Skip to content Skip to navigation Skip to collection information

OpenStax-CNX

You are here: Home » Content » Векторска алгебра » Задачи-вектори општо

Navigation

Recently Viewed

This feature requires Javascript to be enabled.
 

Задачи-вектори општо

Module by: Liljana Stefanovska. E-mail the author

Summary: solved exercises решени задачи со вектори

Решени задачи од основни операции со вектори

1. Да се покаже дека ако векторите a,b,c,a,b,c, size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } ,` {b} cSup { size 8{ rightarrow } } ,` {c} cSup { size 8{ rightarrow } } ,} {} се надоврзуваат како триаголник, тогаш a+b+c=0a+b+c=0 size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } + {b} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } = {0} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}.

Решение.

Table 1
graphics1.png
слика 1

Нека векторите a,b,c,a,b,c, size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } ,` {b} cSup { size 8{ rightarrow } } ,` {c} cSup { size 8{ rightarrow } } ,} {} се надоврзуваат како на сл.1. Тогаш имаме

a+b+c=c+c=0a+b+c=c+c=0 size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } + {b} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } = - {c} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } = {0} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}.

Забелешка: Важи и спротивното тврдење - ако за произволни три вектори a,b,c,a,b,c, size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } ,` {b} cSup { size 8{ rightarrow } } ,` {c} cSup { size 8{ rightarrow } } ,} {} важи a+b+c=0a+b+c=0 size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } + {b} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } = {0} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}, тогаш векторите a,b,c,a,b,c, size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } ,` {b} cSup { size 8{ rightarrow } } ,` {c} cSup { size 8{ rightarrow } } ,} {} се надоврзуваат како триаголник.

2. Да се покаже дека може да се конструира триаголник чии страни се еднакви и паралелни со тежишните линии на произволен триаголник.

Решение.

Table 2
graphics2.jpg
слика 2

Како на сл. 2, формираме 6 вектори: три по страните на триаголникот ABC, т.е. a,b,c,a,b,c, size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } ,` {b} cSup { size 8{ rightarrow } } ,` {c} cSup { size 8{ rightarrow } } ,} {} и три по тежишните линии, т.е. ta,tb,tcta,tb,tc size 12{ {t rSub { size 8{a} } } cSup { size 8{ rightarrow } } ,` {t rSub { size 8{b} } } cSup { size 8{ rightarrow } } ,` {t rSub { size 8{c} } } cSup { size 8{ rightarrow } } } {}.

Доволно е да покажеме дека ta+tb+tc=0ta+tb+tc=0 size 12{ {t rSub { size 8{a} } } cSup { size 8{ rightarrow } } + {t rSub { size 8{b} } } cSup { size 8{ rightarrow } } + {t rSub { size 8{c} } } cSup { size 8{ rightarrow } } = {0} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}.

Имаме: ta=c+a2ta=c+a2 size 12{ {t rSub { size 8{a} } } cSup { size 8{ rightarrow } } = {c} cSup { size 8{ rightarrow } } + { { {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } over {2} } } {}, tb=a+b2tb=a+b2 size 12{ {t rSub { size 8{b} } } cSup { size 8{ rightarrow } } = {a} cSup { size 8{ rightarrow } } + { { {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } over {2} } } {}, tc=b+c2tc=b+c2 size 12{ {t rSub { size 8{c} } } cSup { size 8{ rightarrow } } = {b} cSup { size 8{ rightarrow } } + { { {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } over {2} } } {}. Со нивно собирање, добиваме:

ta+tb+tc=c+a+b+a2+b2+c2=a+b+c+12a+b+c=0+120=0ta+tb+tc=c+a+b+a2+b2+c2=a+b+c+12a+b+c=0+120=0 size 12{ {t rSub { size 8{a} } } cSup { size 8{ rightarrow } } + {t rSub { size 8{b} } } cSup { size 8{ rightarrow } } + {t rSub { size 8{c} } } cSup { size 8{ rightarrow } } = {c} cSup { size 8{ rightarrow } } + {a} cSup { size 8{ rightarrow } } + {b} cSup { size 8{ rightarrow } } + { { {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } over {2} } + { { {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } over {2} } + { { {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } over {2} } = {a} cSup { size 8{ rightarrow } } + {b} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } + { {1} over {2} } left ( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } + {b} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } right )= {0} cSup { size 8{ rightarrow } } + { {1} over {2} } cdot {0} cSup { size 8{ rightarrow } } = {0} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}.

3. Да се покаже дека ако векторите a,b,ca,b,c size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } ,` {b} cSup { size 8{ rightarrow } } ,` {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се некомпланарни, тогаш векторите:

d = n c p b d = n c p b size 12{ {d} cSup { size 8{ rightarrow } } =n {c} cSup { size 8{ rightarrow } } - p {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}

e = p a m c e = p a m c size 12{ {e} cSup { size 8{ rightarrow } } =p {a} cSup { size 8{ rightarrow } } - m {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}

f = m b n a f = m b n a size 12{ {f} cSup { size 8{ rightarrow } } =m {b} cSup { size 8{ rightarrow } } - n {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}

се компланарни.

Решение.

За да покажеме компланарност на векторите d,e,fd,e,f size 12{ {d} cSup { size 8{ rightarrow } } ,` {e} cSup { size 8{ rightarrow } } ,` {f} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}, потребно и доволно е да најдеме скалари α,β,γα,β,γ size 12{α,`β,`γ} {}, од кои барем еден е различен од 0, така што

αd+βe+γf=0αd+βe+γf=0 size 12{α {d} cSup { size 8{ rightarrow } } +β {e} cSup { size 8{ rightarrow } } +γ {f} cSup { size 8{ rightarrow } } = {0} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}.

Во тој случај би имале αncαpb+βpaβmc+γmbγna=0αncαpb+βpaβmc+γmbγna=0 size 12{αn {c} cSup { size 8{ rightarrow } } - αp {b} cSup { size 8{ rightarrow } } +βp {a} cSup { size 8{ rightarrow } } - βm {c} cSup { size 8{ rightarrow } } +γm {b} cSup { size 8{ rightarrow } } - γn {a} cSup { size 8{ rightarrow } } = {0} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}, или

(βpγn)a+(αp+γm)b+(αnβm)c=0(βpγn)a+(αp+γm)b+(αnβm)c=0 size 12{ \( βp - γn \) {a} cSup { size 8{ rightarrow } } + \( - αp+γm \) {b} cSup { size 8{ rightarrow } } + \( αn - βm \) {c} cSup { size 8{ rightarrow } } = {0} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}.

Бидејќи a,b,ca,b,c size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } ,` {b} cSup { size 8{ rightarrow } } ,` {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се некомпланарни вектори, мора

βpγn=0βpγn=0 size 12{βp - γn=0} {}, αp+γm=0αp+γm=0 size 12{ - αp+γm=0} {}, αnβm=0αnβm=0 size 12{αn - βm=0} {}.

Тоа е хомоген систем од 3 равенки си три непознати α,β,γα,β,γ size 12{α,`β,`γ} {}. Неговата детерминанта:

0pnp0mnm0=0+pmnpmn=00pnp0mnm0=0+pmnpmn=0 size 12{ lline matrix { 0 {} # p {} # - n {} ## - p {} # 0 {} # m {} ## n {} # - m {} # 0{} } rline =0+ ital "pmn" - ital "pmn"=0} {}.

Системот има бесконечно многу решенија и тоа:

α=pn0mk,β=n0mpk,γ=0pp0kα=pn0mk,β=n0mpk,γ=0pp0k size 12{α= lline matrix { p {} # - n {} ## 0 {} # m{} } rline k,~β= lline matrix { - n {} # 0 {} ## m {} # - p{} } rline k,~γ= lline matrix { 0 {} # p {} ## - p {} # 0{} } rline k} {}, kRkR size 12{k in R} {},

или α=pmkα=pmk size 12{α= ital "pmk"} {}, β=pnkβ=pnk size 12{β= ital "pnk"} {}, γ=p2kγ=p2k size 12{γ=p rSup { size 8{2} } k} {}.

За k1=pkk1=pk size 12{k rSub { size 8{1} } = ital "pk"} {}, α=mk1α=mk1 size 12{α= ital "mk" rSub { size 8{1} } } {}, β=nk1β=nk1 size 12{β= ital "nk" rSub { size 8{1} } } {}, γ=pk1γ=pk1 size 12{γ= ital "pk" rSub { size 8{1} } } {}.

Со тоа добивме дека постојат скалари α,β,γα,β,γ size 12{α,`β,`γ} {}, од кои барем еден е различен од 0, така што αd+βe+γf=0αd+βe+γf=0 size 12{α {d} cSup { size 8{ rightarrow } } +β {e} cSup { size 8{ rightarrow } } +γ {f} cSup { size 8{ rightarrow } } = {0} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}.

4. Ако ABCD е паралелограм, тогаш неговите дијагонали се преполовуваат.

Решение.

Table 3
graphics3.jpg
слика 3

Нека S е пресечната точка на дијагоналите AC и BD. Имаме:

SA + AB = SB SA + AB = SB size 12{ { ital "SA"} cSup { size 8{ rightarrow } } + { ital "AB"} cSup { size 8{ rightarrow } } = { ital "SB"} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}
(1)

SC+CD=SDSC+CD=SD size 12{ { ital "SC"} cSup { size 8{ rightarrow } } + { ital "CD"} cSup { size 8{ rightarrow } } = { ital "SD"} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}.

Со собирање добиваме: SA+SC+AB+CD=SB+SDSA+SC+AB+CD=SB+SD size 12{ { ital "SA"} cSup { size 8{ rightarrow } } + { ital "SC"} cSup { size 8{ rightarrow } } + { ital "AB"} cSup { size 8{ rightarrow } } + { ital "CD"} cSup { size 8{ rightarrow } } = { ital "SB"} cSup { size 8{ rightarrow } } + { ital "SD"} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}.

Заради AB+CD=0AB+CD=0 size 12{ { ital "AB"} cSup { size 8{ rightarrow } } + { ital "CD"} cSup { size 8{ rightarrow } } = {0} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}, добиваме

SA+SC=SB+SDSA+SC=SB+SD size 12{ { ital "SA"} cSup { size 8{ rightarrow } } + { ital "SC"} cSup { size 8{ rightarrow } } = { ital "SB"} cSup { size 8{ rightarrow } } + { ital "SD"} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}.

Векторот SA+SCSA+SC size 12{ { ital "SA"} cSup { size 8{ rightarrow } } + { ital "SC"} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} е колинеарен со ACAC size 12{ { ital "AC"} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}, a SB+SDSB+SD size 12{ { ital "SB"} cSup { size 8{ rightarrow } } + { ital "SD"} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}е колинеарен со BDBD size 12{ { ital "BD"} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}.

Но ACAC size 12{ { ital "AC"} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и BDBD size 12{ { ital "BD"} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се неколинеарни вектори, од каде следува дека мораSA+SC=0SA+SC=0 size 12{ { ital "SA"} cSup { size 8{ rightarrow } } + { ital "SC"} cSup { size 8{ rightarrow } } = {0} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и SB+SD=0SB+SD=0 size 12{ { ital "SB"} cSup { size 8{ rightarrow } } + { ital "SD"} cSup { size 8{ rightarrow } } = {0} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}. Или SA=SCSA=SC size 12{ { ital "SA"} cSup { size 8{ rightarrow } } = { ital "SC"} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}иSB=SDSB=SD size 12{ { ital "SB"} cSup { size 8{ rightarrow } } = { ital "SD"} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}, т.е. дијагоналите се преполовуваат.

5. Нека AB е дијаметар на кружница со центар O и нека S е произволна точка. Да се докаже дека SA+SB=2SOSA+SB=2SO size 12{ { ital "SA"} cSup { size 8{ rightarrow } } + { ital "SB"} cSup { size 8{ rightarrow } } =2 { ital "SO"} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}.

Решение.

Table 4
graphics4.jpg
слика 4

Имаме SA=SO+OASA=SO+OA size 12{ { ital "SA"} cSup { size 8{ rightarrow } } = { ital "SO"} cSup { size 8{ rightarrow } } + { ital "OA"} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}, SB=SO+OBSB=SO+OB size 12{ { ital "SB"} cSup { size 8{ rightarrow } } = { ital "SO"} cSup { size 8{ rightarrow } } + { ital "OB"} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}.

Со собирање добиваме: SA+SB=2SO+OA+OBSA+SB=2SO+OA+OB size 12{ { ital "SA"} cSup { size 8{ rightarrow } } + { ital "SB"} cSup { size 8{ rightarrow } } =2 { ital "SO"} cSup { size 8{ rightarrow } } + { ital "OA"} cSup { size 8{ rightarrow } } + { ital "OB"} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}.

OAOA size 12{ { ital "OA"} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и OBOB size 12{ { ital "OB"} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се спротивни вектори, па следува OA+OB=0OA+OB=0 size 12{ { ital "OA"} cSup { size 8{ rightarrow } } + { ital "OB"} cSup { size 8{ rightarrow } } = {0} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}, т.е. SA+SB=2SOSA+SB=2SO size 12{ { ital "SA"} cSup { size 8{ rightarrow } } + { ital "SB"} cSup { size 8{ rightarrow } } =2 { ital "SO"} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}.

Collection Navigation

Content actions

Download:

Collection as:

EPUB (?)

What is an EPUB file?

EPUB is an electronic book format that can be read on a variety of mobile devices.

Downloading to a reading device

For detailed instructions on how to download this content's EPUB to your specific device, click the "(?)" link.

| More downloads ...

Module as:

PDF | More downloads ...

Add:

Collection to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks

Module to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks