1. За векторот
a→={3,4,5}a→={3,4,5} size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } = lbrace "3,4,5" rbrace } {}да се определи интензитетот и да се определат аглите што тој вектор ги зафаќа со координатните оски.
Решение.
∣a→∣=32+42+52=50=52∣a→∣=32+42+52=50=52 size 12{ lline {a} cSup { size 8{ rightarrow } } rline = sqrt {3 rSup { size 8{2} } +4 rSup { size 8{2} } +5 rSup { size 8{2} } } = sqrt {"50"} =5 sqrt {2} } {}.
Нека
αα size 12{α} {},
ββ size 12{β} {} и
γγ size 12{γ} {} се аглите што векторот
a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} ги зафаќа со координатните оски. Тогаш
cosα=3∣a→∣=352=3210cosα=3∣a→∣=352=3210 size 12{"cos"α= { {3} over { lline {a} cSup { size 8{ rightarrow } } rline } } = { {3} over {5 sqrt {2} } } = { {3 sqrt {2} } over {"10"} } } {}.
cosβ=4∣a→∣=452=225cosβ=4∣a→∣=452=225 size 12{"cos"β= { {4} over { lline {a} cSup { size 8{ rightarrow } } rline } } = { {4} over {5 sqrt {2} } } = { {2 sqrt {2} } over {5} } } {}.
cosγ=5∣a→∣=552=22cosγ=5∣a→∣=552=22 size 12{"cos"γ= { {5} over { lline {a} cSup { size 8{ rightarrow } } rline } } = { {5} over {5 sqrt {2} } } = { { sqrt {2} } over {2} } } {}.
2. Нека се дадени точките A(4,-4,2) и B(2,6,-4). Да се определат координатите на векторот
AB→AB→ size 12{ { ital "AB"} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}, а потоа да се пресмета неговиот интензитет и аглите што тој ги зафаќа со координатните оски.
Решение.
AB→={2-4,6+4,-4-2}={-2,10,-6}AB→={2-4,6+4,-4-2}={-2,10,-6} size 12{ { ital "AB"} cSup { size 8{ rightarrow } } = lbrace "2-4,6"+"4,-4-2" rbrace = lbrace "-2,10,-6" rbrace } {}.
∣AB→∣=4+100+36=140=235∣AB→∣=4+100+36=140=235 size 12{ lline { ital "AB"} cSup { size 8{ rightarrow } } rline = sqrt {4+"100"+"36"} = sqrt {"140"} =2 sqrt {"35"} } {}.
cosα=−2∣AB→∣=−2235=−3535cosα=−2∣AB→∣=−2235=−3535 size 12{"cos"α= { { - 2} over { lline { ital "AB"} cSup { size 8{ rightarrow } } rline } } = { { - 2} over {2 sqrt {"35"} } } = { { - sqrt {"35"} } over {"35"} } } {}.
cosβ=10∣AB→∣=10235=357cosβ=10∣AB→∣=10235=357 size 12{"cos"β= { {"10"} over { lline { ital "AB"} cSup { size 8{ rightarrow } } rline } } = { {"10"} over {2 sqrt {"35"} } } = { { sqrt {"35"} } over {7} } } {}.
cosγ=−6∣AB→∣=−6235=−33535cosγ=−6∣AB→∣=−6235=−33535 size 12{"cos"γ= { { - 6} over { lline { ital "AB"} cSup { size 8{ rightarrow } } rline } } = { { - 6} over {2 sqrt {"35"} } } = { { - 3 sqrt {"35"} } over {"35"} } } {}.
3. Нека точките A(1,-2,0), B(2,1,3) и C(-2,0,5) се темиња на паралелограмот ABCD. Да се одреди четвртото теме D и должината на дијагоналата BD.
Решение.
AB→={1,3,3}AB→={1,3,3} size 12{ { ital "AB"} cSup { size 8{ rightarrow } } = lbrace "1,3,3" rbrace } {}.
Нека
D(d1,d2,d3)D(d1,d2,d3) size 12{D \( d rSub { size 8{1} } ,d rSub { size 8{2} } ,d rSub { size 8{3} } \) } {}.
DC→={−2−d1,0−d2,5−d3}DC→={−2−d1,0−d2,5−d3} size 12{ { ital "DC"} cSup { size 8{ rightarrow } } = lbrace - 2 - d rSub { size 8{1} } ",0" - d rSub { size 8{2} } ,5 - d rSub { size 8{3} } rbrace } {}.
Table 1
|
| слика 1 |
DC→=AB→DC→=AB→ size 12{ { ital "DC"} cSup { size 8{ rightarrow } } = { ital "AB"} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}, па следува
1
=
−
2
−
d
1
1
=
−
2
−
d
1
size 12{1= - 2 - d rSub { size 8{1} } } {}
(1)
3
=
−
d
2
3
=
−
d
2
size 12{3= - d rSub { size 8{2} } } {}
3=5−d33=5−d3 size 12{3=5 - d rSub { size 8{3} } } {}, т.е.
d1=−3d1=−3 size 12{d rSub { size 8{1} } = - 3} {},
d2=−3d2=−3 size 12{d rSub { size 8{2} } = - 3} {},
d3=2d3=2 size 12{d rSub { size 8{3} } =2} {}.
Добиваме
D(−3,-3,2)D(−3,-3,2) size 12{D \( - 3",-3,2" \) } {}.
Оттука,
BD→={−5,−4,−1}BD→={−5,−4,−1} size 12{ { ital "BD"} cSup { size 8{ rightarrow } } = lbrace - 5, - 4, - 1 rbrace } {}.
BD¯=∣BD→∣=(−5)2+(−4)2+(−1)2=42BD¯=∣BD→∣=(−5)2+(−4)2+(−1)2=42 size 12{ {overline { ital "BD"}} = lline { ital "BD"} cSup { size 8{ rightarrow } } rline = sqrt { \( - 5 \) rSup { size 8{2} } + \( - 4 \) rSup { size 8{2} } + \( - 1 \) rSup { size 8{2} } } = sqrt {"42"} } {}.
