Решени задачи од скаларен производ на вектори

1. Да се пресмета скаларниот производ на векторите a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и b→b→ size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}, ако a→=2m→−n→a→=2m→−n→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } =2 {m} cSup { size 8{ rightarrow } } - {n} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}, b→=m→−2n→b→=m→−2n→ size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } = {m} cSup { size 8{ rightarrow } } - 2 {n} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и ∣m→∣=2,∣n→∣=4,∠(m→,n→)=π3∣m→∣=2,∣n→∣=4,∠(m→,n→)=π3 size 12{ lline {m} cSup { size 8{ rightarrow } } rline =2,~ lline {n} cSup { size 8{ rightarrow } } rline =4,~∠ \( {m} cSup { size 8{ rightarrow } } , {n} cSup { size 8{ rightarrow } } \) = { {π} over {3} } } {}.

Решение.

2. Колку е ∠(a→,b→)∠(a→,b→) size 12{∠ \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } \) } {}, ако ∣a→∣=∣b→∣=1∣a→∣=∣b→∣=1 size 12{ lline {a} cSup { size 8{ rightarrow } } rline = lline {b} cSup { size 8{ rightarrow } } rline =1} {}, а векторите p→=a→+2b→p→=a→+2b→ size 12{ {p} cSup { size 8{ rightarrow } } = {a} cSup { size 8{ rightarrow } } +2 {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и q→=5a→−4b→q→=5a→−4b→ size 12{ {q} cSup { size 8{ rightarrow } } =5 {a} cSup { size 8{ rightarrow } } - 4 {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се заемно нормални?

Решение.

Заради условот за нормалност, p→⋅q→=0p→⋅q→=0 size 12{ {p} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {q} cSup { size 8{ rightarrow } } =0} {}. Значи,

(a→+2b→)(5a→−4b→)=5+6cos∠(a→,b→)−8=0(a→+2b→)(5a→−4b→)=5+6cos∠(a→,b→)−8=0 size 12{ \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } +2 {b} cSup { size 8{ rightarrow } } \) \( 5 {a} cSup { size 8{ rightarrow } } - 4 {b} cSup { size 8{ rightarrow } } \) =5+6"cos"∠ \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } \) - 8=0} {}.

cos∠(a→,b→)=−36=12cos∠(a→,b→)=−36=12 size 12{"cos"∠ \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } \) = - { {3} over {6} } = { {1} over {2} } } {}.

Следува ∠(a→,b→)=π3∠(a→,b→)=π3 size 12{∠ \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } \) = { {π} over {3} } } {}.

3. Дадени се векторите:

b→=i→−4j→+5k→b→=i→−4j→+5k→ size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } = {i} cSup { size 8{ rightarrow } } - 4 {j} cSup { size 8{ rightarrow } } +5 {k} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}.

Да се пресмета a→⋅b→a→⋅b→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot size 12{ {b} и ∠(a→,b→)∠(a→,b→) size 12{∠ \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } \) } {}.

Решение.

Имаме a→={3,1,−2}a→={3,1,−2} size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } = lbrace 3,1, - 2 rbrace } {} и b→={1,−4,5}b→={1,−4,5} size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } = lbrace 1, - 4,5 rbrace } {}. a→⋅b→=3⋅1+1⋅(−4)+(−2)⋅5=−11a→⋅b→=3⋅1+1⋅(−4)+(−2)⋅5=−11 size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {b} cSup { size 8{ rightarrow } } =3 cdot 1+1 cdot \( - 4 \) + \( - 2 \) cdot 5= - "11"} {}.

cos∠(a→,b→)=a→⋅b→∣a→∣∣b→∣=−1132+12+(−2)212+(−4)2+52=−11143=−11342cos∠(a→,b→)=a→⋅b→∣a→∣∣b→∣=−1132+12+(−2)212+(−4)2+52=−11143=−11342 size 12{"cos"∠ \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } \) = { { {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } over { lline {a} cSup { size 8{ rightarrow } } rline lline {b} cSup { size 8{ rightarrow } } rline } } = { { - "11"} over { sqrt {3 rSup { size 8{2} } +1 rSup { size 8{2} } + \( - 2 \) rSup { size 8{2} } } sqrt {1 rSup { size 8{2} } + \( - 4 \) rSup { size 8{2} } +5 rSup { size 8{2} } } } } = - { {"11"} over {"14" sqrt {3} } } = - { {"11" sqrt {3} } over {"42"} } } {}.

4. Да се покаже дека векторите p→=a→(b→c→)−b→(a→c→)p→=a→(b→c→)−b→(a→c→) size 12{ {p} cSup { size 8{ rightarrow } } = {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \( {b} cSup { size 8{ rightarrow } } {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) } {} и c→c→ size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се взаемно нормални.

Решение.

= a → ( b → c → ) ⋅ c → − b → ( a → c → ) ⋅ c → = = a → ( b → c → ) ⋅ c → − b → ( a → c → ) ⋅ c → = size 12{ {}= {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \( {b} cSup { size 8{ rightarrow } } {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) cdot {c} cSup { size 8{ rightarrow } } - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) cdot {c} cSup { size 8{ rightarrow } } ={}} {}

= ( b → c → ) a → c → − ( a → c → ) b → c → = = ( b → c → ) a → c → − ( a → c → ) b → c → = size 12{ {}= \( {b} cSup { size 8{ rightarrow } } {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) {a} cSup { size 8{ rightarrow } } {c} cSup { size 8{ rightarrow } } - \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) {b} cSup { size 8{ rightarrow } } {c} cSup { size 8{ rightarrow } } ={}} {}

=(b→c→)(a→c→)−(b→c→)(a→c→)=0=(b→c→)(a→c→)−(b→c→)(a→c→)=0 size 12{ {}= \( {b} cSup { size 8{ rightarrow } } {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) - \( {b} cSup { size 8{ rightarrow } } {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) =0} {}.

Добиваме p→c→=0p→c→=0 size 12{ {p} cSup { size 8{ rightarrow } } {c} cSup { size 8{ rightarrow } } =0} {}, од каде следува p→p→ size 12{ {p} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и c→c→ size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}се взаемно нормални.

5. Нека ∣a→∣=2∣a→∣=2 size 12{ lline {a} cSup { size 8{ rightarrow } } rline =2} {}, ∣b→∣=5∣b→∣=5 size 12{ lline {b} cSup { size 8{ rightarrow } } rline =5} {} и ∠(a→,b→)=2π3∠(a→,b→)=2π3 size 12{∠ \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } \) = { {2π} over {3} } } {}. Да се пресмета λλ size 12{λ} {}, така што векторите p→=λa→+17b→p→=λa→+17b→ size 12{ {p} cSup { size 8{ rightarrow } } =λ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } +"17" {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и q→=3a→−b→q→=3a→−b→ size 12{ {q} cSup { size 8{ rightarrow } } =3 {a} cSup { size 8{ rightarrow } } - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} да бидат взаемно нормални.

Решение.

Треба p→q→=0p→q→=0 size 12{ {p} cSup { size 8{ rightarrow } } {q} cSup { size 8{ rightarrow } } =0} {}, односно

6. Да се определи векторот x→x→ size 12{ {x} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} кој е колинеарен со векторот a→=2i→−j→+2k→a→=2i→−j→+2k→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } =2 {i} cSup { size 8{ rightarrow } } - {j} cSup { size 8{ rightarrow } } +2 {k} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и ја задоволува равенката a→x→=−18a→x→=−18 size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } {x} cSup { size 8{ rightarrow } } = - "18"} {}.

Решение.

x→=λa→=2λi→−λj→+2λk→={2λ,−λ,2λ}x→=λa→=2λi→−λj→+2λk→={2λ,−λ,2λ} size 12{ {x} cSup { size 8{ rightarrow } } =λ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } =2λ {i} cSup { size 8{ rightarrow } } - λ {j} cSup { size 8{ rightarrow } } +2λ {k} cSup { size 8{ rightarrow } } = lbrace 2λ, - λ,2λ rbrace } {}.

λ = − 18 9 = − 2 λ = − 18 9 = − 2 size 12{λ= - { {"18"} over {9} } = - 2} {}

x→=−4i→+2j→−4k→={−4,2,−4}x→=−4i→+2j→−4k→={−4,2,−4} size 12{ {x} cSup { size 8{ rightarrow } } = - 4 {i} cSup { size 8{ rightarrow } } +2 {j} cSup { size 8{ rightarrow } } - 4 {k} cSup { size 8{ rightarrow } } = lbrace - 4,2, - 4 rbrace } {}.

7. Да се докаже Талесовата теорема: Секој периферен агол над дијаметарот е прав.

Решение.

Table 1

Слика 1

Доволно е да покажеме дека CA→⋅CB→=0CA→⋅CB→=0 size 12{ { ital "CA"} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot { ital "CB"} cSup { size 8{ rightarrow } } =0} {}.

Бидејќи OB→=−OA→OB→=−OA→ size 12{ { ital "OB"} cSup { size 8{ rightarrow } } = - { ital "OA"} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}, имаме .

CA→⋅CB→=(CO→+OA→)(CO→−OA→)=CO→CO→−OA→OA→=r2−r2=0CA→⋅CB→=(CO→+OA→)(CO→−OA→)=CO→CO→−OA→OA→=r2−r2=0 size 12{ { ital "CA"} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot { ital "CB"} cSup { size 8{ rightarrow } } = \( { ital "CO"} cSup { size 8{ rightarrow } } + { ital "OA"} cSup { size 8{ rightarrow } } \) \( { ital "CO"} cSup { size 8{ rightarrow } } - { ital "OA"} cSup { size 8{ rightarrow } } \) = { ital "CO"} cSup { size 8{ rightarrow } } { ital "CO"} cSup { size 8{ rightarrow } } - { ital "OA"} cSup { size 8{ rightarrow } } { ital "OA"} cSup { size 8{ rightarrow } } =r rSup { size 8{2} } - r rSup { size 8{2} } =0} {}.

8. Да се докаже Питагоровата теорема за правоаголен триаголник: Ако aa size 12{a} {} и bb size 12{b} {} се катетите во правоаголниот триаголник ABC, а cc size 12{c} {} е хипотенузата, тогаш a2+b2=c2a2+b2=c2 size 12{a rSup { size 8{2} } +b rSup { size 8{2} } =c rSup { size 8{2} } } {}.

Решение.

Table 2

Слика 2

Ги поставуваме векторите a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}, b→b→ size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и c→c→ size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} како на сл. 2. Тогаш c→=a→−b→c→=a→−b→ size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } = {a} cSup { size 8{ rightarrow } } - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}.

Нека ∣a→∣=a∣a→∣=a size 12{ lline {a} cSup { size 8{ rightarrow } } rline =a} {}, ∣b→∣=b∣b→∣=b size 12{ lline {b} cSup { size 8{ rightarrow } } rline =b} {} и ∣c→∣=c∣c→∣=c size 12{ lline {c} cSup { size 8{ rightarrow } } rline =c} {}. Имаме:

c2=c→⋅c→=(a→−b→)(a→−b→)=a→⋅a→−2a→b→+b→⋅b→=∣a→∣2−2⋅0+∣b→∣2=a2+b2c2=c→⋅c→=(a→−b→)(a→−b→)=a→⋅a→−2a→b→+b→⋅b→=∣a→∣2−2⋅0+∣b→∣2=a2+b2 size 12{c rSup { size 8{2} } = {c} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {c} cSup { size 8{ rightarrow } } = \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } \) \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } \) = {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {a} cSup { size 8{ rightarrow } } - 2 {a} cSup { size 8{ rightarrow } } {b} cSup { size 8{ rightarrow } } + {b} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {b} cSup { size 8{ rightarrow } } = lline {a} cSup { size 8{ rightarrow } } rline rSup { size 8{2} } - 2 cdot 0+ lline {b} cSup { size 8{ rightarrow } } rline rSup { size 8{2} } =a rSup { size 8{2} } +b rSup { size 8{2} } } {}.