Равенката на права низ точката M0(x0,y0,z0)M0(x0,y0,z0) size 12{M rSub { size 8{0} } \( x rSub { size 8{0} } ,y rSub { size 8{0} } ,z rSub { size 8{0} } \) } {} која е паралелна векторот p→={l,m,n}p→={l,m,n} size 12{ {p} cSup { size 8{ rightarrow } } = lbrace l,m,n rbrace } {} е зададена со продолженото равенство

x − x 0 l = y − y 0 m = z − z 0 n x − x 0 l = y − y 0 m = z − z 0 n size 12{ { {x - x rSub { size 12{0} } } over {l} } = { {y - y rSub { size 12{0} } } over {m} } = { {z - z rSub { size 12{0} } } over {n} } } {}

и претставува равенка на права во каноничен вид.

Ако продолженото равенството со кое е задаена правата во каконичен облик се изедначи со параметарот x−x0l=y−y0m=z−z0n=tx−x0l=y−y0m=z−z0n=t size 12{ { {x - x rSub { size 8{0} } } over {l} } = { {y - y rSub { size 8{0} } } over {m} } = { {z - z rSub { size 8{0} } } over {n} } =t} {} се добива

x = x 0 + lt y = y 0 + mt z = z 0 + nt x = x 0 + lt y = y 0 + mt z = z 0 + nt alignl { stack { size 12{x=x rSub { size 8{0} } + ital "lt"} {} # y=y rSub { size 8{0} } + ital "mt" {} # z=z rSub { size 8{0} } + ital "nt" {} } } {}

што претставува равенка на права во параметарски вид. За секоја вредност на параметарот t∈Rt∈R size 12{t in R} {} се добиваат координатите на една точка од правата.

Пример 1. Да се покаже дека правата x=0,y=t,z=tx=0,y=t,z=t size 12{x=0,y=t,z=t} {} лежи во рамнината 6x+4y−4z=06x+4y−4z=0 size 12{6x+4y - 4z=0} {}.

Решение. Права лежи во рамнина ако било кои две нејзини точки лежат во рамнината. Во параметарската равенка на прва со задавање на различни вредности на параметарот tt size 12{t} {} се добиваат координатите на различни точки од правата. Така на пример за t=0t=0 size 12{t=0} {}, една точка од правата е M1=(0,0,0)M1=(0,0,0) size 12{M rSub { size 8{1} } = \( 0,0,0 \) } {}, а за t=2t=2 size 12{t=2} {}, втора точка од правата е M2=(0,2,2)M2=(0,2,2) size 12{M rSub { size 8{2} } = \( 0,2,2 \) } {}. Ако ги замениме координатите на точките во равенката на рамнина, за првата точка се добива дека таа ја задоволува равенката на рамнината бидејќи

6∙ 0 + 4∙0 – 4∙0 = 0,

а исто така и за втората точка

6∙ 0 + 4∙2 – 4∙2 = 0,

што значи дека правата лежи во рамнината. ◄

Права може да се зададе во вид на пресек на две рамнини

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 alignl { stack { size 12{A rSub { size 8{1} } x+B rSub { size 8{1} } y+C rSub { size 8{1} } z+D rSub { size 8{1} } =0} {} # A rSub { size 8{2} } x+B rSub { size 8{2} } y+C rSub { size 8{2} } z+D rSub { size 8{2} } =0 {} } } {}

и овој систем од две рамнини претставува општ вид равенка на права.

Координатите на векторот p→p→ size 12{ {p} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} со кој е паралелна правата се определуваат преку коефициентите од системот рамнини со

p→=∣B1C1B2C2∣,∣C1A1C2A2∣,∣A1B1A2B2∣=∣i→j→k→A1B1C1A2B2C2∣p→=∣B1C1B2C2∣,∣C1A1C2A2∣,∣A1B1A2B2∣=∣i→j→k→A1B1C1A2B2C2∣ size 12{ {p} cSup { size 8{ rightarrow } } = left lbrace lline ` matrix { B rSub { size 8{1} } {} # C rSub { size 8{1} } {} ## B rSub { size 8{2} } {} # C rSub { size 8{2} } {} } ` rline ,` lline ` matrix { C rSub { size 8{1} } {} # A rSub { size 8{1} } {} ## C rSub { size 8{2} } {} # A rSub { size 8{2} } {} } ` rline ,` lline ` matrix { A rSub { size 8{1} } {} # B rSub { size 8{1} } {} ## A rSub { size 8{2} } {} # B rSub { size 8{2} } {} } ` rline right rbrace = lline matrix { {i} cSup { size 8{ rightarrow } } {} # {j} cSup { size 8{ rightarrow } } {} # {k} cSup { size 8{ rightarrow } } {} ## A rSub { size 8{1} } {} # B rSub { size 8{1} } {} # C rSub { size 8{1} } {} ## A rSub { size 8{2} } {} # B rSub { size 8{2} } {} # C rSub { size 8{2} } {} } rline } {}.

Права може да се определи ако се познати координатите на две нејзини точки. Равенката на права низ која минува низ точките M1(x1,y1,z1)M1(x1,y1,z1) size 12{M rSub { size 8{1} } \( x rSub { size 8{1} } ,y rSub { size 8{1} } ,z rSub { size 8{1} } \) } {} и M2(x2,y2,z2)M2(x2,y2,z2) size 12{M rSub { size 8{2} } \( x rSub { size 8{2} } ,y rSub { size 8{2} } ,z rSub { size 8{2} } \) } {} ќе се добие преку равенката на права во каконичен облик, каде една од точките се зема за точка низ која поминува правата на пр. точката M1M1 size 12{M rSub { size 8{1} } } {}, а векторот со кој е паралелна правата е векторот меѓу двете точки и равенката на права низ две точки е

x−x1x2−x1=y−y1y2−y1=z−z1z2−z1x−x1x2−x1=y−y1y2−y1=z−z1z2−z1 size 12{ { {x - x rSub { size 8{1} } } over {x rSub { size 8{2} } - x rSub { size 8{1} } } } = { {y - y rSub { size 8{1} } } over {y rSub { size 8{2} } - y rSub { size 8{1} } } } = { {z - z rSub { size 8{1} } } over {z rSub { size 8{2} } - z rSub { size 8{1} } } } } {}.

Пример 2. Да се покаже дека правите x=1+2t,y=2−t,z=4−2tx=1+2t,y=2−t,z=4−2t size 12{x=1+2t,`y=2 - t,`z=4 - 2t} {} и x=9+t,y=5+3t,z=−4−tx=9+t,y=5+3t,z=−4−t size 12{x=9+t,`y=5+3t,`z= - 4 - t} {} се сечат.

Решение. Најпрво преба да се покаже дека правите се компланарни. Правата x=1+2t,y=2−t,z=4−2tx=1+2t,y=2−t,z=4−2t size 12{x=1+2t,`y=2 - t,`z=4 - 2t} {}

поминува низ точката M1(1,2,4)M1(1,2,4) size 12{M rSub { size 8{1} } \( 1,2,4 \) } {} и е паралелна на векторот p1→={2,−1,−2}p1→={2,−1,−2} size 12{ {p rSub { size 8{1} } } cSup { size 8{ rightarrow } } = lbrace 2, - 1, - 2 rbrace } {}, а правата x=9+t,y=5+3t,z=−4−tx=9+t,y=5+3t,z=−4−t size 12{x=9+t,`y=5+3t,`z= - 4 - t} {} поминува низ точката M2(9,5,−4)M2(9,5,−4) size 12{M rSub { size 8{2} } \( 9,5, - 4 \) } {} и е паралелна на векторот p2→={1,3,−1}p2→={1,3,−1} size 12{ {p rSub { size 8{2} } } cSup { size 8{ rightarrow } } = lbrace 1,3, - 1 rbrace } {}. Двете прави се компланарни бидејќи

(M1M2→,p1→,p2→)=∣83−813−12−1−2∣=0(M1M2→,p1→,p2→)=∣83−813−12−1−2∣=0 size 12{ \( {M rSub { size 8{1} } M rSub { size 8{2} } } cSup { size 8{ rightarrow } } , {p rSub { size 8{1} } } cSup { size 8{ rightarrow } } , {p rSub { size 8{2} } } cSup { size 8{ rightarrow } } \) = lline matrix { 8 {} # 3 {} # - 8 {} ## 1 {} # 3 {} # - 1 {} ## 2 {} # - 1 {} # - 2{} } rline =0} {}.

Компланатните прави (ако не се паралелни) се сечат во точка, што значи дека постојат параметри t1t1 size 12{t rSub { size 8{1} } } {} и t2t2 size 12{t rSub { size 8{2} } } {}такви што координатите на пресечната точка од првата права x=1+2t1,y=2−t1,z=4−2t1x=1+2t1,y=2−t1,z=4−2t1 size 12{x=1+2t rSub { size 8{1} } ,`y=2 - t rSub { size 8{1} } ,`z=4 - 2t rSub { size 8{1} } } {} и координатите на пресечната точка од втората права x=9+t2,y=5+3t2,z=−4−t2x=9+t2,y=5+3t2,z=−4−t2 size 12{x=9+t rSub { size 8{2} } ,`y=5+3t rSub { size 8{2} } ,`z= - 4 - t rSub { size 8{2} } } {} се еднакви, односно точките имаат исти соодветни координати

1 + 2t 1 = 9 + t 2 1 + 2t 1 = 9 + t 2 size 12{1+2t rSub { size 8{1} } =9+t rSub { size 8{2} } } {}

2 − t 1 = 5 + 3t 2 2 − t 1 = 5 + 3t 2 size 12{2 - t rSub { size 8{1} } =5+3t rSub { size 8{2} } } {}

4−2t1=−4−t24−2t1=−4−t2 size 12{4 - 2t rSub { size 8{1} } = - 4 - t rSub { size 8{2} } } {}.

Од првите две равенки се добива t1=3t1=3 size 12{t rSub { size 8{1} } =3} {} и t2=−3t2=−3 size 12{t rSub { size 8{2} } = - 3} {} и овие вредности ја задоволуваат третата равенка. Координатите на пресечната точка ќе се добијат со замена на една од добиените вредностите за tt size 12{t} {} во соодветната права. На пр. ако вредноста t1=3t1=3 size 12{t rSub { size 8{1} } =3} {} се замени во x=1+2t1,y=2−t1,z=4−2t1x=1+2t1,y=2−t1,z=4−2t1 size 12{x=1+2t rSub { size 8{1} } ,`y=2 - t rSub { size 8{1} } ,`z=4 - 2t rSub { size 8{1} } } {} се добиваат координатите на пресечната точка M(7,−1,−2)M(7,−1,−2) size 12{M \( 7, - 1, - 2 \) } {}. ◄

Аголот меѓу правите

x−x1l1=y−y1m1=z−z1n1x−x1l1=y−y1m1=z−z1n1 size 12{ { {x - x rSub { size 8{1} } } over {l rSub { size 8{1} } } } = { {y - y rSub { size 8{1} } } over {m rSub { size 8{1} } } } = { {z - z rSub { size 8{1} } } over {n rSub { size 8{1} } } } } {} и x−x2l2=y−y2m2=z−z2n2x−x2l2=y−y2m2=z−z2n2 size 12{ { {x - x rSub { size 8{2} } } over {l rSub { size 8{2} } } } = { {y - y rSub { size 8{2} } } over {m rSub { size 8{2} } } } = { {z - z rSub { size 8{2} } } over {n rSub { size 8{2} } } } } {}

се определува како агол меѓу векторите p1→={l1,m1,n1}p1→={l1,m1,n1} size 12{ {p rSub { size 8{1} } } cSup { size 8{ rightarrow } } = lbrace l rSub { size 8{1} } ,m rSub { size 8{1} } ,n rSub { size 8{1} } rbrace } {} и p2→={l2,m2,n2}p2→={l2,m2,n2} size 12{ {p rSub { size 8{2} } } cSup { size 8{ rightarrow } } = lbrace l rSub { size 8{2} } ,m rSub { size 8{2} } ,n rSub { size 8{2} } rbrace } {} со кои се паралелни правите, т.е.

cosϕ=l1l2+m1m2+n1n2l12+m12+n12l22+m22+n22cosϕ=l1l2+m1m2+n1n2l12+m12+n12l22+m22+n22 size 12{"cos"ϕ= { {l rSub { size 8{1} } l rSub { size 8{2} } +m rSub { size 8{1} } m rSub { size 8{2} } +n rSub { size 8{1} } n rSub { size 8{2} } } over { sqrt {l rSub { size 8{1} } rSup { size 8{2} } +m rSub { size 8{1} } rSup { size 8{2} } +n rSub { size 8{1} } rSup { size 8{2} } } sqrt {l rSub { size 8{2} } rSup { size 8{2} } +m rSub { size 8{2} } rSup { size 8{2} } +n rSub { size 8{2} } rSup { size 8{2} } } } } } {}.

Затоа условот за паралелност на две прави е

l1l2=m1m2=n1n2l1l2=m1m2=n1n2 size 12{ { {l rSub { size 8{1} } } over {l rSub { size 8{2} } } } = { {m rSub { size 8{1} } } over {m rSub { size 8{2} } } } = { {n rSub { size 8{1} } } over {n rSub { size 8{2} } } } } {},

а условот за нормалност е

l1l2+m1m2+n1n2l1l2+m1m2+n1n2 size 12{l rSub { size 8{1} } l rSub { size 8{2} } +m rSub { size 8{1} } m rSub { size 8{2} } +n rSub { size 8{1} } n rSub { size 8{2} } } {}= 0.

Пример 3. Да се покаже дека правите

x=2−t,y=2t,z=1+tx=2−t,y=2t,z=1+t size 12{x=2 - t,`y=2t,`z=1+t} {} и x=1+2t,y=3−4t,z=5−2tx=1+2t,y=3−4t,z=5−2t size 12{x=1+2t,`y=3 - 4t,`z=5 - 2t} {}

се паралелни и да се најде растојанието меѓу нив.

Решение. Правите се паралелни бидејќи векторите p1→={−1,2,1}p1→={−1,2,1} size 12{ {p rSub { size 8{1} } } cSup { size 8{ rightarrow } } = lbrace - 1,2,1 rbrace } {} и p2→={2,−4,−2}p2→={2,−4,−2} size 12{ {p rSub { size 8{2} } } cSup { size 8{ rightarrow } } = lbrace 2, - 4, - 2 rbrace } {} со кои се паралелни правите го задоволуваат условот за паралелност

{}−12=2−4=1−2−12=2−4=1−2 size 12{ { { - 1} over {2} } = { {2} over { - 4} } = { {1} over { - 2} } } {}.

Кога правите се паралелни, растојанието меѓу нив се определува преку нормалното (најкраткото) растојание од било која точка од едната права до втората права. За таа цел низ една точка од првата права се повлекува рамнина нормална на правата и прободот на таа рамнина со втората права е точка која е на најкратко растојание. Растојанието меѓу овие две точки е бараното растојание. Точката A(2,0,1)A(2,0,1) size 12{A \( 2,0,1 \) } {} е точка од првата права x=2−t,y=2t,z=1+tx=2−t,y=2t,z=1+t size 12{x=2 - t,`y=2t,`z=1+t} {} која е добиена за t=0t=0 size 12{t=0} {}. Равенката на рамнина низ точката A(2,0,1)A(2,0,1) size 12{A \( 2,0,1 \) } {} нормална на векторот p1→={−1,2,1}p1→={−1,2,1} size 12{ {p rSub { size 8{1} } } cSup { size 8{ rightarrow } } = lbrace - 1,2,1 rbrace } {} ќе гласи −1(x−2)+2(y−0)+1(z−1)=0−1(x−2)+2(y−0)+1(z−1)=0 size 12{ - 1 \( x - 2 \) +2 \( y - 0 \) +1 \( z - 1 \) =0} {} и по средување се добива

Прободот на оваа рамнина со втората права ги определува координатите на точката BB size 12{B} {}која е на најкратко растојание од точката AA size 12{A} {}. За таа цел се решава системот равенки

− x + 2y + z + 1 = 0 x = 1 + 2t , y = 3 − 4t , z = 5 − 2t − x + 2y + z + 1 = 0 x = 1 + 2t , y = 3 − 4t , z = 5 − 2t alignl { stack { size 12{ - x+2y+z+1=0} {} # size 12{x=1+2t,`y=3 - 4t,`z=5 - 2t} {} } } {}

и со замена на параметарските равенки на правата во рамнината се добива

−(1+2t)+2(3−4t)+5−2t+1=0−(1+2t)+2(3−4t)+5−2t+1=0 size 12{ - \( 1+2t \) +2 \( 3 - 4t \) +5 - 2t+1=0} {},

од каде се определува вредноста на параметарот t=1112t=1112 size 12{t= { { size 8{"11"} } over { size 8{"12"} } } } {}. Заменувајќи ја оваа вредност во равенката на втората права x=2−t,y=2t,z=1+tx=2−t,y=2t,z=1+t size 12{x=2 - t,`y=2t,`z=1+t} {} со добиваат координатите на пресечната точка B176,−23,196B176,−23,196 size 12{B left ( { { size 8{"17"} } over { size 8{6} } } ,` { { size 8{ - 2} } over { size 8{3} } } ,` { { size 8{"19"} } over { size 8{6} } } right )} {}.

Растојанието меѓу точките A(2,0,1)A(2,0,1) size 12{A \( 2,0,1 \) } {} и B176,−23,196B176,−23,196 size 12{B left ( { { size 8{"17"} } over { size 8{6} } } ,` { { size 8{ - 2} } over { size 8{3} } } ,` { { size 8{"19"} } over { size 8{6} } } right )} {} го определува растојанието меѓу паралелните прави:

d=176−22+−23−02+196−12=356d=176−22+−23−02+196−12=356 size 12{d= sqrt { left ( { {"17"} over {6} } - 2 right ) rSup { size 8{2} } + left ( { { - 2} over {3} } - 0 right ) rSup { size 8{2} } + left ( { {"19"} over {6} } - 1 right ) rSup { size 8{2} } } = sqrt { { {"35"} over {6} } } } {}. ◄

Правата може да се зададе и во векторски вид кога се знае една нејзина точка M0(x0,y0,z0)M0(x0,y0,z0) size 12{M rSub { size 8{0} } \( x rSub { size 8{0} } ,y rSub { size 8{0} } ,z rSub { size 8{0} } \) } {} и векторот p→={l,m,n}p→={l,m,n} size 12{ {p} cSup { size 8{ rightarrow } } = lbrace l,m,n rbrace } {} со кој правата е паралелна. Векторот низ точките OO size 12{O} {} и M0M0 size 12{M rSub { size 8{0} } } {} e OM0→={x0,y0,z0}OM0→={x0,y0,z0} size 12{ { ital "OM" rSub { size 8{0} } } cSup { size 8{ rightarrow } } = lbrace x rSub { size 8{0} } ,`y rSub { size 8{0} } ,z rSub { size 8{0} } rbrace } {} и нека се воведе ознаката OM0→=p0→OM0→=p0→ size 12{ { ital "OM" rSub { size 8{0} } } cSup { size 8{ rightarrow } } = {p rSub { size 8{0} } } cSup { size 8{ rightarrow } } } {}, а r→={x,y,z}r→={x,y,z} size 12{ {r} cSup { size 8{ rightarrow } } = lbrace x,y,z rbrace } {} е било кој вектор со почеток во OO size 12{O} {} и крај во произволна точка M(x,y,z)M(x,y,z) size 12{M \( x,y,z \) } {} која лежи на правата.

Равенката

каде t∈Rt∈R size 12{t in R} {} е произволен параметар претставува равенка на права во векторски вид.