m21355 ПАРЦИЈАЛНИ ИЗВОДИ ОД ПРВ РЕД 1.5 2009/04/06 07:49:19 GMT-5 2009/04/24 10:26:14.224 GMT-5 Liljana R. Stefanovska Liljana Stefanovska liljana24@gmail.com Liljana R. Stefanovska Liljana Stefanovska liljana24@gmail.com Liljana R. Stefanovska Liljana Stefanovska liljana24@gmail.com partial derivative парцијален извод Mathematics and Statistics Се дефинира парцијален извод на функција со повеке променливи и негово геометриско толкување. Partial derivatives of a function of two or more variables is defined and their geometric significance. mk Нека функцијата z=f(x1,x2,...,xn) size 12{z=f \( x rSub { size 8{1} } ,x rSub { size 8{2} } , "." "." "." ,x rSub { size 8{n} } \) } {} е дефинирана во околина на точката A(a1,a2,...,an) size 12{A \( a rSub { size 8{1} } ,a rSub { size 8{2} } , "." "." "." ,a rSub { size 8{n} } \) } {}.

Разликата Δx k = x k − a k size 12{Δx rSub { size 8{k} } =x rSub { size 8{k} } - a rSub { size 8{k} } } {} се нарекува нараснување на променливата xk size 12{x rSub { size 8{k} } } {}, а разликата Δ k f ( A ) = f ( a 1 , . . . , a k + Δx k , . . . , a n ) − f ( a 1 , . . . , a k , . . . , a n ) size 12{Δ rSub { size 8{k} } f \( A \) =f \( a rSub { size 8{1} } , "." "." "." ,a rSub { size 8{k} } +Δx rSub { size 8{k} } , "." "." "." ,a rSub { size 8{n} } \) - f \( a rSub { size 8{1} } , "." "." "." ,a rSub { size 8{k} } , "." "." "." ,a rSub { size 8{n} } \) } {} парцијално нараснување на функцијата f size 12{f} {} во точката A size 12{A} {} по променливата xk size 12{x rSub { size 8{k} } } {}.

Ако постои граничната вредност lim Δx k → 0 Δ k f ( A ) Δx k = lim Δx k → 0 f ( a 1 , . . . , a k + Δx k , . . . , a n ) − f ( a 1 , . . . , a k , . . . , a n ) Δx k size 12{ {"lim"} cSub { size 8{Δx rSub { size 6{k} } rightarrow 0} } { {Δ rSub {k} size 12{f \( A \) }} over {Δx rSub {k} } } size 12{ {}= {"lim"} cSub {Δx rSub { size 6{k} } rightarrow 0} { { size 12{f \( a rSub {1} size 12{, "." "." "." ,a rSub {k} } size 12{+Δx rSub {k} } size 12{, "." "." "." ,a rSub {n} } size 12{ \) - f \( a rSub {1} } size 12{, "." "." "." ,a rSub {k} } size 12{, "." "." "." ,a rSub {n} } size 12{ \) }} } over { size 12{Δx rSub {k} } } } }} {} таа се нарекува парцијален извод на функцијата f size 12{f} {} по променливата xk size 12{x rSub { size 8{k} } } {} во точката A size 12{A} {} и се означува со ∂f(A)∂xk size 12{ { { partial f \( A \) } over { partial x rSub { size 8{k} } } } } {} или fxk'(A) size 12{ { {f}} sup { ' } rSub { size 8{x rSub { size 6{k} } } } \( A \) } {} или ∂z(A)∂xk size 12{ { { partial z \( A \) } over { partial x rSub { size 8{k} } } } } {} или zxk' size 12{ { {z}} sup { ' } rSub { size 8{x rSub { size 6{k} } } } } {}. Изразот ∂f(A)∂xk size 12{ { { partial f \( A \) } over { partial x rSub { size 8{k} } } } } {} скратено ја означува вредноста на изводот во дадена точка ∂f(X)∂xk∣X=A size 12{ { { partial f \( X \) } over { partial x rSub { size 8{k} } } } \rline rSub { size 8{X=A} } } {}. За функција со две променливи z=f(x,y) size 12{z=f \( x,y \) } {} се дефинираат два парцијални извода, по секоја независна променлива. Нека A(x0,y0) size 12{A \( x rSub { size 8{0} } ,y rSub { size 8{0} } \) } {} е точка од дефиниционата област на функцијата f(x,y) size 12{f \( x,y \) } {} и нека Δx size 12{Δx} {} и Δy size 12{Δy} {} се соодветните нараснувања на променливите x size 12{x} {} и y size 12{y} {}.

Парцијален извод по променливата x за фунцијата f(x,y) size 12{f \( x,y \) } {} во точката A(x0,y0) size 12{A \( x rSub { size 8{0} } ,y rSub { size 8{0} } \) } {} е граничната вредност lim Δx → 0 f ( x 0 + Δx , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) Δx = ∂ f ( x 0 , y 0 ) ∂ x . size 12{ {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } { {f \( x rSub { size 8{0} } +Δx,y rSub { size 8{0} } \) - f \( x rSub { size 8{0} } ,y rSub { size 8{0} } \) } over {Δx} } = { { partial f \( x rSub { size 8{0} } ,y rSub { size 8{0} } \) } over { partial x} } "." } {} Аналогно,

Парцијален извод по променливата y з а фунцијата f(x,y) size 12{f \( x,y \) } {} во точката А(x₀, y₀) е граничната вредност lim Δy → 0 f ( x 0 , y 0 + Δy ) − f ( x 0 , y 0 ) Δy = ∂ f ( x 0 , y 0 ) ∂ y . size 12{ {"lim"} cSub { size 8{Δy rightarrow 0} } { {f \( x rSub { size 8{0} } ,y rSub { size 8{0} } +Δy \) - f \( x rSub { size 8{0} } ,y rSub { size 8{0} } \) } over {Δy} } = { { partial f \( x rSub { size 8{0} } ,y rSub { size 8{0} } \) } over { partial y} } "." } {} Парцијалните изводи ∂f(x0,y0)∂x,∂f(x0,y0)∂y size 12{ { { partial f \( x rSub { size 8{0} } ,y rSub { size 8{0} } \) } over { partial x} } ``,` { { partial f \( x rSub { size 8{0} } ,y rSub { size 8{0} } \) } over { partial y} } } {} на функцијата f(x,y) size 12{f \( x,y \) } {} обично се пресме­туваат во произволна точка X(x,y) size 12{X \( x,y \) } {} од дефиниционата област. Кога се бара парцијал­ниот извод по променливата x size 12{x} {}, промелнливата y size 12{y} {} се смета за константа и обратно. Парцијалните изводи се означуваат со некоја од ознаките: парцијален извод по x size 12{x} {} : fx'(x,y),fx',zx',∂f∂x,∂z∂x size 12{ { {f}} sup { ' } rSub { size 8{x} } \( x,y \) ,`` { {f}} sup { ' } rSub { size 8{x} } ,`` { {z}} sup { ' } rSub { size 8{x} } `,`` { { partial f} over { partial x} } ,`` { { partial z} over { partial x} } } {} ; парцијален извод по y size 12{y} {} : fy'(x,y),fy',zy',∂f∂y,∂z∂y size 12{ { {f}} sup { ' } rSub { size 8{y} } \( x,y \) ,`` { {f}} sup { ' } rSub { size 8{y} } ,`` { {z}} sup { ' } rSub { size 8{y} } `,`` { { partial f} over { partial y} } ,`` { { partial z} over { partial y} } } {}. Пример 1. Да се најдат парцијалните изводи на функцијата z=lnx2+y2−xx2+y2+x size 12{z="ln" { { sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } - x} over { sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } +x} } } {}. Решение. Зададената функција е функција од две независни променливи и затоа ќе има два парцијални извода по секоја променлива. Се пресметува парцијалниот извод по променливата x size 12{x} {}: ∂ z ∂ x = 1 x 2 + y 2 − x x 2 + y 2 + x x 2 + y 2 − x x 2 + y 2 + x x ′ = size 12{~ { { partial z} over { partial x} } = { {1} over { { { sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } - x} over { sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } +x} } } } left ( { { sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } - x} over { sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } +x} } right ) rSub { size 8{x} rSup { size 8{′} } } ={}} {} = x 2 + y 2 + x x 2 + y 2 − x ⋅ x x 2 + y 2 − 1 x 2 + y 2 + x − x 2 + y 2 − x x x 2 + y 2 + 1 x 2 + y 2 + x 2 = size 12{ {}= left ( { { sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } +x} over { sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } - x} } right ) cdot { { left ( { {x} over { sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } } } - 1 right ) left ( sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } +x right ) - left ( sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } - x right ) left ( { {x} over { sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } } } +1 right )} over { left ( sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } +x right ) rSup { size 8{2} } } } ={}} {} = x 2 + y 2 + x x 2 + y 2 − x ⋅ x − x 2 + y 2 x 2 + y 2 + x − x 2 + y 2 − x x + x 2 + y 2 x 2 + y 2 x 2 + y 2 + x 2 = size 12{ {}= left ( { { sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } +x} over { sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } - x} } right ) cdot { { { { left (x - sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } right ) left ( sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } +x right ) - left ( sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } - x right ) left (x+ sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } right )} over { sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } } } } over { left ( sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } +x right ) rSup { size 8{2} } } } ={}} {} {} = x 2 + y 2 + x x 2 + y 2 − x ⋅ x 2 − x 2 − y 2 − x 2 + y 2 − x 2 x 2 + y 2 x 2 + y 2 + x 2 = size 12{ {}= left ( { { sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } +x} over { sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } - x} } right ) cdot { {x rSup { size 8{2} } - x rSup { size 8{2} } - y rSup { size 8{2} } - left (x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } - x rSup { size 8{2} } right )} over { sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } left ( sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } +x right ) rSup { size 8{2} } } } ={}} {} =−2y2x2+y2x2+y2−xx2+y2+x= size 12{ {}= { { - 2y rSup { size 8{2} } } over { sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } left ( sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } - x right ) left ( sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } +x right )} } ={}} {}=−2y2x2+y2x2+y2−x2=−2y2y2x2+y2=−2x2+y2 size 12{ {}= { { - 2y rSup { size 8{2} } } over { sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } left (x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } - x rSup { size 8{2} } right )} } = { { - 2y rSup { size 8{2} } } over {y rSup { size 8{2} } sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } } } = { { - 2} over { sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } } } } {}, од каде следува дека {}∂z∂x=−2x2+y2 size 12{ { { partial z} over { partial x} } = { { - 2} over { sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } } } } {}. Сега се пресметува и парцијалниот извод по променливата y size 12{y} {}: ∂ z ∂ y = 1 x 2 + y 2 − x x 2 + y 2 + x x 2 + y 2 − x x 2 + y 2 + x y ′ = x 2 + y 2 + x x 2 + y 2 − x ⋅ y x 2 + y 2 x 2 + y 2 + x − x 2 + y 2 − x y x 2 + y 2 x 2 + y 2 + x 2 = size 12{ { { partial z} over { partial y} } = { {1} over { { { sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } - x} over { sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } +x} } } } left ( { { sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } - x} over { sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } +x} } right ) rSub { size 8{y} rSup { size 8{′} } } = left ( { { sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } +x} over { sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } - x} } right ) cdot { { { {y} over { sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } } } left ( sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } +x right ) - left ( sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } - x right ) { {y} over { sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } } } } over { left ( sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } +x right ) rSup { size 8{2} } } } ={}} {} = x 2 + y 2 + x x 2 + y 2 − x ⋅ y x 2 + y 2 + x − y x 2 + y 2 − x x 2 + y 2 x 2 + y 2 + x 2 = size 12{ {}= left ( { { sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } +x} over { sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } - x} } right ) cdot { {y left ( sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } +x right ) - y left ( sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } - x right )} over { sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } left ( sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } +x right ) rSup { size 8{2} } } } ={}} {} =yx2+y2+x−x2+y2−xx2+y2x2+y2−xx2+y2+x= size 12{ {}= { {y left ( sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } +x - sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } - x right )} over { sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } left ( sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } - x right ) left ( sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } +x right )} } ={}} {}2xyx2+y2x2+y2−x2=2xyy2x2+y2=2xyx2+y2 size 12{ { {2 ital "xy"} over { sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } left (x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } - x rSup { size 8{2} } right )} } = { {2 ital "xy"} over {y rSup { size 8{2} } sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } } } = { {2x} over {y sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } } } } {}, и се добива ∂z∂y=2xyx2+y2 size 12{ { { partial z} over { partial y} } = { {2x} over {y sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } } } } {}. ◄ Од важност се следните тврдења: (Потребни услови за диференцијабилност) Ако функција z=f(x,y) size 12{z=f \( x,y \) } {} е диференцијабилна во дадена точка, тогаш постојат сите парцијални изводи во таа точка. (Доволен услов за диференцијабилност) Ако функција z=f(x,y) size 12{z=f \( x,y \) } {} во околина на дадена точка има непрекинати парцијални изводи по секоја променлива, тогаш таа е диференцијабилна во таа точка. Ако функцијата z=f(x,y) size 12{z=f \( x,y \) } {} е диференцијабилна во дадена точка, тогаш таа е непрекината во таа точка.

Нека го разгледуваме делот од графикот на диферен­цијабилната функција z=f(x,y) size 12{z=f \( x,y \) } {} во точката A(x0,y0)∈Df size 12{A \( x rSub { size 8{0} } ,y rSub { size 8{0} } \) in D rSub { size 8{f} } } {}. Ако во функцијата f(x,y) size 12{f \( x,y \) } {} променливата y size 12{y} {} се фиксира со константна вредност y0 size 12{y rSub { size 8{0} } } {},_{тогаш таа се смета за функција со една променлива x size 12{x} {}, односно ϕ(x)=f(x,y0) size 12{ϕ \( x \) =f \( x,y rSub { size 8{0} } \) } {}, а нејзиниот график претставува крива која се добива како пресек на разгледуваниот дел од површината и рамнината y=const=y0 size 12{y= ital "const"=y rSub { size 8{0} } } {}.} Слика 1. Геометриско толкување на парцијалниот извод по x Наклонот на тангентата tgα size 12{α} {} на оваа крива во точката A size 12{A} {} во однос на позитивната насока на x− size 12{x - {}} {}оската е парцијалниот извод (Сл. 1) fx'(A)=∂f(A)∂x=tgα. size 12{ { {f}} sup { ' } rSub { size 8{x} } \( A \) = { { partial f \( A \) } over { partial x} } = bold "tg"`α "." } {} Слика 2. Геометриско толкување на парцијалниот извод по y size 12{y} {} Аналогно, со фиксирање на x=x0 size 12{x=x rSub { size 8{0} } } {}, функцијата z=f(x,y) size 12{z=f \( x,y \) } {} се сведува на функција со една променлива y size 12{y} {}, односно ψ(y)=f(x0,y) size 12{ψ \( y \) =f \( x rSub { size 8{0} } ,y \) } {}, а наклонот на тангентата на оваа крива која лежи во рамнината x=x0 size 12{x=x rSub { size 8{0} } } {} е парцијалниот извод (Сл. 2) fy'(A)=∂f(A)∂y=tgβ. size 12{ { {f}} sup { ' } rSub { size 8{y} } \( A \) = { { partial f \( A \) } over { partial y} } ="tg"β "." } {}