1. Да се определи параметарот
λλ size 12{λ} {}, така што векторите
p→=λa→−5b→p→=λa→−5b→ size 12{ {p} cSup { size 8{ rightarrow } } =λ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } - 5 {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и
q→=3a→−b→q→=3a→−b→ size 12{ {q} cSup { size 8{ rightarrow } } =3 {a} cSup { size 8{ rightarrow } } - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} да бидат колинеарни, ако
a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и
b→b→ size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} не се колинеарни.
Решение.
За да бидат колинеарни векторите
p→p→ size 12{ {p} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и
q→q→ size 12{ {q} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} , потребно е
p→×q→=0→p→×q→=0→ size 12{ {p} cSup { size 8{ rightarrow } } times {q} cSup { size 8{ rightarrow } } = {0} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}. Односно,
(λa→−5b→)×(3a→−b→)=0→(λa→−5b→)×(3a→−b→)=0→ size 12{ \( λ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } - 5 {b} cSup { size 8{ rightarrow } } \) times \( 3 {a} cSup { size 8{ rightarrow } } - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } \) = {0} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}.
3λa→×a→−λa→×b→−15b→×a→+5b→×b→=0→3λa→×a→−λa→×b→−15b→×a→+5b→×b→=0→ size 12{3λ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } times {a} cSup { size 8{ rightarrow } } - λ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } times {b} cSup { size 8{ rightarrow } } - "15" {b} cSup { size 8{ rightarrow } } times {a} cSup { size 8{ rightarrow } } +5 {b} cSup { size 8{ rightarrow } } times {b} cSup { size 8{ rightarrow } } = {0} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}.
Бидејќи
a→×a→=0→a→×a→=0→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } times {a} cSup { size 8{ rightarrow } } = {0} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и
b→×b→=0→b→×b→=0→ size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } times {b} cSup { size 8{ rightarrow } } = {0} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}, имаме
−λa→×b→+15a→×b→=0→−λa→×b→+15a→×b→=0→ size 12{ - λ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } times {b} cSup { size 8{ rightarrow } } +"15" {a} cSup { size 8{ rightarrow } } times {b} cSup { size 8{ rightarrow } } = {0} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}.
(15−λ)a→×b→=0→(15−λ)a→×b→=0→ size 12{ \( "15" - λ \) {a} cSup { size 8{ rightarrow } } times {b} cSup { size 8{ rightarrow } } = {0} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}.
a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и
b→b→ size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} не се колинеарни вектори, па мора
15−λ=015−λ=0 size 12{"15" - λ=0} {}, т.е.
λ=15λ=15 size 12{λ="15"} {}.
2. Да се докаже дека ако
a→×b→+b→×c→+c→×a→=0→a→×b→+b→×c→+c→×a→=0→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } times {b} cSup { size 8{ rightarrow } } + {b} cSup { size 8{ rightarrow } } times {c} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } times {a} cSup { size 8{ rightarrow } } = {0} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}, тогаш
a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {},
b→b→ size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и
c→c→ size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се компланарни.
Решение.
a
→
×
b
→
+
b
→
×
c
→
+
c
→
×
a
→
=
a
→
×
b
→
+
b
→
×
c
→
+
c
→
×
a
→
=
size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } times {b} cSup { size 8{ rightarrow } } + {b} cSup { size 8{ rightarrow } } times {c} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } times {a} cSup { size 8{ rightarrow } } ={}} {}
(1)
=
a
→
×
b
→
−
c
→
×
b
→
+
c
→
×
a
→
=
=
a
→
×
b
→
−
c
→
×
b
→
+
c
→
×
a
→
=
size 12{ {}= {a} cSup { size 8{ rightarrow } } times {b} cSup { size 8{ rightarrow } } - {c} cSup { size 8{ rightarrow } } times {b} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } times {a} cSup { size 8{ rightarrow } } ={}} {}
(2)
=
(
a
→
−
c
→
)
×
b
→
+
c
→
×
a
→
=
=
(
a
→
−
c
→
)
×
b
→
+
c
→
×
a
→
=
size 12{ {}= \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } - {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) times {b} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } times {a} cSup { size 8{ rightarrow } } ={}} {}
(3)
=
(
a
→
−
c
→
)
×
b
→
+
c
→
×
a
→
−
a
→
×
a
→
=
=
(
a
→
−
c
→
)
×
b
→
+
c
→
×
a
→
−
a
→
×
a
→
=
size 12{ {}= \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } - {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) times {b} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } times {a} cSup { size 8{ rightarrow } } - {a} cSup { size 8{ rightarrow } } times {a} cSup { size 8{ rightarrow } } ={}} {}
=
(
a
→
−
c
→
)
×
b
→
−
(
a
→
−
c
→
)
×
a
→
=
=
(
a
→
−
c
→
)
×
b
→
−
(
a
→
−
c
→
)
×
a
→
=
size 12{ {}= \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } - {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) times {b} cSup { size 8{ rightarrow } } - \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } - {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) times {a} cSup { size 8{ rightarrow } } ={}} {}
(4)=(a→−c→)×(b→−a→)=0→=(a→−c→)×(b→−a→)=0→ size 12{ {}= \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } - {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) times \( {b} cSup { size 8{ rightarrow } } - {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \) = {0} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}.
Оттука следува дека мора
a→−c→a→−c→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } - {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и
b→−a→b→−a→ size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } - {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} да бидат колинеарни, т.е.
a→−c→=λ(b→−a→)a→−c→=λ(b→−a→) size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } - {c} cSup { size 8{ rightarrow } } =λ \( {b} cSup { size 8{ rightarrow } } - {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \) } {}.
a→−c→=λb→−λa→a→−c→=λb→−λa→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } - {c} cSup { size 8{ rightarrow } } =λ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } - λ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}.
(1+λ)a→−λb→−c→=0→(1+λ)a→−λb→−c→=0→ size 12{ \( 1+λ \) {a} cSup { size 8{ rightarrow } } - λ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } - {c} cSup { size 8{ rightarrow } } = {0} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}, од каде следува дека мора
a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {},
b→b→ size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и
c→c→ size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} да бидат компланарни.
3. Да се пресмета плоштината на паралелограмот конструиран над векторите:
a→=2i→+3j→−k→a→=2i→+3j→−k→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } =2 {i} cSup { size 8{ rightarrow } } +3 {j} cSup { size 8{ rightarrow } } - {k} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и
b→=−3i→−j→+k→b→=−3i→−j→+k→ size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } = - 3 {i} cSup { size 8{ rightarrow } } - {j} cSup { size 8{ rightarrow } } + {k} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}.
Решение.
Table 1
|
| Слика 1 |
a
→
=
2,3,
−
1
a
→
=
2,3,
−
1
size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } = left lbrace 2,3, - 1 right rbrace } {}
(5)
b
→
=
−
3,
−
1,1
b
→
=
−
3,
−
1,1
size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } = left lbrace - 3, - 1,1 right rbrace } {}
(6)a→×b→=∣3−1−11∣,∣−121−3∣,∣23−31∣=2,1,7a→×b→=∣3−1−11∣,∣−121−3∣,∣23−31∣=2,1,7 size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } times {b} cSup { size 8{ rightarrow } } = left lbrace lline matrix {
3 {} # - 1 {} ##
- 1 {} # 1{}
} rline , lline matrix {
- 1 {} # 2 {} ##
1 {} # - 3{}
} rline , lline matrix {
2 {} # 3 {} ##
- 3 {} # 1{}
} rline right rbrace = left lbrace 2,1,7 right rbrace } {}.
P=∣a→×b→∣=22+12+72=54=36P=∣a→×b→∣=22+12+72=54=36 size 12{P= lline {a} cSup { size 8{ rightarrow } } times {b} cSup { size 8{ rightarrow } } rline = sqrt {2 rSup { size 8{2} } +1 rSup { size 8{2} } +7"" lSup { size 8{2} } } = sqrt {"54"} =3 sqrt {6} } {}.
4. Да се пресмета плоштината на триаголникот ABC со дадени темиња:
A(4,−1,2)A(4,−1,2) size 12{A \( 4, - 1,2 \) } {},
B(−8,0,4)B(−8,0,4) size 12{B \( - 8,0,4 \) } {} и
C(8,2,3)C(8,2,3) size 12{C \( 8,2,3 \) } {}.
Решение.
P
ABC
=
1
2
P
ABDC
=
1
2
∣
AB
→
×
AC
→
∣
P
ABC
=
1
2
P
ABDC
=
1
2
∣
AB
→
×
AC
→
∣
size 12{P rSub { size 8{ ital "ABC"} } = { {1} over {2} } P rSub { size 8{ ital "ABDC"} } = { {1} over {2} } lline { ital "AB"} cSup { size 8{ rightarrow } } times { ital "AC"} cSup { size 8{ rightarrow } } rline } {}
(7)
AB
→
=
−
12
,
1,2
AB
→
=
−
12
,
1,2
size 12{ { ital "AB"} cSup { size 8{ rightarrow } } = left lbrace - "12",1,2 right rbrace } {}
(8)Table 2
|
| Слика 2 |
AB→×AC→=∣1231∣,∣2−1214∣,∣−12143∣=−5,20,−40AB→×AC→=∣1231∣,∣2−1214∣,∣−12143∣=−5,20,−40 size 12{ { ital "AB"} cSup { size 8{ rightarrow } } times { ital "AC"} cSup { size 8{ rightarrow } } = left lbrace lline matrix {
1 {} # 2 {} ##
3 {} # 1{}
} rline , lline matrix {
2 {} # - "12" {} ##
1 {} # 4{}
} rline , lline matrix {
- "12" {} # 1 {} ##
4 {} # 3{}
} rline right rbrace = left lbrace - 5,"20", - "40" right rbrace } {}.
PABC=12∣AB→×AC→∣=12(−5)2+202+(-40)2=25+400+16002=20252=452PABC=12∣AB→×AC→∣=12(−5)2+202+(-40)2=25+400+16002=20252=452 size 12{P rSub { size 8{ ital "ABC"} } = { {1} over {2} } lline { ital "AB"} cSup { size 8{ rightarrow } } times { ital "AC"} cSup { size 8{ rightarrow } } rline = { {1} over {2} } sqrt { \( - 5 \) rSup { size 8{2} } +20 rSup { size 8{2} } + \( "-40" \) "" lSup { size 8{2} } } = { { sqrt {"25"+4"00+1600"} } over {2} } = { { sqrt {"2025"} } over {2} } = { {"45"} over {2} } } {}.
5. Да се пресмета должината на висината повлечена од темето B кон страната AC во триаголникот ABC, ако неговите темиња се:
A(1,−1,2)A(1,−1,2) size 12{A \( 1, - 1,2 \) } {},
B(5,−6,2)B(5,−6,2) size 12{B \( 5, - 6,2 \) } {} и
C(1,3,−1)C(1,3,−1) size 12{C \( 1,3, - 1 \) } {}.
Решение.
Table 3
|
| Слика 3 |
P
ABC
=
1
2
∣
AB
→
×
AC
→
∣
P
ABC
=
1
2
∣
AB
→
×
AC
→
∣
size 12{P rSub { size 8{ ital "ABC"} } = { {1} over {2} } lline { ital "AB"} cSup { size 8{ rightarrow } } times { ital "AC"} cSup { size 8{ rightarrow } } rline } {}
(9)
AB
→
=
4,
−
5,0
AB
→
=
4,
−
5,0
size 12{ { ital "AB"} cSup { size 8{ rightarrow } } = left lbrace 4, - 5,0 right rbrace } {}
(10)
AC
→
=
0,4,
−
3
AC
→
=
0,4,
−
3
size 12{ { ital "AC"} cSup { size 8{ rightarrow } } = left lbrace 0,4, - 3 right rbrace } {}
(11)AB→×AC→=∣−504−3∣,∣04−30∣,∣4−504∣=15,12,16AB→×AC→=∣−504−3∣,∣04−30∣,∣4−504∣=15,12,16 size 12{ { ital "AB"} cSup { size 8{ rightarrow } } times { ital "AC"} cSup { size 8{ rightarrow } } = left lbrace lline matrix {
- 5 {} # 0 {} ##
4 {} # - 3{}
} rline , lline matrix {
0 {} # 4 {} ##
- 3 {} # 0{}
} rline , lline matrix {
4 {} # - 5 {} ##
0 {} # 4{}
} rline right rbrace = left lbrace "15","12","16" right rbrace } {}.
PABC=12∣AB→×AC→∣=225+144+2562=6252=252PABC=12∣AB→×AC→∣=225+144+2562=6252=252 size 12{P rSub { size 8{ ital "ABC"} } = { {1} over {2} } lline { ital "AB"} cSup { size 8{ rightarrow } } times { ital "AC"} cSup { size 8{ rightarrow } } rline = { { sqrt {"225"+1"44+256"} } over {2} } = { { sqrt {"625"} } over {2} } = { {"25"} over {2} } } {}.
Од друга страна, имаме
PABC=∣AC→∣⋅∣hb→∣2PABC=∣AC→∣⋅∣hb→∣2 size 12{P rSub { size 8{ ital "ABC"} } = { { lline { ital "AC"} cSup { size 8{ rightarrow } } rline cdot lline {h rSub { size 8{b} } } cSup { size 8{ rightarrow } } rline } over {2} } } {}, односно
∣hb→∣=2PABC∣AC→∣∣hb→∣=2PABC∣AC→∣ size 12{ lline {h rSub { size 8{b} } } cSup { size 8{ rightarrow } } rline = { {2P rSub { size 8{ ital "ABC"} } } over { lline { ital "AC"} cSup { size 8{ rightarrow } } rline } } } {}.
∣hb→∣=2⋅2520+16+9=2525=255=5∣hb→∣=2⋅2520+16+9=2525=255=5 size 12{ lline {h rSub { size 8{b} } } cSup { size 8{ rightarrow } } rline = { {2 cdot { {"25"} over {2} } } over { sqrt {"0+"1"6+9"} } } = { {"25"} over { sqrt {"25"} } } = { {"25"} over {5} } =5} {}.
