Од дефиницијата за векторски производ следуваат следните негови својства:
1.
a→×b→a→×b→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } times {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}=
−b→×a→−b→×a→ size 12{ - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } times {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} (антикомутативен закон)
2. a→×(b→+c→)=a→×b→+a→×c→a→×(b→+c→)=a→×b→+a→×c→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } times \( {b} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) = {a} cSup { size 8{ rightarrow } } times {b} cSup { size 8{ rightarrow } } + {a} cSup { size 8{ rightarrow } } times {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}(дистрибутивен закон)
3. λ(
a→×b→a→×b→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } times {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}) = (λ
a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {})×
b→b→ size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}=
a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}× (λ
b→b→ size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}) (множење со скалар λ)
4. Ако
a→≠0→a→≠0→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } <> {0} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и
b→≠0→b→≠0→ size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } <> {0} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} тогаш,
a→×b→=0→a→×b→=0→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } times {b} cSup { size 8{ rightarrow } } = {0} cSup { size 12{ rightarrow } } } {}⇔a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и
b→b→ size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се колинеарни вектори (
a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}||
b→b→ size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}).
5. Векторскиот производ меѓу единичните вектори е:
i→×j→=k→i→×j→=k→ size 12{ {i} cSup { size 8{ rightarrow } } times {j} cSup { size 8{ rightarrow } } = {k} cSup { size 8{ rightarrow } } } {},
j→×k→=i→j→×k→=i→ size 12{ {j} cSup { size 8{ rightarrow } } times {k} cSup { size 8{ rightarrow } } = {i} cSup { size 8{ rightarrow } } } {},
k→×i→=j→k→×i→=j→ size 12{ {k} cSup { size 8{ rightarrow } } times {i} cSup { size 8{ rightarrow } } = {j} cSup { size 8{ rightarrow } } } {},
i→×i→=0→i→×i→=0→ size 12{ {i} cSup { size 8{ rightarrow } } times {i} cSup { size 8{ rightarrow } } = {0} cSup { size 8{ rightarrow } } } {},
j→×j→=0→j→×j→=0→ size 12{ {j} cSup { size 8{ rightarrow } } times {j} cSup { size 8{ rightarrow } } = {0} cSup { size 8{ rightarrow } } } {},
k→×k→=0→k→×k→=0→ size 12{ {k} cSup { size 8{ rightarrow } } times {k} cSup { size 8{ rightarrow } } = {0} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}.
Ако векторите
a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и
b→b→ size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се зададени со своите координати
a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {x1, y1, z1} и b→b→ size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {x2, y2, z2},
нивниот векторски производ изразен преку координати е
a→×b→a→×b→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } times {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}=
(x1i→+y1j→+z1k→)×(x2i→+y2j→+z2k→)=(x1i→+y1j→+z1k→)×(x2i→+y2j→+z2k→)= size 12{ \( x rSub { size 8{1} } {i} cSup { size 8{ rightarrow } } +y rSub { size 8{1} } {j} cSup { size 8{ rightarrow } } +z rSub { size 8{1} } {k} cSup { size 8{ rightarrow } } \) times \( x rSub { size 8{2} } {i} cSup { size 8{ rightarrow } } +y rSub { size 8{2} } {j} cSup { size 8{ rightarrow } } +z rSub { size 8{2} } {k} cSup { size 8{ rightarrow } } \) ={}} {}
=
x
1
x
2
(
i
→
×
i
→
)
+
x
1
y
2
(
i
→
×
j
→
)
+
x
1
z
2
(
i
→
×
k
)
+
+
y
1
x
2
(
j
→
×
i
→
)
+
y
1
y
2
(
j
→
×
j
→
)
+
y
1
z
2
(
j
→
×
k
)
+
+
z
1
x
2
(
k
→
×
i
→
)
+
z
1
y
2
(
k
→
×
j
→
)
+
z
1
z
2
(
k
→
×
k
→
)
=
=
x
1
x
2
(
i
→
×
i
→
)
+
x
1
y
2
(
i
→
×
j
→
)
+
x
1
z
2
(
i
→
×
k
)
+
+
y
1
x
2
(
j
→
×
i
→
)
+
y
1
y
2
(
j
→
×
j
→
)
+
y
1
z
2
(
j
→
×
k
)
+
+
z
1
x
2
(
k
→
×
i
→
)
+
z
1
y
2
(
k
→
×
j
→
)
+
z
1
z
2
(
k
→
×
k
→
)
=
alignl { stack {
size 12{ {}=x rSub { size 8{1} } x rSub { size 8{2} } \( {i} cSup { size 8{ rightarrow } } times {i} cSup { size 8{ rightarrow } } \) +x rSub { size 8{1} } y rSub { size 8{2} } \( {i} cSup { size 8{ rightarrow } } times {j} cSup { size 8{ rightarrow } } \) +x rSub { size 8{1} } z rSub { size 8{2} } \( {i} cSup { size 8{ rightarrow } } times k \) +{}} {} #
+y rSub { size 8{1} } x rSub { size 8{2} } \( {j} cSup { size 8{ rightarrow } } times {i} cSup { size 8{ rightarrow } } \) +y rSub { size 8{1} } y rSub { size 8{2} } \( {j} cSup { size 8{ rightarrow } } times {j} cSup { size 8{ rightarrow } } \) +y rSub { size 8{1} } z rSub { size 8{2} } \( {j} cSup { size 8{ rightarrow } } times k \) +{} {} #
+z rSub { size 8{1} } x rSub { size 8{2} } \( {k} cSup { size 8{ rightarrow } } times {i} cSup { size 8{ rightarrow } } \) +z rSub { size 8{1} } y rSub { size 8{2} } \( {k} cSup { size 8{ rightarrow } } times {j} cSup { size 8{ rightarrow } } \) +z rSub { size 8{1} } z rSub { size 8{2} } \( {k} cSup { size 8{ rightarrow } } times {k} cSup { size 8{ rightarrow } } \) ={} {}
} } {}
=
x
1
y
2
k
→
+
x
1
z
2
(
−
j
→
)
+
y
1
x
2
(
−
k
→
)
+
y
1
z
2
i
→
+
z
1
x
2
j
→
+
z
1
y
2
(
−
i
→
)
=
=
x
1
y
2
k
→
+
x
1
z
2
(
−
j
→
)
+
y
1
x
2
(
−
k
→
)
+
y
1
z
2
i
→
+
z
1
x
2
j
→
+
z
1
y
2
(
−
i
→
)
=
size 12{ {}=x rSub { size 8{1} } y rSub { size 8{2} } {k} cSup { size 8{ rightarrow } } +x rSub { size 8{1} } z rSub { size 8{2} } \( - {j} cSup { size 8{ rightarrow } } \) +y rSub { size 8{1} } x rSub { size 8{2} } \( { - k} cSup { size 8{ rightarrow } } \) +y rSub { size 8{1} } z rSub { size 8{2} } {i} cSup { size 8{ rightarrow } } +z rSub { size 8{1} } x rSub { size 8{2} } {j} cSup { size 8{ rightarrow } } +z rSub { size 8{1} } y rSub { size 8{2} } \( - {i} cSup { size 8{ rightarrow } } \) ={}} {}
=
(
y
1
z
2
−
z
1
y
2
)
i
→
+
(
z
1
x
2
−
x
1
z
2
)
j
→
+
(
x
1
y
2
−
y
1
x
2
)
k
→
=
=
(
y
1
z
2
−
z
1
y
2
)
i
→
+
(
z
1
x
2
−
x
1
z
2
)
j
→
+
(
x
1
y
2
−
y
1
x
2
)
k
→
=
size 12{ {}= \( y rSub { size 8{1} } z rSub { size 8{2} } - z rSub { size 8{1} } y rSub { size 8{2} } \) {i} cSup { size 8{ rightarrow } } + \( z rSub { size 8{1} } x rSub { size 8{2} } - x rSub { size 8{1} } z rSub { size 8{2} } \) {j} cSup { size 8{ rightarrow } } + \( x rSub { size 8{1} } y rSub { size 8{2} } - y rSub { size 8{1} } x rSub { size 8{2} } \) {k} cSup { size 8{ rightarrow } } ={}} {}
=∣y1z1y2z2∣i→+∣z1x1z2x2∣j→+∣x1y1x2y2∣k→=∣y1z1y2z2∣i→+∣z1x1z2x2∣j→+∣x1y1x2y2∣k→ size 12{ {}= lline matrix {
y rSub { size 8{1} } {} # z rSub { size 8{1} } {} ##
y rSub { size 8{2} } {} # z rSub { size 8{2} } {}
} rline {i} cSup { size 8{ rightarrow } } + lline matrix {
z rSub { size 8{1} } {} # x rSub { size 8{1} } {} ##
z rSub { size 8{2} } {} # x rSub { size 8{2} } {}
} rline {j} cSup { size 8{ rightarrow } } + lline matrix {
x rSub { size 8{1} } {} # y rSub { size 8{1} } {} ##
x rSub { size 8{2} } {} # y rSub { size 8{2} } {}
} rline {k} cSup { size 8{ rightarrow } } " "} {},
односно
a→×b→a→×b→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } times {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}=∣y1z1y2z2∣, ∣z1x1z2x2∣, ∣x1y1x2y2∣=∣y1z1y2z2∣, ∣z1x1z2x2∣, ∣x1y1x2y2∣ size 12{ {}= left lbrace lline matrix {
y rSub { size 8{1} } {} # z rSub { size 8{1} } {} ##
y rSub { size 8{2} } {} # z rSub { size 8{2} } {}
} rline ", " lline matrix {
z rSub { size 8{1} } {} # x rSub { size 8{1} } {} ##
z rSub { size 8{2} } {} # x rSub { size 8{2} } {}
} rline ", " lline matrix {
x rSub { size 8{1} } {} # y rSub { size 8{1} } {} ##
x rSub { size 8{2} } {} # y rSub { size 8{2} } {}
} rline right rbrace " "} {},
или изразен преку троредна детерминанта
a→×b→a→×b→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } times {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}=
∣i→j→k→x1y1z1x2y2z2∣∣i→j→k→x1y1z1x2y2z2∣ size 12{ lline matrix {
{i} cSup { size 8{ rightarrow } } {} # {j} cSup { size 8{ rightarrow } } {} # {k} cSup { size 8{ rightarrow } } {} ##
x rSub { size 8{1} } {} # y rSub { size 8{1} } {} # z rSub { size 8{1} } {} ##
x rSub { size 8{2} } {} # y rSub { size 8{2} } {} # z rSub { size 8{2} } {}
} rline } {}.
6. Плоштината на паралелограмот образуван од векторите
a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и
b→b→ size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} е еднаква со интензитетот на нивниот векторски производ
Pпаралеограм= |
a→×b→a→×b→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } times {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}|,
бидејќи висината на паралелограмот е h = |
a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}| sin
∠∠ size 12{∠} {}(
a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {},
b→b→ size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}), (Сл. 1.9) .
Table 2
|
| Слика 1.9. Висина во паралелограм |
7. Плоштината P на триаголникот чии темиња се во три точки со зададени координати A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) и C(x3, y3, z3) е
P =
12∣AB→×AC∣→12∣AB→×AC∣→ size 12{ { {1} over {2} } { \lline ital "AB"} cSup { size 8{ rightarrow } } times { ital "AC" \lline } cSup { size 8{ rightarrow } } } {}.
Забелешка: Двата вектора кои го образуваат паралелограмот (триаголникот) треба да имаат почеток во иста точка.
Пример 1. Ако
a→a→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {2, -1, 3}, b→b→ size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {0, 1, 7} и c→c→ size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {1, 4, 5}, да се најде
(b→×c→)×(a→×b→)(b→×c→)×(a→×b→) size 12{ \( {b} cSup { size 8{ rightarrow } } times {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) times \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } times {b} cSup { size 8{ rightarrow } } \) } {}?
Решение.Најпрво се определуваат координатите на векторите
b→×c→b→×c→ size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } times {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и
a→×b→a→×b→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } times {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}.
b→×c→b→×c→ size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } times {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}=
∣i→j→k→017145∣=5i→+7j→−k→−28i→=−23i→+7j→−k→∣i→j→k→017145∣=5i→+7j→−k→−28i→=−23i→+7j→−k→ size 12{ lline ` matrix {
{i} cSup { size 8{ rightarrow } } {} # {j} cSup { size 8{ rightarrow } } {} # {k} cSup { size 8{ rightarrow } } {} ##
0 {} # 1 {} # 7 {} ##
1 {} # 4 {} # 5{}
} ` rline `=5 {i} cSup { size 8{ rightarrow } } +7 {j} cSup { size 8{ rightarrow } } - {k} cSup { size 8{ rightarrow } } - "28" {i} cSup { size 8{ rightarrow } } = - "23" {i} cSup { size 8{ rightarrow } } +7 {j} cSup { size 8{ rightarrow } } - {k} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {-23, 7, -1},
a→×b→a→×b→ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } times {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}=
∣i→j→k→2−13017∣=−7i→+2k→−14j→−3i→=−10i→−14j→+2k→={−10,−14,2}∣i→j→k→2−13017∣=−7i→+2k→−14j→−3i→=−10i→−14j→+2k→={−10,−14,2} size 12{ = lline ` matrix {
{i} cSup { size 8{ rightarrow } } {} # {j} cSup { size 8{ rightarrow } } {} # {k} cSup { size 8{ rightarrow } } {} ##
2 {} # - 1 {} # 3 {} ##
0 {} # 1 {} # 7{}
} ` rline = - 7 {i} cSup { size 8{ rightarrow } } +2 {k} cSup { size 8{ rightarrow } } - "14" {j} cSup { size 8{ rightarrow } } - 3 {i} cSup { size 8{ rightarrow } } = - "10" {i} cSup { size 8{ rightarrow } } - "14" {j} cSup { size 8{ rightarrow } } +2 {k} cSup { size 8{ rightarrow } } = lbrace - "10", - "14",2 rbrace } {}.
Бараниот производ е вектор чии координати се пресметуваат со детерминантата
(b→×c→)×(a→×b→)(b→×c→)×(a→×b→) size 12{ \( {b} cSup { size 8{ rightarrow } } times {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) times \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } times {b} cSup { size 8{ rightarrow } } \) } {} =
∣i→j→k→−237−1−10−142∣=2∣i→j→k→−237−1−5−71∣=∣i→j→k→−237−1−10−142∣=2∣i→j→k→−237−1−5−71∣= size 12{ lline ` matrix {
{i} cSup { size 8{ rightarrow } } {} # {j} cSup { size 8{ rightarrow } } {} # {k} cSup { size 8{ rightarrow } } {} ##
- "23" {} # 7 {} # - 1 {} ##
- "10" {} # - "14" {} # 2{}
} ` rline `=2 lline ` matrix {
{i} cSup { size 8{ rightarrow } } {} # {j} cSup { size 8{ rightarrow } } {} # {k} cSup { size 8{ rightarrow } } {} ##
- "23" {} # 7 {} # - 1 {} ##
- 5 {} # - 7 {} # 1{}
} ` rline ={}} {}
= 2(
7i→+161k→+5j→+35k→+23j→−7i→)=2(0i→+28j→+196k→)={0,56,392}.7i→+161k→+5j→+35k→+23j→−7i→)=2(0i→+28j→+196k→)={0,56,392}. size 12{7 {i} cSup { size 8{ rightarrow } } +"161" {k} cSup { size 8{ rightarrow } } +5 {j} cSup { size 8{ rightarrow } } +"35" {k} cSup { size 8{ rightarrow } } +"23" {j} cSup { size 8{ rightarrow } } - 7 {i} cSup { size 8{ rightarrow } } \) =2 \( 0 {i} cSup { size 8{ rightarrow } } +"28" {j} cSup { size 8{ rightarrow } } +"196" {k} cSup { size 8{ rightarrow } } \) = lbrace 0,"56","392" rbrace "." } {} ◄
Пример 2. Во триаголник со темиња A(1, -1, 2), B(5, -6, 2), C(1, 3, -1) да се пресмета должината на висината h спуштена од темето B кон страната AC.
Решение. Плоштината на триаголникот ABC ќе се пресмета со формулата
P=AC¯⋅h2P=AC¯⋅h2 size 12{P= { { {overline { ital "AC"}} cdot h} over {2} } } {},
но и преку векторскиот производ (особина 7)
P =
12∣AB→×AC∣→12∣AB→×AC∣→ size 12{ { {1} over {2} } { \lline ital "AB"} cSup { size 8{ rightarrow } } times { ital "AC" \lline } cSup { size 8{ rightarrow } } } {},
од каде следува дека
h=2PAC¯=∣AB→×AC→∣AC¯h=2PAC¯=∣AB→×AC→∣AC¯ size 12{h= { {2P} over { {overline { bold "AC"}} } } = { { \lline { ital "AB"} cSup { size 8{ rightarrow } } times { ital "AC"} cSup { size 8{ rightarrow } } \lline } over { {overline { bold "AC"}} } } } {}.
Ги пресметуваме координатите на векторите кои се страни во триаголникот и имаат заеднички почеток во темето A:
AB→AB→ size 12{ { ital "AB"} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {5 - 1, -6 - (-1), 2 - 2} = {4, -5, 0},
AC→AC→ size 12{ { ital "AC"} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {1 - 1, 3 -(-1), -1 - 2} = {0, 4, -3}.
Векторскиот производ е
AB→×AC→AB→×AC→ size 12{ { ital "AB"} cSup { size 8{ rightarrow } } times { ital "AC"} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} =
∣i→j→k→4−5004−3∣∣i→j→k→4−5004−3∣ size 12{ lline matrix {
{i} cSup { size 8{ rightarrow } } {} # {j} cSup { size 8{ rightarrow } } {} # {k} cSup { size 8{ rightarrow } } {} ##
4 {} # - 5 {} # 0 {} ##
0 {} # 4 {} # - 3{}
} rline } {} = 15i→i→ size 12{ {i} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}+ 16
k→k→ size 12{ {k} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}+ 12
j→j→ size 12{ {j} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {15, 12, 16}
и има интензитет
∣
AB
→
×
AC
∣
→
=
15
2
+
12
2
+
16
2
=
225
+
144
+
256
=
625
=
25
.
∣
AB
→
×
AC
∣
→
=
15
2
+
12
2
+
16
2
=
225
+
144
+
256
=
625
=
25
.
size 12{ { \lline ital "AB"} cSup { size 8{ rightarrow } } times { ital "AC" \lline } cSup { size 8{ rightarrow } } = sqrt {"15" rSup { size 8{2} } +"12" rSup { size 8{2} } +"16" rSup { size 8{2} } } = sqrt {"225"+"144"+"256"} = sqrt {"625"} ="25" "." } {}
Заменувајќи ги вредностите во изразот за пресметување на висината се добива
h=∣AB→×AC∣→AC¯=250+42+(−3)2=2516+9=255=5.h=∣AB→×AC∣→AC¯=250+42+(−3)2=2516+9=255=5. size 12{h= { { { \lline ital "AB"} cSup { size 8{ rightarrow } } times { ital "AC" \lline } cSup { size 8{ rightarrow } } } over { {overline { bold "AC"}} } } = { {"25"} over { sqrt {0+4 rSup { size 8{2} } + \( - 3 \) rSup { size 8{2} } } } } = { {"25"} over { sqrt {"16"+9} } } = { {"25"} over {5} } =5 "." } {} ◄