Skip to content Skip to navigation

Connexions

You are here: Home » Content » Векторски производ на два вектора

Navigation

Recently Viewed

This feature requires Javascript to be enabled.

Векторски производ на два вектора

Module by: Liljana Stefanovska. E-mail the author

User rating (How does the rating system work?)
Ratings

Ratings allow you to judge the quality of modules. If other users have ranked the module then its average rating is displayed below. Ratings are calculated on a scale from one star (Poor) to five stars (Excellent).

How to rate a module

Hover over the star that corresponds to the rating you wish to assign. Click on the star to add your rating. Your rating should be based on the quality of the content. You must have an account and be logged in to rate content.

:
(0 ratings)

Summary: Се дефинира векторски производ на два вектора и неговите својства. Cross product and properties

Note: Your browser may not currently support MathML. See our browser support page for additional details. You can always view the correct math in the PDF version.

ВЕКТОРСКИ ПРОИЗВОД НА ДВА ВЕКТОРА

За решавање на проблеми во кои се бара да се определи вектор кој ќе биде нормален на два дадени вектора, се дефинира друг вид на производ кој е векторска величина и се нарекува векторски производ и дефинира со:

Дефиницијa. Векторски производ на векторите aa size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и bb size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} е вектор cc size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} кој се означува со

c = a × b c = a × b size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } = {a} cSup { size 8{ rightarrow } } times {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}

и е определен со:

- должина | cc size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}| = | aa size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}|| bb size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}| sin size 12{∠} {}( aa size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}, bb size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}) ;

- правец кој е нормален на рамнината во која лежат векторите aa size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и bb size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}, односно

cc size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}aa size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и cc size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}bb size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {};

- насоката на cc size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}е таква што векторите aa size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}, bb size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и cc size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} образуваат десна тројка вектори, односно се однесуваат по правилото на десен винт (Сл. 1.8.).

Table 1
graphics1.jpg
Слика 1.8. Правило на десен винт

Својства на векторскиот производ

Од дефиницијата за векторски производ следуваат следните негови својства:

1. a×ba×b size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } times {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= b×ab×a size 12{ - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } times {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} (антикомутативен закон)

2. a×(b+c)=a×b+a×ca×(b+c)=a×b+a×c size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } times \( {b} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) = {a} cSup { size 8{ rightarrow } } times {b} cSup { size 8{ rightarrow } } + {a} cSup { size 8{ rightarrow } } times {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} (дистрибутивен закон)

3. λ( a×ba×b size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } times {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}) = (λ aa size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {})× bb size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= aa size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}× (λ bb size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}) (множење со скалар λ)

4. Ако a0a0 size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } <> {0} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и b0b0 size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } <> {0} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} тогаш,

a×b=0a×b=0 size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } times {b} cSup { size 8{ rightarrow } } = {0} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}aa size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и bb size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се колинеарни вектори ( aa size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}|| bb size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}).

5. Векторскиот производ меѓу единичните вектори е:

i×j=ki×j=k size 12{ {i} cSup { size 8{ rightarrow } } times {j} cSup { size 8{ rightarrow } } = {k} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}, j×k=ij×k=i size 12{ {j} cSup { size 8{ rightarrow } } times {k} cSup { size 8{ rightarrow } } = {i} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}, k×i=jk×i=j size 12{ {k} cSup { size 8{ rightarrow } } times {i} cSup { size 8{ rightarrow } } = {j} cSup { size 8{ rightarrow } } } {},

i×i=0i×i=0 size 12{ {i} cSup { size 8{ rightarrow } } times {i} cSup { size 8{ rightarrow } } = {0} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}, j×j=0j×j=0 size 12{ {j} cSup { size 8{ rightarrow } } times {j} cSup { size 8{ rightarrow } } = {0} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}, k×k=0k×k=0 size 12{ {k} cSup { size 8{ rightarrow } } times {k} cSup { size 8{ rightarrow } } = {0} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}.

Ако векторите aa size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и bb size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се зададени со своите координати

aa size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {x1, y1, z1} и bb size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {x2, y2, z2},

нивниот векторски производ изразен преку координати е

a×ba×b size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } times {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= (x1i+y1j+z1k)×(x2i+y2j+z2k)=(x1i+y1j+z1k)×(x2i+y2j+z2k)= size 12{ \( x rSub { size 8{1} } {i} cSup { size 8{ rightarrow } } +y rSub { size 8{1} } {j} cSup { size 8{ rightarrow } } +z rSub { size 8{1} } {k} cSup { size 8{ rightarrow } } \) times \( x rSub { size 8{2} } {i} cSup { size 8{ rightarrow } } +y rSub { size 8{2} } {j} cSup { size 8{ rightarrow } } +z rSub { size 8{2} } {k} cSup { size 8{ rightarrow } } \) ={}} {}

= x 1 x 2 ( i × i ) + x 1 y 2 ( i × j ) + x 1 z 2 ( i × k ) + + y 1 x 2 ( j × i ) + y 1 y 2 ( j × j ) + y 1 z 2 ( j × k ) + + z 1 x 2 ( k × i ) + z 1 y 2 ( k × j ) + z 1 z 2 ( k × k ) = = x 1 x 2 ( i × i ) + x 1 y 2 ( i × j ) + x 1 z 2 ( i × k ) + + y 1 x 2 ( j × i ) + y 1 y 2 ( j × j ) + y 1 z 2 ( j × k ) + + z 1 x 2 ( k × i ) + z 1 y 2 ( k × j ) + z 1 z 2 ( k × k ) = alignl { stack { size 12{ {}=x rSub { size 8{1} } x rSub { size 8{2} } \( {i} cSup { size 8{ rightarrow } } times {i} cSup { size 8{ rightarrow } } \) +x rSub { size 8{1} } y rSub { size 8{2} } \( {i} cSup { size 8{ rightarrow } } times {j} cSup { size 8{ rightarrow } } \) +x rSub { size 8{1} } z rSub { size 8{2} } \( {i} cSup { size 8{ rightarrow } } times k \) +{}} {} # +y rSub { size 8{1} } x rSub { size 8{2} } \( {j} cSup { size 8{ rightarrow } } times {i} cSup { size 8{ rightarrow } } \) +y rSub { size 8{1} } y rSub { size 8{2} } \( {j} cSup { size 8{ rightarrow } } times {j} cSup { size 8{ rightarrow } } \) +y rSub { size 8{1} } z rSub { size 8{2} } \( {j} cSup { size 8{ rightarrow } } times k \) +{} {} # +z rSub { size 8{1} } x rSub { size 8{2} } \( {k} cSup { size 8{ rightarrow } } times {i} cSup { size 8{ rightarrow } } \) +z rSub { size 8{1} } y rSub { size 8{2} } \( {k} cSup { size 8{ rightarrow } } times {j} cSup { size 8{ rightarrow } } \) +z rSub { size 8{1} } z rSub { size 8{2} } \( {k} cSup { size 8{ rightarrow } } times {k} cSup { size 8{ rightarrow } } \) ={} {} } } {}

= x 1 y 2 k + x 1 z 2 ( j ) + y 1 x 2 ( k ) + y 1 z 2 i + z 1 x 2 j + z 1 y 2 ( i ) = = x 1 y 2 k + x 1 z 2 ( j ) + y 1 x 2 ( k ) + y 1 z 2 i + z 1 x 2 j + z 1 y 2 ( i ) = size 12{ {}=x rSub { size 8{1} } y rSub { size 8{2} } {k} cSup { size 8{ rightarrow } } +x rSub { size 8{1} } z rSub { size 8{2} } \( - {j} cSup { size 8{ rightarrow } } \) +y rSub { size 8{1} } x rSub { size 8{2} } \( { - k} cSup { size 8{ rightarrow } } \) +y rSub { size 8{1} } z rSub { size 8{2} } {i} cSup { size 8{ rightarrow } } +z rSub { size 8{1} } x rSub { size 8{2} } {j} cSup { size 8{ rightarrow } } +z rSub { size 8{1} } y rSub { size 8{2} } \( - {i} cSup { size 8{ rightarrow } } \) ={}} {}

= ( y 1 z 2 z 1 y 2 ) i + ( z 1 x 2 x 1 z 2 ) j + ( x 1 y 2 y 1 x 2 ) k = = ( y 1 z 2 z 1 y 2 ) i + ( z 1 x 2 x 1 z 2 ) j + ( x 1 y 2 y 1 x 2 ) k = size 12{ {}= \( y rSub { size 8{1} } z rSub { size 8{2} } - z rSub { size 8{1} } y rSub { size 8{2} } \) {i} cSup { size 8{ rightarrow } } + \( z rSub { size 8{1} } x rSub { size 8{2} } - x rSub { size 8{1} } z rSub { size 8{2} } \) {j} cSup { size 8{ rightarrow } } + \( x rSub { size 8{1} } y rSub { size 8{2} } - y rSub { size 8{1} } x rSub { size 8{2} } \) {k} cSup { size 8{ rightarrow } } ={}} {}

=y1z1y2z2i+z1x1z2x2j+x1y1x2y2k=y1z1y2z2i+z1x1z2x2j+x1y1x2y2k size 12{ {}= lline matrix { y rSub { size 8{1} } {} # z rSub { size 8{1} } {} ## y rSub { size 8{2} } {} # z rSub { size 8{2} } {} } rline {i} cSup { size 8{ rightarrow } } + lline matrix { z rSub { size 8{1} } {} # x rSub { size 8{1} } {} ## z rSub { size 8{2} } {} # x rSub { size 8{2} } {} } rline {j} cSup { size 8{ rightarrow } } + lline matrix { x rSub { size 8{1} } {} # y rSub { size 8{1} } {} ## x rSub { size 8{2} } {} # y rSub { size 8{2} } {} } rline {k} cSup { size 8{ rightarrow } } " "} {},

односно

a×ba×b size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } times {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}=y1z1y2z2, z1x1z2x2, x1y1x2y2=y1z1y2z2, z1x1z2x2, x1y1x2y2 size 12{ {}= left lbrace lline matrix { y rSub { size 8{1} } {} # z rSub { size 8{1} } {} ## y rSub { size 8{2} } {} # z rSub { size 8{2} } {} } rline ", " lline matrix { z rSub { size 8{1} } {} # x rSub { size 8{1} } {} ## z rSub { size 8{2} } {} # x rSub { size 8{2} } {} } rline ", " lline matrix { x rSub { size 8{1} } {} # y rSub { size 8{1} } {} ## x rSub { size 8{2} } {} # y rSub { size 8{2} } {} } rline right rbrace " "} {},

или изразен преку троредна детермината

a×ba×b size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } times {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= ijkx1y1z1x2y2z2ijkx1y1z1x2y2z2 size 12{ lline matrix { {i} cSup { size 8{ rightarrow } } {} # {j} cSup { size 8{ rightarrow } } {} # {k} cSup { size 8{ rightarrow } } {} ## x rSub { size 8{1} } {} # y rSub { size 8{1} } {} # z rSub { size 8{1} } {} ## x rSub { size 8{2} } {} # y rSub { size 8{2} } {} # z rSub { size 8{2} } {} } rline } {}.

6. Плоштината на паралелограмот образуван од векторите aa size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и bb size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} е еднаква со интензитетот на нивниот векторски производ

Pпаралеограм= | a×ba×b size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } times {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}|,

бидејќи висината на паралелограмот е h = | bb size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}| sin size 12{∠} {}( aa size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}, bb size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}), (Сл. 1.9) .

Table 2
graphics2.jpg
Слика 1.9. Висина во паралелограм

7. Плоштината P на триаголникот чии темиња се во три точки со зададени координати A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) и C(x3, y3, z3) е

P = 12AB×AC12AB×AC size 12{ { {1} over {2} } { \lline ital "AB"} cSup { size 8{ rightarrow } } times { ital "AC" \lline } cSup { size 8{ rightarrow } } } {}.

Забелешка: Двата вектора кои го образуваат паралелограмот (триаголникот) треба да имаат почеток во иста точка.

Пример 1. Ако aa size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {2, -1, 3}, bb size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {0, 1, 7} и cc size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {1, 4, 5}, да се најде

(b×c)×(a×b)(b×c)×(a×b) size 12{ \( {b} cSup { size 8{ rightarrow } } times {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) times \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } times {b} cSup { size 8{ rightarrow } } \) } {}?

Решение.Најпрво се определуваат координатите на векторите b×cb×c size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } times {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и a×ba×b size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } times {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}.

b×cb×c size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } times {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= ijk017145=5i+7jk28i=23i+7jkijk017145=5i+7jk28i=23i+7jk size 12{ lline ` matrix { {i} cSup { size 8{ rightarrow } } {} # {j} cSup { size 8{ rightarrow } } {} # {k} cSup { size 8{ rightarrow } } {} ## 0 {} # 1 {} # 7 {} ## 1 {} # 4 {} # 5{} } ` rline `=5 {i} cSup { size 8{ rightarrow } } +7 {j} cSup { size 8{ rightarrow } } - {k} cSup { size 8{ rightarrow } } - "28" {i} cSup { size 8{ rightarrow } } = - "23" {i} cSup { size 8{ rightarrow } } +7 {j} cSup { size 8{ rightarrow } } - {k} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {-23, 7, -1},

a×ba×b size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } times {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= ijk213017=7i+2k14j3i=10i14j+2k={10,14,2}ijk213017=7i+2k14j3i=10i14j+2k={10,14,2} size 12{ = lline ` matrix { {i} cSup { size 8{ rightarrow } } {} # {j} cSup { size 8{ rightarrow } } {} # {k} cSup { size 8{ rightarrow } } {} ## 2 {} # - 1 {} # 3 {} ## 0 {} # 1 {} # 7{} } ` rline = - 7 {i} cSup { size 8{ rightarrow } } +2 {k} cSup { size 8{ rightarrow } } - "14" {j} cSup { size 8{ rightarrow } } - 3 {i} cSup { size 8{ rightarrow } } = - "10" {i} cSup { size 8{ rightarrow } } - "14" {j} cSup { size 8{ rightarrow } } +2 {k} cSup { size 8{ rightarrow } } = lbrace - "10", - "14",2 rbrace } {}.

Бараниот производ е вектор чии координати се пресметуваат со детерминантата

(b×c)×(a×b)(b×c)×(a×b) size 12{ \( {b} cSup { size 8{ rightarrow } } times {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) times \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } times {b} cSup { size 8{ rightarrow } } \) } {} = ijk237110142=2ijk2371571=ijk237110142=2ijk2371571= size 12{ lline ` matrix { {i} cSup { size 8{ rightarrow } } {} # {j} cSup { size 8{ rightarrow } } {} # {k} cSup { size 8{ rightarrow } } {} ## - "23" {} # 7 {} # - 1 {} ## - "10" {} # - "14" {} # 2{} } ` rline `=2 lline ` matrix { {i} cSup { size 8{ rightarrow } } {} # {j} cSup { size 8{ rightarrow } } {} # {k} cSup { size 8{ rightarrow } } {} ## - "23" {} # 7 {} # - 1 {} ## - 5 {} # - 7 {} # 1{} } ` rline ={}} {}

= 2( 7i+161k+5j+35k+23j7i)=2(0i+28j+196k)={0,56,392}.7i+161k+5j+35k+23j7i)=2(0i+28j+196k)={0,56,392}. size 12{7 {i} cSup { size 8{ rightarrow } } +"161" {k} cSup { size 8{ rightarrow } } +5 {j} cSup { size 8{ rightarrow } } +"35" {k} cSup { size 8{ rightarrow } } +"23" {j} cSup { size 8{ rightarrow } } - 7 {i} cSup { size 8{ rightarrow } } \) =2 \( 0 {i} cSup { size 8{ rightarrow } } +"28" {j} cSup { size 8{ rightarrow } } +"196" {k} cSup { size 8{ rightarrow } } \) = lbrace 0,"56","392" rbrace "." } {}

Content actions

Give Feedback:

E-mail the module author | Rate module ( How does the rating system work?)

Rating system

Ratings

Ratings allow you to judge the quality of modules. If other users have ranked the module then its average rating is displayed below. Ratings are calculated on a scale from one star (Poor) to five stars (Excellent).

How to rate a module

Hover over the star that corresponds to the rating you wish to assign. Click on the star to add your rating. Your rating should be based on the quality of the content. You must have an account and be logged in to rate content.

(0 ratings)

Download:

Add module to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections directly in Connexions. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need a Connexions account to use 'My Favorites'.

| A lens (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of Connexions content. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see Connexions through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to Connexions materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual Connexions member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks