Skip to content Skip to navigation Skip to collection information

Connexions

You are here: Home » Content » Векторска алгебра » Скаларен производ на два вектора

Navigation

Recently Viewed

This feature requires Javascript to be enabled.
 

Скаларен производ на два вектора

Module by: Liljana Stefanovska. E-mail the author

Summary: Се дефинира скаларан производ на два вектора и неговите својства. Definition of a scalar product and properties

СКАЛАРЕН ПРОИЗВОД НА ДВА ВЕКТОРА

Најпрво ќе се дефинира поимот за агол меѓу два вектора:

Дефиниција. Под агол φ = ∠(a→,b→)∠(a→,b→) size 12{∠ \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } \) } {} меѓу ненултите вектори a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и b→b→ size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се подразбира аголот 0≤ϕ≤π0≤ϕ≤π size 12{0 <= ϕ <= π} {} кој меѓусебно го зафаќаат векторите доведени до заеднички почеток.

Сега следи дефиниција за скаларен производ:

Дефиниција. Скаларен производ на два вектора a→≠0→a→≠0→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } <> {0} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и b→≠0→b→≠0→ size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } <> {0} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} е скаларната величина дефинирана со

a→⋅b→a→⋅b→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= ∣a→∣⋅∣b→∣cos∠(a→,b→)∣a→∣⋅∣b→∣cos∠(a→,b→) size 12{ \lline {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \lline cdot \lline {b} cSup { size 8{ rightarrow } } \lline "cos"∠ \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } \) } {}.

Очигледно е дека ако еден од множителите во скаларниот производ е нула вектор, тогаш и скаларниот производ е 0.

Својства на скаларниот производ

Од самата дефиниција за скаларен производ следуваат следните негови својства:

1. a→⋅b→=b→⋅a→a→⋅b→=b→⋅a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {b} cSup { size 8{ rightarrow } } = {b} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} (комутативен закон);

2. a→⋅(b→+c→)=a→⋅b→+a→⋅c→a→⋅(b→+c→)=a→⋅b→+a→⋅c→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot \( {b} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) = {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {b} cSup { size 8{ rightarrow } } + {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}(дистрибутивен закон);

3. λ(a→⋅b→)=(λa→)⋅b→=a→⋅(λb→)λ(a→⋅b→)=(λa→)⋅b→=a→⋅(λb→) size 12{λ \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {b} cSup { size 8{ rightarrow } } \) = \( λ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \) cdot {b} cSup { size 8{ rightarrow } } = {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot \( λ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } \) } {} (множење со скалар λ);

4. Ако векторите a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и b→b→ size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се паралелни, тогаш

a→∣∣b→⇔a→∣∣b→⇔ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \lline \lline {b} cSup { size 8{ rightarrow } } dlrarrow } {}a→⋅b→a→⋅b→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= ±∣a→∣⋅∣b→∣±∣a→∣⋅∣b→∣ size 12{ +- \lline {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \lline cdot \lline {b} cSup { size 8{ rightarrow } } \lline } {};

5. a→⋅a→=(a→)2=∣a→∣2a→⋅a→=(a→)2=∣a→∣2 size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {a} cSup { size 8{ rightarrow } } = \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \) rSup { size 8{2} } = \lline {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \lline rSup { size 8{2} } } {}, односно ∣a→∣=a→⋅a→∣a→∣=a→⋅a→ size 12{ \lline {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \lline = sqrt { {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } } {};

6. Ако двата ненулти вектори во скаларниот производ се взаемно нормални, тогаш

a→⊥b→⇔a→⋅b→=0a→⊥b→⇔a→⋅b→=0 size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } ortho {b} cSup { size 8{ rightarrow } } dlrarrow {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {b} cSup { size 8{ rightarrow } } =0} {};

7. Скаларниот производ меѓу единичните вектори е:

i→⋅j→i→⋅j→ size 12{ {i} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {j} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = 0, i→⋅k→i→⋅k→ size 12{ {i} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {k} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = 0, j→⋅k→j→⋅k→ size 12{ {j} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {k} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = 0,

i→⋅i→i→⋅i→ size 12{ {i} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {i} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= 1, j→⋅j→j→⋅j→ size 12{ {j} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {j} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = 1, k→⋅k→k→⋅k→ size 12{ {k} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {k} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= 1.

Aко векторите a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и b→b→ size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}се зададени со своите координати

a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {x1, y1, z1} и b→b→ size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {x2, y2, z2},

нивниот скаларен производ изразен преку координатите на векторите е:

a → ⋅ b → = ( x 1 i → + y 1 j → + z 1 k → ) ⋅ ( x 2 i → + y 2 j → + z 2 k → ) = a → ⋅ b → = ( x 1 i → + y 1 j → + z 1 k → ) ⋅ ( x 2 i → + y 2 j → + z 2 k → ) = size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {b} cSup { size 8{ rightarrow } } = \( x rSub { size 8{1} } {i} cSup { size 8{ rightarrow } } +y rSub { size 8{1} } {j} cSup { size 8{ rightarrow } } +z rSub { size 8{1} } {k} cSup { size 8{ rightarrow } } \) cdot \( x rSub { size 8{2} } {i} cSup { size 8{ rightarrow } } +y rSub { size 8{2} } {j} cSup { size 8{ rightarrow } } +z rSub { size 8{2} } {k} cSup { size 8{ rightarrow } } \) ={}} {}

= x 1 x 2 ( i → ⋅ i → ) + x 1 y 2 ( i → ⋅ j → ) + x 1 z 2 ( i → ⋅ k ) + + y 1 x 2 ( j → ⋅ i → ) + y 1 y 2 ( j → ⋅ j → ) + y 1 z 2 ( j → ⋅ k ) + + z 1 x 2 ( k → ⋅ i → ) + z 1 y 2 ( k → ⋅ j → ) + z 1 z 2 ( k → ⋅ k → ) = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 , = x 1 x 2 ( i → ⋅ i → ) + x 1 y 2 ( i → ⋅ j → ) + x 1 z 2 ( i → ⋅ k ) + + y 1 x 2 ( j → ⋅ i → ) + y 1 y 2 ( j → ⋅ j → ) + y 1 z 2 ( j → ⋅ k ) + + z 1 x 2 ( k → ⋅ i → ) + z 1 y 2 ( k → ⋅ j → ) + z 1 z 2 ( k → ⋅ k → ) = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 , alignl { stack { size 12{ {}=x rSub { size 8{1} } x rSub { size 8{2} } \( {i} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {i} cSup { size 8{ rightarrow } } \) +x rSub { size 8{1} } y rSub { size 8{2} } \( {i} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {j} cSup { size 8{ rightarrow } } \) +x rSub { size 8{1} } z rSub { size 8{2} } \( {i} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot k \) +{}} {} # +y rSub { size 8{1} } x rSub { size 8{2} } \( {j} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {i} cSup { size 8{ rightarrow } } \) +y rSub { size 8{1} } y rSub { size 8{2} } \( {j} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {j} cSup { size 8{ rightarrow } } \) +y rSub { size 8{1} } z rSub { size 8{2} } \( {j} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot k \) +{} {} # +z rSub { size 8{1} } x rSub { size 8{2} } \( {k} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {i} cSup { size 8{ rightarrow } } \) +z rSub { size 8{1} } y rSub { size 8{2} } \( {k} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {j} cSup { size 8{ rightarrow } } \) +z rSub { size 8{1} } z rSub { size 8{2} } \( {k} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {k} cSup { size 8{ rightarrow } } \) ={} {} # =x rSub { size 8{1} } x rSub { size 8{2} } +y rSub { size 8{1} } y rSub { size 8{2} } +z rSub { size 8{1} } z rSub { size 8{2} } , {} } } {}

односно a→⋅b→=x1x2+y1y2+z1z2.a→⋅b→=x1x2+y1y2+z1z2. size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {b} cSup { size 8{ rightarrow } } =x rSub { size 8{1} } x rSub { size 8{2} } +y rSub { size 8{1} } y rSub { size 8{2} } +z rSub { size 8{1} } z rSub { size 8{2} } "." } {}

8. Аголот меѓу векторите a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и b→b→ size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} е

cos∠cos∠ size 12{"cos"∠} {}( a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}, b→b→ size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}) = a→⋅b→∣a→∣∣b→∣a→⋅b→∣a→∣∣b→∣ size 12{ { { {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } over { \lline {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \lline \lline {b} cSup { size 8{ rightarrow } } \lline } } } {},

или изразен преку координатите на векторите

cos∠cos∠ size 12{"cos"∠} {}( a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}, b→b→ size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}) = x1x2+y1y2+z1z2x12+y12+z12x22+y22+z22x1x2+y1y2+z1z2x12+y12+z12x22+y22+z22 size 12{ { {x rSub { size 8{1} } x rSub { size 8{2} } +y rSub { size 8{1} } y rSub { size 8{2} } +z rSub { size 8{1} } z rSub { size 8{2} } } over { sqrt {x rSub { size 8{1} } rSup { size 8{2} } +y rSub { size 8{1} } rSup { size 8{2} } +z rSub { size 8{1} } rSup { size 8{2} } } sqrt {x rSub { size 8{2} } rSup { size 8{2} } +y rSub { size 8{2} } rSup { size 8{2} } +z rSub { size 8{2} } rSup { size 8{2} } } } } } {}.

Од дефиницијата за скаларен производ на два вектора следува дека знакот на скаларниот производ е определен од аголот што го зафакаат двата вектора и тоа:

∠∠ size 12{∠} {}( a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}, b→b→ size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}) е остар агол ⇔ a→⋅b→a→⋅b→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}> 0;

∠∠ size 12{∠} {}( a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}, b→b→ size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}) е тап агол ⇔ a→⋅b→a→⋅b→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}< 0;

∠∠ size 12{∠} {}( a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}, b→b→ size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}) = π/2π/2 size 12{π/2} {} ⇔ a→⋅b→a→⋅b→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= 0.

9. (Ортогонална проекција на вектор) Ако векторите a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и b→b→ size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се доведат до заеднички почеток, секој од нив може ортогонално (нормално) да се проектира на другиот вектор со спуштање на нормала од крајот на едниот вектор кон правецот да другиот. Ортогоналната проекција на векторот a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} врз векторот b→b→ size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} е вектор кој е во правец на векторот b→b→ size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и се означува со prb→a→prb→a→ size 12{"pr" rSub { size 8{ {b} cSup { size 6{ rightarrow } } } } {a} cSup { rightarrow } } {}. Преку тригонометриски релации (Сл. 1.7.) од скаларните вредности се добива

∣prb→a→∣∣a→∣=cos∠(a→,b→)∣prb→a→∣∣a→∣=cos∠(a→,b→) size 12{ { { lline "pr" rSub { size 8{ {b} cSup { size 6{ rightarrow } } } } {a} cSup { rightarrow } rline } over { size 12{ \lline {a} cSup { rightarrow } size 12{ \lline }} } } size 12{ {}="cos"∠ \( {a} cSup { rightarrow } } size 12{, {b} cSup { rightarrow } } size 12{ \) }} {},

од каде

∣ pr b → a → ∣ = ∣ a → ∣ cos ∠ ( a → , b → ) . ∣ pr b → a → ∣ = ∣ a → ∣ cos ∠ ( a → , b → ) . size 12{ \lline "pr" rSub { size 8{ {b} cSup { size 6{ rightarrow } } } } {a} cSup { rightarrow } size 12{ \lline = \lline {a} cSup { rightarrow } } size 12{ \lline "cos"∠ \( {a} cSup { rightarrow } } size 12{, {b} cSup { rightarrow } } size 12{ \) "." }} {}

Table 1
graphics1.jpg
Слика 1.7. Ортогонална проекција на вектор

Бидејќи a→⋅b→a→⋅b→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = | a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}|| b→b→ size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}| cos ∠∠ size 12{∠} {}( a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}, b→b→ size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}) = | b→b→ size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}| | prb→a→prb→a→ size 12{"pr" rSub { size 8{ {b} cSup { size 6{ rightarrow } } } } {a} cSup { rightarrow } } {}|,

проекцијата на векторот a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} врз векторот b→b→ size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} е вектор во правец на b→b→ size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и изразен како вектор е

{}prb→a→prb→a→ size 12{"pr" rSub { size 8{ {b} cSup { size 6{ rightarrow } } } } {a} cSup { rightarrow } } {} = a→⋅b→∣b→∣b0→a→⋅b→∣b→∣b0→ size 12{ { { {a} cSup { rightarrow } cdot {b} cSup { rightarrow } } over {` \lline {b} cSup { rightarrow } \lline } } {b rSub { size 9{0}} } cSup { rightarrow } } {},

кеде b0→b0→ size 12{ {b rSub { size 8{0} } } cSup { size 8{ rightarrow } } } {} е единечниот вектор на b→b→ size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}, или од b0→=b→∣b→∣b0→=b→∣b→∣ size 12{ {b rSub { size 8{0} } } cSup { size 8{ rightarrow } } = { { {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } over { \lline {b} cSup { size 8{ rightarrow } } \lline } } } {} следува

{}prb→a→prb→a→ size 12{"pr" rSub { size 8{ {b} cSup { size 6{ rightarrow } } } } {a} cSup { rightarrow } } {} = a→⋅b→∣b→∣2b→a→⋅b→∣b→∣2b→ size 12{ { { {a} cSup { rightarrow } cdot {b} cSup { rightarrow } } over {` \lline {b} cSup { rightarrow } \lline rSup { size 9{2}} } } {b} cSup { rightarrow } } {} .

Ортогоналната проекција на вектор врз вектор има примена во задачи во кои се бара даден вектор да се претстави како сума од два взаемно нормални вектори од кои едниот е со зададен правец. Така на пример, векторот a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} може да се претстави како сума од два взаемно нормални вектори од кои едниот е во правец на векторот b→b→ size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}, тоа е векторот prb→a→prb→a→ size 12{"pr" rSub { size 8{ {b} cSup { size 6{ rightarrow } } } } {a} cSup { rightarrow } } {}, а вториот е неговиот нормален вектор a→-prb→a→a→-prb→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } "-pr" rSub { size 8{ {b} cSup { size 6{ rightarrow } } } } {a} cSup { rightarrow } } {}.

Пример 1.

Да се пресмета prc→(3a→−2b→)prc→(3a→−2b→) size 12{"pr" rSub { size 8{ {c} cSup { size 6{ rightarrow } } } } \( 3 {a} cSup { rightarrow } size 12{ - 2 {b} cSup { rightarrow } } size 12{ \) }} {}, ако a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {－2, 1, 1},b→b→ size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {1, 5, 0} и

c→c→ size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {4, 4, －2}.

Решение.

Векторот 3 a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} － 2 b→b→ size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= 3{－2, 1, 1} －2{1, 5, 0} = {－8, －7, 3}.

Проекцијата prc→(3a→−2b→)prc→(3a→−2b→) size 12{"pr" rSub { size 8{ {c} cSup { size 6{ rightarrow } } } } \( 3 {a} cSup { rightarrow } size 12{ - 2 {b} cSup { rightarrow } } size 12{ \) }} {}се пресметува со

prc→(3a→−2b→)prc→(3a→−2b→) size 12{"pr" rSub { size 8{ {c} cSup { size 6{ rightarrow } } } } \( 3 {a} cSup { rightarrow } size 12{ - 2 {b} cSup { rightarrow } } size 12{ \) }} {}= 3a→−2b→⋅c→∣c→∣2c→3a→−2b→⋅c→∣c→∣2c→ size 12{ { { left (3 {a} cSup { rightarrow } - 2 {b} cSup { rightarrow } right ) cdot {c} cSup { rightarrow } } over { \lline {c} cSup { rightarrow } \lline rSup { size 9{2}} } } {c} cSup { rightarrow } } {}.

Бидејќи (3 a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} － 2 b→b→ size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {})∙ c→c→ size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {－8, －7, 3}∙{4, 4, －2} = (－8)4 + (－7)4 + 3(－2) = －66 ,

∣c→∣=42+42+(−2)2=6∣c→∣=42+42+(−2)2=6 size 12{ \lline {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \lline `= sqrt {4 rSup { size 8{2} } +4 rSup { size 8{2} } + \( - 2 \) rSup { size 8{2} } } =6} {},

prc→(3a→−2b→)=−6662c→=−116prc→(3a→−2b→)=−6662c→=−116 size 12{"pr" rSub { size 8{ {c} cSup { size 6{ rightarrow } } } } \( 3 {a} cSup { rightarrow } size 12{ - 2 {b} cSup { rightarrow } } size 12{ \) = { { - "66"} over {6 rSup {2} } } { size 12{c} } cSup { rightarrow } } size 12{ {}= { { - "11"} over {6} } }} {}{4, 4, －2} = { −223,−223,−113−223,−223,−113 size 12{ { { - "22"} over {3} } ,` { { - "22"} over {3} } ,` { { - "11"} over {3} } } {}}. ◄

Пример 2.

Покажи дека трите вектори a→=3i→−j→+2k→a→=3i→−j→+2k→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } =3 {i} cSup { size 8{ rightarrow } } - {j} cSup { size 8{ rightarrow } } +2 {k} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}, b→=i→+j→−k→b→=i→+j→−k→ size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } = {i} cSup { size 8{ rightarrow } } + {j} cSup { size 8{ rightarrow } } - {k} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и c→=i→−5j→−4k→c→=i→−5j→−4k→ size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } = {i} cSup { size 8{ rightarrow } } - 5 {j} cSup { size 8{ rightarrow } } - 4 {k} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се взаемно нормални вектори. Најди три скалари αα size 12{α} {}, ββ size 12{β} {} и γγ size 12{γ} {} такви што αa→+βb→+γc→=i→−j→+k→αa→+βb→+γc→=i→−j→+k→ size 12{α {a} cSup { size 8{ rightarrow } } +β {b} cSup { size 8{ rightarrow } } +γ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } = {i} cSup { size 8{ rightarrow } } - {j} cSup { size 8{ rightarrow } } + {k} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}.

Решение.

Согласно својството 6, ако скаларниот производ на два ненулти вектори е нула, тогаш векторите се взаемно нормални. Трите зададени вектори се:

a→=3i→−j→+2k→={3,−1,2}a→=3i→−j→+2k→={3,−1,2} size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } =3 {i} cSup { size 8{ rightarrow } } - {j} cSup { size 8{ rightarrow } } +2 {k} cSup { size 8{ rightarrow } } = lbrace 3, - 1,2 rbrace } {},

b→=i→+j→−k→={1,1,−1}b→=i→+j→−k→={1,1,−1} size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } = {i} cSup { size 8{ rightarrow } } + {j} cSup { size 8{ rightarrow } } - {k} cSup { size 8{ rightarrow } } = lbrace 1,1, - 1 rbrace } {},

c→=i→−5j→−4k→={1,−5,−4}c→=i→−5j→−4k→={1,−5,−4} size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } = {i} cSup { size 8{ rightarrow } } - 5 {j} cSup { size 8{ rightarrow } } - 4 {k} cSup { size 8{ rightarrow } } = lbrace 1, - 5, - 4 rbrace } {}.

Се пресметуваат нивните меѓусебни скаларни производи:

a→⋅b→={3,−1,2}⋅{1,1,−1}=3−1−2=0a→⋅b→={3,−1,2}⋅{1,1,−1}=3−1−2=0 size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {b} cSup { size 8{ rightarrow } } = lbrace 3, - 1,2 rbrace cdot lbrace 1,1, - 1 rbrace =3 - 1 - 2=0} {},

a→⋅c→={3,−1,2}⋅{1,−5,−4}=3+5−8=0a→⋅c→={3,−1,2}⋅{1,−5,−4}=3+5−8=0 size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {c} cSup { size 8{ rightarrow } } = lbrace 3, - 1,2 rbrace cdot lbrace 1, - 5, - 4 rbrace =3+5 - 8=0} {},

b→⋅c→={1,1,−1}⋅{1,−5,−4}=1−5+4=0b→⋅c→={1,1,−1}⋅{1,−5,−4}=1−5+4=0 size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {c} cSup { size 8{ rightarrow } } = lbrace 1,1, - 1 rbrace cdot lbrace 1, - 5, - 4 rbrace =1 - 5+4=0} {}.

Видејќи сите меѓусебни скаларни производи се нула, следува дек тие се взаемно нормални вектори, т.е. a→⊥b→⊥c→a→⊥b→⊥c→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } ortho {b} cSup { size 8{ rightarrow } } ortho {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}. Штом векторите a→,b→,c→a→,b→,c→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се взаемно нормални, тие се линеарно независни (ниту еден од овие три вектори не може да се претстави како линерна комбинација од останатите два вектора) и секој вектор од просторот може да се претстави како линерна комбинација од овие три вектори. Во условот на овој пример се бара векторот i→−j→+k→i→−j→+k→ size 12{ {i} cSup { size 8{ rightarrow } } - {j} cSup { size 8{ rightarrow } } + {k} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} да се претстави како линерна комбинација од векторите a→,b→,c→a→,b→,c→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}, односно се бара да се најдат скалрите αα size 12{α} {}, ββ size 12{β} {} и γγ size 12{γ} {} така што

αa→+βb→+γc→=i→−j→+k→αa→+βb→+γc→=i→−j→+k→ size 12{α {a} cSup { size 8{ rightarrow } } +β {b} cSup { size 8{ rightarrow } } +γ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } = {i} cSup { size 8{ rightarrow } } - {j} cSup { size 8{ rightarrow } } + {k} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}.

Ова векторска равенка се запишува преку координатите на векторите

α{3,−1,2}+β{1,1,−1}+γ{1,−5,−4}={1,−1,1}α{3,−1,2}+β{1,1,−1}+γ{1,−5,−4}={1,−1,1} size 12{α lbrace 3, - 1,2 rbrace +β lbrace 1,1, - 1 rbrace +γ lbrace 1, - 5, - 4 rbrace = lbrace 1, - 1,1 rbrace } {},

односно

{ 3α + β + γ , − α + β − 5γ , 2α − β − 4γ } = { 1, − 1,1 } { 3α + β + γ , − α + β − 5γ , 2α − β − 4γ } = { 1, − 1,1 } size 12{ lbrace 3α+β+γ, - α+β - 5γ,2α - β - 4γ rbrace = lbrace 1, - 1,1 rbrace } {}
(1)

и не доведува до следниот систем равенки

3α + β + γ = 1 − α + β − 5γ = − 1 2α − β − 4γ = 1 . 3α + β + γ = 1 − α + β − 5γ = − 1 2α − β − 4γ = 1 . alignl { stack { size 12{3α+β+γ=1} {} # size 12{ - α+β - 5γ= - 1} {} # size 12{2α - β - 4γ=1 "." } {} } } {}
(2)

За решавање на овој линеарен ситем од 3 равенки со 3 непознати најпрво ги наоѓаме неговите 4 детерминанти:

D=∣311−11−52−1−4∣=−42≠0D=∣311−11−52−1−4∣=−42≠0 size 12{D= lline matrix { 3 {} # 1 {} # 1 {} ## - 1 {} # 1 {} # - 5 {} ## 2 {} # - 1 {} # - 4{} } rline = - "42" <> 0} {},

Dα=∣111−11−51−1−4∣=−18Dα=∣111−11−51−1−4∣=−18 size 12{D rSub { size 8{α} } = lline matrix { 1 {} # 1 {} # 1 {} ## - 1 {} # 1 {} # - 5 {} ## 1 {} # - 1 {} # - 4{} } rline = - "18"} {},

Dβ=∣311−1−1−521−4∣=14Dβ=∣311−1−1−521−4∣=14 size 12{D rSub { size 8{β} } = lline matrix { 3 {} # 1 {} # 1 {} ## - 1 {} # - 1 {} # - 5 {} ## 2 {} # 1 {} # - 4{} } rline ="14"} {},

Dγ=∣311−11−12−11∣=−2Dγ=∣311−11−12−11∣=−2 size 12{D rSub { size 8{γ} } = lline matrix { 3 {} # 1 {} # 1 {} ## - 1 {} # 1 {} # - 1 {} ## 2 {} # - 1 {} # 1{} } rline = - 2} {}.

Ги определуваме непознатите скалари преку:

α = D α D = − 18 − 42 = 3 7 , β = D β D = 14 − 42 = − 1 3 , γ = D γ D = − 2 − 42 = 1 21 . α = D α D = − 18 − 42 = 3 7 , β = D β D = 14 − 42 = − 1 3 , γ = D γ D = − 2 − 42 = 1 21 . alignl { stack { size 12{α= { {D rSub { size 8{α} } } over {D} } = { { - "18"} over { - "42"} } = { {3} over {7} } ,} {} # β= { {D rSub { size 8{β} } } over {D} } = { {"14"} over { - "42"} } = - { {1} over {3} } , {} # γ= { {D rSub { size 8{γ} } } over {D} } = { { - 2} over { - "42"} } = { {1} over {"21"} } "." {} } } {}
(3)

Тоа значи дека векторот i→−j→+k→i→−j→+k→ size 12{ {i} cSup { size 8{ rightarrow } } - {j} cSup { size 8{ rightarrow } } + {k} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се претставува како линерна комбинација од векторите a→,b→,c→a→,b→,c→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} со равенката

3 7 a → − 1 3 b → + 1 21 c → = i → − j → + k → . 3 7 a → − 1 3 b → + 1 21 c → = i → − j → + k → . size 12{ { {3} over {7} } {a} cSup { size 8{ rightarrow } } - { {1} over {3} } {b} cSup { size 8{ rightarrow } } + { {1} over {"21"} } {c} cSup { size 8{ rightarrow } } = {i} cSup { size 8{ rightarrow } } - {j} cSup { size 8{ rightarrow } } + {k} cSup { size 8{ rightarrow } } "." } {}
(4)

Collection Navigation

Content actions

Download:

Collection as:

EPUB (?)

What is an EPUB file?

EPUB is an electronic book format that can be read on a variety of mobile devices.

Downloading to a reading device

For detailed instructions on how to download this content's EPUB to your specific device, click the "(?)" link.

| More downloads ...

Module as:

PDF | More downloads ...

Add:

Collection to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks

Module to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks