Бидејќи функција со две промеливи претставува површина во простор, таа може графички да се претстави во тродимензионален простор. Листот хартија на кој се претставува површина е дводимензионален, што тоа значи дека при графичкото претставување на функции со две променливи се намалува димензијата на просторот за еден, односно вршиме проекција на тродимензионалниот во дводимензионален простор. Пресметувањето на вредностите на функцијата за дадена точка не ни помага во графичкото претставување на функцијата, бидејки во просторот се добиваат бесконечно многу точки кои е тешко да се поврзат и од нив да се воочи обликот на површината. Затоа од помош се ниво-линиите кои го даваат обликот на кривата која се добива како пресек на површината
F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0 size 12{F \( x,y,z \) =0} {} со рамнини паралелни со координатните рамнини,
x=Cx=C size 12{x=C} {} или
y=Cy=C size 12{y=C} {} или
z=Cz=C size 12{z=C} {}.
Графички ќе ги прикажеме стандардните (елементарни) функции од две променливи. Тие се квадратните функции и од облик
Ax2+By2+Cz2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J=0Ax2+By2+Cz2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J=0 size 12{Ax rSup { size 8{2} } +By rSup { size 8{2} } +Cz rSup { size 8{2} } +D ital "xy"+E ital "xz"+F ital "yz"+Gx+Hy+Iz+J=0} {}.
Стандардните квадратни функции чии равенки се добиваат од наведената квадратна равенка се: сфера, елипсоид, параболоид, хиперболоид со едно или две крила, конус, хиперболичен параболоид, цилиндрични површини и рамнини. Рамнина се добива за
A=B=C=D=E=F=0A=B=C=D=E=F=0 size 12{A=B=C=D=E=F=0} {}, а рамнините беа подетално изучени во делот за Аналитичка геометрија во простор.
Сферата уште се нарекува и топка. Равенката на сфера со центар во точката
(x0,y0,z0)(x0,y0,z0) size 12{ \( x rSub { size 8{0} } ,y rSub { size 8{0} } ,z rSub { size 8{0} } \) } {} и радиус
RR size 12{R} {} е
(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2=R2(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2=R2 size 12{ \( x - x rSub { size 8{0} } \) rSup { size 8{2} } + \( y - y rSub { size 8{0} } \) rSup { size 8{2} } + \( z - z rSub { size 8{0} } \) rSup { size 8{2} } =R rSup { size 8{2} } } {}.
Специјално, сферата (Сл. 1) кога нејзиниот центар е во координатниот почеток
O(0,0,0)O(0,0,0) size 12{O \( 0,0,0 \) } {} е прикажана на Сл.1 и таа е со равенка
x2+y2+z2=R2x2+y2+z2=R2 size 12{x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } +z rSup { size 8{2} } =R rSup { size 8{2} } } {}.
Table 1
|
| Слика 1. Сфера со центар во координатниот почеток |
Кај сферата, сите пресеци со координатните рамнини се централни кружници со радиус
RR size 12{R} {}, а пресеците со рамнини паралелни со координатните рамнини и на растојание помало од радиусот
RR size 12{R} {} исто така се кружници.
Општата равенка на елипсоид со центар во точката
(x0,y0,z0)(x0,y0,z0) size 12{ \( x rSub { size 8{0} } ,y rSub { size 8{0} } ,z rSub { size 8{0} } \) } {} и оски
a,b,ca,b,c size 12{a,b,c} {} е
(x−x0)2a2+(y−y0)2b2+(z−z0)2c2=1(x−x0)2a2+(y−y0)2b2+(z−z0)2c2=1 size 12{ { { \( x - x rSub { size 8{0} } \) rSup { size 8{2} } } over {a rSup { size 8{2} } } } + { { \( y - y rSub { size 8{0} } \) rSup { size 8{2} } } over {b rSup { size 8{2} } } } + { { \( z - z rSub { size 8{0} } \) rSup { size 8{2} } } over {c rSup { size 8{2} } } } =1} {}.
Специјален елипсоид (Сл. 2) е кога центарот е во координатниот почеток
O(0,0,0)O(0,0,0) size 12{O \( 0,0,0 \) } {} и има равенка
x2a2+y2b2+z2c2=1x2a2+y2b2+z2c2=1 size 12{ { {x rSup { size 8{2} } } over {a rSup { size 8{2} } } } + { {y rSup { size 8{2} } } over {b rSup { size 8{2} } } } + { {z rSup { size 8{2} } } over {c rSup { size 8{2} } } } =1} {}.
Table 2
|
| Слика 2. Елипсоид со центар во координатниот почеток |
Кај елипсоидот, сите пресеци со координатните рамнини или рамнини паралелни со нив (на растојание помало од оските) се елипси.
Површината
z
2
=
x
2
+
y
2
z
2
=
x
2
+
y
2
size 12{z rSup { size 8{2} } =x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } {}
е конусната површина или накусо конус (Сл. 3) со теме во координатниот почеток, издолжувањето е по
z−z− size 12{z - {}} {}оската, а пресеците со рамнини паралелни со
xOyxOy size 12{ ital "xOy"} {} рамнината се кружници. Пресеците со рамнини паралелни со координатните рамнини
yOzyOz size 12{ ital "yOz"} {} и
xOzxOz size 12{ ital "xOz"} {} се хиперболи.
Table 3
|
| Слика 3. Конус |
Поопшта равенка на конусна површина е елипсовидниот конус кај кого пресеците со рамнини паралелни со
xOyxOy size 12{ ital "xOy"} {} рамнината се елипси. Таквиот конус има равенка
z2=x2a2+y2b2z2=x2a2+y2b2 size 12{z rSup { size 8{2} } = { {x rSup { size 8{2} } } over {a rSup { size 8{2} } } } + { {y rSup { size 8{2} } } over {b rSup { size 8{2} } } } } {}.
Уште поопшта равенка на конусна површина е кога темето е во точката
(x0,y0,z0)(x0,y0,z0) size 12{ \( x rSub { size 8{0} } ,y rSub { size 8{0} } ,z rSub { size 8{0} } \) } {} и тогаш конусот е со равенка
(z−z0)2=(x−x0)2a2+(y−y0)2b2(z−z0)2=(x−x0)2a2+(y−y0)2b2 size 12{ \( z - z rSub { size 8{0} } \) rSup { size 8{2} } = { { \( x - x rSub { size 8{0} } \) rSup { size 8{2} } } over {a rSup { size 8{2} } } } + { { \( y - y rSub { size 8{0} } \) rSup { size 8{2} } } over {b rSup { size 8{2} } } } } {}.
Еднокрилниот хиперболоид има равенка
x2+y2−z2=R2x2+y2−z2=R2 size 12{x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } - z rSup { size 8{2} } =R rSup { size 8{2} } } {},
и тоа е површина која е издолжена по
z−z− size 12{z - {}} {}оската (Сл. 4). Пресеците со рамнини паралелни со
xOyxOy size 12{ ital "xOy"} {} рамнината се кружници чии радиуси се поголеми од
RR size 12{R} {}, а пресеците со рамнини паралелни со координатните рамнини
yOzyOz size 12{ ital "yOz"} {} и
xOzxOz size 12{ ital "xOz"} {} се хиперболи.
Table 4
|
| Слика 4. Еднокрилен хиперболоид |
Кај елипсовидниот еднокрилен хиперболоид пресеците со рамнини паралелни со
xOyxOy size 12{ ital "xOy"} {}рамнината се елипси и тој има равенка
x2a2+y2b2−z2c2=1x2a2+y2b2−z2c2=1 size 12{ { {x rSup { size 8{2} } } over {a rSup { size 8{2} } } } + { {y rSup { size 8{2} } } over {b rSup { size 8{2} } } } - { {z rSup { size 8{2} } } over {c rSup { size 8{2} } } } =1} {}.
Површината со равенка
{}
x
2
+
y
2
−
z
2
=
−
R
2
x
2
+
y
2
−
z
2
=
−
R
2
size 12{x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } - z rSup { size 8{2} } = - R rSup { size 8{2} } } {}
се нарекува двокрилен хиперболоид.
Table 5
|
| Слика 5. Двокрилен хиперболоид |
Двете крила на хиперболоидот се распространети вдолж
z−z− size 12{z - {}} {}оската и има темиња во
z=±Rz=±R size 12{z= +- R} {}. Пресеците со рамнини паралелни со
xOyxOy size 12{ ital "xOy"} {} рамнината се кружници, а пресеците со рамнини паралелни со координатните рамнини
yOzyOz size 12{ ital "yOz"} {} и
xOzxOz size 12{ ital "xOz"} {} се хиперболи (Сл. 5). Двокрилниот хиперболоид исто така може да биде и елипсовиден и тој е со равенка
x2a2+y2b2−z2c2=−1x2a2+y2b2−z2c2=−1 size 12{ { {x rSup { size 8{2} } } over {a rSup { size 8{2} } } } + { {y rSup { size 8{2} } } over {b rSup { size 8{2} } } } - { {z rSup { size 8{2} } } over {c rSup { size 8{2} } } } = - 1} {}.
Параболоидот е површина која е зададена со равенката
cz
=
x
2
+
y
2
,
c
−
const
.
cz
=
x
2
+
y
2
,
c
−
const
.
size 12{ ital "cz"=x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } ,`~c - ital "const" "." } {}
Неговата равенка е квадратана функција по две променливи а по третата е линерна. За
c>0c>0 size 12{c>0} {} параболоидот е површина за која
z≥0z≥0 size 12{z >= 0} {} и се наоѓа во првите четири октанти. Темето е во координатниот почеток, пресеците со рамнини паралелни со
xOyxOy size 12{ ital "xOy"} {} рамнината се кружници, а пресеците со рамнини паралелни со координатните
yOzyOz size 12{ ital "yOz"} {} и
xOzxOz size 12{ ital "xOz"} {} рамнини се параболи (Сл.6).
Table 6
|
| Слика 6. Параболоид |
За
c<0c<0 size 12{c<0} {} параболоидот со отворот е свртен надолу. Поошт вид е елипсовидниот параболоид чии пресеци со рамнини паралелни со
xOyxOy size 12{ ital "xOy"} {}рамнината се елипси и има равенка
cz=x2a2+y2b2cz=x2a2+y2b2 size 12{ ital "cz"= { {x rSup { size 8{2} } } over {a rSup { size 8{2} } } } + { {y rSup { size 8{2} } } over {b rSup { size 8{2} } } } } {}.
Хиперболичниот параболоид има равенка
z=x2−y2z=x2−y2 size 12{z=x rSup { size 8{2} } - y rSup { size 8{2} } } {}.
Table 7
|
| Слика 7. Хиперболичен параболоид |
Тоа е површина чии пресеци со рамнини паралелни со
xOyxOy size 12{ ital "xOy"} {} рамнината се хиперболи, а пресеците со рамнини паралелни со координатните
yOzyOz size 12{ ital "yOz"} {} и
xOzxOz size 12{ ital "xOz"} {} рамнини се параболи (Сл. 7). Поопшт облик на хиперболичен параболоид се задава со равенката
z=x2a2−y2b2z=x2a2−y2b2 size 12{z= { {x rSup { size 8{2} } } over {a rSup { size 8{2} } } } - { {y rSup { size 8{2} } } over {b rSup { size 8{2} } } } } {}.
Површини во простор во чија равенка се јавуваат само две променливи се нарекува цилиндрична површина. Најкарактеристична цилиндрична површина е цилиндерот.
Равенката
x
2
+
y
2
=
R
2
x
2
+
y
2
=
R
2
size 12{x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } =R rSup { size 8{2} } } {}
претставува цилиндер во простор чија основа е централна кружница во
xOyxOy size 12{ ital "xOy"} {} рамнината и изводниците од секоја точка од кружницата се паралелни со
z−z− size 12{z - {}} {}оската (Сл. 8).
Table 8
|
| Слика 8. Цилиндер |
