Skip to content Skip to navigation

OpenStax-CNX

You are here: Home » Content » n-ДИМЕНЗИОНАЛЕН ПРОСТОР

Navigation

Recently Viewed

This feature requires Javascript to be enabled.
 

n-ДИМЕНЗИОНАЛЕН ПРОСТОР

Module by: Liljana Stefanovska. E-mail the author

Summary: Се воведува поимот за n-дименионален простор и метрички простор со Евклидова или произволна метрика. Се дефинираат поимите за n-сфера како оклина на точка, внатрешна и гранична точка како и отворенено и затворено ножество. The n-dimensional space is introduced with Euclid or generalized metrics.

Дефиниција. Множеството од сите подредени nn size 12{n - {}} {}торки X=(x1,x2,...,xn)X=(x1,x2,...,xn) size 12{X= \( x rSub { size 8{1} } ,x rSub { size 8{2} } , "." "." "." ,x rSub { size 8{n} } \) } {} реални броеви се нарекува n-димензионален простор и се означува RnRn size 12{R rSup { size 8{n} } } {}. X X size 12{X} {} се нарекува точка на просторот RnRn size 12{R rSup { size 8{n} } } {}, додека реалните броеви x1,x2,...,xnx1,x2,...,xn size 12{x rSub { size 8{1} } ,x rSub { size 8{2} } , "." "." "." ,x rSub { size 8{n} } } {} се координати на точката XX size 12{X} {}.

За n=1n=1 size 12{n=1} {} просторот RR size 12{R} {} е еднодимензионален и тоа е бројната оска, за n=2n=2 size 12{n=2} {} просторот R2R2 size 12{R rSup { size 8{2} } } {} е дводимензионален и тоа е рамнината, а за n=3n=3 size 12{n=3} {} просторот R3R3 size 12{R rSup { size 8{3} } } {} е тродимензионален и се нарекува само простор.

Две точки X=(x1,x2,...,xn)X=(x1,x2,...,xn) size 12{X= \( x rSub { size 8{1} } ,x rSub { size 8{2} } , "." "." "." ,x rSub { size 8{n} } \) } {} и Y=(y1,y2,...,yn)Y=(y1,y2,...,yn) size 12{Y= \( y rSub { size 8{1} } ,y rSub { size 8{2} } , "." "." "." ,y rSub { size 8{n} } \) } {} се совпаѓаат ако и само ако xi=yi,xi=yi, size 12{x rSub { size 8{i} } =y rSub { size 8{i} } ,} {}(i=1,2,...,n)(i=1,2,...,n) size 12{ \( i=1,2, "." "." "." ,n \) } {} и се пишува XYXY size 12{X equiv Y} {}. Во спротивно, точките не се совпаѓаат и се означува XYXY size 12{X <> Y} {}.

На две точки X X size 12{X} {} и Y,(X Y )Y,(X Y ) size 12{Y, \( X <> Y \) } {} од просторот RnRn size 12{R rSup { size 8{n} } } {} може да им се придружи ненегативан реалан број d(X,Y)d(X,Y) size 12{d \( X,Y \) } {} наречен растојание меѓу тoчките XX size 12{X} {} и YY size 12{Y} {} кое ги задоволува условите:

  1. d(X,Y)=0XYd(X,Y)=0XY size 12{d \( X,Y \) =0` dlrarrow X equiv Y} {} ,
  2. d(X,Y)=d(Y,X)d(X,Y)=d(Y,X) size 12{d \( X,Y \) =d \( Y,X \) } {} ,
  3. d(X,Y)d(X,Z)+d(Z,Y)d(X,Y)d(X,Z)+d(Z,Y) size 12{d \( X,Y \) <= d \( X,Z \) +d \( Z,Y \) } {} .

Бројот d(X,Y)d(X,Y) size 12{d \( X,Y \) } {} определува метрика dd size 12{d} {} во просторот RnRn size 12{R rSup { size 8{n} } } {}, a просторот RnRn size 12{R rSup { size 8{n} } } {} се нарекува метрички простор и се означува со (Rn,d)(Rn,d) size 12{ \( R rSup { size 8{n} } ,d \) } {}.

Вообичаена метрика во просторот RnRn size 12{R rSup { size 8{n} } } {} е Евклидовата метрика која понатаму ќе ја користиме и таа го определува најкраткото праволиниско растојание меѓу две точки X X size 12{X} {} и Y Y size 12{Y} {} со равенката

d(X,Y)=(x1y1)2+...+(xnyn)2=k=1n(xkyk)21/2d(X,Y)=(x1y1)2+...+(xnyn)2=k=1n(xkyk)21/2 size 12{d \( X,Y \) = sqrt { \( x rSub { size 8{1} } - y rSub { size 8{1} } \) rSup { size 8{2} } + "." "." "." + \( x rSub { size 8{n} } - y rSub { size 8{n} } \) rSup { size 8{2} } } = left ( Sum rSub { size 8{k=1} } rSup { size 8{n} } { \( x rSub { size 8{k} } - y rSub { size 8{k} } \) rSup { size 8{2} } } right ) rSup { size 8{1/2} } } {}.

Постои и поопшта, наречена lplp size 12{l rSup { size 8{p} } - {}} {}метрика која се дефинира со

dp(X,Y)=k=1nxkykp1/p,dp(X,Y)=k=1nxkykp1/p, size 12{d rSub { size 8{p} } \( X,Y \) = left ( Sum rSub { size 8{k=1} } rSup { size 8{n} } { \lline x rSub { size 8{k} } - y rSub { size 8{k} } \lline rSup { size 8{p} } } right ) rSup { size 8{1/p} } ,} {}p>0p>0 size 12{p>0} {}.

За n=2n=2 size 12{n=2} {}, lplp size 12{l rSup { size 8{p} } - {}} {}метриката се сведува на Евклидовата метрика d2(X,Y)d2(X,Y) size 12{d rSub { size 8{2} } \( X,Y \) } {} која претставува најкратко (праволиниско) растојание меѓу двете точки X X size 12{X} {} и Y Y size 12{Y} {} во рамнина.

Една од наједноставните површини во nn size 12{n - {}} {}димензионалниот метрички простор е сферата.

Дефиниција. Сфера со центар во точката A=(a1,a2,...,an)A=(a1,a2,...,an) size 12{A= \( a rSub { size 8{1} } ,a rSub { size 8{2} } , "." "." "." ,a rSub { size 8{n} } \) } {} и полупречник RR size 12{R} {} е множеството точки XRnXRn size 12{X in R rSup { size 8{n} } } {} кои го задоволуваат условот d2(X,A)=Rd2(X,A)=R size 12{d rSub { size 8{2} } \( X,A \) =R} {} и има равенка

(x1a1)2+(x2a2)2+...+(xnan)2=R2(x1a1)2+(x2a2)2+...+(xnan)2=R2 size 12{ \( x rSub { size 8{1} } - a rSub { size 8{1} } \) rSup { size 8{2} } + \( x rSub { size 8{2} } - a rSub { size 8{2} } \) rSup { size 8{2} } + "." "." "." + \( x rSub { size 8{n} } - a rSub { size 8{n} } \) rSup { size 8{2} } =R rSup { size 8{2} } } {}.

На Сл. 1. се дадени примери на 2- и 3-димензионални nn size 12{n - {}} {}сфери.

Површината на nn size 12{n - {}} {} сферата го дели дели просторотRnRn size 12{R rSup { size 8{n} } } {} на два дела. Внатрешниот дел заедно со површината на сферата се нарекува nn size 12{n - {}} {}сфера или nn size 12{n - {}} {}топкасо полупречникRR size 12{R} {} и се означува со K(A,R)K(A,R) size 12{K \( A,R \) } {} и се определува со неравенството dn(X,A)Rdn(X,A)R size 12{d rSub { size 8{n} } \( X,A \) <= R} {}.

Дефиниција. Сферата K(A,ε)={XRnd2(X,A)ε}K(A,ε)={XRnd2(X,A)ε} size 12{K \( A,ε \) = lbrace X in R rSup { size 8{n} } \lline d rSub { size 8{2} } \( X,A \) <= ε rbrace } {} се нарекува сферна εε size 12{ε - {}} {} околина на точката AA size 12{A} {}, а бројот ε>0ε>0 size 12{ε>0} {} е полупречник на околината.

Во дводимензионалниот простор R2R2 size 12{R rSup { size 8{2} } } {} сферна εε size 12{ε - {}} {}околина на точката A(x0,y0)A(x0,y0) size 12{A \( x rSub { size 8{0} } ,y rSub { size 8{0} } \) } {} е множе­ството точки од внатрешноста на кругот со центар во точката AA size 12{A} {} и радиус εε size 12{ε} {}, т.е.

(x,y)K(A,ε)xx02+yy02ε(x,y)K(A,ε)xx02+yy02ε size 12{ \( x,y \) in K \( A,ε \) dlrarrow ~ nroot {} { left (x - x rSub { size 8{0} } right ) rSup { size 8{2} } + left (y - y rSub { size 8{0} } right ) rSup { size 8{2} } } <= ε} {} .

Table 1
graphics1.png
Слика 1. Единични p-сфери во 2- и 3- димензионален простор за различни вредности на p

Во дводимензионалниот простор сферната околина на дадена точка е круг, додека во еднодимензионалниот простор сферната околина е интервал.

Нека го разгледуваме дводимензионалниот простор R2R2 size 12{R rSup { size 8{2} } } {} и нека во него е дадено произволно множество. Точката A(x0,y0)A(x0,y0) size 12{A \( x rSub { size 8{0} } ,y"" lSub { size 8{0} } \) } {} се нарекува внатрешна точка за множеството ако постои кружница со центар во точката A(x0,y0)A(x0,y0) size 12{A \( x rSub { size 8{0} } ,y"" lSub { size 8{0} } \) } {} и радиус εε size 12{ε} {}која содржи само точки од множеството. Ако во секоја кружница со радиус εε size 12{ε} {}и центар во точката A(x0,y0)A(x0,y0) size 12{A \( x rSub { size 8{0} } ,y"" lSub { size 8{0} } \) } {} се наоѓаат и точки кои не припаѓаат на множеството, точката се нарекува гранична точка за тоа множество.

Важни особини за множествата се затвореноста/отвореноста и ограниченоста/ неограниченоста.

Дефиниција. Множеството се нарекува затворено ако тоа ги содржи своите гранични точки, а во спротивно тоа е отворено.

Исто така множеството може да биде ограничено или неограничено.

Во еднодимензионалниот простор RR size 12{R} {} едно множество е ограничено ако тоа може да се смести во внатрешноста на еден конечен интервал. Во просторот R2R2 size 12{R rSup { size 8{2} } } {} множесвото е ограничено ако постои правоаголник со конечни страни во кој се наоѓаат сите точки од множеството и аналогно, во просторот R3R3 size 12{R rSup { size 8{3} } } {} множеството е ограничено ако постои паралелопипед со конечни страни во кој се сместени сите точки од множеството.

Content actions

Download module as:

Add module to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks