Skip to content Skip to navigation

Connexions

You are here: Home » Content » ЕКСТРЕМНИ ВРЕДНОСТИ НА ФУНКЦИЈА ОД ДВЕ ПРОМЕНЛИВИ

Navigation

Recently Viewed

This feature requires Javascript to be enabled.
 

ЕКСТРЕМНИ ВРЕДНОСТИ НА ФУНКЦИЈА ОД ДВЕ ПРОМЕНЛИВИ

Module by: Liljana Stefanovska. E-mail the author

Summary: За функција од две промелниви се даваат потребните и доволните услови за релативен екстрем (минимум или максимум) во дадена стационарна точка. The first and second partial test for relative extreme (minimum or maximum) for function of two variables are given.

Ќе прикажеме уште една примена на парцијалните изводи на функција од две променли­ви: определување на локалните екстреми на функција.

Нека z=f(x,y)z=f(x,y) size 12{z=f \( x,y \) } {} е функција дефинирана во ε−ε− size 12{ε - {}} {}околина на точката M(a,b).M(a,b). size 12{M \( a,b \) "." } {} Точката MM size 12{M} {} е

  • точка на локален минимум ако f(x,y)>f(a,b),∀(x,y)∈K(M,ε)∩Dff(x,y)>f(a,b),∀(x,y)∈K(M,ε)∩Df size 12{f \( x,y \) >f \( a,b \) ,~ forall \( x,y \) in K \( M,ε \) intersection D rSub { size 8{f} } } {} ;
  • точка на локален максимум ако f(x,y)<f(a,b),∀(x,y)∈K(M,ε)∩Dff(x,y)<f(a,b),∀(x,y)∈K(M,ε)∩Df size 12{f \( x,y \) <f \( a,b \) ,~ forall \( x,y \) in K \( M,ε \) intersection D rSub { size 8{f} } } {}.

Локалнитот минимум и максимум се нарекуваат локални екстреми на функцијата. Најмалиот локален минимум (максимум) во разгледуваната област се нарекува глобален минимум (максимум) во таа област.

Потребен услов за локален екстрем:

Ако функцијатаf(x,y)f(x,y) size 12{f \( x,y \) } {} има локален екстрем во точката M(a,b),M(a,b), size 12{M \( a,b \) ,} {} тогаш сите парцијални изводи од прв ред во точкатаMM size 12{M} {} се еднакви на нула

∂ f ( a , b ) ∂ x = 0 и ∂ f ( a , b ) ∂ y = 0 ∂ f ( a , b ) ∂ x = 0 и ∂ f ( a , b ) ∂ y = 0 size 12{ { { partial f \( a,b \) } over { partial x} } =0~i~ { { partial f \( a,b \) } over { partial y} } =0} {}

или тие не постојат.

Пример 1.

Функцијата z=1−x2−y2z=1−x2−y2 size 12{z=1 - x rSup { size 8{2} } - y rSup { size 8{2} } } {} има локален максимум во точката M(0,0)M(0,0) size 12{M \( 0,0 \) } {} (Слика 1). Во таа точка функцијата е диференцијабилна и исполент е потребниот услов за локален екстрем

∂ z ( 0,0 ) ∂ x = − 2x / ( 0,0 ) 0 ∂ z ( 0,0 ) ∂ x = − 2x / ( 0,0 ) 0 size 12{ { { partial z \( 0,0 \) } over { partial x} } = - 2x/ rSub { size 8{ \( 0,0 \) } } =0} {}

∂ z ( 0,0 ) ∂ y = − 2y / ( 0,0 ) 0 . ∂ z ( 0,0 ) ∂ y = − 2y / ( 0,0 ) 0 . size 12{ { { partial z \( 0,0 \) } over { partial y} } = - 2y/ rSub { size 8{ \( 0,0 \) } } =0 "." } {}

Table 1
graphics1.png
Слика 1. Локален максимум на диференцијабилна функција

Условот парцијалните изводи од прв ред да се еднакви на нула во точка не е доволен за постоење на локален екстрем во таа точка. На пример, хиперболичниот параболоид чија равенка е z=xyz=xy size 12{z= ital "xy"} {} (Сл. 2) и за кој парцијалните изводи од прв ред во координатниот почеток се еднакви на нула, zx'(0,0)=zy'(0,0)=0zx'(0,0)=zy'(0,0)=0 size 12{ { {z}} sup { ' } rSub { size 8{x} } \( 0,0 \) = { {z}} sup { ' } rSub { size 8{y} } \( 0,0 \) =0} {}, нема екстрем во координатниот почеток и ваквата точка се нарекува седласта точка.

Table 2
graphics2.png
Сл. 2. Седласта површина и седласта точка

Точката M(a,b)M(a,b) size 12{M \( a,b \) } {} која заедно со својата ε−ε− size 12{ε - {}} {}околина припаѓа на областа на дефини­ра­ност на функцијатаf(x,y)f(x,y) size 12{f \( x,y \) } {} за која fx'(a,b)=0,fy'(a,b)=0fx'(a,b)=0,fy'(a,b)=0 size 12{ { {f}} sup { ' } rSub { size 8{x} } \( a,b \) =0,`` { {f}} sup { ' } rSub { size 8{y} } \( a,b \) =0} {} се нарекува стационарна точка за функцијата f.f. size 12{f "." } {} Значи потребен услов за постоење на локален екстрем во дадена точка е таа да е стационарна точка.

За вредностите на вторите парцијални изводи во точката M(a,b)M(a,b) size 12{M \( a,b \) } {} се воведуваат следните ознаки:

A = f xx ' ' ( a , b ) , B = f xy ' ' ( a , b ) , C = f yy ' ' ( a , b ) , D = AC − B 2 . A = f xx ' ' ( a , b ) , B = f xy ' ' ( a , b ) , C = f yy ' ' ( a , b ) , D = AC − B 2 . size 12{A= { {f}} sup { '' } rSub { size 8{ ital "xx"} } \( a,b \) ,~B= { {f}} sup { '' } rSub { size 8{ ital "xy"} } \( a,b \) ,~C= { {f}} sup { '' } rSub { size 8{ ital "yy"} } \( a,b \) ,~D= ital "AC" - B rSup { size 8{2} } "." } {}
(1)

Доволен услов за локален екстрем:

Ако точката M(a,b)M(a,b) size 12{M \( a,b \) } {} е стационарна точка за функцијатаf(x,y)f(x,y) size 12{f \( x,y \) } {} и ако

Table 3
10 D > 0, A < 0 D > 0, A < 0 size 12{D>0,A<0} {} ff size 12{f} {}има локален максимум во точката M(a,b)M(a,b) size 12{M \( a,b \) } {}
20 D > 0, A > 0 D > 0, A > 0 size 12{D>0,A>0} {} ff size 12{f} {}има локален минимум во точката M(a,b)M(a,b) size 12{M \( a,b \) } {}
30 D < 0 D < 0 size 12{D<0} {} M(a,b)M(a,b) size 12{M \( a,b \) } {} е седласта точка на функцијата ff size 12{f} {}(не постои локлаен екстрем во таа точка)
40 D = 0 D = 0 size 12{D=0} {} Егзистенцијата на локалниот екстрем е неизвесна и потребни се дополнителни испитувања.

Пример 2.

Да се најдат локалните екстремните вредности на функцијата f(x,y)=xy(x+y−1).f(x,y)=xy(x+y−1). size 12{f \( x,y \) = ital "xy" \( x+y - 1 \) "." } {}

Решение. Потребниот услов за локален екстрем (постоење на стационарни точки) се определуваат од ситемот равенки

∂ f ∂ x = y ( 2x + y − 1 ) ∂ f ∂ y = x ( x + 2y − 1 ) . ∂ f ∂ x = y ( 2x + y − 1 ) ∂ f ∂ y = x ( x + 2y − 1 ) . alignl { stack { size 12{ { { partial f} over { partial x} } =y \( 2x+y - 1 \) } {} # size 12{ { { partial f} over { partial y} } =x \( x+2y - 1 \) "." } {} } } {}

Решението на системот ги дава четирите стационарни точки на функцијата: M1(0,0),M2(0,1),M3(1,0),M4(1/3,1/3).M1(0,0),M2(0,1),M3(1,0),M4(1/3,1/3). size 12{M rSub { size 8{1} } \( 0,0 \) ,M rSub { size 8{2} } \( 0,1 \) ,M rSub { size 8{3} } \( 1,0 \) ,M rSub { size 8{4} } \( 1/3,1/3 \) "." } {}

Во точките M1,M2,M3M1,M2,M3 size 12{M rSub { size 8{1} } ,M rSub { size 8{2} } ,M rSub { size 8{3} } } {} не постои екстрем бидејќи во нив D=−1<0.D=−1<0. size 12{D= - 1<0 "." } {}

Во точката M4M4 size 12{M rSub { size 8{4} } } {}се добива дека D=3/9>0,A=2/3>0D=3/9>0,A=2/3>0 size 12{D=3/9>0,A=2/3>0} {} и таа е точка на локален минимум во која вредноста на функцијата е fmin=f(1/3,1/3)=−1/27.fmin=f(1/3,1/3)=−1/27. size 12{f rSub { size 8{"min"} } =f \( 1/3,1/3 \) = - 1/"27" "." } {} ◄

Content actions

Download module as:

PDF | EPUB (?)

What is an EPUB file?

EPUB is an electronic book format that can be read on a variety of mobile devices.

Downloading to a reading device

For detailed instructions on how to download this content's EPUB to your specific device, click the "(?)" link.

| More downloads ...

Add module to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks