Првите парцијални изводи
∂f∂xk,(i=1,2,...,n)∂f∂xk,(i=1,2,...,n) size 12{ { { partial f} over { partial x rSub { size 8{k} } } } , \( i=1,2, "." "." "." ,n \) } {} на функцијата
f(x1,x2,...,xn)f(x1,x2,...,xn) size 12{f \( x rSub { size 8{1} } ,x rSub { size 8{2} } , "." "." "." ,x rSub { size 8{n} } \) } {} се исто така функции од
nn size 12{n} {} променливи
x1,x2,...,xnx1,x2,...,xn size 12{x rSub { size 8{1} } ,x rSub { size 8{2} } , "." "." "." ,x rSub { size 8{n} } } {} и од нив пак може да се бараат изводи. На пример,
∂∂xi∂f∂xk=∂2f∂xi∂xk∂∂xi∂f∂xk=∂2f∂xi∂xk size 12{ { { partial } over { partial x rSub { size 8{i} } } } left ( { { partial f} over { partial x rSub { size 8{k} } } } right )= { { partial rSup { size 8{2} } f} over { partial x rSub { size 8{i} } partial x rSub { size 8{k} } } } } {} е извод по променливата
xixi size 12{x rSub { size 8{i} } } {} кога изводот се бара од првиот извод по променливата
xkxk size 12{x rSub { size 8{k} } } {}.
Изводите од првите парцијални изводи
∂∂xi∂f∂xk=∂2f∂xi∂xk∂∂xi∂f∂xk=∂2f∂xi∂xk size 12{ { { partial } over { partial x rSub { size 8{i} } } } left ( { { partial f} over { partial x rSub { size 8{k} } } } right )= { { partial rSup { size 8{2} } f} over { partial x rSub { size 8{i} } partial x rSub { size 8{k} } } } } {} се нарекуваат парцијални изводи од втор ред.
Изводите за
i≠ki≠k size 12{i <> k} {} се нарекуваат мешани изводи.
За функција од две променливи
f(x,y)f(x,y) size 12{f \( x,y \) } {} може да најдат следните изводи од втор ред:
∂
2
f
∂
x
2
=
f
xx
'
'
,
∂
2
f
∂
y
∂
x
=
f
yx
'
'
,
∂
2
f
∂
x
∂
y
=
f
xy
'
'
,
∂
2
f
∂
y
2
=
f
yy
'
'
.
∂
2
f
∂
x
2
=
f
xx
'
'
,
∂
2
f
∂
y
∂
x
=
f
yx
'
'
,
∂
2
f
∂
x
∂
y
=
f
xy
'
'
,
∂
2
f
∂
y
2
=
f
yy
'
'
.
size 12{ { { partial rSup { size 8{2} } f} over { partial x rSup { size 8{2} } } } = { {f}} sup { '' } rSub { size 8{ ital "xx"} } ,`` { { partial rSup { size 8{2} } f} over { partial y partial x} } = { {f}} sup { '' } rSub { size 8{ ital "yx"} } ,`` { { partial rSup { size 8{2} } f} over { partial x partial y} } = { {f}} sup { '' } rSub { size 8{ ital "xy"} } ,`` { { partial rSup { size 8{2} } f} over { partial y rSup { size 8{2} } } } = { {f}} sup { '' } rSub { size 8{ ital "yy"} } "." } {}
Условот под кој мешаните изводи се еднакви е даден со следното тврдење:
Ако функцијатаf(x,y)f(x,y) size 12{f \( x,y \) } {} заедно со нејзините први парцијални изводи
∂f∂x,∂f∂y∂f∂x,∂f∂y size 12{ { { partial f} over { partial x} } , { { partial f} over { partial y} } } {} и мешаните парцијални изводи∂2f∂x∂y,∂2f∂y∂x∂2f∂x∂y,∂2f∂y∂x size 12{ { { partial rSup { size 8{2} } f} over { partial x partial y} } , { { partial rSup { size 8{2} } f} over { partial y partial x} } } {} се непрекинати во околина
K(A,ε)K(A,ε) size 12{K \( A,ε \) } {} на точката
A(x,y)A(x,y) size 12{A \( x,y \) } {},тогаш мешаните изводи во таа точка се еднакви, т.е. ∂2f∂x∂y=∂2f∂y∂x.∂2f∂x∂y=∂2f∂y∂x. size 12{ { { partial rSup { size 8{2} } f} over { partial x partial y} } = { { partial rSup { size 8{2} } f} over { partial y partial x} } "." } {}
Затоа функцијата две променливи
f(x,y)f(x,y) size 12{f \( x,y \) } {} ќе има три втори парцијални изводи:
∂2f∂x2=fxx'',∂2f∂y∂x=fyx'',∂2f∂y2=fyy''.∂2f∂x2=fxx'',∂2f∂y∂x=fyx'',∂2f∂y2=fyy''. size 12{ { { partial rSup { size 8{2} } f} over { partial x rSup { size 8{2} } } } = { {f}} sup { '' } rSub { size 8{ ital "xx"} } ,`` { { partial rSup { size 8{2} } f} over { partial y partial x} } = { {f}} sup { '' } rSub { size 8{ ital "yx"} } ,``` { { partial rSup { size 8{2} } f} over { partial y rSup { size 8{2} } } } = { {f}} sup { '' } rSub { size 8{ ital "yy"} } "." } {}
Согласно на теоремата за еднаквост на мешаните изводи, непрекината функција од две променливи f(x,y)f(x,y) size 12{f \( x,y \) } {} има четири трети изводи:
fxxx''',fxxx''', size 12{ { {f}} sup { ''' } rSub { size 8{ ital "xxx"} } ,} {},
fyxx'''fyxx''' size 12{ { {f}} sup { ''' } rSub { size 8{ ital "yxx"} } } {},
fyyx'''fyyx''' size 12{ { {f}} sup { ''' } rSub { size 8{ ital "yyx"} } } {}, fyyy'''fyyy''' size 12{ { {f}} sup { ''' } rSub { size 8{ ital "yyy"} } } {}
заради еднаквоста намешаните изводи
fyxx'''=fxyx'''=fxxy'''fyxx'''=fxyx'''=fxxy''' size 12{ { {f}} sup { ''' } rSub { size 8{ ital "yxx"} } = { {f}} sup { ''' } rSub { size 8{ ital "xyx"} } = { {f}} sup { ''' } rSub { size 8{ ital "xxy"} } } {} и
fyyx'''=fyxy'''=fxyy'''.fyyx'''=fyxy'''=fxyy'''. size 12{ { {f}} sup { ''' } rSub { size 8{ ital "yyx"} } = { {f}} sup { ''' } rSub { size 8{ ital "yxy"} } = { {f}} sup { ''' } rSub { size 8{ ital "xyy"} } "." } {}
Да се најдат вторите изводи на функцијата
z=x3+5x2y−xy3+3z=x3+5x2y−xy3+3 size 12{z=x rSup { size 8{3} } +5x rSup { size 8{2} } y - ital "xy" rSup { size 8{3} } +3} {}.
Решение. Првите парцијални изводи се:
∂
z
∂
x
=
3x
2
+
10
xy
−
y
3
∂
z
∂
x
=
3x
2
+
10
xy
−
y
3
size 12{ { { partial z} over { partial x} } =3x rSup { size 8{2} } +"10" ital "xy" - y rSup { size 8{3} } } {}
∂
z
∂
y
=
5x
2
−
3
xy
2
∂
z
∂
y
=
5x
2
−
3
xy
2
size 12{ { { partial z} over { partial y} } =5x rSup { size 8{2} } - 3 ital "xy" rSup { size 8{2} } } {}
.
Вторите парцијални изводи се:
∂
2
z
∂
x
2
=
∂
∂
x
∂
z
∂
x
=
∂
∂
x
3x
2
+
10
xy
−
y
3
=
6x
+
10
y
∂
2
z
∂
x
2
=
∂
∂
x
∂
z
∂
x
=
∂
∂
x
3x
2
+
10
xy
−
y
3
=
6x
+
10
y
size 12{ { { partial rSup { size 8{2} } z} over { partial x rSup { size 8{2} } } } = { { partial } over { partial x} } left ( { { partial z} over { partial x} } right )= { { partial } over { partial x} } left (3x rSup { size 8{2} } +"10" ital "xy" - y rSup { size 8{3} } right )=6x+"10"y} {}
∂
2
z
∂
y
∂
x
=
∂
∂
y
∂
z
∂
x
=
∂
∂
y
3x
2
+
10
xy
−
y
3
=
10
x
−
3y
2
∂
2
z
∂
y
∂
x
=
∂
∂
y
∂
z
∂
x
=
∂
∂
y
3x
2
+
10
xy
−
y
3
=
10
x
−
3y
2
size 12{ { { partial rSup { size 8{2} } z} over { partial y partial x} } = { { partial } over { partial y} } left ( { { partial z} over { partial x} } right )= { { partial } over { partial y} } left (3x rSup { size 8{2} } +"10" ital "xy" - y rSup { size 8{3} } right )="10"x - 3y rSup { size 8{2} } } {}
∂
2
z
∂
y
2
=
∂
∂
y
∂
z
∂
y
=
∂
∂
y
5x
2
−
3
xy
2
=
−
6
xy
∂
2
z
∂
y
2
=
∂
∂
y
∂
z
∂
y
=
∂
∂
y
5x
2
−
3
xy
2
=
−
6
xy
size 12{ { { partial rSup { size 8{2} } z} over { partial y rSup { size 8{2} } } } = { { partial } over { partial y} } left ( { { partial z} over { partial y} } right )= { { partial } over { partial y} } left (5x rSup { size 8{2} } - 3 ital "xy" rSup { size 8{2} } right )= - 6 ital "xy"} {}
∂
2
z
∂
x
∂
y
=
∂
∂
x
∂
z
∂
y
=
∂
∂
x
5x
2
−
3
xy
2
=
10
x
−
3y
2
∂
2
z
∂
x
∂
y
=
∂
∂
x
∂
z
∂
y
=
∂
∂
x
5x
2
−
3
xy
2
=
10
x
−
3y
2
size 12{ { { partial rSup { size 8{2} } z} over { partial x partial y} } = { { partial } over { partial x} } left ( { { partial z} over { partial y} } right )= { { partial } over { partial x} } left (5x rSup { size 8{2} } - 3 ital "xy" rSup { size 8{2} } right )="10"x - 3y rSup { size 8{2} } } {}
.
Како што се гледа од наведениот пример, мешаните изводи се еднакви
∂2z∂x∂y=∂2z∂y∂x=10x−3y2∂2z∂x∂y=∂2z∂y∂x=10x−3y2 size 12{ { { partial rSup { size 8{2} } z} over { partial x partial y} } = { { partial rSup { size 8{2} } z} over { partial y partial x} } ="10"x - 3y rSup { size 8{2} } } {}, бидејки и функцијата и нејзините изводи од прв ред и мешаните изводи од втор ред како полиномни функции се непрекинати функции во секоја точка. ◄
Да се покаже дека за функцијата
z=ln(ex+ey)z=ln(ex+ey) size 12{z="ln" \( e rSup { size 8{x} } +e rSup { size 8{y} } \) } {} важат релациите
∂
z
∂
x
+
∂
z
∂
y
=
1
и
∂
2
z
∂
x
2
∂
2
z
∂
y
2
−
∂
2
z
∂
x
∂
y
2
=
0
.
∂
z
∂
x
+
∂
z
∂
y
=
1
и
∂
2
z
∂
x
2
∂
2
z
∂
y
2
−
∂
2
z
∂
x
∂
y
2
=
0
.
size 12{ { { partial z} over { partial x} } + { { partial z} over { partial y} } =1~i~ { { partial rSup { size 8{2} } z} over { partial x rSup { size 8{2} } } } { { partial rSup { size 8{2} } z} over { partial y rSup { size 8{2} } } } - left ( { { partial rSup { size 8{2} } z} over { partial x partial y} } right ) rSup { size 8{2} } =0 "." } {}
Решение. Најпрво ги определуваме првите парцијални изводи:
∂z∂x=1ex+eyex+ey′x=exex+ey∂z∂x=1ex+eyex+ey′x=exex+ey size 12{ { { partial z} over { partial x} } = { {1} over {e rSup { size 8{x} } +e rSup { size 8{y} } } } left (e rSup { size 8{x} } +e rSup { size 8{y} } right ) rSup { size 8{′} rSub { size 8{x} } } = { {e rSup { size 8{x} } } over {e rSup { size 8{x} } +e rSup { size 8{y} } } } } {},
∂z∂y=1ex+eyex+ey′y=eyex+ey∂z∂y=1ex+eyex+ey′y=eyex+ey size 12{ { { partial z} over { partial y} } = { {1} over {e rSup { size 8{x} } +e rSup { size 8{y} } } } left (e rSup { size 8{x} } +e rSup { size 8{y} } right ) rSup { size 8{′} rSub { size 8{y} } } = { {e rSup { size 8{y} } } over {e rSup { size 8{x} } +e rSup { size 8{y} } } } } {}.
Сумата на првите парцијални изводи е
∂
z
∂
x
+
∂
z
∂
x
=
e
x
e
x
+
e
y
+
e
x
e
x
+
e
y
=
e
x
+
e
y
e
x
+
e
y
=
1
.
∂
z
∂
x
+
∂
z
∂
x
=
e
x
e
x
+
e
y
+
e
x
e
x
+
e
y
=
e
x
+
e
y
e
x
+
e
y
=
1
.
size 12{ { { partial z} over { partial x} } + { { partial z} over { partial x} } = { {e rSup { size 8{x} } } over {e rSup { size 8{x} } +e rSup { size 8{y} } } } + { {e rSup { size 8{x} } } over {e rSup { size 8{x} } +e rSup { size 8{y} } } } = { {e rSup { size 8{x} } +e rSup { size 8{y} } } over {e rSup { size 8{x} } +e rSup { size 8{y} } } } =1 "." } {}
Вторите парцијални изводи се:
∂2z∂x2=exex+ey−exexex+ey2=exeyex+ey2∂2z∂x2=exex+ey−exexex+ey2=exeyex+ey2 size 12{ { { partial rSup { size 8{2} } z} over { partial x rSup { size 8{2} } } } = { {e rSup { size 8{x} } left (e rSup { size 8{x} } +e rSup { size 8{y} } right ) - e rSup { size 8{x} } e rSup { size 8{x} } } over { left (e rSup { size 8{x} } +e rSup { size 8{y} } right ) rSup { size 8{2} } } } = { {e rSup { size 8{x} } e rSup { size 8{y} } } over { left (e rSup { size 8{x} } +e rSup { size 8{y} } right ) rSup { size 8{2} } } } } {},
∂2z∂y2=eyex+ey−eyeyex+ey2=exeyex+ey2∂2z∂y2=eyex+ey−eyeyex+ey2=exeyex+ey2 size 12{ { { partial rSup { size 8{2} } z} over { partial y rSup { size 8{2} } } } = { {e rSup { size 8{y} } left (e rSup { size 8{x} } +e rSup { size 8{y} } right ) - e rSup { size 8{y} } e rSup { size 8{y} } } over { left (e rSup { size 8{x} } +e rSup { size 8{y} } right ) rSup { size 8{2} } } } = { {e rSup { size 8{x} } e rSup { size 8{y} } } over { left (e rSup { size 8{x} } +e rSup { size 8{y} } right ) rSup { size 8{2} } } } } {},
∂2z∂x∂y=eyex+ey′x=−eyexex+ey2∂2z∂x∂y=eyex+ey′x=−eyexex+ey2 size 12{ { { partial rSup { size 8{2} } z} over { partial x partial y} } = left ( { {e rSup { size 8{y} } } over {e rSup { size 8{x} } +e rSup { size 8{y} } } } right ) rSup { size 8{′} rSub { size 8{x} } } = { { - e rSup { size 8{y} } e rSup { size 8{x} } } over { left (e rSup { size 8{x} } +e rSup { size 8{y} } right ) rSup { size 8{2} } } } } {}.
Бараната релација со вторите парцијални изводи е
∂
2
z
∂
x
2
∂
2
z
∂
y
2
−
∂
2
z
∂
x
∂
y
2
=
e
x
e
y
e
x
+
e
y
2
e
x
e
y
e
x
+
e
y
2
−
−
e
x
e
y
e
x
+
e
y
2
2
=
∂
2
z
∂
x
2
∂
2
z
∂
y
2
−
∂
2
z
∂
x
∂
y
2
=
e
x
e
y
e
x
+
e
y
2
e
x
e
y
e
x
+
e
y
2
−
−
e
x
e
y
e
x
+
e
y
2
2
=
size 12{ { { partial rSup { size 8{2} } z} over { partial x rSup { size 8{2} } } } { { partial rSup { size 8{2} } z} over { partial y rSup { size 8{2} } } } - left ( { { partial rSup { size 8{2} } z} over { partial x partial y} } right ) rSup { size 8{2} } = { {e rSup { size 8{x} } e rSup { size 8{y} } } over { left (e rSup { size 8{x} } +e rSup { size 8{y} } right ) rSup { size 8{2} } } } { {e rSup { size 8{x} } e rSup { size 8{y} } } over { left (e rSup { size 8{x} } +e rSup { size 8{y} } right ) rSup { size 8{2} } } } - left [ { { - e rSup { size 8{x} } e rSup { size 8{y} } } over { left (e rSup { size 8{x} } +e rSup { size 8{y} } right ) rSup { size 8{2} } } } right ] rSup { size 8{2} } ={}} {}
=
e
x
e
y
e
x
+
e
y
2
2
−
e
x
e
y
e
x
+
e
y
2
2
=
0,
=
e
x
e
y
e
x
+
e
y
2
2
−
e
x
e
y
e
x
+
e
y
2
2
=
0,
size 12{ {}= left [ { {e rSup { size 8{x} } e rSup { size 8{y} } } over { left (e rSup { size 8{x} } +e rSup { size 8{y} } right ) rSup { size 8{2} } } } right ] rSup { size 8{2} } - left [ { {e rSup { size 8{x} } e rSup { size 8{y} } } over { left (e rSup { size 8{x} } +e rSup { size 8{y} } right ) rSup { size 8{2} } } } right ] rSup { size 8{2} } =0,} {}
што требаше да се докаже. ◄
Општо, за функција од n променливи, бројот на парцијани изводи од ред m е даден со формулата за комбинации без повторување
Cˉnm=n+m−1m.Cˉnm=n+m−1m. size 12{ { bar {C}} rSub { size 8{n} } rSup { size 8{m} } = left ( matrix {
n+m - 1 {} ##
m
} right ) "." } {} Затоа функцијата од две променливи ќе има
m+1 m+1 size 12{m+1} {} парцијални изводи од ред
m.m. size 12{m "." } {} Тоа се трите втори изводи
f
xx
'
'
,
f
yx
'
'
,
f
yy
'
'
f
xx
'
'
,
f
yx
'
'
,
f
yy
'
'
size 12{ { {f}} sup { '' } rSub { size 8{ ital "xx"} } ,`` { {f}} sup { '' } rSub { size 8{ ital "yx"} } ,`` { {f}} sup { '' } rSub { size 8{ ital "yy"} } } {}
четирите трети изводи
fxxx''',fyxx''',fyyx''',fyyy''',fxxx''',fyxx''',fyyx''',fyyy''', size 12{f rSub { size 8{ ital "xxx"} } rSup { size 8{"'''"} } ,f rSub { size 8{ ital "yxx"} } rSup { size 8{"'''"} } ,f rSub { size 8{ ital "yyx"} } rSup { size 8{"'''"} } ,f rSub { size 8{ ital "yyy"} } rSup { size 8{"'''"} } ,} {} и т.н.
Тоталниот диференцијал од прв ред за функција од две променливи f(x,y)f(x,y) size 12{f \( x,y \) } {} беше даден со релацијата
df=∂f∂xdx+∂f∂ydy.df=∂f∂xdx+∂f∂ydy. size 12{ ital "df"= { { partial f} over { partial x} } ital "dx"+ { { partial f} over { partial y} } ital "dy" "." } {} Ако се побара диференцијал од првиот диференцијал се добива вториот диференцијал
d
2
f
=
d
∂
f
∂
x
dx
+
∂
f
∂
y
dy
=
d
2
f
=
d
∂
f
∂
x
dx
+
∂
f
∂
y
dy
=
size 12{d rSup { size 8{2} } f=d left ( { { partial f} over { partial x} } ital "dx"+ { { partial f} over { partial y} } ital "dy" right )={}} {}
=
∂
2
f
∂
x
2
dx
+
∂
2
f
∂
y
∂
x
dy
dx
+
∂
2
f
∂
x
∂
y
dx
+
∂
2
f
∂
y
2
dy
dy
=
=
∂
2
f
∂
x
2
dx
+
∂
2
f
∂
y
∂
x
dy
dx
+
∂
2
f
∂
x
∂
y
dx
+
∂
2
f
∂
y
2
dy
dy
=
size 12{ {}= left ( { { partial rSup { size 8{2} } f} over { partial x rSup { size 8{2} } } } ital "dx"+ { { partial rSup { size 8{2} } f} over { partial y partial x} } ital "dy" right ) ital "dx"+ left ( { { partial rSup { size 8{2} } f} over { partial x partial y} } ital "dx"+ { { partial rSup { size 8{2} } f} over { partial y rSup { size 8{2} } } } ital "dy" right ) ital "dy"={}} {}
=
∂
2
f
∂
x
2
dx
2
+
2
∂
2
f
∂
x
∂
y
dxdy
+
∂
2
f
∂
y
2
dy
2
.
=
∂
2
f
∂
x
2
dx
2
+
2
∂
2
f
∂
x
∂
y
dxdy
+
∂
2
f
∂
y
2
dy
2
.
size 12{ {}= { { partial rSup { size 8{2} } f} over { partial x rSup { size 8{2} } } } ital "dx" rSup { size 8{2} } +2 { { partial rSup { size 8{2} } f} over { partial x partial y} } ital "dxdy"+ { { partial rSup { size 8{2} } f} over { partial y rSup { size 8{2} } } } ital "dy" rSup { size 8{2} } "." } {}
Заначи втор диференцијал е изразот
d
2
f
=
∂
2
f
∂
x
2
dx
2
+
2
∂
2
f
∂
x
∂
y
dxdy
+
∂
2
f
∂
y
2
dy
2
d
2
f
=
∂
2
f
∂
x
2
dx
2
+
2
∂
2
f
∂
x
∂
y
dxdy
+
∂
2
f
∂
y
2
dy
2
size 12{d rSup { size 8{2} } f= { { partial rSup { size 8{2} } f} over { partial x rSup { size 8{2} } } } ital "dx" rSup { size 8{2} } +2 { { partial rSup { size 8{2} } f} over { partial x partial y} } ital "dxdy"+ { { partial rSup { size 8{2} } f} over { partial y rSup { size 8{2} } } } ital "dy" rSup { size 8{2} } } {}
(1)
или накусо запишан како бином на квадрат преку релацијата
d
2
f
=
∂
∂
x
dx
+
∂
∂
y
dy
2
f
.
d
2
f
=
∂
∂
x
dx
+
∂
∂
y
dy
2
f
.
size 12{d rSup { size 8{2} } f= left ( { { partial } over { partial x} } ital "dx"+ { { partial } over { partial y} } ital "dy" right ) rSup { size 8{2} } f "." } {}
(2)
Последниот израз овозможува накусо запишување на диференцијал од ред k за функција со две променливи преку изразот за бином на степен k
d
k
f
=
∂
∂
x
dx
+
∂
∂
y
dy
k
f
.
d
k
f
=
∂
∂
x
dx
+
∂
∂
y
dy
k
f
.
size 12{d rSup { size 8{k} } f= left ( { { partial } over { partial x} } ital "dx"+ { { partial } over { partial y} } ital "dy" right ) rSup { size 8{k} } f "." } {}
(3)
