1. Да се напише равенката на рамнината која минува низ точките:
A(−1,0,2)A(−1,0,2) size 12{A \( - 1,0,2 \) } {},
B(1,−1,−2)B(1,−1,−2) size 12{B \( 1, - 1, - 2 \) } {} и
C(0,1,5)C(0,1,5) size 12{C \( 0,1,5 \) } {}.
Решение.
(прв начин) Ги формираме векторите
AB→={2,−1,−4}AB→={2,−1,−4} size 12{ { ital "AB"} cSup { size 8{ rightarrow } } = lbrace 2, - 1, - 4 rbrace } {} и
AC→={1,1,3}AC→={1,1,3} size 12{ { ital "AC"} cSup { size 8{ rightarrow } } = lbrace 1,1,3 rbrace } {}. Векторите
AB→AB→ size 12{ { ital "AB"} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и
AC→AC→ size 12{ { ital "AC"} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се неколинеарни, па според тоа и точките
AA size 12{A} {},
BB size 12{B} {} и
CC size 12{C} {} се некомпланарни, односно низ нив минува единствена рамнина.
За равенката на рамнината ни е довoлно да имаме точка што и припаѓа и вектор што е нормален на неа.
Ја избираме точката
C(0,1,5)C(0,1,5) size 12{C \( 0,1,5 \) } {} од рамнината, а нормалниот вектор
AB→AB→ size 12{ { ital "AB"} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} го избираме да биде
AB→×AC→AB→×AC→ size 12{ { ital "AB"} cSup { size 8{ rightarrow } } times { ital "AC"} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} (слика 1).
Table 1
|
| Слика 1 |
AB→×AC→={∣−1−413∣,∣−4231∣,∣2−111∣}={1,−10,3}AB→×AC→={∣−1−413∣,∣−4231∣,∣2−111∣}={1,−10,3} size 12{ { ital "AB"} cSup { size 8{ rightarrow } } times { ital "AC"} cSup { size 8{ rightarrow } } = lbrace lline matrix {
- 1 {} # - 4 {} ##
1 {} # 3{}
} rline , lline matrix {
- 4 {} # 2 {} ##
3 {} # 1{}
} rline , lline matrix {
2 {} # - 1 {} ##
1 {} # 1{}
} rline rbrace = lbrace 1, - "10",3 rbrace } {}.
Бараната рамнина има равенка:
1(x−0)−10(y−1)+3(z−5)=01(x−0)−10(y−1)+3(z−5)=0 size 12{1 \( x - 0 \) - "10" \( y - 1 \) +3 \( z - 5 \) =0} {} , или средено:
x−10y+3z−5=0x−10y+3z−5=0 size 12{x - "10"y+3z - 5=0} {} .
(втор начин) Нека
X(x,y,z)X(x,y,z) size 12{X \( x,y,z \) } {} е произволна точка од бараната рамнина. Тогаш векторите
AB→AB→ size 12{ { ital "AB"} cSup { size 8{ rightarrow } } } {},
AC→AC→ size 12{ { ital "AC"} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и
AX→AX→ size 12{ { ital "AX"} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се компланарни, па нивниот мешан производ
(AB→,AC→,AX→)=0(AB→,AC→,AX→)=0 size 12{ \( { ital "AB"} cSup { size 8{ rightarrow } } , { ital "AC"} cSup { size 8{ rightarrow } } , { ital "AX"} cSup { size 8{ rightarrow } } \) =0} {} .
(AB→,AC→,AX→)=∣2−1−4113x+1yz−2∣=3(z−2)+(x+1)−10y=0(AB→,AC→,AX→)=∣2−1−4113x+1yz−2∣=3(z−2)+(x+1)−10y=0 size 12{ \( { ital "AB"} cSup { size 8{ rightarrow } } , { ital "AC"} cSup { size 8{ rightarrow } } , { ital "AX"} cSup { size 8{ rightarrow } } \) = lline matrix {
2 {} # - 1 {} # - 4 {} ##
1 {} # 1 {} # 3 {} ##
x+1 {} # y {} # z - 2{}
} rline =3 \( z - 2 \) + \( x+1 \) - "10"y=0} {}.
Или,
x−10y+3z−5=0x−10y+3z−5=0 size 12{x - "10"y+3z - 5=0} {}.
2. Да се напише равенката на рамнината која е паралелна со
xOyxOy size 12{ ital "xOy"} {} - рамнината и минува низ точката
A(1,1,1)A(1,1,1) size 12{A \( 1,1,1 \) } {}.
Решение.
Table 2
|
| Слика 2 |
Ако рамнината е паралелна на
xOyxOy size 12{ ital "xOy"} {} - рамнината, тоа значи дека е нормална на
zz size 12{z} {} - оската, односно, на ортот
k→={0,0,1}k→={0,0,1} size 12{ {k} cSup { size 8{ rightarrow } } = lbrace 0,0,1 rbrace } {}. Имаме
A∈∑A∈∑ size 12{A in sum } {},
k→⊥∑k→⊥∑ size 12{ {k} cSup { size 8{ rightarrow } } ortho sum } {}, каде
∑∑ size 12{ sum } {} е бараната рамнина, а нејзината равенка е
∑:0(x−1)+0(y−1)+1(z−1)=0∑:0(x−1)+0(y−1)+1(z−1)=0 size 12{ sum :0 \( x - 1 \) +0 \( y - 1 \) +1 \( z - 1 \) =0} {} , или
∑:z=1∑:z=1 size 12{ sum :z=1} {} .
3. Да се пресмета растојанието меѓу рамнините:
∑1:11x−2y+10z+15=0∑1:11x−2y+10z+15=0 size 12{ sum rSub { size 8{1} } :"11"x - 2y+"10"z+"15"=0} {} и
∑2:11x−2y+10z+45=0∑2:11x−2y+10z+45=0 size 12{ sum rSub { size 8{2} } :"11"x - 2y+"10"z+"45"=0} {} .
Решение.
Нормалниот вектор за двете рамнини е ист:
n1→=n2→={11,−2,10}n1→=n2→={11,−2,10} size 12{ {n rSub { size 8{1} } } cSup { size 8{ rightarrow } } = {n rSub { size 8{2} } } cSup { size 8{ rightarrow } } = lbrace "11", - 2,"10" rbrace } {}, но слободниот член им е различен, па следува
∑1∥ ∑2∑1∥ ∑2 size 12{ sum rSub { size 8{1} } \ldline ` sum rSub { size 8{2} } } {} и
∑1 ∑2∑1 ∑2 size 12{ sum rSub { size 8{1} } <> sum rSub { size 8{2} } } {} се различни.
Нека
M(x0,y0,z0)∈∑1M(x0,y0,z0)∈∑1 size 12{M \( x rSub { size 8{0} } ,y rSub { size 8{0} } ,z rSub { size 8{0} } \) in sum rSub { size 8{1} } } {}. Тогаш растојанието
dd size 12{d} {} од
∑1∑1 size 12{ sum rSub { size 8{1} } } {} до
∑2∑2 size 12{ sum rSub { size 8{2} } } {} се совпаѓа со растојанието од точката
MM size 12{M} {} до
∑2∑2 size 12{ sum rSub { size 8{2} } } {}. Имаме:
d=∣11x0−2y0+10z0+45∣112+(−2)2+102=∣(11x0−2y0+10z0+15)+30∣121+4+100=3015=2d=∣11x0−2y0+10z0+45∣112+(−2)2+102=∣(11x0−2y0+10z0+15)+30∣121+4+100=3015=2 size 12{d= { { lline "11"x rSub { size 8{0} } - 2y rSub { size 8{0} } +"10"z rSub { size 8{0} } +"45" rline } over { sqrt {"11" rSup { size 8{2} } + \( - 2 \) rSup { size 8{2} } +"10" rSup { size 8{2} } } } } = { { lline \( "11"x rSub { size 8{0} } - 2y rSub { size 8{0} } +"10"z rSub { size 8{0} } +"15" \) +"30" rline } over { sqrt {"121"+4+"100"} } } = { {"30"} over {"15"} } =2} {}.
4. Да се напише равенката на рамнината која минува низ точката
A(2,0,1)A(2,0,1) size 12{A \( 2,0,1 \) } {} и е нормална на пресечната права
pp size 12{p} {}на рамнините
∑1:2x−z=0∑1:2x−z=0 size 12{ sum rSub { size 8{1} } :2x - z=0} {} и
∑2:3y+2z−4=0∑2:3y+2z−4=0 size 12{ sum rSub { size 8{2} } :3y+2z - 4=0} {}.
Решение.
Нормалните вектори на рамнините
∑1∑1 size 12{ sum rSub { size 8{1} } } {} и
∑2∑2 size 12{ sum rSub { size 8{2} } } {} соодветно се:
n1→={2,0,−1}n1→={2,0,−1} size 12{ {n rSub { size 8{1} } } cSup { size 8{ rightarrow } } = lbrace 2,0, - 1 rbrace } {} и
n2→={0,3,2}n2→={0,3,2} size 12{ {n rSub { size 8{2} } } cSup { size 8{ rightarrow } } = lbrace 0,3,2 rbrace } {}.
Нека
∑∑ size 12{ sum } {} е бараната рамнина.
p∈∑1p∈∑1 size 12{p in sum rSub { size 8{1} } } {}, па следува
n1→⊥pn1→⊥p size 12{ {n rSub { size 8{1} } } cSup { size 8{ rightarrow } } ortho p} {}.
Слично,
p∈∑2p∈∑2 size 12{p in sum rSub { size 8{2} } } {}, па следува
n2→⊥pn2→⊥p size 12{ {n rSub { size 8{2} } } cSup { size 8{ rightarrow } } ortho p} {}.
Оттука, следува
p∥n1→×n2→p∥n1→×n2→ size 12{p \ldline ` {n rSub { size 8{1} } } cSup { size 8{ rightarrow } } times {n rSub { size 8{2} } } cSup { size 8{ rightarrow } } } {} , па од условот во задачата следува дека
∑n 1→×n2
→∑n 1→×n2
→ size 12{ sum ortho {n rSub { size 8{1} } } cSup { size 8{ rightarrow } } times {n rSub { size 8{2} } } cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се взаемно нормални.
Значи можеме да земеме нормалниот вектор на
∑∑ size 12{ sum } {} да биде
n→=n1→×n2→n→=n1→×n2→ size 12{ {n} cSup { size 8{ rightarrow } } = {n rSub { size 8{1} } } cSup { size 8{ rightarrow } } times {n rSub { size 8{2} } } cSup { size 8{ rightarrow } } } {}.
n→={∣0−132∣,∣−1220∣,∣2003∣}={3,−4,6}n→={∣0−132∣,∣−1220∣,∣2003∣}={3,−4,6} size 12{ {n} cSup { size 8{ rightarrow } } = lbrace lline matrix {
0 {} # - 1 {} ##
3 {} # 2{}
} rline , lline matrix {
- 1 {} # 2 {} ##
2 {} # 0{}
} rline , lline matrix {
2 {} # 0 {} ##
0 {} # 3{}
} rline rbrace = lbrace 3, - 4,6 rbrace } {}.
Добиваме
∑:3(x−2)−4(y−0)+6(z−1)=0∑:3(x−2)−4(y−0)+6(z−1)=0 size 12{ sum :3 \( x - 2 \) - 4 \( y - 0 \) +6 \( z - 1 \) =0} {} или
∑:3x−4y+6z−12=0∑:3x−4y+6z−12=0 size 12{ sum :3x - 4y+6z - "12"=0} {}.
