + {0,y,0} + {0,0,z} =

= x{1, 0, 0} + y{0, 1, 0} + z{0, 0, 1} = xi→i→ size 12{ {i} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} + yj→j→ size 12{ {j} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}+ zk→k→ size 12{ {k} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}.

Затоа векторот a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {－2, 3, 2} разложен по единичните вектори од коорди­нат­ни­те оски е

a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {－2, 3, 2} = － 2 i→i→ size 12{ {i} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}+ 3 j→j→ size 12{ {j} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}+ 2 k→k→ size 12{ {k} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}.

Пример 7. Да се покаже дека векторите a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {1, －1, 2},b→b→ size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {1, 2, －1} и c→c→ size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {3, 1, 1} се линерно независни.

Решение. Трите вектори a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}, b→b→ size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и c→c→ size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се линерано независни ако линеарната комбинација

αα size 12{α} {}a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} + ββ size 12{β} {}b→b→ size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}+ γγ size 12{γ} {}c→c→ size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = o→o→ size 12{ {o} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}

е можна само за α=β=γ=0α=β=γ=0 size 12{α=β=γ=0} {}.

Поаѓајќи од равенството за линерна комбинација на векторите

αα size 12{α} {}{1, －1, 2} + ββ size 12{β} {}{1, 2, －1} + γγ size 12{γ} {}{3, 1, 1} = o→o→ size 12{ {o} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}

се добива

{ αα size 12{α} {} + ββ size 12{β} {} + 3 γγ size 12{γ} {}, － αα size 12{α} {} + 2 ββ size 12{β} {} + γγ size 12{γ} {}, 2 αα size 12{α} {} － ββ size 12{β} {} + γγ size 12{γ} {}} = o→o→ size 12{ {o} cSup { size 8{ rightarrow } } } {},

а ова векторско равенство се сведува на хомоген систем од три линеарни равенки со три непознати

αα size 12{α} {} + ββ size 12{β} {}+ 3 γγ size 12{γ} {}= 0

－ αα size 12{α} {}+ 2 ββ size 12{β} {} + γγ size 12{γ} {} = 0

2 αα size 12{α} {} － ββ size 12{β} {}+ γγ size 12{γ} {}= 0.

Детерминантата на системот D = 3 ≠ 0, од каде следува дека системот има едно единствено решение и тоа е тривијалното решение α=β=γ=0α=β=γ=0 size 12{α=β=γ=0} {}. Значи, трите вектори се линеарно независни. ◄

Пример 8. Да се претстави векторот x→x→ size 12{ {x} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {－1, 1, 5} како линеарна комбинација од векторите a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {1, 0, 1},b→b→ size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {3, 2, 0} и c→c→ size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {0, 1, 1}.

Решение. За претставување (разложување) на векторот x→x→ size 12{ {x} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} преку векторите a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}, b→b→ size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и c→c→ size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}се поаѓа од релацијата за линеарна комбинација

x → = α a → + β b → + γ c → x → = α a → + β b → + γ c → size 12{ {x} cSup { size 8{ rightarrow } } =α {a} cSup { size 8{ rightarrow } } +β {b} cSup { size 8{ rightarrow } } +γ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}

во која треба да се определат константите α,βиγ. Запишувајки ја горната релација со вектори преку нивните координати се добива

{－1, 1, 5} = α {1, 0, 1} + β {3, 2, 0} + γ {0, 1, 1}

односно

{－1, 1, 5} = {α + 3 β + 0γ, 0α+ 2 β + γ, α + 0β + γ},

и од еднаквоста на векторите се добива нехомогениот систем равенки

{ α + 3β = − 1 2β + γ = 1 α + γ = 5 { α + 3β = − 1 2β + γ = 1 α + γ = 5 size 12{ left lbrace matrix { α+3β~`= - 1 {} ## ~2β+γ=1 {} ## α+~~γ=5 } right none } {}

чии решенија се α = 2, β= －1, γ = 3. Тоа значи дека векторот x→x→ size 12{ {x} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} може да се запише како линерна комбинација од векторите a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}, b→b→ size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и c→c→ size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}со изразот

x→=2a→−b→+3c→x→=2a→−b→+3c→ size 12{ {x} cSup { size 8{ rightarrow } } =2 {a} cSup { size 8{ rightarrow } } - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } +3 {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}. ◄