Skip to content Skip to navigation Skip to collection information

OpenStax-CNX

You are here: Home » Content » Векторска алгебра » Мешан производ на три вектори

Navigation

Recently Viewed

This feature requires Javascript to be enabled.
 

Мешан производ на три вектори

Module by: Liljana Stefanovska. E-mail the author

Summary: Се воведува мешан производ на три вектори и негови својства. Triple scalar product and properties

МЕШАН ПРОИЗВОД НА ТРИ ВЕКТОРИ

Мешаниот производ на три вектора е скалар кој се дефинира со следната дефини­ција:

Дефиниција.Мешан производ на векторите aa size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}, bb size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и cc size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}е скалар кој се означува со (a,b,c)(a,b,c) size 12{ \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) } {} и се пресметува со

(a,b,c)(a,b,c) size 12{ \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) } {} = a(b×c)a(b×c) size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot \( {b} cSup { size 8{ rightarrow } } times {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) } {}= (a×b)c(a×b)c size 12{ \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } times {b} cSup { size 8{ rightarrow } } \) cdot {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}.

Својства на мешаниот производ

Мешаниот производ ги има следниве својства:

  1. Ако векторите се дадени со своите координати

aa size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {x1, y1, z1}, bb size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {x2, y2, z2}, cc size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {x3, y3, z3},

тогаш мешаниот производ се пресметува преку троредната детерминанта

(a,b,c)(a,b,c) size 12{ \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) } {} = x1y1z1x2y2z2x3y3z3x1y1z1x2y2z2x3y3z3 size 12{ lline matrix { x rSub { size 8{1} } {} # y rSub { size 8{1} } {} # z rSub { size 8{1} } {} ## x rSub { size 8{2} } {} # y rSub { size 8{2} } {} # z rSub { size 8{2} } {} ## x rSub { size 8{3} } {} # y rSub { size 8{3} } {} # z rSub { size 8{3} } {} } rline } {}.

Бидејќи мешаниот производ се пресметува преку детерминанта од трет ред, неговите својства ќе следуваат од својствата на детерминатите.

Затоа:

2. Важи антикомутативниот закон т.е се менува знакот на мешаниот производ ако два множители си ги сменат местата и затоа

(a,b,c)=(a,c,b)(a,b,c)=(a,c,b) size 12{ \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) = - \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } \) } {};

3. Важи дистрибутивниот закон

(a+b,c,d)=(a,c,d)+(b,c,d)(a+b,c,d)=(a,c,d)+(b,c,d) size 12{ \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } + {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } , {d} cSup { size 8{ rightarrow } } \) = \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } , {d} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } , {d} cSup { size 8{ rightarrow } } \) } {};

4. Множење со скалар λλ size 12{λ} {}

λ(a,b,c)=(λa,b,c)=(a,λb,c)=(a,b,λc)λ(a,b,c)=(λa,b,c)=(a,λb,c)=(a,b,λc) size 12{λ \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) = \( λ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) = \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } ,λ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) = \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {λc} cSup { size 8{ rightarrow } } \) } {};

5. Ако било кои два од трите вектори во мешаниот производ се колинеарни (паралелни), тогаш (a,b,c)=0(a,b,c)=0 size 12{ \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) =0} {};

6. Ако трите вектори се компланарни (лежат во иста рамнина), тогаш

(a,b,c)=0(a,b,c)=0 size 12{ \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) =0} {};

7. Геометриско толкување на мешаниот производ: апсолутната вредност од мешаниот производ е волумен на паралелопипед образуван од трите вектори со заеднички почеток, а секој вектор претставува раб на така образуваниот паралелопипед. Затоа волуменот на паралелопипед со рабови aa size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}, bb size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и cc size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} е

Vпаралелопипед=(a,b,c)Vпаралелопипед=(a,b,c) size 12{V rSub { size 8{ ital "паралелопипед"} } = \lline \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) \lline } {};

8. Волуменот на тристрана пирамида образувана од векторите aa size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}, bb size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и cc size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} е

Vпирамида=16Vпирамида=16 size 12{V rSub { size 8{ ital "пирамида"} } = { {1} over {6} } } {}(a,b,c)(a,b,c) size 12{ \lline \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) \lline } {};

Пример 1

Дадени се векторите aa size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {3, 2, 1}, bb size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {1, 1, 2} и cc size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {1, 3, 5}. Да се пресмета:

  1. a) Волуменот на паралелопипедот образуван од овие вектори;

б) Плоштината на ѕидот образуван од векторите aa size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и cc size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}.

Решение

а) Се пресметува мешаниот производ

(a,b,c)(a,b,c) size 12{ \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) } {}= 321112135=9+3+41618=9321112135=9+3+41618=9 size 12{ lline ` matrix { 3 {} # 2 {} # 1 {} ## 1 {} # 1 {} # 2 {} ## 1 {} # 3 {} # 5{} } ` rline =9+3+4 - 1 - 6 - "18"= - 9} {}.

Волуменот на паралелопипедот е

Vпаралелопипед=(a,b,c)=9Vпаралелопипед=(a,b,c)=9 size 12{V rSub { size 8{ ital "паралелопипед"} } = \lline \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) \lline = \lline - 9 \lline } {}= 9.

б) Плоштината на паралелограмот меѓу векторите aa size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и cc size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се пресметува со

PпаралелограмPпаралелограм size 12{P rSub { size 8{ ital "паралелограм"} } } {}= | a×ca×c size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } times {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}|.

Од векторскиот производ

a×ca×c size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } times {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= ijk321135=10i+j+9k2k3i9j=7i8j+7kijk321135=10i+j+9k2k3i9j=7i8j+7k size 12{ lline ` matrix { {i} cSup { size 8{ rightarrow } } {} # {j} cSup { size 8{ rightarrow } } {} # {k} cSup { size 8{ rightarrow } } {} ## 3 {} # 2 {} # 1 {} ## 1 {} # 3 {} # 5{} } ` rline `="10" {i} cSup { size 8{ rightarrow } } + {j} cSup { size 8{ rightarrow } } +9 {k} cSup { size 8{ rightarrow } } - 2 {k} cSup { size 8{ rightarrow } } - 3 {i} cSup { size 8{ rightarrow } } - 9 {j} cSup { size 8{ rightarrow } } =7 {i} cSup { size 8{ rightarrow } } - 8 {j} cSup { size 8{ rightarrow } } +7 {k} cSup { size 8{ rightarrow } } } {},

следува дека

PпаралелограмPпаралелограм size 12{P rSub { size 8{ ital "паралелограм"} } } {}= | a×ca×c size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } times {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}| = | {7,8,7}{7,8,7} size 12{ lbrace 7, - 8,7 rbrace } {}| = 72+(8)2+72=162.72+(8)2+72=162. size 12{ sqrt {7 rSup { size 8{2} } + \( - 8 \) rSup { size 8{2} } +7 rSup { size 8{2} } } = sqrt {"162"} "." } {}

Пример 2

Да се покаже дека (a+3b+c,2ab,a+c)=6(a,b,c)(a+3b+c,2ab,a+c)=6(a,b,c) size 12{ \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } +3 {b} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } ,2 {a} cSup { size 8{ rightarrow } } - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) = - 6 \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) } {}.

Решение

За решавање на оваа задача, се користат својствата 2, 3, 4 и 5 за мешан производ. Затоа најпрво се применува дистрибутивниот закон (својство 3) за првиот множител,

( a + 3 b + c , 2 a b , a + c ) = ( a , 2 a b , a + c ) + ( 3 b , 2 a b , a + c ) + + ( c , 2 a b , a + c ) = ( a + 3 b + c , 2 a b , a + c ) = ( a , 2 a b , a + c ) + ( 3 b , 2 a b , a + c ) + + ( c , 2 a b , a + c ) = alignl { stack { size 12{ \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } +3 {b} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } ,2 {a} cSup { size 8{ rightarrow } } - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) = \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } ,2 {a} cSup { size 8{ rightarrow } } - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( 3 {b} cSup { size 8{ rightarrow } } ,2 {a} cSup { size 8{ rightarrow } } - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) +{}} {} # + \( {c} cSup { size 8{ rightarrow } } ,2 {a} cSup { size 8{ rightarrow } } - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) ={} {} } } {}

па за вториот и за третиот множител:

= ( a , 2 a , a + c ) + ( a , b , a + c ) + ( 3 b , 2 a , a + c ) + + ( 3 b , b , a + c ) + ( c , 2 a , a + c ) + ( c , b , a + c ) = = ( a , 2 a , a + c ) + ( a , b , a + c ) + ( 3 b , 2 a , a + c ) + + ( 3 b , b , a + c ) + ( c , 2 a , a + c ) + ( c , b , a + c ) = alignl { stack { size 12{ {}= \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } ,2 {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( 3 {b} cSup { size 8{ rightarrow } } ,2 {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) +{}} {} # + \( 3 {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( {c} cSup { size 8{ rightarrow } } ,2 {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( {c} cSup { size 8{ rightarrow } } , - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) ={} {} } } {}
(1)
= ( a , 2 a , a ) + ( a , 2 a , c ) + ( a , b , a ) + ( a , b , c ) + + ( 3 b , 2 a , a ) + ( 3 b , 2 a , c ) + ( 3 b , b , a ) + ( 3 b , b , c ) + = ( a , 2 a , a ) + ( a , 2 a , c ) + ( a , b , a ) + ( a , b , c ) + + ( 3 b , 2 a , a ) + ( 3 b , 2 a , c ) + ( 3 b , b , a ) + ( 3 b , b , c ) + alignl { stack { size 12{ {}= \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } ,2 {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } ,2 {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) +{}} {} # + \( 3 {b} cSup { size 8{ rightarrow } } ,2 {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( 3 {b} cSup { size 8{ rightarrow } } ,2 {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( 3 {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( 3 {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) +{} {} } } {}
(2)
+ ( c , 2 a , a ) + ( c , 2 a , c ) + ( c , b , a ) + ( c , b , c ) = + ( c , 2 a , a ) + ( c , 2 a , c ) + ( c , b , a ) + ( c , b , c ) = size 12{+ \( {c} cSup { size 8{ rightarrow } } ,2 {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( {c} cSup { size 8{ rightarrow } } ,2 {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( {c} cSup { size 8{ rightarrow } } , - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( {c} cSup { size 8{ rightarrow } } , - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) ={}} {}
(3)

потоа се применува својтвото 5 и затоа сите мешани производи со два исти множители се нула, а потоа се применуваат и својствата 2 и 4

= ( a , b , c ) + ( 3 b , 2 a , c ) + ( c , b , a ) = ( a , b , c ) + 6 ( b , a , c ) ( c , b , a ) = ( a , b , c ) 6 ( a , b , c ) + ( a , b , c ) = 6 ( a , b , c ) , = ( a , b , c ) + ( 3 b , 2 a , c ) + ( c , b , a ) = ( a , b , c ) + 6 ( b , a , c ) ( c , b , a ) = ( a , b , c ) 6 ( a , b , c ) + ( a , b , c ) = 6 ( a , b , c ) , alignl { stack { size 12{ {}= \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( 3 {b} cSup { size 8{ rightarrow } } ,2 {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( {c} cSup { size 8{ rightarrow } } , - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \) ={}} {} # = - \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) +6 \( {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) - \( {c} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \) ={} {} # = - \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) - 6 \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) ={} {} # = - 6 \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) , {} } } {}

што и требаше да се докаже. ◄

Collection Navigation

Content actions

Download:

Collection as:

EPUB (?)

What is an EPUB file?

EPUB is an electronic book format that can be read on a variety of mobile devices.

Downloading to a reading device

For detailed instructions on how to download this content's EPUB to your specific device, click the "(?)" link.

| More downloads ...

Module as:

PDF | More downloads ...

Add:

Collection to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks

Module to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks