Парцијални изводи од имплицитна функција

Нека е зададена функција со две независно променливи xx size 12{x} {} и yy size 12{y} {} во имплицитен облик F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0 size 12{F \( x,y,z \) =0} {}, односно нерешлива по функцијата zz size 12{z} {}. Барањето парцијални изводи се врши со диференцирање на имплицитната равенка по соодветната променлива, водејќи сметка дека z(x,y)z(x,y) size 12{z \( x,y \) } {} е функција, па секогаш кога се диференцира по функцијата zz size 12{z} {} изразот ќе се помножи со парцијалниот извод на zz size 12{z} {} по соодветната променлива.

Со диференцирање на имплицитната функција F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0 size 12{F \( x,y,z \) =0} {} по променливата xx size 12{x} {}

∂ ∂ x F ( x , y , z ) = 0 ∂ ∂ x F ( x , y , z ) = 0 size 12{ { { partial } over { partial x} } F \( x,y,z \) =0} {}

се добива

∂ F ∂ x + ∂ F ∂ z ∂ z ∂ x = 0, ∂ F ∂ x + ∂ F ∂ z ∂ z ∂ x = 0, size 12{ { { partial F} over { partial x} } + { { partial F} over { partial z} } { { partial z} over { partial x} } =0,} {}

односно парцијалниот извод на имплицитната функција по промеливата x е

∂z∂x=−∂F∂x∂F∂z=−Fx'Fz'∂z∂x=−∂F∂x∂F∂z=−Fx'Fz' size 12{ { { partial z} over { partial x} } = - { { { { partial F} over { partial x} } } over { { { partial F} over { partial z} } } } = - { { { {F}} sup { ' } rSub { size 8{x} } } over { { {F}} sup { ' } rSub { size 8{z} } } } } {}.

Аналогно, парцијалниот извод на имплицитната функција по промеливата y е

∂z∂y=−∂F∂y∂F∂z=−Fy'Fz'∂z∂y=−∂F∂y∂F∂z=−Fy'Fz' size 12{ { { partial z} over { partial y} } = - { { { { partial F} over { partial y} } } over { { { partial F} over { partial z} } } } = - { { { {F}} sup { ' } rSub { size 8{y} } } over { { {F}} sup { ' } rSub { size 8{z} } } } } {}.

Пример 1. Да се најдат парцијалните изводи ∂z∂x и ∂z∂y∂z∂x и ∂z∂y size 12{ { { partial z} over { partial x} } `i` { { partial z} over { partial y} } } {} на имплицитната функција x2y−3xyz+ez=0x2y−3xyz+ez=0 size 12{x rSup { size 8{2} } y - 3 ital "xyz"+e rSup { size 8{z} } =0} {}.

Решение. Најпрво се диференцира имплицитната функција x2y−3xyz+ez=0x2y−3xyz+ez=0 size 12{x rSup { size 8{2} } y - 3 ital "xyz"+e rSup { size 8{z} } =0} {} по променливата x x size 12{x} {}

2 xy − 3 yz − 3 xy ∂ z ∂ x + e z ∂ z ∂ x = 0 2 xy − 3 yz − 3 xy ∂ z ∂ x + e z ∂ z ∂ x = 0 size 12{2 ital "xy" - 3 ital "yz" - 3 ital "xy" { { partial z} over { partial x} } +e rSup { size 8{z} } { { partial z} over { partial x} } =0} {}

и се добива

∂z∂x=3yz−2xyez−3xy∂z∂x=3yz−2xyez−3xy size 12{ { { partial z} over { partial x} } = { {3 ital "yz" - 2 ital "xy"} over {e rSup { size 8{z} } - 3 ital "xy"} } } {}.

Аналогно, со диференцирање на функцијата по y y size 12{y} {} се добива

x 2 − 3 xz − 3 xy ∂ z ∂ y + e z ∂ z ∂ y = 0 x 2 − 3 xz − 3 xy ∂ z ∂ y + e z ∂ z ∂ y = 0 size 12{x rSup { size 8{2} } - 3 ital "xz" - 3 ital "xy" { { partial z} over { partial y} } +e rSup { size 8{z} } { { partial z} over { partial y} } =0} {}

од каде

∂z∂y=3xz−x2ez−3xy∂z∂y=3xz−x2ez−3xy size 12{ { { partial z} over { partial y} } = { {3 ital "xz" - x rSup { size 8{2} } } over {e rSup { size 8{z} } - 3 ital "xy"} } } {}. ◄

Парцијални изводи од сложена функција

Ако во функцијата со две променливи z=f(x,y)z=f(x,y) size 12{z=f \( x,y \) } {} секоја од променли­вите е функци­ја од нова променлива tt size 12{t} {}, односно x=x(t)x=x(t) size 12{x=x \( t \) } {} и y=y(t),y=y(t), size 12{y=y \( t \) ,} {} тогаш z=f(x(t),y(t))z=f(x(t),y(t)) size 12{z=f \( x \( t \) ,y \( t \) \) } {} е функција од една променлива tt size 12{t} {}. За ваквата функција се вели дека е сложена функција која зависи од една променлива t t size 12{t} {} посредно преку двете променливи x x size 12{x} {} и y y size 12{y} {}. Ако функциите x=x(t)x=x(t) size 12{x=x \( t \) } {} и y=y(t)y=y(t) size 12{y=y \( t \) } {} се диференцијабилни по променливата tt size 12{t} {} и функцијата z z size 12{z} {} е диференцијабилна по променливите x x size 12{x} {} и y y size 12{y} {}, тогаш изводот на сложената функцијата z е

dzdt=∂z∂xdxdt+∂z∂ydydtdzdt=∂z∂xdxdt+∂z∂ydydt size 12{ { { ital "dz"} over { ital "dt"} } = { { partial z} over { partial x} } { { ital "dx"} over { ital "dt"} } + { { partial z} over { partial y} } { { ital "dy"} over { ital "dt"} } } {}.

Пример 2. Да се пресмета изводот на функцијата z=3cosx−sinxy,akox=1/t,y=3tz=3cosx−sinxy,akox=1/t,y=3t size 12{z=3"cos"x - "sin" ital "xy",~"ako"~x=1/t,`y=3t} {}.

Решение. Се пресметуваат сите изводи:

∂z∂x=−3sinx−ycosxy,∂z∂y=−xcosxy,dxdt=−1t2,dydt=3∂z∂x=−3sinx−ycosxy,∂z∂y=−xcosxy,dxdt=−1t2,dydt=3 size 12{ { { partial z} over { partial x} } = - 3"sin"x - y"cos" ital "xy",~ { { partial z} over { partial y} } = - x"cos" ital "xy",~ { { ital "dx"} over { ital "dt"} } = - { {1} over {t rSup { size 8{2} } } } ,~ { { ital "dy"} over { ital "dt"} } =3} {}.

Заменувајќи ги овие изводи во изразот за изводот dzdtdzdt size 12{ { { ital "dz"} over { ital "dt"} } } {} се добива

dz dt = − 3 sin x − y cos xy − 1 t 2 + − x cos xy 3 dz dt = − 3 sin x − y cos xy − 1 t 2 + − x cos xy 3 size 12{ { { ital "dz"} over { ital "dt"} } = left ( - 3"sin"x - y"cos" ital "xy" right ) left ( - { {1} over {t rSup { size 8{2} } } } right )+ left ( - x"cos" ital "xy" right )3} {}

и по заменувањето со x=1/t и y=3tx=1/t и y=3t size 12{x=1/t``i`y=3t} {}

dzdt=3t2sin1tdzdt=3t2sin1t size 12{ { { ital "dz"} over { ital "dt"} } = { {3} over {t rSup { size 8{2} } } } "sin" { {1} over {t} } } {}. ◄

Кога во функцијата со две променливи z=f(x,y)z=f(x,y) size 12{z=f \( x,y \) } {} секоја од променли­вите x x size 12{x} {} и y y size 12{y} {} е функција од други две променливи u u size 12{u} {} и v v size 12{v} {}, односно x=x(u,v),y=y(u,v)x=x(u,v),y=y(u,v) size 12{x=x \( u,v \) ,y=y \( u,v \) } {}, тогаш

z = f ( x ( u , v ) , y ( u , v ) ) z = f ( x ( u , v ) , y ( u , v ) ) size 12{z=f \( x \( u,v \) ,y \( u,v \) \) } {}

е функција од две променливи. Ако функцијата z z size 12{z} {} и нејзините компоненти x x size 12{x} {} и y y size 12{y} {} се диференцијабилни функции, тогаш парцијалните изводи на сложената функцијата zz size 12{z} {} по променливите uu size 12{u} {} и vv size 12{v} {} се

∂ z ∂ u = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ u и ∂ z ∂ v = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ v . ∂ z ∂ u = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ u и ∂ z ∂ v = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ v . alignl { stack { size 12{ { { partial z} over { partial u} } = { { partial z} over { partial x} } { { partial x} over { partial u} } + { { partial z} over { partial y} } { { partial y} over { partial u} } ~~} {} # size 12{i~~} {} # size 12{ { { partial z} over { partial v} } = { { partial z} over { partial x} } { { partial x} over { partial v} } + { { partial z} over { partial y} } { { partial y} over { partial v} } "." } {} } } {}

Пример 3. Да се најдат парцијалните изводи ∂z∂ui∂z∂v∂z∂ui∂z∂v size 12{ { { partial z} over { partial u} } ``и`` { { partial z} over { partial v} } } {} ако z=ex2y;z=ex2y; size 12{z=e rSup { size 8{x rSup { size 6{2} } y} } ;} {}x=uv,y=1/v.x=uv,y=1/v. size 12{x= sqrt { ital "uv"} ,``y=1/v "." } {}

Решение. Парцијалниот извод по u u size 12{u} {} е

∂ z ∂ u = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ u = 2 xye x 2 y v 2 uv + x 2 e x 2 y 0 = = 2 uv v e uv v v 2 uv = e u , ∂ z ∂ u = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ u = 2 xye x 2 y v 2 uv + x 2 e x 2 y 0 = = 2 uv v e uv v v 2 uv = e u , alignl { stack { size 12{ { { partial z} over { partial u} } = { { partial z} over { partial x} } { { partial x} over { partial u} } + { { partial z} over { partial y} } { { partial y} over { partial u} } = left (2 ital "xye" rSup { size 8{x rSup { size 6{2} } y} } right ) left ( { {v} over {2 sqrt { ital "uv"} } } right )+ left (x rSup {2} size 12{e rSup {x rSup { size 6{2} } y} } right ) size 12{ cdot 0={}}} {} # {} # size 12{ {}= left ( { {2 sqrt { ital "uv"} } over {v} } e rSup { size 8{ { { ital "uv"} over {v} } } } right ) left ( { {v} over {2 sqrt { ital "uv"} } } right )=e rSup { size 8{u} } ,} {} } } {}

а парцијалниот извод по vv size 12{v} {} е

∂ z ∂ v = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ v = 2 xye x 2 y u 2 uv + x 2 e x 2 y − 1 v 2 = ∂ z ∂ v = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ v = 2 xye x 2 y u 2 uv + x 2 e x 2 y − 1 v 2 = size 12{ { { partial z} over { partial v} } = { { partial z} over { partial x} } { { partial x} over { partial v} } + { { partial z} over { partial y} } { { partial y} over { partial v} } = left (2 ital "xye" rSup { size 8{x rSup { size 6{2} } y} } right ) left ( { {u} over {2 sqrt { ital "uv"} } } right )+ left (x rSup {2} size 12{e rSup {x rSup { size 6{2} } y} } right ) { { size 12{ - 1} } over { size 12{v rSup {2} } } } size 12{ {}={}}} {}

=2uvveuvvu2uv−uvv2euvv=uveu−uveu=0.=2uvveuvvu2uv−uvv2euvv=uveu−uveu=0. size 12{ {}= left ( { {2 sqrt { ital "uv"} } over {v} } e rSup { size 8{ { { ital "uv"} over {v} } } } right ) left ( { {u} over {2 sqrt { ital "uv"} } } right ) - { { ital "uv"} over {v rSup { size 8{2} } } } e rSup { size 8{ { { ital "uv"} over {v} } } } = { {u} over {v} } e rSup { size 8{u} } - { {u} over {v} } e rSup { size 8{u} } =0 "." `} {}◄