За функција од две променливи ќе дефинираме гранична вредност.
Дефиниција. Функцијата
f(x,y)=f(X)f(x,y)=f(X) size 12{f \( x,y \) =f \( X \) } {} има гранична вредност (граница)LL size 12{L} {} во точката
A=(a,b)∈Df⊂R2A=(a,b)∈Df⊂R2 size 12{A= \( a,b \) in D rSub { size 8{f} } subset R rSup { size 8{2} } } {} ако за секој произволен број
ε>0ε>0 size 12{ε>0} {} постои број
δ=δ(ε)>0δ=δ(ε)>0 size 12{δ=δ \( ε \) >0} {} така што од
X∈K(A,δ)X∈K(A,δ) size 12{X in K \( A,δ \) } {} следува дека
f(A)∈K(L,ε)f(A)∈K(L,ε) size 12{f \( A \) in K \( L,ε \) } {} и се означува
lim
X
→
A
f
(
X
)
=
L
lim
X
→
A
f
(
X
)
=
L
size 12{ {"lim"} cSub { size 8{X rightarrow A} } f \( X \) =L} {}
при што
X→AX→A size 12{X rightarrow A} {} означува дека
x→a,y→bx→a,y→b size 12{x rightarrow a,y rightarrow b} {} .
Значи бројот
LL size 12{L} {} е гранична вредност на функцијата
f(x,y)=f(X)f(x,y)=f(X) size 12{f \( x,y \) =f \( X \) } {} во точката
A=(a,b)A=(a,b) size 12{A= \( a,b \) } {} ако функцијата
f(X)→Lf(X)→L size 12{f \( X \) rightarrow L} {} кога
X→AX→A size 12{X rightarrow A} {}. Приближувањето на точката
XX size 12{X} {} кон точката
AA size 12{A} {} е произволно, што значи дека точката
XX size 12{X} {} може да се проближува по било која крива (патека) кон точката
AA size 12{A} {}.
Пример 1. Да се најде граничната вредност на функцијата
f(x,y)=xyx2+y2f(x,y)=xyx2+y2 size 12{f \( x,y \) = { { ital "xy"} over {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } } } {} во произволна точка
A=(a,b)A=(a,b) size 12{A= \( a,b \) } {}.
Решение. Ако
(a,b)≠(0,0)(a,b)≠(0,0) size 12{ \( a,b \) <> \( 0,0 \) } {}, тогаш
limx→a,y→bf(x,y)=aba2+b2limx→a,y→bf(x,y)=aba2+b2 size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a,y rightarrow b} } f \( x,y \) = { { ital "ab"} over {a rSup { size 8{2} } +b rSup { size 8{2} } } } } {}.
Table 1
|
| Слика 1. Приближување кон координатниот почеток по права |
Ако
(a,b)=(0,0)(a,b)=(0,0) size 12{ \( a,b \) = \( 0,0 \) } {}, тогаш
(x,y)→(0,0)(x,y)→(0,0) size 12{ \( x,y \) rightarrow \( 0,0 \) } {} и приближувањето на точката
(x,y)(x,y) size 12{ \( x,y \) } {} кон координатниот почеток може да се одвива на бесконечно многу начини. Ако тоа приближување е на пример по правата y=kx,(k∈R)y=kx,(k∈R) size 12{y= ital "kx", \( k in R \) } {} (Сл.1), тогаш
limx→0,y→kxf(x,y)=limx→0,y→kxxyx2+y2=k1+k2limx→0,y→kxf(x,y)=limx→0,y→kxxyx2+y2=k1+k2 size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 0,y rightarrow ital "kx"} } f \( x,y \) = {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 0,y rightarrow ital "kx"} } { { ital "xy"} over {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } } = { {k} over {1+k rSup { size 8{2} } } } } {},
што значи дека ганичната вредност зависи од коефициентот на правецот
kk size 12{k} {} од правата по која точката
(x,y)(x,y) size 12{ \( x,y \) } {} се приближува кон координатниот почеток и означува дека единствена гранична вредност не постои. ◄
Аналогно на дефиницијта за непрекинатост на функција од една променлива, се дефинира непрекинатост на функција од две променливи.
Дефиниција. Функцијата
f(x,y)f(x,y) size 12{f \( x,y \) } {} дефинирана во околина на точката
AA size 12{A} {} е непрекината во таа точка ако
limX→Af(X)=f(A)limX→Af(X)=f(A) size 12{ {"lim"} cSub { size 8{X rightarrow A} } f \( X \) =f \( A \) } {}.
Непрекинатоста на функција во точка означува дека постои гранична вредност во таа точка и таа е еднаква со вредноста на функцијата во истата точка.
За функцијата
ff size 12{f} {} се вели дека е непрекината во множеството
DD size 12{D} {} ако таа е непрекината во секоја точка од тоа множество.
Ќе наведеме некои основни својства на непрекинатите функции дефинирани во затворено и ограничено множество
DD size 12{D} {}:
- Сума и производ на напрекинати функции е непрекината функција. Количник од непрекинати функции е непрекината функција во сите точки во кои именителот е различен од нула.
- Секоја функција
ff size 12{f} {} непрекината во дадено множествоDD size 12{D} {} е ограничена во тоа множество.
- Во множествотоDD size 12{D} {} постои најмалку една точка во која непрекинатата функцијаff size 12{f} {} има најголема вредност и најмалку една точка од множествотоDD size 12{D} {} во која функцијата има најмала вредност.
- Ако во две произволни точки
A1,A2∈DA1,A2∈D size 12{A rSub { size 8{1} } ,A rSub { size 8{2} } in D} {} за кои
a=f(A1)a=f(A1) size 12{a=f \( A rSub { size 8{1} } \) } {},
b=f(A2)b=f(A2) size 12{b=f \( A rSub { size 8{2} } \) } {} и ако
a<ba<b size 12{a<b} {}, тогаш функцијата
ff size 12{f} {} ги прима сите вредности од интервалот
[a,b][a,b] size 12{ \[ a,b \] } {}.
