1. Да се напише равенката на правата која минува низ точките
A(−1,3,2)A(−1,3,2) size 12{A \( - 1,3,2 \) } {} и
B(1,5,−2)B(1,5,−2) size 12{B \( 1,5, - 2 \) } {}.
Решение.
Го формираме векторот
AB→={2,2,−4}AB→={2,2,−4} size 12{ { ital "AB"} cSup { size 8{ rightarrow } } = lbrace 2,2, - 4 rbrace } {}.
Нека
pp size 12{p} {} е бараната права. Имаме
p∥AB→p∥AB→ size 12{p \ldline ` { ital "AB"} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и
A(−1,3,2)∈pA(−1,3,2)∈p size 12{A \( - 1,3,2 \) in p} {} . Тогаш,
p:x+12=y−32=z−2−4p:x+12=y−32=z−2−4 size 12{p: { {x+1} over {2} } = { {y - 3} over {2} } = { {z - 2} over { - 4} } } {} .
2. Да се напише равенката на правата која е нормална на правите
p1:x2=y−31=z+13p1:x2=y−31=z+13 size 12{p rSub { size 8{1} } : { {x} over {2} } = { {y - 3} over {1} } = { {z+1} over {3} } } {} и
p2:x+11=y−1=z−11p2:x+11=y−1=z−11 size 12{p rSub { size 8{2} } : { {x+1} over {1} } = { {y} over { - 1} } = { {z - 1} over {1} } } {} , а минува низ средината на отсечката со крајни точки
A(1,0,2)A(1,0,2) size 12{A \( 1,0,2 \) } {} и
B(5,−2,8)B(5,−2,8) size 12{B \( 5, - 2,8 \) } {} .
Решение.
Нека
SS size 12{S} {} е средина на отсечката
ABAB size 12{ ital "AB"} {}. Тогаш
SS size 12{S} {} има координати:
s1=1+52=3s1=1+52=3 size 12{s rSub { size 8{1} } = { {1+5} over {2} } =3} {},
s2=0−22=−1s2=0−22=−1 size 12{s rSub { size 8{2} } = { {0 - 2} over {2} } = - 1} {},
s3=2+82=5s3=2+82=5 size 12{s rSub { size 8{3} } = { {2+8} over {2} } =5} {}.
Нека
pp size 12{p} {} е бараната права. Имаме
p⊥p1p⊥p1 size 12{p ortho p rSub { size 8{1} } } {} , па
p⊥p1→p⊥p1→ size 12{p ortho {p rSub { size 8{1} } } cSup { size 8{ rightarrow } } } {} . Исто така,
p⊥p2p⊥p2 size 12{p ortho p rSub { size 8{2} } } {}, па
p⊥p2→p⊥p2→ size 12{p ortho {p rSub { size 8{2} } } cSup { size 8{ rightarrow } } } {} .
Правите
p1p1 size 12{p rSub { size 8{1} } } {} и
p2p2 size 12{p rSub { size 8{2} } } {} не се паралелни, бидејќи нивните соодветни паралелни вектори не се колинеарни. Следува
p1→×p2→∥pp1→×p2→∥p size 12{ {p rSub { size 8{1} } } cSup { size 8{ rightarrow } } times {p rSub { size 8{2} } } cSup { size 8{ rightarrow } } \ldline `p} {} (слика 1).
Table 1
|
| Слика 1 |
p1→={2,1,3}p1→={2,1,3} size 12{ {p rSub { size 8{1} } } cSup { size 8{ rightarrow } } = lbrace 2,1,3 rbrace } {},
p2→={1,−1,1}p2→={1,−1,1} size 12{ {p rSub { size 8{2} } } cSup { size 8{ rightarrow } } = lbrace 1, - 1,1 rbrace } {}.
p1→×p2→={∣13−11∣,∣3211∣,∣211−1∣}={4,1,−3}p1→×p2→={∣13−11∣,∣3211∣,∣211−1∣}={4,1,−3} size 12{ {p rSub { size 8{1} } } cSup { size 8{ rightarrow } } times {p rSub { size 8{2} } } cSup { size 8{ rightarrow } } = lbrace lline matrix {
1 {} # 3 {} ##
- 1 {} # 1{}
} rline , lline matrix {
3 {} # 2 {} ##
1 {} # 1{}
} rline , lline matrix {
2 {} # 1 {} ##
1 {} # - 1{}
} rline rbrace = lbrace 4,1, - 3 rbrace } {} .
S(3,−1,5)∈pS(3,−1,5)∈p size 12{S \( 3, - 1,5 \) in p} {}, па каноничниот облик на равенка на правата
pp size 12{p} {}
е
p:x−34=y+11=z−5−3p:x−34=y+11=z−5−3 size 12{p: { {x - 3} over {4} } = { {y+1} over {1} } = { {z - 5} over { - 3} } } {} .
3. Да се состави равенка на нормалата спуштена од точката
A(4,3,0)A(4,3,0) size 12{A \( 4,3,0 \) } {} врз рамнината
x+y+2z−1=0.x+y+2z−1=0. size 12{x+y+2z - 1=0 "." } {}
Решение.
Нормалата е права која е нормална на рамнината, односно права која е паралелна со нејзиниот нормален вектор
n→={1,1,2}n→={1,1,2} size 12{ {n} cSup { size 8{ rightarrow } } = lbrace 1,1,2 rbrace } {} (слика 2).
Table 2
|
| Слика 2 |
Тогаш, равенката на
nn size 12{n} {} ќе биде:
n:x−41=y−31=z2n:x−41=y−31=z2 size 12{n: { {x - 4} over {1} } = { {y - 3} over {1} } = { {z} over {2} } } {} .
4. Да се најде пресечната точка
PP size 12{P} {} на правата
p:x2=y+11=z−25p:x2=y+11=z−25 size 12{p: { {x} over {2} } = { {y+1} over {1} } = { {z - 2} over {5} } } {} со рамнината
∑:x−2y+3z−23=0∑:x−2y+3z−23=0 size 12{ sum :x - 2y+3z - "23"=0} {}, а потоа низ
PP size 12{P} {} да се повлече нормала на
∑∑ size 12{ sum } {}.
Решение.
Равенката на
pp size 12{p} {} можеме да ја запишеме во следниов облик:
p:{x=2ty=t−1z=5t+2p:{x=2ty=t−1z=5t+2 size 12{p: left lbrace matrix {
x=2t~ {} ##
y=t - 1` {} ##
z=5t+2
} right none } {} ,
tt size 12{t} {} е реален број.
Пресечната точка
P(p1,p2,p3)P(p1,p2,p3) size 12{P \( p rSub { size 8{1} } ,p rSub { size 8{2} } ,p rSub { size 8{3} } \) } {} ги задоволува равенките и на
pp size 12{p} {} и на
∑∑ size 12{ sum } {}.
Тоа значи дека постои некое
t0t0 size 12{t rSub { size 8{0} } } {}, така што
p1=2t0p1=2t0 size 12{p rSub { size 8{1} } =2t rSub { size 8{0} } } {},
p2=t0−1p2=t0−1 size 12{p rSub { size 8{2} } =t rSub { size 8{0} } - 1} {},
p3=5t0+2p3=5t0+2 size 12{p rSub { size 8{3} } =5t rSub { size 8{0} } +2} {}, а од равенката на
∑∑ size 12{ sum } {} имаме
2t0−2(t0−1)+3(5t0+2)−23=02t0−2(t0−1)+3(5t0+2)−23=0 size 12{2t rSub { size 8{0} } - 2 \( t rSub { size 8{0} } - 1 \) +3 \( 5t rSub { size 8{0} } +2 \) - "23"=0} {}. Оттука,
15t0−15=015t0−15=0 size 12{"15"t rSub { size 8{0} } - "15"=0} {}, односно
t0=1t0=1 size 12{t rSub { size 8{0} } =1} {}.
Така, добиваме
p1=1p1=1 size 12{p rSub { size 8{1} } =1} {},
p2=0p2=0 size 12{p rSub { size 8{2} } =0} {} и
p3=7p3=7 size 12{p rSub { size 8{3} } =7} {}. Значи, ја добиваме
P(1,0,7)P(1,0,7) size 12{P \( 1,0,7 \) } {}.
Нека
nn size 12{n} {} е правата низ
PP size 12{P} {} која е нормална на
∑∑ size 12{ sum } {} (слика 3).
Table 3
|
| Слика 3 |
Тогаш
nn size 12{n} {} е паралелна со нормалниот вектор на
∑∑ size 12{ sum } {},
n→={1,−2,3}n→={1,−2,3} size 12{ {n} cSup { size 8{ rightarrow } } = lbrace 1, - 2,3 rbrace } {}, па
nn size 12{n} {} ја има следнава равенка:
n:x−11=y−2=z−73n:x−11=y−2=z−73 size 12{n: { {x - 1} over {1} } = { {y} over { - 2} } = { {z - 7} over {3} } } {} .
