Skip to content Skip to navigation

Connexions

You are here: Home » Content » Рамнина во простор

Navigation

Recently Viewed

This feature requires Javascript to be enabled.
 

Рамнина во простор

Module by: Liljana Stefanovska. E-mail the author

ТОЧКА ВО ПРОСТОР

Во правоаголен Декартов координатен систем произволна точка М се запишува со M(x,y,z)M(x,y,z) size 12{M \( x,y,z \) } {}, каде реалните броеви x,y,zx,y,z size 12{x,y,z} {} се нејзини координати.

Растојанието меѓу точките M1(x1,y1,z1)M1(x1,y1,z1) size 12{M rSub { size 8{1} } \( x rSub { size 8{1} } ,y rSub { size 8{1} } ,z rSub { size 8{1} } \) } {} и M2(x2,y2,z2)M2(x2,y2,z2) size 12{M rSub { size 8{2} } \( x rSub { size 8{2} } ,y rSub { size 8{2} } ,z rSub { size 8{2} } \) } {} се пресметува како интензитет на векторот кој минува низ двете точки

M1M2¯=d=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2M1M2¯=d=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2 size 12{ {overline {M rSub { size 8{1} } M rSub { size 8{2} } }} =d= sqrt { \( x rSub { size 8{2} } - x rSub { size 8{1} } \) rSup { size 8{2} } + \( y rSub { size 8{2} } - y rSub { size 8{1} } \) rSup { size 8{2} } + \( z rSub { size 8{2} } - z rSub { size 8{1} } \) rSup { size 8{2} } } } {} .

Нека точката M0(x0,y0,z0)M0(x0,y0,z0) size 12{M rSub { size 8{0} } \( x rSub { size 8{0} } ,y rSub { size 8{0} } ,z rSub { size 8{0} } \) } {} се наоѓа на отсечката M1M2¯M1M2¯ size 12{ {overline {M rSub { size 8{1} } M rSub { size 8{2} } }} } {} која е ограничена со точките M1(x1,y1,z1)M1(x1,y1,z1) size 12{M rSub { size 8{1} } \( x rSub { size 8{1} } ,y rSub { size 8{1} } ,z rSub { size 8{1} } \) } {} и M2(x2,y2,z2)M2(x2,y2,z2) size 12{M rSub { size 8{2} } \( x rSub { size 8{2} } ,y rSub { size 8{2} } ,z rSub { size 8{2} } \) } {} . Координатите на точката M0(x0,y0,z0)M0(x0,y0,z0) size 12{M rSub { size 8{0} } \( x rSub { size 8{0} } ,y rSub { size 8{0} } ,z rSub { size 8{0} } \) } {} која ја дели отсечката во однос M1M0M0M2¯¯=λM1M0M0M2¯¯=λ size 12{ {overline { { {M rSub { size 8{1} } M rSub { size 8{0} } } over { {overline {M rSub { size 8{0} } M rSub { size 8{2} } }} } } }} =λ} {} се определени со

x0=x1+λx21+λ,y0=y1+λy21+λ,z0=z1+λz21+λx0=x1+λx21+λ,y0=y1+λy21+λ,z0=z1+λz21+λ size 12{x rSub { size 8{0} } = { {x rSub { size 8{1} } +λ`x rSub { size 8{2} } } over {1+λ} } ,~y rSub { size 8{0} } = { {y rSub { size 8{1} } +λ`y rSub { size 8{2} } } over {1+λ} } ,~z rSub { size 8{0} } = { {z rSub { size 8{1} } +λ`z rSub { size 8{2} } } over {1+λ} } } {}.

Специјално, ако точката M0M0 size 12{M rSub { size 8{0} } } {} е средина на отсечката M1M2¯M1M2¯ size 12{ {overline {M rSub { size 8{1} } M rSub { size 8{2} } }} } {}, нејзините координати се

x0=x1+x22,y0=y1+y22,z0=z1+z22x0=x1+x22,y0=y1+y22,z0=z1+z22 size 12{x rSub { size 8{0} } = { {x rSub { size 8{1} } +`x rSub { size 8{2} } } over {2} } ,~y rSub { size 8{0} } = { {y rSub { size 8{1} } +`y rSub { size 8{2} } } over {2} } ,~z rSub { size 8{0} } = { {z rSub { size 8{1} } +`z rSub { size 8{2} } } over {2} } } {}.

Пример 1. На апсцисната оска да се определи точка чие растојание до точката

A(−3,4,8)A(−3,4,8) size 12{A \( - 3,4,8 \) } {} е 12.

Решение. За точката M(x0,0,0)M(x0,0,0) size 12{M \( x rSub { size 8{0} } ,0,0 \) } {} која е на апсцисната оска зададено е дека MA¯=12.MA¯=12. size 12{ {overline { ital "MA"}} ="12" "." } {} Од формулата за растојание

MA¯=(x0+3)2+(−4)2+(−8)2=(x0+3)2+80=12MA¯=(x0+3)2+(−4)2+(−8)2=(x0+3)2+80=12 size 12{ {overline { ital "MA"}} = sqrt { \( x rSub { size 8{0} } +3 \) rSup { size 8{2} } + \( - 4 \) rSup { size 8{2} } + \( - 8 \) rSup { size 8{2} } } = sqrt { \( x rSub { size 8{0} } +3 \) rSup { size 8{2} } +"80"} ="12"} {},

се определува координатата x0x0 size 12{x rSub { size 8{0} } } {} од равенката

( x 0 + 3 ) 2 + 80 = 144 ( x 0 + 3 ) 2 + 80 = 144 size 12{ \( x rSub { size 8{0} } +3 \) rSup { size 8{2} } +"80"="144"} {}

или

(x0+3)2=64(x0+3)2=64 size 12{ \( x rSub { size 8{0} } +3 \) rSup { size 8{2} } ="64"} {},

која се сведува на равенка со апсолутна вредност

∣x0+3∣=8∣x0+3∣=8 size 12{ lline `x rSub { size 8{0} } +3` rline =8} {}.

Од дефиницијата за апсолутната вредност

∣ x 0 + 3 ∣ = { x 0 + 3, за x 0 ≥ − 3 − x 0 − 3, за x 0 < − 3, ∣ x 0 + 3 ∣ = { x 0 + 3, за x 0 ≥ − 3 − x 0 − 3, за x 0 < − 3, size 12{ lline `x rSub { size 8{0} } +3` rline = left lbrace matrix { x rSub { size 8{0} } +3,~`"za"~x rSub { size 8{0} } >= - 3 {} ## - x rSub { size 8{0} } - 3,~"za"~x rSub { size 8{0} } < - 3, } right none } {}

равенката со апсолутна вредност не доведува до следните две равенки со решенија:

за x0≥−3⇒x0+3=8⇒x0=5x0≥−3⇒x0+3=8⇒x0=5 size 12{x rSub { size 8{0} } >= - 3 drarrow `x rSub { size 8{0} } +3=8 drarrow x rSub { size 8{0} } =5} {},

и

за x0<−3⇒−x0−3=8⇒x0=−11x0<−3⇒−x0−3=8⇒x0=−11 size 12{x rSub { size 8{0} } < - 3 drarrow ` - x rSub { size 8{0} } - 3=8 drarrow x rSub { size 8{0} } = - "11"} {}.

Се заклучува дека постојат две точки на апсцисната оска чие растојание до точката А е 12, а тоа се точките

M1(5,0,0)M1(5,0,0) size 12{M rSub { size 8{1} } \( 5,0,0 \) } {} и M2(−11,0,0)M2(−11,0,0) size 12{M rSub { size 8{2} } \( - "11",0,0 \) } {}. ◄

РАМНИНА ВО ПРОСТОР

Рамнина во простор може да се определи на повеќе начини и да се претстави со неколку видови равенки кои подолу ќе се прикажат.

Рамнина зададена со точка и нормален вектор

Еден од начините на определување рамнина во простор е со задавање точка која лежи на рамнината и вектор нормален на рамнината. Нека M0(x0,y0,z0)M0(x0,y0,z0) size 12{M rSub { size 8{0} } \( x rSub { size 8{0} } ,y rSub { size 8{0} } ,z rSub { size 8{0} } \) } {} е точката која лежи на рамнината, а векторот нормален на рамнината е n→n→ size 12{ {n} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = {A, B, C}. За да се добие равенката на рамнината, се поаѓа од фактот дека векторот M0M→={x−x0,y−y0,z−z0}M0M→={x−x0,y−y0,z−z0} size 12{ {M rSub { size 8{0} } M} cSup { size 8{ rightarrow } } = lbrace x - x rSub { size 8{0} } ,y - y rSub { size 8{0} } ,z - z rSub { size 8{0} } rbrace } {} меѓу произволна точка M(x,y,z)M(x,y,z) size 12{M \( x,y,z \) } {} од бараната рамнина и дадената точка M0(x0,y0,z0)M0(x0,y0,z0) size 12{M rSub { size 8{0} } \( x rSub { size 8{0} } ,y rSub { size 8{0} } ,z rSub { size 8{0} } \) } {} исто така лежи во рамни­ната, а со тоа е нормален на векторот n→n→ size 12{ {n} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}. Користејќи го условот скаларниот производ на нормални вектори да е нула се добива

n→⋅M0M→=0n→⋅M0M→=0 size 12{ {n} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {M rSub { size 8{0} } M} cSup { size 8{ rightarrow } } =0} {},

или запишано по координати ја дава равенката

A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0 size 12{A \( x - x rSub { size 8{0} } \) +B \( y - y rSub { size 8{0} } \) +C \( z - z rSub { size 8{0} } \) =0} {},

која претставува таканаречен точка-нормала облик равенка на рамнина.

Пример 2. Да се напише равенка на рамнина која поминува низ точката M(2,−3,1)M(2,−3,1) size 12{M \( 2, - 3,1 \) } {} и е нормална на векторот n→n→ size 12{ {n} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}= {4, 2, –3}.

Решение. Бараната рамнина ќе има равенка

4 ( x − 2 ) + 2 ( y − ( − 3 ) ) − 3 ( z − 1 ) = 0 4 ( x − 2 ) + 2 ( y − ( − 3 ) ) − 3 ( z − 1 ) = 0 size 12{4 \( x - 2 \) +2 \( y - \( - 3 \) \) - 3 \( z - 1 \) =0} {}

или

4x+2y−3z+1=04x+2y−3z+1=0 size 12{4x+2y - 3z+1=0} {}.◄

Општ вид равенка на рамнина

Ако во равенката на рамнина (2) се ослободиме од заградите се добива равенката

Ax+By+Cz−Ax0−By0−Cz0=0Ax+By+Cz−Ax0−By0−Cz0=0 size 12{ ital "Ax"+ ital "By"+ ital "Cz" - ital "Ax" rSub { size 8{0} } - ital "By" rSub { size 8{0} } - ital "Cz" rSub { size 8{0} } =0} {},

или општо

Ax + By + Cz + D = 0 Ax + By + Cz + D = 0 size 12{ ital "Ax"+ ital "By"+ ital "Cz"+D=0} {}
(1)

и претставува општ вид равенка на рамнина во простор. Како што се гледа од равенката, општиот вид равенка на рамнина е линеарна равенка со три непознати. Коефициентите A,B,CA,B,C size 12{A,B,C} {} пред променливите се координатите на нормалниот вектор.

Понатаму ќе се прикажe општиот вид на равенка на некои специјални рамнини кои се добиваат кога некој од коефициентите во равенката е нула.

  • Ако слободниот член е нула, т.е. D=0D=0 size 12{D=0} {}, рамнината минува низ координатниот почеток и општата равенка на таквата рамнина е

Ax+By+Cz=0Ax+By+Cz=0 size 12{ ital "Ax"+ ital "By"+ ital "Cz"=0} {};

  • Ако некој од коефициентите пред променливите x,yx,y size 12{x,y} {} или zz size 12{z} {} е нула, тогаш рамнината е паралелна со соодветната оска (онаа координатна оска чија променлива не се јавува во равенката). На пр. ако C=0C=0 size 12{C=0} {}, рамнината е паралелна со z−z− size 12{z - {}} {} оската и има равенка

Ax+By+D=0Ax+By+D=0 size 12{ ital "Ax"+ ital "By"+D=0} {};

  • Ако два коефициенти се нула од кои едниот е слободниот D=0D=0 size 12{D=0} {} а вториот е еден од коефициентите A,BA,B size 12{A,B} {} или CC size 12{C} {}, на пр. нека C=0C=0 size 12{C=0} {}, тогаш рамнината минува низ z−z− size 12{z - {}} {}оската и е со равенка

Ax+By=0Ax+By=0 size 12{ ital "Ax"+ ital "By"=0} {};

  • Ако два коефициенти (различни од слободниот) се нула, рамнината е паралелна со координатната рамнина определена со оските пред кои коефициентите се нула. На пр. ако A=0A=0 size 12{A=0} {} и C=0C=0 size 12{C=0} {}, тогаш рамнината е паралелна со xOzxOz size 12{ ital "xOz"} {} координатната рамнина и има равенка

By+D=0By+D=0 size 12{ ital "By"+D=0} {};

  • Ако три коефициенти се нула од кои едниот мора да е D=0D=0 size 12{D=0} {}, се добиваат равенките на координатните рамнини:

x=0x=0 size 12{x=0} {} е yOzyOz size 12{ ital "yOz"} {} координатна рамнина;

y=0y=0 size 12{y=0} {} е xOzxOz size 12{ ital "xOz"} {} координатна рамнина;

z=0z=0 size 12{z=0} {} е xOyxOy size 12{ ital "xOy"} {} координатна рамнина.

Пример 3. Да се напише равенка на рамнина која поминува низ y−y− size 12{y - {}} {}оската и низ точката M(1,4,−3)M(1,4,−3) size 12{M \( 1,4, - 3 \) } {}.

Решение. За бараната рамнина коефициентите B=0B=0 size 12{B=0} {} и D=0D=0 size 12{D=0} {} и равенката на рамнината ќе има облик Ax+Cz=0Ax+Cz=0 size 12{ ital "Ax"+ ital "Cz"=0} {}. Точката M(1,4,−3)M(1,4,−3) size 12{M \( 1,4, - 3 \) } {} лежи на рамнината што значи дека ја задоволува нејзината равенка, односно A−3C=0A−3C=0 size 12{A - 3C=0} {} или A=3CA=3C size 12{A=3C} {}. Со замена на оваа вредност во равенката на рамнината се добива 3Cx+Cz=03Cx+Cz=0 size 12{3 ital "Cx"+ ital "Cz"=0} {} и по кратење со CC size 12{C} {} се добива дека бараната рамнина има равенка

3x+z=03x+z=0 size 12{3x+z=0} {}. ◄

Сегментен вид равенка на рамнина

Општиот вид равенка на рамнина (3) може да се подели со слободниот член ( D≠0D≠0 size 12{D <> 0} {}) и да се сведе на обликот

x − D A + y − D B + z − D C = 1 x − D A + y − D B + z − D C = 1 size 12{ { {x} over { - { { size 8{D} } over { size 8{A} } } } } + { {y} over { - { { size 8{D} } over { size 8{B} } } } } + { {z} over { - { { size 8{D} } over { size 8{C} } } } } =1} {}

или

x a + y b + z c = 1 x a + y b + z c = 1 size 12{ { {x} over {a} } + { {y} over {b} } + { {z} over {c} } =1} {}

кој се нарекува сегментен вид равенка на рамнина, а сегментите кои рамнината ги отсекува на координатните оски x,yx,y size 12{x,y} {} и zz size 12{z} {} се соодветно a,ba,b size 12{a,b} {} и cc size 12{c} {}.

Пример 4. Да се напише равенка на рамнина која минува низ точката M(2,1,−1)M(2,1,−1) size 12{M \( 2,1, - 1 \) } {} и отсекува на OxOx size 12{ ital "Ox"} {} и OyOy size 12{ ital "Oy"} {} оските сегменти соодветно 2 и 1.

Решение. Бидејќи се зададени сементи кои правата ги отсекува на координатните оски, се бара равенка на рамнина во сегментен вид. Од условот на задачата познато е дека aa size 12{a} {}= 2 и bb size 12{b} {}= 1. Затоа равенката на рамнината ќе биде

x2+y1+zc=1x2+y1+zc=1 size 12{ { {x} over {2} } + { {y} over {1} } + { {z} over {c} } =1} {},

во која треба да се определи сегментот cc size 12{c} {}. Познат е уште еден услов, а тоа е дека точката MM size 12{M} {} лежи во рамнината, што значи дека нејзините координати ја задоволуваат равенката на рамнината, т.е.

2 2 + 1 1 + − 1 c = 1 2 2 + 1 1 + − 1 c = 1 size 12{ { {2} over {2} } + { {1} over {1} } + { { - 1} over {c} } =1} {}

од каде следува дека c=1c=1 size 12{c=1} {}. Равенката на бараната рамнината е

x2+y1+z1=1x2+y1+z1=1 size 12{ { {x} over {2} } + { {y} over {1} } + { {z} over {1} } =1} {},

или по ослободување од именителот се добива општиот вид на равенка

x+2y+2z=2.x+2y+2z=2. size 12{x+2y+2z=2 "." } {} ◄

Равенка на рамнина низ три точки

Рамнина може еднозначно да се зададе и со три нејзини точки M1(x1,y1,z1)M1(x1,y1,z1) size 12{M rSub { size 8{1} } \( x rSub { size 8{1} } ,y rSub { size 8{1} } ,z rSub { size 8{1} } \) } {}, M2(x2,y2,z2)M2(x2,y2,z2) size 12{M rSub { size 8{2} } \( x rSub { size 8{2} } ,y rSub { size 8{2} } ,z rSub { size 8{2} } \) } {} и M3(x3,y3,z3)M3(x3,y3,z3) size 12{M rSub { size 8{3} } \( x rSub { size 8{3} } ,y rSub { size 8{3} } ,z rSub { size 8{3} } \) } {}. Со трите точки и произволна четврта точка M(x,y,z)M(x,y,z) size 12{M \( x,y,z \) } {} која лежи во рамнината се определуваат три вектори кои го исполнуваат условот за компланарност (мешаниот производ да е нула). Затоа равенката

∣ x − x 1 y − y 1 z − z 1 x 2 − x 1 y 2 − y 1 z 2 − z 1 x 3 − x 1 y 3 − y 1 z 3 − z 1 ∣ = 0 ∣ x − x 1 y − y 1 z − z 1 x 2 − x 1 y 2 − y 1 z 2 − z 1 x 3 − x 1 y 3 − y 1 z 3 − z 1 ∣ = 0 size 12{ lline matrix { x - x rSub { size 8{1} } {} # y - y rSub { size 8{1} } {} # z - z rSub { size 8{1} } {} ## `x rSub { size 8{2} } - x rSub { size 8{1} } {} # y rSub { size 8{2} } - y rSub { size 8{1} } {} # z rSub { size 8{2} } - z rSub { size 8{1} } ` {} ## x rSub { size 8{3} } - x rSub { size 8{1} } {} # y rSub { size 8{3} } - y rSub { size 8{1} } {} # z rSub { size 8{3} } - z rSub { size 8{1} } {} } rline =0} {}

претставува равенка на рамнина низ три точки.

Сноп рамнини

Две рамнини што се сечат образуваат сноп рамнини. Ако се рамнините се зададено со равнките A1x+B1y+C1z+D1=0A1x+B1y+C1z+D1=0 size 12{A rSub { size 8{1} } x+B rSub { size 8{1} } y+C rSub { size 8{1} } z+D rSub { size 8{1} } =0} {} и A2x+B2y+C2z+D2=0A2x+B2y+C2z+D2=0 size 12{A rSub { size 8{2} } x+B rSub { size 8{2} } y+C rSub { size 8{2} } z+D rSub { size 8{2} } =0} {}, равенката на снопот рамнини е

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 + λ ( A 2 x + B 2 y + C 2 z + D ) = 0, ( λ ∈ R ) . A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 + λ ( A 2 x + B 2 y + C 2 z + D ) = 0, ( λ ∈ R ) . size 12{A rSub { size 8{1} } x+B rSub { size 8{1} } y+C rSub { size 8{1} } z+D rSub { size 8{1} } +λ \( A rSub { size 8{2} } x+B rSub { size 8{2} } y+C rSub { size 8{2} } z+D \) =0, \( λ in R \) "." } {}

За секоја вредност на параметарот λλ size 12{λ} {} се определува рамнина од снопот.

Пример 5. Низ пресечната права на рамнините

4x − y + 3z − 1 = 0 4x − y + 3z − 1 = 0 size 12{4x - y+3z - 1=0} {}

и

x+5y−z+2=0x+5y−z+2=0 size 12{x+5y - z+2=0} {},

да се напише равенка на рамнина која е паралелна со y−y− size 12{y - {}} {}оската.

Решение. Од дадените рамнини се формира снопот рамнини

4x − y + 3z − 1 + λ ( x + 5y − z + 2 ) = 0 4x − y + 3z − 1 + λ ( x + 5y − z + 2 ) = 0 size 12{4x - y+3z - 1+λ \( x+5y - z+2 \) =0} {}

или

(4+λ)x+(−1+5λ)y+(3−λ)z−1+2λ=0(4+λ)x+(−1+5λ)y+(3−λ)z−1+2λ=0 size 12{ \( 4+λ \) x+ \( - 1+5λ \) y+ \( 3 - λ \) z - 1+2λ=0} {}.

Бидејќи рамнината треба да е паралелна со y−y− size 12{y - {}} {}оската, тоа значи дека

коефициентот пред променливата yy size 12{y} {}треба да е нула т.е.

−1+5λ=0−1+5λ=0 size 12{ - 1+5λ=0} {},

од каде λ=15λ=15 size 12{λ= { {1} over {5} } } {} и заменувајќи ја оваа вредност во равенката на снопот се добива бараната равенка на рамнина

21x+14z−3=021x+14z−3=0 size 12{"21"x+"14"z - 3=0} {}. ◄

Агол меѓу две рамнини

Аголот ϕ ϕ size 12{ϕ} {} меѓу двете рамнини

A1x+B1y+C1z+D1=0A1x+B1y+C1z+D1=0 size 12{A rSub { size 8{1} } x+B rSub { size 8{1} } y+C rSub { size 8{1} } z+D rSub { size 8{1} } =0} {} и A2x+B2y+C2z+D2=0A2x+B2y+C2z+D2=0 size 12{A rSub { size 8{2} } x+B rSub { size 8{2} } y+C rSub { size 8{2} } z+D rSub { size 8{2} } =0} {}

се определува како агол меѓу нивните нормални вектори n1→={A1,B1,C1}n1→={A1,B1,C1} size 12{ {n rSub { size 8{1} } } cSup { size 8{ rightarrow } } = lbrace A rSub { size 8{1} } ,B rSub { size 8{1} } ,C rSub { size 8{1} } rbrace } {} и n2→={A2,B2,C2}n2→={A2,B2,C2} size 12{ {n rSub { size 8{2} } } cSup { size 8{ rightarrow } } = lbrace A rSub { size 8{2} } ,B rSub { size 8{2} } ,C rSub { size 8{2} } rbrace } {} и се пресметува со равенката

cosϕ=A1A2+B1B2+C1C2A12+B12+C12A22+B22+C22cosϕ=A1A2+B1B2+C1C2A12+B12+C12A22+B22+C22 size 12{"cos"ϕ= { {A rSub { size 8{1} } A rSub { size 8{2} } +B rSub { size 8{1} } B rSub { size 8{2} } +C rSub { size 8{1} } C rSub { size 8{2} } } over { sqrt {A rSub { size 8{1} rSup { size 8{2} } } +B rSub { size 8{1} rSup { size 8{2} } } +C rSub { size 8{1} rSup { size 8{2} } } } sqrt {A rSub { size 8{2} rSup { size 8{2} } } +B rSub { size 8{2} rSup { size 8{2} } } +C rSub { size 8{2} rSup { size 8{2} } } } } } } {}.

Од формулата за агол меѓу две рамнини следува дека двете рамнини ќе бидат паралелни ако

A1A2=B1B2=C1C2A1A2=B1B2=C1C2 size 12{ { {A rSub { size 8{1} } } over {A rSub { size 8{2} } } } = { {B rSub { size 8{1} } } over {B rSub { size 8{2} } } } = { {C rSub { size 8{1} } } over {C rSub { size 8{2} } } } } {},

а ќе бидат нормални ако

A1A2+B1B2+C1C2=0A1A2+B1B2+C1C2=0 size 12{A rSub { size 8{1} } A rSub { size 8{2} } +B rSub { size 8{1} } B rSub { size 8{2} } +C rSub { size 8{1} } C rSub { size 8{2} } =0} {}.

Пример 6. Да се пресмета аголот меѓу рамнините

3x − y + 2z + 15 = 0 3x − y + 2z + 15 = 0 size 12{3x - y+2z+"15"=0} {}

и

5x+9y−3z+2=05x+9y−3z+2=0 size 12{5x+9y - 3z+2=0} {}.

Решение. Применувајќи ја формулата за агол меѓу две рамнини cosϕ=3⋅5+(−1)⋅9+2⋅(−3)32+(−1)2+2252+92+(−3)2=0cosϕ=3⋅5+(−1)⋅9+2⋅(−3)32+(−1)2+2252+92+(−3)2=0 size 12{"cos"ϕ= { {3 cdot 5+ \( - 1 \) cdot 9+2 cdot \( - 3 \) } over { sqrt {3 rSup { size 8{2} } + \( - 1 \) rSup { size 8{2} } +2 rSup { size 8{2} } } sqrt {5 rSup { size 8{2} } +9 rSup { size 8{2} } + \( - 3 \) rSup { size 8{2} } } } } =0} {} следува дека ϕ=π2ϕ=π2 size 12{ϕ= { {π} over {2} } } {}. ◄

Пример 7. Да се состави равенка на рамнина која минува низ точката O(0,0,0)O(0,0,0) size 12{O \( 0,0,0 \) } {} и е нормална на двете рамнини 2x−y+2z+3=02x−y+2z+3=0 size 12{2x - y+2z+3=0} {} и x+3y−z−6=0x+3y−z−6=0 size 12{x+3y - z - 6=0} {}.

Решение. Бидејки бараната рамнина минува низ координатниот почеток, нејзината равенка е

Ax+By+Cz=0Ax+By+Cz=0 size 12{ ital "Ax"+ ital "By"+ ital "Cz"=0} {}.

Двете рамнини 2x−y+2z+3=02x−y+2z+3=0 size 12{2x - y+2z+3=0} {} и x+3y−z−6=0x+3y−z−6=0 size 12{x+3y - z - 6=0} {} имаат нормални вектори n1→={2,−1,2}n1→={2,−1,2} size 12{ {n rSub { size 8{1} } } cSup { size 8{ rightarrow } } = lbrace 2, - 1,2 rbrace } {} и n2→={1,3,−1}n2→={1,3,−1} size 12{ {n rSub { size 8{2} } } cSup { size 8{ rightarrow } } = lbrace 1,3, - 1 rbrace } {}. Бараната рамнина за да е нормална на двете рамнини треба да има нормален вектор n→n→ size 12{ {n} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} кој ќе биде нормален на векторите n1→n1→ size 12{ {n rSub { size 8{1} } } cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и n2→n2→ size 12{ {n rSub { size 8{2} } } cSup { size 8{ rightarrow } } } {}, односно n→=n1→×n2→n→=n1→×n2→ size 12{ {n} cSup { size 8{ rightarrow } } = {n rSub { size 8{1} } } cSup { size 8{ rightarrow } } times {n rSub { size 8{2} } } cSup { size 8{ rightarrow } } } {}. Пресметувајќи го векторот

n→=n1→×n2→=∣i→j→j→2−1213−1∣={−5,4,7}n→=n1→×n2→=∣i→j→j→2−1213−1∣={−5,4,7} size 12{ {n} cSup { size 8{ rightarrow } } = {n rSub { size 8{1} } } cSup { size 8{ rightarrow } } times {n rSub { size 8{2} } } cSup { size 8{ rightarrow } } = lline matrix { {i} cSup { size 8{ rightarrow } } {} # {j} cSup { size 8{ rightarrow } } {} # {j} cSup { size 8{ rightarrow } } {} ## 2 {} # - 1 {} # 2 {} ## 1 {} # 3 {} # - 1{} } rline = lbrace - 5,4,7 rbrace } {},

равенката на бараната рамнината е

−5x+4y+7z=0−5x+4y+7z=0 size 12{ - 5x+4y+7z=0} {}. ◄

Растојание од точка до рамнина

Под растојание од точката M0(x0,y0,z0)M0(x0,y0,z0) size 12{M rSub { size 8{0} } \( x rSub { size 8{0} } ,y rSub { size 8{0} } ,z rSub { size 8{0} } \) } {} до рамнина Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0 size 12{ ital "Ax"+ ital "By"+ ital "Cz"+D=0} {} се подразбира најкраткото растојание (нормалното) од точката до тамнината. Растојанието се пресме­ту­ва преку релацијата

d=∣Ax0+By0+Cz0+D∣A2+B2+C2d=∣Ax0+By0+Cz0+D∣A2+B2+C2 size 12{d= { { lline ` ital "Ax" rSub { size 8{0} } + ital "By" rSub { size 8{0} } + ital "Cz" rSub { size 8{0} } + D` rline } over { sqrt {A rSup { size 8{2} } +B rSup { size 8{2} } +C rSup { size 8{2} } } } } } {}.

Пример 8. Да се пресмета растојанието од точката A(0,1,5)A(0,1,5) size 12{A \( 0,1,5 \) } {} до рамнината

3x+6y−2z−5=03x+6y−2z−5=0 size 12{3x+6y - 2z - 5=0} {}.

Решение. Со едноставно применување на формулатa за растојание од точка до рамнина се добива дека растојанието

d=∣3⋅0+6⋅1−2⋅5−5∣32+62+(−2)2=∣−9∣7=97.d=∣3⋅0+6⋅1−2⋅5−5∣32+62+(−2)2=∣−9∣7=97. size 12{d= { { lline `3 cdot 0 + 6 cdot 1 - 2 cdot 5 - 5 ` rline } over { sqrt {3 rSup { size 8{2} } +6 rSup { size 8{2} } + \( - 2 \) rSup { size 8{2} } } } } = { { lline - 9 rline } over {7} } = { {9} over {7} } "." } {} ◄

Пример 9. Да се определи пресечната точка на рамнините

x+y+z−6=0,2x−y+z−3=0,x+2y−z−2=0x+y+z−6=0,2x−y+z−3=0,x+2y−z−2=0 size 12{x+y+z - 6=0,`2x - y+z - 3=0,`x+2y - z - 2=0} {}.

Решение. Пресечната точка MM size 12{M} {} на трите рамнини е нивната заедничка точка и нејзините координати ја задоволуваат равенката на секоја рамнина. Затоа се бара решението на системот равенки формиран од равенките на рамнините

x + y + z = 6 2x − y + z = 3 x + 2y − z = 2 x + y + z = 6 2x − y + z = 3 x + 2y − z = 2 alignl { stack { size 12{x+y+z=6} {} # size 12{2x - y+z=3} {} # size 12{x+2y - z=2} {} } } {}

преку Крамеровите формули. Детерминантите на системот се

D=∣1112−1112−1∣=D=∣1112−1112−1∣= size 12{D= lline matrix { 1 {} # 1 {} # 1 {} ## `2 {} # - 1 {} # 1 {} ## 1 {} # 2 {} # - 1`{} } rline ={}} {}7, Dx=∣6113−1122−1∣=Dx=∣6113−1122−1∣= size 12{D rSub { size 8{x} } = lline matrix { 6 {} # 1 {} # 1 {} ## `3 {} # - 1 {} # 1 {} ## 2 {} # 2 {} # - 1`{} } rline ={}} {}7,

D y = ∣ 1 6 1 2 3 1 1 2 − 1 ∣ = 14 , D z = ∣ 1 1 6 2 − 1 3 1 2 2 ∣ = 21 D y = ∣ 1 6 1 2 3 1 1 2 − 1 ∣ = 14 , D z = ∣ 1 1 6 2 − 1 3 1 2 2 ∣ = 21 size 12{D rSub { size 8{y} } = lline matrix { 1 {} # 6 {} # 1 {} ## `2 {} # 3 {} # 1 {} ## 1 {} # 2 {} # - 1`{} } rline ="14",~D rSub { size 8{z} } = lline matrix { 1 {} # 1 {} # 6 {} ## `2 {} # - 1 {} # 3 {} ## 1 {} # 2 {} # 2`{} } rline ="21"} {}

и бидејки D=7≠0D=7≠0 size 12{D=7 <> 0} {} системот има единствено решение x=DxD=1,y=DyD=2,z=DzD=3x=DxD=1,y=DyD=2,z=DzD=3 size 12{x= { {D rSub { size 8{x} } } over {D} } =1,~y= { {D rSub { size 8{y} } } over {D} } =2,~z= { {D rSub { size 8{z} } } over {D} } =3} {}

и тоа се координатите на пресечната точка, односно M(1,2,3)M(1,2,3) size 12{M \( 1,2,3 \) } {}. ◄

Content actions

Download module as:

PDF | EPUB (?)

What is an EPUB file?

EPUB is an electronic book format that can be read on a variety of mobile devices.

Downloading to a reading device

For detailed instructions on how to download this content's EPUB to your specific device, click the "(?)" link.

| More downloads ...

Add module to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks