Skip to content Skip to navigation

Connexions

You are here: Home » Content » ПАРЦИЈАЛНИ ИЗВОДИ ОД ПРВ РЕД

Navigation

Recently Viewed

This feature requires Javascript to be enabled.
 

ПАРЦИЈАЛНИ ИЗВОДИ ОД ПРВ РЕД

Module by: Liljana Stefanovska. E-mail the author

Summary: Се дефинира парцијален извод на функција со повеке променливи и негово геометриско толкување. Partial derivatives of a function of two or more variables is defined and their geometric significance.

Нека функцијата z=f(x1,x2,...,xn)z=f(x1,x2,...,xn) size 12{z=f \( x rSub { size 8{1} } ,x rSub { size 8{2} } , "." "." "." ,x rSub { size 8{n} } \) } {} е дефинирана во околина на точката A(a1,a2,...,an)A(a1,a2,...,an) size 12{A \( a rSub { size 8{1} } ,a rSub { size 8{2} } , "." "." "." ,a rSub { size 8{n} } \) } {}.

Дефиниција.

Разликата

Δx k = x k − a k Δx k = x k − a k size 12{Δx rSub { size 8{k} } =x rSub { size 8{k} } - a rSub { size 8{k} } } {}

се нарекува нараснување на променливата xkxk size 12{x rSub { size 8{k} } } {}, а разликата

Δ k f ( A ) = f ( a 1 , . . . , a k + Δx k , . . . , a n ) − f ( a 1 , . . . , a k , . . . , a n ) Δ k f ( A ) = f ( a 1 , . . . , a k + Δx k , . . . , a n ) − f ( a 1 , . . . , a k , . . . , a n ) size 12{Δ rSub { size 8{k} } f \( A \) =f \( a rSub { size 8{1} } , "." "." "." ,a rSub { size 8{k} } +Δx rSub { size 8{k} } , "." "." "." ,a rSub { size 8{n} } \) - f \( a rSub { size 8{1} } , "." "." "." ,a rSub { size 8{k} } , "." "." "." ,a rSub { size 8{n} } \) } {}

парцијално нараснување на функцијата f f size 12{f} {} во точката AA size 12{A} {} по променливата xkxk size 12{x rSub { size 8{k} } } {}.

Дефиниција.

Ако постои граничната вредност

lim Δx k → 0 Δ k f ( A ) Δx k = lim Δx k → 0 f ( a 1 , . . . , a k + Δx k , . . . , a n ) − f ( a 1 , . . . , a k , . . . , a n ) Δx k lim Δx k → 0 Δ k f ( A ) Δx k = lim Δx k → 0 f ( a 1 , . . . , a k + Δx k , . . . , a n ) − f ( a 1 , . . . , a k , . . . , a n ) Δx k size 12{ {"lim"} cSub { size 8{Δx rSub { size 6{k} } rightarrow 0} } { {Δ rSub {k} size 12{f \( A \) }} over {Δx rSub {k} } } size 12{ {}= {"lim"} cSub {Δx rSub { size 6{k} } rightarrow 0} { { size 12{f \( a rSub {1} size 12{, "." "." "." ,a rSub {k} } size 12{+Δx rSub {k} } size 12{, "." "." "." ,a rSub {n} } size 12{ \) - f \( a rSub {1} } size 12{, "." "." "." ,a rSub {k} } size 12{, "." "." "." ,a rSub {n} } size 12{ \) }} } over { size 12{Δx rSub {k} } } } }} {}

таа се нарекува парцијален извод на функцијата ff size 12{f} {} по променливата xkxk size 12{x rSub { size 8{k} } } {} во точката AA size 12{A} {} и се означува со

∂f(A)∂xk∂f(A)∂xk size 12{ { { partial f \( A \) } over { partial x rSub { size 8{k} } } } } {} или fxk'(A)fxk'(A) size 12{ { {f}} sup { ' } rSub { size 8{x rSub { size 6{k} } } } \( A \) } {} или ∂z(A)∂xk∂z(A)∂xk size 12{ { { partial z \( A \) } over { partial x rSub { size 8{k} } } } } {} или zxk'zxk' size 12{ { {z}} sup { ' } rSub { size 8{x rSub { size 6{k} } } } } {}.

Изразот ∂f(A)∂xk∂f(A)∂xk size 12{ { { partial f \( A \) } over { partial x rSub { size 8{k} } } } } {} скратено ја означува вредноста на изводот во дадена точка ∂f(X)∂xk∣X=A∂f(X)∂xk∣X=A size 12{ { { partial f \( X \) } over { partial x rSub { size 8{k} } } } \rline rSub { size 8{X=A} } } {}.

За функција со две променливи z=f(x,y)z=f(x,y) size 12{z=f \( x,y \) } {} се дефинираат два парцијални извода, по секоја независна променлива. Нека A(x0,y0)A(x0,y0) size 12{A \( x rSub { size 8{0} } ,y rSub { size 8{0} } \) } {} е точка од дефиниционата област на функцијата f(x,y)f(x,y) size 12{f \( x,y \) } {} и нека ΔxΔx size 12{Δx} {} и ΔyΔy size 12{Δy} {} се соодветните нараснувања на променливите xx size 12{x} {} и yy size 12{y} {}.

Дефиниција.

Парцијален извод по променливата x за фунцијата f(x,y)f(x,y) size 12{f \( x,y \) } {} во точката A(x0,y0)A(x0,y0) size 12{A \( x rSub { size 8{0} } ,y rSub { size 8{0} } \) } {} е граничната вредност

lim Δx → 0 f ( x 0 + Δx , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) Δx = ∂ f ( x 0 , y 0 ) ∂ x . lim Δx → 0 f ( x 0 + Δx , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) Δx = ∂ f ( x 0 , y 0 ) ∂ x . size 12{ {"lim"} cSub { size 8{Δx rightarrow 0} } { {f \( x rSub { size 8{0} } +Δx,y rSub { size 8{0} } \) - f \( x rSub { size 8{0} } ,y rSub { size 8{0} } \) } over {Δx} } = { { partial f \( x rSub { size 8{0} } ,y rSub { size 8{0} } \) } over { partial x} } "." } {}

Аналогно,

Дефиниција.

Парцијален извод по променливата y з а фунцијата f(x,y)f(x,y) size 12{f \( x,y \) } {} во точката А(x0, y0) е граничната вредност

lim Δy → 0 f ( x 0 , y 0 + Δy ) − f ( x 0 , y 0 ) Δy = ∂ f ( x 0 , y 0 ) ∂ y . lim Δy → 0 f ( x 0 , y 0 + Δy ) − f ( x 0 , y 0 ) Δy = ∂ f ( x 0 , y 0 ) ∂ y . size 12{ {"lim"} cSub { size 8{Δy rightarrow 0} } { {f \( x rSub { size 8{0} } ,y rSub { size 8{0} } +Δy \) - f \( x rSub { size 8{0} } ,y rSub { size 8{0} } \) } over {Δy} } = { { partial f \( x rSub { size 8{0} } ,y rSub { size 8{0} } \) } over { partial y} } "." } {}

Парцијалните изводи ∂f(x0,y0)∂x,∂f(x0,y0)∂y∂f(x0,y0)∂x,∂f(x0,y0)∂y size 12{ { { partial f \( x rSub { size 8{0} } ,y rSub { size 8{0} } \) } over { partial x} } ``,` { { partial f \( x rSub { size 8{0} } ,y rSub { size 8{0} } \) } over { partial y} } } {} на функцијата f(x,y)f(x,y) size 12{f \( x,y \) } {} обично се пресме­туваат во произволна точка X(x,y)X(x,y) size 12{X \( x,y \) } {} од дефиниционата област. Кога се бара парцијал­ниот извод по променливата xx size 12{x} {}, промелнливата yy size 12{y} {} се смета за константа и обратно.

Парцијалните изводи се означуваат со некоја од ознаките:

парцијален извод по xx size 12{x} {} : fx'(x,y),fx',zx',∂f∂x,∂z∂xfx'(x,y),fx',zx',∂f∂x,∂z∂x size 12{ { {f}} sup { ' } rSub { size 8{x} } \( x,y \) ,`` { {f}} sup { ' } rSub { size 8{x} } ,`` { {z}} sup { ' } rSub { size 8{x} } `,`` { { partial f} over { partial x} } ,`` { { partial z} over { partial x} } } {} ;

парцијален извод по yy size 12{y} {} : fy'(x,y),fy',zy',∂f∂y,∂z∂yfy'(x,y),fy',zy',∂f∂y,∂z∂y size 12{ { {f}} sup { ' } rSub { size 8{y} } \( x,y \) ,`` { {f}} sup { ' } rSub { size 8{y} } ,`` { {z}} sup { ' } rSub { size 8{y} } `,`` { { partial f} over { partial y} } ,`` { { partial z} over { partial y} } } {}.

Пример 1. Да се најдат парцијалните изводи на функцијата z=lnx2+y2−xx2+y2+xz=lnx2+y2−xx2+y2+x size 12{z="ln" { { sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } - x} over { sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } +x} } } {}.

Решение. Зададената функција е функција од две независни променливи и затоа ќе има два парцијални извода по секоја променлива. Се пресметува парцијалниот извод по променливата xx size 12{x} {}:

∂ z ∂ x = 1 x 2 + y 2 − x x 2 + y 2 + x x 2 + y 2 − x x 2 + y 2 + x x ′ = ∂ z ∂ x = 1 x 2 + y 2 − x x 2 + y 2 + x x 2 + y 2 − x x 2 + y 2 + x x ′ = size 12{~ { { partial z} over { partial x} } = { {1} over { { { sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } - x} over { sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } +x} } } } left ( { { sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } - x} over { sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } +x} } right ) rSub { size 8{x} rSup { size 8{′} } } ={}} {} = x 2 + y 2 + x x 2 + y 2 − x ⋅ x x 2 + y 2 − 1 x 2 + y 2 + x − x 2 + y 2 − x x x 2 + y 2 + 1 x 2 + y 2 + x 2 = = x 2 + y 2 + x x 2 + y 2 − x ⋅ x x 2 + y 2 − 1 x 2 + y 2 + x − x 2 + y 2 − x x x 2 + y 2 + 1 x 2 + y 2 + x 2 = size 12{ {}= left ( { { sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } +x} over { sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } - x} } right ) cdot { { left ( { {x} over { sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } } } - 1 right ) left ( sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } +x right ) - left ( sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } - x right ) left ( { {x} over { sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } } } +1 right )} over { left ( sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } +x right ) rSup { size 8{2} } } } ={}} {}

= x 2 + y 2 + x x 2 + y 2 − x ⋅ x − x 2 + y 2 x 2 + y 2 + x − x 2 + y 2 − x x + x 2 + y 2 x 2 + y 2 x 2 + y 2 + x 2 = = x 2 + y 2 + x x 2 + y 2 − x ⋅ x − x 2 + y 2 x 2 + y 2 + x − x 2 + y 2 − x x + x 2 + y 2 x 2 + y 2 x 2 + y 2 + x 2 = size 12{ {}= left ( { { sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } +x} over { sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } - x} } right ) cdot { { { { left (x - sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } right ) left ( sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } +x right ) - left ( sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } - x right ) left (x+ sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } right )} over { sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } } } } over { left ( sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } +x right ) rSup { size 8{2} } } } ={}} {} {}

= x 2 + y 2 + x x 2 + y 2 − x ⋅ x 2 − x 2 − y 2 − x 2 + y 2 − x 2 x 2 + y 2 x 2 + y 2 + x 2 = = x 2 + y 2 + x x 2 + y 2 − x ⋅ x 2 − x 2 − y 2 − x 2 + y 2 − x 2 x 2 + y 2 x 2 + y 2 + x 2 = size 12{ {}= left ( { { sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } +x} over { sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } - x} } right ) cdot { {x rSup { size 8{2} } - x rSup { size 8{2} } - y rSup { size 8{2} } - left (x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } - x rSup { size 8{2} } right )} over { sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } left ( sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } +x right ) rSup { size 8{2} } } } ={}} {}

=−2y2x2+y2x2+y2−xx2+y2+x==−2y2x2+y2x2+y2−xx2+y2+x= size 12{ {}= { { - 2y rSup { size 8{2} } } over { sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } left ( sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } - x right ) left ( sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } +x right )} } ={}} {}=−2y2x2+y2x2+y2−x2=−2y2y2x2+y2=−2x2+y2=−2y2x2+y2x2+y2−x2=−2y2y2x2+y2=−2x2+y2 size 12{ {}= { { - 2y rSup { size 8{2} } } over { sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } left (x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } - x rSup { size 8{2} } right )} } = { { - 2y rSup { size 8{2} } } over {y rSup { size 8{2} } sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } } } = { { - 2} over { sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } } } } {},

од каде следува дека {}∂z∂x=−2x2+y2∂z∂x=−2x2+y2 size 12{ { { partial z} over { partial x} } = { { - 2} over { sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } } } } {}.

Сега се пресметува и парцијалниот извод по променливата yy size 12{y} {}:

∂ z ∂ y = 1 x 2 + y 2 − x x 2 + y 2 + x x 2 + y 2 − x x 2 + y 2 + x y ′ = x 2 + y 2 + x x 2 + y 2 − x ⋅ y x 2 + y 2 x 2 + y 2 + x − x 2 + y 2 − x y x 2 + y 2 x 2 + y 2 + x 2 = ∂ z ∂ y = 1 x 2 + y 2 − x x 2 + y 2 + x x 2 + y 2 − x x 2 + y 2 + x y ′ = x 2 + y 2 + x x 2 + y 2 − x ⋅ y x 2 + y 2 x 2 + y 2 + x − x 2 + y 2 − x y x 2 + y 2 x 2 + y 2 + x 2 = size 12{ { { partial z} over { partial y} } = { {1} over { { { sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } - x} over { sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } +x} } } } left ( { { sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } - x} over { sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } +x} } right ) rSub { size 8{y} rSup { size 8{′} } } = left ( { { sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } +x} over { sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } - x} } right ) cdot { { { {y} over { sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } } } left ( sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } +x right ) - left ( sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } - x right ) { {y} over { sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } } } } over { left ( sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } +x right ) rSup { size 8{2} } } } ={}} {}

= x 2 + y 2 + x x 2 + y 2 − x ⋅ y x 2 + y 2 + x − y x 2 + y 2 − x x 2 + y 2 x 2 + y 2 + x 2 = = x 2 + y 2 + x x 2 + y 2 − x ⋅ y x 2 + y 2 + x − y x 2 + y 2 − x x 2 + y 2 x 2 + y 2 + x 2 = size 12{ {}= left ( { { sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } +x} over { sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } - x} } right ) cdot { {y left ( sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } +x right ) - y left ( sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } - x right )} over { sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } left ( sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } +x right ) rSup { size 8{2} } } } ={}} {}

=yx2+y2+x−x2+y2−xx2+y2x2+y2−xx2+y2+x==yx2+y2+x−x2+y2−xx2+y2x2+y2−xx2+y2+x= size 12{ {}= { {y left ( sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } +x - sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } - x right )} over { sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } left ( sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } - x right ) left ( sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } +x right )} } ={}} {}2xyx2+y2x2+y2−x2=2xyy2x2+y2=2xyx2+y22xyx2+y2x2+y2−x2=2xyy2x2+y2=2xyx2+y2 size 12{ { {2 ital "xy"} over { sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } left (x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } - x rSup { size 8{2} } right )} } = { {2 ital "xy"} over {y rSup { size 8{2} } sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } } } = { {2x} over {y sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } } } } {},

и се добива ∂z∂y=2xyx2+y2∂z∂y=2xyx2+y2 size 12{ { { partial z} over { partial y} } = { {2x} over {y sqrt {x rSup { size 8{2} } +y rSup { size 8{2} } } } } } {}. ◄

Од важност се следните тврдења:

  • (Потребни услови за диференцијабилност) Ако функција z=f(x,y)z=f(x,y) size 12{z=f \( x,y \) } {} е диференцијабилна во дадена точка, тогаш постојат сите парцијални изводи во таа точка.
  • (Доволен услов за диференцијабилност) Ако функција z=f(x,y)z=f(x,y) size 12{z=f \( x,y \) } {} во околина на дадена точка има непрекинати парцијални изводи по секоја променлива, тогаш таа е диференцијабилна во таа точка.
  • Ако функцијата z=f(x,y)z=f(x,y) size 12{z=f \( x,y \) } {} е диференцијабилна во дадена точка, тогаш таа е непрекината во таа точка.

Геометриско толкување на парцијалнте изводи на функција од две променливи

Нека го разгледуваме делот од графикот на диферен­цијабилната функција z=f(x,y)z=f(x,y) size 12{z=f \( x,y \) } {} во точката A(x0,y0)∈DfA(x0,y0)∈Df size 12{A \( x rSub { size 8{0} } ,y rSub { size 8{0} } \) in D rSub { size 8{f} } } {}. Ако во функцијата f(x,y)f(x,y) size 12{f \( x,y \) } {} променливата yy size 12{y} {} се фиксира со константна вредност y0y0 size 12{y rSub { size 8{0} } } {},тогаш таа се смета за функција со една променлива xx size 12{x} {}, односно ϕ(x)=f(x,y0)ϕ(x)=f(x,y0) size 12{ϕ \( x \) =f \( x,y rSub { size 8{0} } \) } {}, а нејзиниот график претставува крива која се добива како пресек на разгледуваниот дел од површината и рамнината y=const=y0y=const=y0 size 12{y= ital "const"=y rSub { size 8{0} } } {}.

Table 1
graphics1.jpg
Слика 1. Геометриско толкување на парцијалниот извод по x

Наклонот на тангентата tgαα size 12{α} {} на оваа крива во точката AA size 12{A} {} во однос на позитивната насока на x−x− size 12{x - {}} {}оската е парцијалниот извод (Сл. 1) fx'(A)=∂f(A)∂x=tgα.fx'(A)=∂f(A)∂x=tgα. size 12{ { {f}} sup { ' } rSub { size 8{x} } \( A \) = { { partial f \( A \) } over { partial x} } = bold "tg"`α "." } {}

Table 2
graphics2.jpg
Слика 2. Геометриско толкување на парцијалниот извод по yy size 12{y} {}

Аналогно, со фиксирање на x=x0x=x0 size 12{x=x rSub { size 8{0} } } {}, функцијата z=f(x,y)z=f(x,y) size 12{z=f \( x,y \) } {} се сведува на функција со една променлива yy size 12{y} {}, односно ψ(y)=f(x0,y)ψ(y)=f(x0,y) size 12{ψ \( y \) =f \( x rSub { size 8{0} } ,y \) } {}, а наклонот на тангентата на оваа крива која лежи во рамнината x=x0x=x0 size 12{x=x rSub { size 8{0} } } {} е парцијалниот извод (Сл. 2) fy'(A)=∂f(A)∂y=tgβ.fy'(A)=∂f(A)∂y=tgβ. size 12{ { {f}} sup { ' } rSub { size 8{y} } \( A \) = { { partial f \( A \) } over { partial y} } ="tg"β "." } {}

Content actions

Download module as:

PDF | EPUB (?)

What is an EPUB file?

EPUB is an electronic book format that can be read on a variety of mobile devices.

Downloading to a reading device

For detailed instructions on how to download this content's EPUB to your specific device, click the "(?)" link.

| More downloads ...

Add module to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks