Дефиниција. Секое пресликување
ff size 12{f} {}, кое произволно подмножество од множеството
RnRn size 12{R rSup { size 8{n} } } {} го пресликува во подмножество од
RR size 12{R} {} се нарекува реална функција од n реални променливи.
Дефиниција. Подмножеството кое се пресликува се нарекува домен (дефинициона област) на функцијата
ff size 12{f} {} и се означува со
DfDf size 12{D rSub { size 8{f} } } {}, а неговата слика е кодомен на функцијата
ff size 12{f} {} и се означува со
Df−1Df−1 size 12{D rSub { size 8{f} } rSup { size 8{ - 1} } } {}.
Table 1
|
| Слика 1. Функција од n-променливи |
Функцијата од n променливи вообичаено се означува со
f:Rn→R f:Rn→R size 12{f:R rSup { size 8{n} } rightarrow ital "R "} {} или
f:Df→Df−1f:Df→Df−1 size 12{ f:D rSub { size 8{f} } rightarrow D rSub { size 8{f} } rSup { size 8{ - 1} } } {} , односно со
Y=f(X)=f(x1,x2,...,xn)Y=f(X)=f(x1,x2,...,xn) size 12{Y=f \( X \) =f \( x rSub { size 8{1} } ,x rSub { size 8{2} } , "." "." "." ,x rSub { size 8{n} } \) } {}.
Дефиниција. Функција со две променливи е пресликување на доменот
DxyDxy size 12{D rSub { size 8{ ital "xy"} } } {} во
RR size 12{R} {}, односно
f:R2→R f:R2→R size 12{f:R rSup { size 8{2} } rightarrow ital "R "} {} и се означува со
z=f(x,y)z=f(x,y) size 12{z=f \( x,y \) } {} каде
(x,y)∈R2(x,y)∈R2 size 12{ \( x,y \) in R rSup { size 8{2} } } {}.
Функцијата од две променливи графички се претставува како дел од површина во простор, т.е. како множество точки во просторот
Γ={(x,y,f(x,y))∣(x,y)∈Dxy}Γ={(x,y,f(x,y))∣(x,y)∈Dxy} size 12{Γ= lbrace \( x,y,f \( x,y \) \) \lline \( x,y \) in D rSub { size 8{ ital "xy"} } rbrace } {}.
Пример 1. На Сл. 2. а) е прикажан дел од графикот на функцијата
f(x,y)=2+e−x/3−y/4cos(3.2x)cos(1.4y)f(x,y)=2+e−x/3−y/4cos(3.2x)cos(1.4y) size 12{f \( x,y \) =2+e rSup { size 8{ - x/3 - y/4} } "cos" \( 3 "." 2x \) "cos" \( 1 "." 4y \) } {},
над правоаголниот домен
Dxy={1,2.5}×{0.5,2.3}Dxy={1,2.5}×{0.5,2.3} size 12{D rSub { size 8{ ital "xy"} } = lbrace 1,2 "." 5 rbrace times lbrace 0 "." 5,2 "." 3 rbrace } {}. ◄
Table 2
 а) |
| Слика 2. а) График на дел од функција со две променливи над правоаголен домен |
Освен што функцијата со две променливи графички се прикажува како дел од површина во простор, таа може да се прикаже и во рамнина преку проекција на ниво-линиите на дадената површината.
Дефиниција. Ниво линии на една површина над доменот
DxyDxy size 12{D rSub { size 8{ ital "xy"} } } {}е множеството на точки на висина
z=Cz=C size 12{z=C} {}, т.е.
Nc={f(x,y)=C∣(x,y)∈Dxy,C∈R}Nc={f(x,y)=C∣(x,y)∈Dxy,C∈R} size 12{N rSub { size 8{c} } = lbrace f \( x,y \) =C \lline \( x,y \) in D rSub { size 8{ ital "xy"} } ,C in R rbrace } {}.
Најчесто некој дел од површина во простор се претставува со низа од ниво-линии
NC1,NC2,...,NCkNC1,NC2,...,NCk size 12{N rSub { size 8{C rSub { size 6{1} } } } ,N rSub {C rSub { size 6{2} } } size 12{, "." "." "." ,N rSub {C rSub { size 6{k} } } }} {} кои одговараат на низата константи
C1<C2<...<CkC1<C2<...<Ck size 12{C rSub { size 8{1} } <C rSub { size 8{2} } < "." "." "." <C rSub { size 8{k} } } {} кои се бираат така да го покриваат интервалот од минималната до максималната вредност на функцијата
ff size 12{f} {}над дадениот домен. На Сл. 2. б) прикажани се 11 ниво-линии на површината од Сл. 2. а).
Table 3
 б) |
| Слика 2. б) Ниво линии на истата функција. |
На Слика 3 а) прикажана е проекцијата на ниво линиите од Слика 2.
Table 4
а) б) |
| Слика 3. Ниво линии-проекција; Изохипси |
Доменот на функција од две променливи се определува во дводимензионален простор, односно во
xOy−xOy− size 12{ ital "xOy" - {}} {}рамнината. Во најопшт случај тоа е рамнина или некој нејзин дел и се определува според обликот на функцијата и нејзините огранучувања.
Пример 2. Да се определи и нацрта доменот на функцијата
а)
f(x,y)=x+y+x−yf(x,y)=x+y+x−y size 12{f \( x,y \) = sqrt {x+y} + sqrt {x - y} } {};
б)
f(x,y)=arcsinyx+2x−x2−y2f(x,y)=arcsinyx+2x−x2−y2 size 12{f \( x,y \) ="arcsin" { {y} over {x} } + sqrt {2x - x rSup { size 8{2} } - y rSup { size 8{2} } } } {}.
Решение. а) Бидејќи функцијатаf(x,y)f(x,y) size 12{f \( x,y \) } {} е дефинирана преку збир од две функции, нејзиниот домен ќе биде пресек на домените за секоја поединечна функција од збирот. Доменот на функцијата квадратен корен се определува од условот подкореновата величина да е ненегативна и затоа дадената функција ќе биде дефинирана за
x+y≥0x+y≥0 size 12{x+y >= 0} {} и
x−y≥0x−y≥0 size 12{x - y >= 0} {}, односно за
y≥−xy≥−x size 12{y >= - x} {} и
y≤xy≤x size 12{y <= x} {}.
Графичкиот приказ на овие неравенства е (Сл. 4):
- делот од рамнината од I квадрант со правата
y=xy=x size 12{y=x} {} и под неа;
- делот од IV квадрант со правата
y=−xy=−x size 12{y= - x} {} и рамнината над неа.
Table 5
|
| Слика 4. Домен на функцијата
z=x+y+x−yz=x+y+x−y size 12{z= sqrt {x+y} + sqrt {x - y} } {} |
б) И оваа функција е дефинирана како збир на две функции. Аркус синус е функција дефинирана за вредности на аргументот кои се по апсолутна вредност помали или еднакви на 1, па затоа функцијата
arcsinyxarcsinyx size 12{"arcsin" { {y} over {x} } } {} ќе биде дефинирана за
∣yx∣≤1⇔−1≤yx≤1∣yx∣≤1⇔−1≤yx≤1 size 12{ lline ` { {y} over {x} } ` rline <= 1~ dlrarrow ~ - 1 <= { {y} over {x} } <= 1} {} и x ≠ 0,
додека втората функција од збирот е квадратен корен
2x−x2−y22x−x2−y2 size 12{ sqrt {2x - x rSup { size 8{2} } - y rSup { size 8{2} } } } {} и е дефинирана за
2x−x2−y2≥02x−x2−y2≥0 size 12{2x - x rSup { size 8{2} } - y rSup { size 8{2} } >= 0} {}. На Слика 5 графички е прикажан доменот на функцијата
ff size 12{f} {} кој е решение на системот неравенки
∣y∣≤∣x∣∧x≠0∧(x−1)2+y2≤1∣y∣≤∣x∣∧x≠0∧(x−1)2+y2≤1 size 12{ \lline y \lline <= \lline x \lline and x <> 0 and \( x - 1 \) rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } <= 1} {}.
Table 6
|
|
| Слика 5. Домен на функцијата
f(x,y)=arcsinyx+2x−x2−y2f(x,y)=arcsinyx+2x−x2−y2 size 12{f \( x,y \) ="arcsin" { {y} over {x} } + sqrt {2x - x rSup { size 8{2} } - y rSup { size 8{2} } } } {}. |
