Производот ∂f∂xΔx=dxf∂f∂xΔx=dxf size 12{ { { partial f} over { partial x} } Δx=d rSub { size 8{x} } f} {} се нарекува парцијален диференцијал на функцијата ff size 12{f} {} по променливатаxx size 12{x} {}, а производот ∂f∂yΔy=dyf∂f∂yΔy=dyf size 12{ { { partial f} over { partial y} } Δy=d rSub { size 8{y} } f} {} се нареку­ва парцијален диференцијал на функцијата ff size 12{f} {} по променливата yy size 12{y} {}.

Бидејќи Δx=dxΔx=dx size 12{Δx= ital "dx"} {} и Δy=dyΔy=dy size 12{Δy= ital "dy"} {}, парцијалните диференцијали се запишуваат како

dxf=∂f∂xdxdxf=∂f∂xdx size 12{d rSub { size 8{x} } f= { { partial f} over { partial x} } ital "dx"} {} и dyf=∂f∂ydydyf=∂f∂ydy size 12{d rSub { size 8{y} } f= { { partial f} over { partial y} } ital "dy"} {}.

Сумата на парцијалните диференцијали

df = d x f + d y f df = d x f + d y f size 12{ ital "df"=d rSub { size 8{x} } f+d rSub { size 8{y} } f} {}

или

df = ∂ f ∂ x dx + ∂ f ∂ y dy df = ∂ f ∂ x dx + ∂ f ∂ y dy size 12{ ital "df"= { { partial f} over { partial x} } ital "dx"+ { { partial f} over { partial y} } ital "dy"} {}

се нарекува тотален диференцијал на функцијата z=f(x,y)z=f(x,y) size 12{z=f \( x,y \) } {}.

Да се определат парцијалните диференцијали и тоталниот диференцијал на функцијата z=arcsinxyz=arcsinxy size 12{z="arcsin" { {x} over {y} } } {}.

Најпрво ги пресметуваме парцијалните изводи:

∂z∂x=11−x2y2⋅1y=1y2−x2∂z∂x=11−x2y2⋅1y=1y2−x2 size 12{ { { partial z} over { partial x} } = { {1} over { sqrt {1 - { {x rSup { size 8{2} } } over {y rSup { size 8{2} } } } } } } cdot { {1} over {y} } = { {1} over { sqrt {y rSup { size 8{2} } - x rSup { size 8{2} } } } } } {},

∂z∂y=11−x2y2⋅−xy2=−xyy2−x2∂z∂y=11−x2y2⋅−xy2=−xyy2−x2 size 12{ { { partial z} over { partial y} } = { {1} over { sqrt {1 - { {x rSup { size 8{2} } } over {y rSup { size 8{2} } } } } } } cdot left ( - { {x} over {y rSup { size 8{2} } } } right )= { { - x} over {y sqrt {y rSup { size 8{2} } - x rSup { size 8{2} } } } } } {}.

Парцијалните диференцијали се:

d x f = 1 y 2 − x 2 dx d x f = 1 y 2 − x 2 dx size 12{d rSub { size 8{x} } f= { {1} over { sqrt {y rSup { size 8{2} } - x rSup { size 8{2} } } } } ital "dx"} {}

и

dyf=−xyy2−x2dydyf=−xyy2−x2dy size 12{d rSub { size 8{y} } f= { { - x} over {y sqrt {y rSup { size 8{2} } - x rSup { size 8{2} } } } } ital "dy"} {},

а тоталниот диференцијал е

df=ydx−xdyyy2−x2df=ydx−xdyyy2−x2 size 12{ ital "df"= { {y` ital "dx" - x` ital "dy"} over {y sqrt {y rSup { size 8{2} } - x rSup { size 8{2} } } } } } {}. ◄

Разликата Δf=f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)Δf=f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y) size 12{Δf=f \( x+Δx,y+Δy \) - f \( x,y \) } {} се нарекува тотално или вистинско нараснување на функцијата ff size 12{f} {} во точката A(x,y).A(x,y). size 12{A \( x,y \) "." } {}

За мали промени на вредностите на аргументите на функцијата z=f(x,y)z=f(x,y) size 12{z=f \( x,y \) } {}, односно кога Δx≈0Δx≈0 size 12{Δx approx 0} {} и Δy≈0Δy≈0 size 12{Δy approx 0} {}, вистинското нараснување на функцијата може приближно да се пресмета преку диференцијалот, односно Δf≈dfΔf≈df size 12{Δf approx ital "df"} {}. Бидејќи

Δf=f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)Δf=f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y) size 12{Δf=f \( x+Δx,y+Δy \) - f \( x,y \) } {},

тогаш

f(x+Δx,y+Δy)≈f(x,y)+dff(x+Δx,y+Δy)≈f(x,y)+df size 12{f \( x+Δx,y+Δy \) approx f \( x,y \) + ital "df"} {}.

Оваа релација овозможува приближно пресметување на вредноста на функцијата во близина на дадена точка, во која вредноста на функцијата лесно може да се пресмета.

Со помош на тотален диференцијал приближно да се пресмета

ln1,033+0,984−1ln1,033+0,984−1 size 12{"ln" left ( nroot { size 8{3} } {1,"03"} + nroot { size 8{4} } {0,"98"} - 1 right )} {}.

Според обликот на дадениот израз чија вредност треба да се пресмета, определуваме функција од две променливи

z=lnx3+y4−1z=lnx3+y4−1 size 12{z="ln" left ( nroot { size 8{3} } {x} + nroot { size 8{4} } {y} - 1 right )} {}.

Во оваа функција вредноста 1,03 која е блиска до 1, се доделува на првата независна променлива која се запишува како x+Δx=1,03x+Δx=1,03 size 12{x+Δx=1,"03"} {} при што x=1,x=1, size 12{x=1,} {} а нараснувањето е Δx=0,03≈0Δx=0,03≈0 size 12{Δx=0,"03" approx 0} {}. Исто така, втората вредност 0,98 се доделува на втората независна променлива и таа се запишува како y+Δy=0,98y+Δy=0,98 size 12{y+Δy=0,"98"} {} и оваа вредност е во околина на точката на y=1y=1 size 12{y=1} {}, а нарасну­вањето е Δy=−0,02≈0.Δy=−0,02≈0. size 12{Δy= - 0,"02" approx 0 "." } {}

Применувајќи ја формулата за приближно пресметување со тотален диференцијал, се добива

ln1,033+0,984−1≈ln133+14−1+dz∣x=1,y=1ln1,033+0,984−1≈ln133+14−1+dz∣x=1,y=1 size 12{"ln" left ( nroot { size 8{3} } {1,"03"} + nroot { size 8{4} } {0,"98"} - 1 right ) approx "ln" left ( nroot { size 8{3} } {1 rSup { size 8{3} } } + nroot { size 8{4} } {1} - 1 right )+ ital "dz" \rline rSub { size 8{x=1,y=1} } } {}.

Вредноста на функцијата f(x,y)f(x,y) size 12{f \( x,y \) } {} во точката (1,1) е

f(x,y)∣x=1,y=1=ln13+14−1=ln1=0f(x,y)∣x=1,y=1=ln13+14−1=ln1=0 size 12{f \( x,y \) \rline rSub { size 8{x=1,y=1} } =`"ln" left ( nroot { size 8{3} } {1} + nroot { size 8{4} } {1} - 1 right )="ln"1=0} {},

додека за пресметување на вредноста на тоталниот диференцијал треба да се пресметаат парцијалните изводи. Парцијалните изводи на функцијата се:

∂z∂x=1x3+y4−1⋅13x23∂z∂x=1x3+y4−1⋅13x23 size 12{ { { partial z} over { partial x} } = { {1} over { nroot { size 8{3} } {x} + nroot { size 8{4} } {y} - 1} } cdot { {1} over {3`` nroot { size 8{3} } {x rSup { size 8{2} } } } } } {} ,

и нивните вредности во точката (1,1)(1,1) size 12{ \( 1,1 \) } {} се

∂z∂x∣x=1,y=1=113+14−1⋅13123=13∂z∂x∣x=1,y=1=113+14−1⋅13123=13 size 12{ { { partial z} over { partial x} } \rline rSub { size 8{x=1,y=1} } = { {1} over { nroot { size 8{3} } {1} + nroot { size 8{4} } {1} - 1} } cdot { {1} over {3`` nroot { size 8{3} } {1 rSup { size 8{2} } } } } = { {1} over {3} } } {},

∂z∂y∣x=1,y=1=113+14−1⋅14134=14∂z∂y∣x=1,y=1=113+14−1⋅14134=14 size 12{ { { partial z} over { partial y} } \rline rSub { size 8{x=1,y=1} } = { {1} over { nroot { size 8{3} } {1} + nroot { size 8{4} } {1} - 1} } cdot { {1} over {4`` nroot { size 8{4} } {1 rSup { size 8{3} } } } } = { {1} over {4} } } {}.

Тоталниот дифренцијал ќе има вредност

dz=13Δx+14Δy=0,033+−0,024=0,01−0,005=0,005dz=13Δx+14Δy=0,033+−0,024=0,01−0,005=0,005 size 12{ ital "dz"= { {1} over {3} } Δx+ { {1} over {4} } Δy= { {0,"03"} over {3} } + { { - 0,"02"} over {4} } =0,"01" - 0,"005"=0,"005"} {},

и заменувајќи ги пресметаните вредности во изразот

се добива дека

ln1,033+0,984−1≈0,005ln1,033+0,984−1≈0,005 size 12{"ln" left ( nroot { size 8{3} } {1,"03"} + nroot { size 8{4} } {0,"98"} - 1 right ) approx 0,"005"} {}. ◄