Аголот меѓу правата и рамнината се определува како агол што го зафаќа правата со својата проекција врз рамнината и е даден со формулата

sinϕ=∣Al+Bm+Cn∣A2+B2+C2l2+m2+n2sinϕ=∣Al+Bm+Cn∣A2+B2+C2l2+m2+n2 size 12{"sin"ϕ= { { lline ` ital "Al"+ ital "Bm"+ ital "Cn"` rline } over { sqrt {A rSup { size 8{2} } +B rSup { size 8{2} } +C rSup { size 8{2} } } sqrt {l rSup { size 8{2} } +m rSup { size 8{2} } +n rSup { size 8{2} } } } } } {},

од каде следува дека правата и рамнината се паралелни ако

Al+Bm+Cn=0Al+Bm+Cn=0 size 12{ ital "Al"+ ital "Bm"+ ital "Cn"=0} {},

а нормални ако

Al=Bm=CnAl=Bm=Cn size 12{ { {A} over {l} } = { {B} over {m} } = { {C} over {n} } } {}.

Пример 1. Да се напише равенката на проекцијата на правата

5x − 4y − 2z − 5 = 0 x + 2z − 2 = 0 5x − 4y − 2z − 5 = 0 x + 2z − 2 = 0 alignl { stack { size 12{5x - 4y - 2z - 5=0} {} # size 12{x+2z - 2=0} {} } } {}

врз рамнината 2x−y+z−1=02x−y+z−1=0 size 12{2x - y+z - 1=0} {}.

Решение. Ако правата не е нормална на рамнината, проекцијата на правата врз рамнината е права. За да се определи проекцијата, низ правата се повлекува рамнина нормална на дадената рамнина и пресекот на тие две рамнини е бараната права (проекцијата). За таа цел правата се пишува во облик на сноп рамнини

односно во обликот

(5+λ)x−4y+(−2+2λ)z−5−2λ=0(5+λ)x−4y+(−2+2λ)z−5−2λ=0 size 12{ \( 5+λ \) x - 4y+ \( - 2+2λ \) z - 5 - 2λ=0} {}.

Нормалниот вектор на снопот рамнини е n1→={5+λ,−4,−2+2λ}n1→={5+λ,−4,−2+2λ} size 12{ {n rSub { size 8{1} } } cSup { size 8{ rightarrow } } = lbrace 5+λ, - 4, - 2+2λ rbrace } {}, а нормалниот вектор на дадената рамнина е n2→={2,−1,1}n2→={2,−1,1} size 12{ {n rSub { size 8{2} } } cSup { size 8{ rightarrow } } = lbrace 2, - 1,1 rbrace } {}. Овие вектори треба да се нормални и затоа

n1→⋅n1→=0n1→⋅n1→=0 size 12{ {n rSub { size 8{1} } } cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {n rSub { size 8{1} } } cSup { size 8{ rightarrow } } =0} {},

или изразено по координати

2(5+λ)−1(−4)+1(−2+2λ)=02(5+λ)−1(−4)+1(−2+2λ)=0 size 12{2 \( 5+λ \) - 1 \( - 4 \) +1 \( - 2+2λ \) =0} {},

од каде се добива дека λ=−3λ=−3 size 12{λ= - 3} {}. Заменувајќи ја оваа вредност во снопот рамнини се добива равенката на рамнина

2x − 4y − 8z + 1 = 0 2x − 4y − 8z + 1 = 0 size 12{2x - 4y - 8z+1=0} {}

која поминува низ дадената права и е нормална на дадената рамнина.

Системот од двете равенки на рамнини (добиената нормална рамнина и дадената рамнина)

2x − 4y − 8z + 1 = 0 2x − y + z − 1 = 0 2x − 4y − 8z + 1 = 0 2x − y + z − 1 = 0 alignl { stack { size 12{2x - 4y - 8z+1=0} {} # size 12{2x - y+z - 1=0} {} } } {}

ја дава равенката на проекцијата на правата врз рамнината зададена во општ вид како пресек на две рамнини. ◄

Пример 2. Да се определат координатите на точката M0(x0,y0,z0)M0(x0,y0,z0) size 12{M rSub { size 8{0} } \( x rSub { size 8{0} } ,y rSub { size 8{0} } ,z rSub { size 8{0} } \) } {} која е симетрична на точката A(1,0,2)A(1,0,2) size 12{A \( 1,0,2 \) } {} во однос на рамнината 2x+y−z+6=02x+y−z+6=0 size 12{2x+y - z+6=0} {}.

Решение. За да се опредли симетричната точка, низ точката AA size 12{A} {} се повелекува права нормална на рамнината (нормала). Векторот нормален на рамнината е

n→={2,1,−1}n→={2,1,−1} size 12{ {n} cSup { size 8{ rightarrow } } = lbrace 2,1, - 1 rbrace } {},

па равенката на нормалата е

x−12=y−01=z−2−1x−12=y−01=z−2−1 size 12{ { {x - 1} over {2} } = { {y - 0} over {1} } = { {z - 2} over { - 1} } } {},

или запишана со параметарски равенки

x = 1 + 2t y = t z = 2 − t . x = 1 + 2t y = t z = 2 − t . alignl { stack { size 12{x=1+2t} {} # size 12{y=t} {} # size 12{z=2 - t "." } {} } } {}

Прободот на нормалата со рамнината е точка која се добива како решение на системот равенки

2x + y − z + 6 = 0 x = 1 + 2t y = t z = 2 − t . 2x + y − z + 6 = 0 x = 1 + 2t y = t z = 2 − t . alignl { stack { size 12{2x+y - z+6=0} {} # size 12{x=1+2t} {} # size 12{y=t} {} # size 12{z=2 - t "." } {} } } {}

Овој систем се сведува на равенката

2(1+2t)+t−(2−t)+6=02(1+2t)+t−(2−t)+6=0 size 12{2 \( 1+2t \) +t - \( 2 - t \) +6=0} {},

од каде се добива дека t=−1t=−1 size 12{t= - 1} {} и со замена на оваа вредност во равенката на правата се добиваат координатите на точката на пробод B(−1,−1,3).B(−1,−1,3). size 12{B \( - 1,` - 1,`3 \) "." } {} Точката BB size 12{B} {} е средина меѓу точката A(1,0,2)A(1,0,2) size 12{A \( 1,0,2 \) } {} и точката M0(x0,y0,z0)M0(x0,y0,z0) size 12{M rSub { size 8{0} } \( x rSub { size 8{0} } ,y rSub { size 8{0} } ,z rSub { size 8{0} } \) } {} и нејзините координати се аритметичка средина од координатите на крајните точки

1 + x 0 2 = − 1, 0 + y 0 2 = − 1, 2 + z 0 2 = 3 1 + x 0 2 = − 1, 0 + y 0 2 = − 1, 2 + z 0 2 = 3 alignl { stack { size 12{ { {1+x rSub { size 8{0} } } over {2} } = - 1,~} {} # { {0+y rSub { size 8{0} } } over {2} } = - 1,~ {} # { {2+z rSub { size 8{0} } } over {2} } =3 {} } } {}

од каде

x 0 = − 3 y 0 = − 2 z 0 = 4, x 0 = − 3 y 0 = − 2 z 0 = 4, alignl { stack { size 12{x rSub { size 8{0} } = - 3} {} # y rSub { size 8{0} } = - 2 {} # z rSub { size 8{0} } =4, {} } } {}

и симетричната точка е M(−3,−2,4)M(−3,−2,4) size 12{M \( - 3, - 2,4 \) } {}. ◄

Две прави во простор секогаш не определуваат рамнина. Двете прави

x − x 1 l 1 = y − y 1 m 1 = z − z 1 n 1 x − x 1 l 1 = y − y 1 m 1 = z − z 1 n 1 size 12{ { {x - x rSub { size 8{1} } } over {l rSub { size 8{1} } } } = { {y - y rSub { size 8{1} } } over {m rSub { size 8{1} } } } = { {z - z rSub { size 8{1} } } over {n rSub { size 8{1} } } } } {}

и

x − x 2 l 2 = y − y 2 m 2 = z − z 2 n 2 x − x 2 l 2 = y − y 2 m 2 = z − z 2 n 2 size 12{ { {x - x rSub { size 8{2} } } over {l rSub { size 8{2} } } } = { {y - y rSub { size 8{2} } } over {m rSub { size 8{2} } } } = { {z - z rSub { size 8{2} } } over {n rSub { size 8{2} } } } } {}

определу­ваат рамнина само ако се компланарни, т.е. ако е исполнет условот за компланарност на трите вектори p→1p→1 size 12{ {p} cSup { size 8{ rightarrow } } rSub { size 8{1} } } {}, p→2p→2 size 12{ {p} cSup { size 8{ rightarrow } } rSub { size 8{2} } } {}и M1M2→M1M2→ size 12{ {M rSub { size 8{1} } M rSub { size 8{2} } } cSup { size 8{ rightarrow } } } {} кој се задава преку мешаниот производ

∣x2−x1y2−y1z2−z1l1m1n1l2m2n2∣=0∣x2−x1y2−y1z2−z1l1m1n1l2m2n2∣=0 size 12{ \lline matrix { x rSub { size 8{2} } - x rSub { size 8{1} } {} # y rSub { size 8{2} } - y rSub { size 8{1} } {} # z rSub { size 8{2} } - z rSub { size 8{1} } {} ## l rSub { size 8{1} } {} # m rSub { size 8{1} } {} # n rSub { size 8{1} } {} ## l rSub { size 8{2} } {} # m rSub { size 8{2} } {} # n rSub { size 8{2} } {} } \rline =0} {}.

Пример 3. Да се покаже дека правите

x = − 2 + t y = 3 + 2t z = 4 − t x = − 2 + t y = 3 + 2t z = 4 − t alignl { stack { size 12{x= - 2+t} {} # size 12{y=3+2t} {} # size 12{z=4 - t} {} } } {}

и

x = 3 − t y = 4 − 2t z = t x = 3 − t y = 4 − 2t z = t alignl { stack { size 12{x=3 - t} {} # size 12{y=4 - 2t} {} # size 12{z=t} {} } } {}

се паралелни и да се најде равенката на рамнината која ја определуваат двете прави.

Решение. (Прв начин)Векторите со кои се паралелни правите се

p→1p→1 size 12{ {p} cSup { size 8{ rightarrow } } rSub { size 8{1} } } {}= {1, 2, –1} и p→2p→2 size 12{ {p} cSup { size 8{ rightarrow } } rSub { size 8{2} } } {}= {–1, –2, 1},

a правите се паралелни бидејќи го задоволуваат условот за паралелност

1−1=2−2=−11=−11−1=2−2=−11=−1 size 12{ { {1} over { - 1} } = { {2} over { - 2} } = { { - 1} over {1} } = - 1} {}.

Равенката на рамнината низ двете паралелни прави ќе се добие ако се формира рамнина низ првата права (сноп рамнини) и низ точка од втората права. Првата права која е зададена во параметарски вид со равенките

се доведува во каноничен вид

x+21=y−32=z−4−1x+21=y−32=z−4−1 size 12{ { {x+2} over {1} } = { {y - 3} over {2} } = { {z - 4} over { - 1} } } {},

а потоа и во општ вид

и по средување

2x − y + 7 = 0 x + z − 2 = 0 . 2x − y + 7 = 0 x + z − 2 = 0 . alignl { stack { size 12{2x - y+7=0} {} # size 12{x+z - 2=0 "." } {} } } {}

Снопот рамнини што го дефинира оваа права е

и од него треба да се избере рамнината која поминува низ една точка од втората права, а таква е на пример точката (3, 4, 0). Со замена на нејзините координати во снопот рамнини се добива

2⋅3−4+7+λ(3+0−2)=02⋅3−4+7+λ(3+0−2)=0 size 12{2 cdot 3 - 4+7+λ \( 3+0 - 2 \) =0} {},

од каде λ=−9λ=−9 size 12{λ= - 9} {} и заменувајќи ја оваа вредност во снопот рамнини равенката на бараната рамнина e

7x+y+9z=257x+y+9z=25 size 12{7x+y+9z="25"} {}.

(Втор начин)Повеќето задачи од аналитичка геометрија дозволуваат разни начини на решавање. Оваа задача може да се сведе и на проблемот за компланарност на три вектори, кој е поедноставен начина за нејзино решавање. Затоа треба да се определат три вектори што ги определуваат овие две прави. Бидејќи правите се паралелни се зема само еден од векторите во правец на правите на пр. векторот p→1={1,2,−1}p→1={1,2,−1} size 12{ {p} cSup { size 8{ rightarrow } } rSub { size 8{1} } = lbrace 1,2, - 1 rbrace } {}. Вториот вектор е векторот меѓу две точки од правите. На првата права и припаѓа точката A(−2,3,4)A(−2,3,4) size 12{A \( - 2,3,4 \) } {} а на втората точката B(3,4,0)B(3,4,0) size 12{B \( 3,4,0 \) } {}, а векторот меѓу овие две точки е AB→={5,1,−4}.AB→={5,1,−4}. size 12{ { ital "AB"} cSup { size 8{ rightarrow } } = lbrace 5,`1,` - 4 rbrace "." } {}Третиот вектор AM→={x+2,y−3,z−4}AM→={x+2,y−3,z−4} size 12{ { ital "AM"} cSup { size 8{ rightarrow } } = lbrace x+2,`y - 3,z - 4 rbrace } {} е формиран меѓу произволна точка M(x,y,z)M(x,y,z) size 12{M \( x,y,z \) } {} од рамнината и една од дадените точки, на пример точката A(−2,3,4)A(−2,3,4) size 12{A \( - 2,3,4 \) } {}. Овие три вектори треба да се компланарни па затоа

∣x+2y−3z−412−151−4∣=0∣x+2y−3z−412−151−4∣=0 size 12{` lline matrix { x+2 {} # y - 3 {} # z - 4 {} ## 1 {} # 2 {} # - 1 {} ## 5 {} # 1 {} # - 4{} } ` rline =0} {},

од каде се добива равенката на бараната рамнина

7x+y+9z=257x+y+9z=25 size 12{7x+y+9z="25"} {}. ◄