Skip to content Skip to navigation

Connexions

You are here: Home » Content » ТАНГЕНТНА РАМНИНА И НОРМАЛА

Navigation

Recently Viewed

This feature requires Javascript to be enabled.
 

ТАНГЕНТНА РАМНИНА И НОРМАЛА

Module by: Liljana Stefanovska. E-mail the author

Summary: Дадени се равенките на тангентната рамнина и нормалата на површина во дадена точка од кривата преку нормалниот вектор. The equations of the tangent plane and the normal line at point of a plane in tree dimensional space are given using the normal vector.

Ќе ги определиме равенките на тангентната рамнина и нормалата на површината f(x,y)f(x,y) size 12{f \( x,y \) } {} во нејзината точка A(x0,y0,z0)A(x0,y0,z0) size 12{A \( x rSub { size 8{0} } ,y rSub { size 8{0} } ,z rSub { size 8{0} } \) } {} ако површината е глатка, т. е. функцијата и нејзините парцијални изводи постојат во таа точка (f(x0,y0)≠∞,fx'(x0,y0)≠∞,fy'(x0,y0)≠∞).(f(x0,y0)≠∞,fx'(x0,y0)≠∞,fy'(x0,y0)≠∞). size 12{ \( f \( x rSub { size 8{0} } ,y rSub { size 8{0} } \) <> infinity ,~ { {f}} sup { ' } rSub { size 8{x} } \( x rSub { size 8{0} } ,y rSub { size 8{0} } \) <> infinity ,~ { {f}} sup { ' } rSub { size 8{y} } \( x rSub { size 8{0} } ,y rSub { size 8{0} } \) <> infinity \) "." } {}

Најпрво се дефинира нормален вектор на површина во дадена точка.

Дефиниција.

Векторот

n → = ∂ f ( x 0 , y 0 ) ∂ x , ∂ f ( x 0 , y 0 ) ∂ y , − 1 n → = ∂ f ( x 0 , y 0 ) ∂ x , ∂ f ( x 0 , y 0 ) ∂ y , − 1 size 12{ {n} cSup { size 8{ rightarrow } } = left lbrace { { partial f \( x rSub { size 8{0} } ,y rSub { size 8{0} } \) } over { partial x} } ,` { { partial f \( x rSub { size 8{0} } ,y rSub { size 8{0} } \) } over { partial y} } ,` - 1 right rbrace } {}

е нормален вектор на површи­ната f(x,y)f(x,y) size 12{f \( x,y \) } {} во точката A(x0,y0,z0)A(x0,y0,z0) size 12{A \( x rSub { size 8{0} } ,y rSub { size 8{0} } ,z rSub { size 8{0} } \) } {}.

Ако површината е зададена во имплицитен облик F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0 size 12{F \( x,y,z \) =0} {}, тогаш нормалниот вектор во точката е A(x0,y0,z0)A(x0,y0,z0) size 12{A \( x rSub { size 8{0} } ,y rSub { size 8{0} } ,z rSub { size 8{0} } \) } {} е

n → = ∂ F ( x 0 , y 0 , z 0 ) ∂ x , ∂ F ( x 0 , y 0 , z 0 ) ∂ y , ∂ F ( x 0 , y 0 , z 0 ) ∂ z n → = ∂ F ( x 0 , y 0 , z 0 ) ∂ x , ∂ F ( x 0 , y 0 , z 0 ) ∂ y , ∂ F ( x 0 , y 0 , z 0 ) ∂ z size 12{ {n} cSup { size 8{ rightarrow } } = left lbrace { { partial F \( x rSub { size 8{0} } ,y rSub { size 8{0} } ,z rSub { size 8{0} } \) } over { partial x} } ,` { { partial F \( x rSub { size 8{0} } ,y rSub { size 8{0} } ,z rSub { size 8{0} } \) } over { partial y} } ,` { { partial F \( x rSub { size 8{0} } ,y rSub { size 8{0} } ,z rSub { size 8{0} } \) } over { partial z} } right rbrace } {} .

Тангентна рамнина

Тангентна рамнина на површина е рамнина која ја допира површината во една точка (Сл. 1).

Table 1
graphics1.jpg
Слика 1. Тангентна рамнина на површината f(x,y)f(x,y) size 12{f \( x,y \) } {} во точката AA size 12{A} {}

Равенката на тангентна рамнина на површината f(x,y)f(x,y) size 12{f \( x,y \) } {} во точката A(x0,y0,z0)A(x0,y0,z0) size 12{A \( x rSub { size 8{0} } ,y rSub { size 8{0} } ,z rSub { size 8{0} } \) } {} од дадената површина е

∂ f ( x 0 , y 0 , z 0 ) ∂ x ( x − x 0 ) + ∂ f ( x 0 , y 0 , z 0 ) ∂ y ( y − y 0 ) − ( z − z 0 ) = 0 ∂ f ( x 0 , y 0 , z 0 ) ∂ x ( x − x 0 ) + ∂ f ( x 0 , y 0 , z 0 ) ∂ y ( y − y 0 ) − ( z − z 0 ) = 0 size 12{ { { partial f \( x rSub { size 8{0} } ,y rSub { size 8{0} } ,z rSub { size 8{0} } \) } over { partial x} } \( x - x rSub { size 8{0} } \) + { { partial f \( x rSub { size 8{0} } ,y rSub { size 8{0} } ,z rSub { size 8{0} } \) } over { partial y} } \( y - y rSub { size 8{0} } \) - \( z - z rSub { size 8{0} } \) =0} {}

или

z − z 0 = ∂ f ( x 0 , y 0 , z 0 ) ∂ x ( x − x 0 ) + ∂ f ( x 0 , y 0 , z 0 ) ∂ y ( y − y 0 ) . z − z 0 = ∂ f ( x 0 , y 0 , z 0 ) ∂ x ( x − x 0 ) + ∂ f ( x 0 , y 0 , z 0 ) ∂ y ( y − y 0 ) . size 12{z - z rSub { size 8{0} } = { { partial f \( x rSub { size 8{0} } ,y rSub { size 8{0} } ,z rSub { size 8{0} } \) } over { partial x} } \( x - x rSub { size 8{0} } \) + { { partial f \( x rSub { size 8{0} } ,y rSub { size 8{0} } ,z rSub { size 8{0} } \) } over { partial y} } \( y - y rSub { size 8{0} } \) "." } {}

Тангентната рамнина се добива како равенка на рамнина низ дадена точка од површината и е нормална на векторот n→n→ size 12{ {n} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} (дел од аналитичка геометрија; точка-нормала облик равенка на рамнина.)

Ако површината е зададена со имплицитната равенка F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0 size 12{F \( x,y,z \) =0} {}, тангентната рамнина ќе има равенка

∂ F ( x 0 , y 0 , z 0 ) ∂ x ( x − x 0 ) + ∂ F ( x 0 , y 0 , z 0 ) ∂ y ( y − y 0 ) + ∂ F ( x 0 , y 0 , z 0 ) ∂ z ( z − z 0 ) = 0 . ∂ F ( x 0 , y 0 , z 0 ) ∂ x ( x − x 0 ) + ∂ F ( x 0 , y 0 , z 0 ) ∂ y ( y − y 0 ) + ∂ F ( x 0 , y 0 , z 0 ) ∂ z ( z − z 0 ) = 0 . size 12{ { { partial F \( x rSub { size 8{0} } ,y rSub { size 8{0} } ,z rSub { size 8{0} } \) } over { partial x} } \( x - x rSub { size 8{0} } \) + { { partial F \( x rSub { size 8{0} } ,y rSub { size 8{0} } ,z rSub { size 8{0} } \) } over { partial y} } \( y - y rSub { size 8{0} } \) + { { partial F \( x rSub { size 8{0} } ,y rSub { size 8{0} } ,z rSub { size 8{0} } \) } over { partial z} } \( z - z rSub { size 8{0} } \) =0 "." } {}

Нормала

Нормала низ точката A(x0,y0,z0)A(x0,y0,z0) size 12{A \( x rSub { size 8{0} } ,y rSub { size 8{0} } ,z rSub { size 8{0} } \) } {} е права која минува низ таа точка и е нормална на тангентната рамнина.

Равенката на нормалата на површината f(x,y)f(x,y) size 12{f \( x,y \) } {} во точката A(x0,y0,z0)A(x0,y0,z0) size 12{A \( x rSub { size 8{0} } ,y rSub { size 8{0} } ,z rSub { size 8{0} } \) } {} се добива преку формулата за равенка на права низ точка A(x0,y0,z0)A(x0,y0,z0) size 12{A \( x rSub { size 8{0} } ,y rSub { size 8{0} } ,z rSub { size 8{0} } \) } {} паралелна со векторотn→n→ size 12{ {n} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}:

x − x 0 ∂ f ( x 0 , y 0 ) ∂ x = y − y 0 ∂ f ( x 0 , y 0 ) ∂ y = z − z 0 − 1 . x − x 0 ∂ f ( x 0 , y 0 ) ∂ x = y − y 0 ∂ f ( x 0 , y 0 ) ∂ y = z − z 0 − 1 . size 12{ { {x - x rSub { size 8{0} } } over { { { partial f \( x rSub { size 8{0} } ,y rSub { size 8{0} } \) } over { partial x} } } } `=` { {y - y rSub { size 8{0} } } over { { { partial f \( x rSub { size 8{0} } ,y rSub { size 8{0} } \) } over { partial y} } } } `=` { {z - z rSub { size 8{0} } } over { - 1} } "." } {}

За површина зададена со имплицитната равенка F(x,y,z)=0,F(x,y,z)=0, size 12{F \( x,y,z \) =0,} {} равенката на нормалата е

x − x 0 ∂ F ( x 0 , y 0 , z 0 ) ∂ x = y − y 0 ∂ F ( x 0 , y 0 , z 0 ) ∂ y = z − z 0 ∂ F ( x 0 , y 0 , z 0 ) ∂ z . x − x 0 ∂ F ( x 0 , y 0 , z 0 ) ∂ x = y − y 0 ∂ F ( x 0 , y 0 , z 0 ) ∂ y = z − z 0 ∂ F ( x 0 , y 0 , z 0 ) ∂ z . size 12{ { {x - x rSub { size 8{0} } } over { { { partial F \( x rSub { size 8{0} } ,y rSub { size 8{0} } ,z rSub { size 8{0} } \) } over { partial x} } } } = { {y - y rSub { size 8{0} } } over { { { partial F \( x rSub { size 8{0} } ,y rSub { size 8{0} } ,z rSub { size 8{0} } \) } over { partial y} } } } = { {z - z rSub { size 8{0} } } over { { { partial F \( x rSub { size 8{0} } ,y rSub { size 8{0} } ,z rSub { size 8{0} } \) } over { partial z} } } } "." } {}

Пример 1. Да се напише равенката на тангентната рамнина на елипсоидот x2+2y2+z2=1x2+2y2+z2=1 size 12{x rSup { size 8{2} } +2y rSup { size 8{2} } +z rSup { size 8{2} } =1} {} која е паралелна со рамнината x−y+2z=0x−y+2z=0 size 12{x - y+2z=0} {}.

Решение. Бидејќи елипсоидот е зададен со равенка во имплицитен облик, парцијалните изводи се Fx'=2x,Fy'=4y,Fz'=2z,Fx'=2x,Fy'=4y,Fz'=2z, size 12{ { {F}} sup { ' } rSub { size 8{x} } =2x,~ { {F}} sup { ' } rSub { size 8{y} } =4y,~ { {F}} sup { ' } rSub { size 8{z} } =2z,} {} а тангентната рамнина ќе биде од обликот

2x 0 ( x − x 0 ) + 4y 0 ( y − y 0 ) + 2z 0 ( z − z 0 ) = 0 . 2x 0 ( x − x 0 ) + 4y 0 ( y − y 0 ) + 2z 0 ( z − z 0 ) = 0 . size 12{2x rSub { size 8{0} } \( x - x rSub { size 8{0} } \) +4y rSub { size 8{0} } \( y - y rSub { size 8{0} } \) +2z rSub { size 8{0} } \( z - z rSub { size 8{0} } \) =0 "." } {}

Точката A(x0,y0,z0)A(x0,y0,z0) size 12{A \( x rSub { size 8{0} } ,y rSub { size 8{0} } ,z rSub { size 8{0} } \) } {} во која треба да се повлече тангентната рамнина не се знае и таа ќе се определи од условот за паралелност на две рамнини (тангентната рамнина и дадената рамнина x−y+2z=0x−y+2z=0 size 12{x - y+2z=0} {})

2x 0 1 = 4y 0 − 1 = 2z 0 2 2x 0 1 = 4y 0 − 1 = 2z 0 2 size 12{ { {2x rSub { size 8{0} } } over {1} } = { {4y rSub { size 8{0} } } over { - 1} } = { {2z rSub { size 8{0} } } over {2} } } {}

и условот точката да лежи на елипсоидот

x02+2y02+z02=1x02+2y02+z02=1 size 12{x rSub { size 8{0} } rSup { size 8{2} } +2y rSub { size 8{0} } rSup { size 8{2} } +z rSub { size 8{0} } rSup { size 8{2} } =1} {}.

Овие услови го даваат следниот системот равенки

2x 0 1 = 4y 0 − 1 2x 0 1 = 4y 0 − 1 size 12{ { {2x rSub { size 8{0} } } over {1} } = { {4y rSub { size 8{0} } } over { - 1} } } {}

2x 0 1 = 2z 0 2 2x 0 1 = 2z 0 2 size 12{ { {2x rSub { size 8{0} } } over {1} } = { {2z rSub { size 8{0} } } over {2} } } {}

x 0 2 + 2y 0 2 + z 0 2 = 1 x 0 2 + 2y 0 2 + z 0 2 = 1 size 12{x rSub { size 8{0} } rSup { size 8{2} } +2y rSub { size 8{0} } rSup { size 8{2} } +z rSub { size 8{0} } rSup { size 8{2} } =1} {}

односно ситемот

− 1 2 x 0 = y 0 2x 0 = z 0 − 1 2 x 0 = y 0 2x 0 = z 0 alignl { stack { size 12{ - { {1} over {2} } x rSub { size 8{0} } =y rSub { size 8{0} } } {} # ~2x rSub { size 8{0} } =z rSub { size 8{0} } {} } } {}

x 0 2 + 2y 0 2 + z 0 2 = 1 . x 0 2 + 2y 0 2 + z 0 2 = 1 . size 12{x rSub { size 8{0} } rSup { size 8{2} } +2y rSub { size 8{0} } rSup { size 8{2} } +z rSub { size 8{0} } rSup { size 8{2} } =1 "." } {}

Со замена на првите две равенки во третата равенка се добива квадратната равенка

x 0 2 + 2 − x 0 2 2 + 2x 0 2 = 1 x 0 2 + 2 − x 0 2 2 + 2x 0 2 = 1 size 12{x rSub { size 8{0} } rSup { size 8{2} } +2 left ( { { - x rSub { size 8{0} } } over {2} } right ) rSup { size 8{2} } + left (2x rSub { size 8{0} } right ) rSup { size 8{2} } =1} {}

чии решенија се

x0=±211,y0=∓12211,z0=±2211x0=±211,y0=∓12211,z0=±2211 size 12{x rSub { size 8{0} } = +- sqrt { { {2} over {"11"} } } ,~y rSub { size 8{0} } = -+ { {1} over {2} } sqrt { { {2} over {"11"} } } ,~z rSub { size 8{0} } = +- 2 sqrt { { {2} over {"11"} } } } {},

а тоа значи дека постојат две точки на елипсоидот

A 1 2 11 , − 1 2 2 11 , 2 2 11 A 1 2 11 , − 1 2 2 11 , 2 2 11 size 12{A rSub { size 8{1} } left ( sqrt { { {2} over {"11"} } } ,` - { {1} over {2} } sqrt { { {2} over {"11"} } } ,`2 sqrt { { {2} over {"11"} } } right )} {}

и

A 2 − 2 11 , 1 2 2 11 , − 2 2 11 A 2 − 2 11 , 1 2 2 11 , − 2 2 11 size 12{A rSub { size 8{2} } left ( - sqrt { { {2} over {"11"} } } ,` { {1} over {2} } sqrt { { {2} over {"11"} } } ,` - 2 sqrt { { {2} over {"11"} } } right )} {}

во кои тангентните рамнини се паралелни со дадената рамнина, односно постојат две тангентни рамнини.

Равенките на бараните тангентни рамнини се:

Во точката A1211,−12211,2211A1211,−12211,2211 size 12{A rSub { size 8{1} } left ( sqrt { { {2} over {"11"} } } ,` - { {1} over {2} } sqrt { { {2} over {"11"} } } ,`2 sqrt { { {2} over {"11"} } } right )} {} тангентната рамнина е x−y+2z=112x−y+2z=112 size 12{x - y+2z= sqrt { { {"11"} over {2} } } } {},

а во точката A2−211,12211,−2211A2−211,12211,−2211 size 12{A rSub { size 8{2} } left ( - sqrt { { {2} over {"11"} } } ,` { {1} over {2} } sqrt { { {2} over {"11"} } } ,` - 2 sqrt { { {2} over {"11"} } } right )} {} тангентната рамнина е x−y+2z=−112x−y+2z=−112 size 12{x - y+2z= - sqrt { { {"11"} over {2} } } } {}. ◄

Content actions

Download module as:

PDF | More downloads ...

Add module to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks