Các quá trình động lực và nhiệt trong biển bị quyết định trực tiếp hay gián tiếp bởi các đặc điểm hoàn lưu của khí quyển trên một không gian rộng lớn.

Việc thiết lập các mối liên hệ dự báo giữa các hiện tượng thủy văn trong biển và các yếu tố quyết định chúng theo các quan trắc về gió ở một điểm thường không dẫn tới những kết quả tốt. Những mối phụ thuộc này có khi có hệ số tương quan cao nhưng sẽ mang tính địa phương và không ổn định với thời gian. Vì vậy, người ta đã đề suất tính tới hoàn lưu khí quyển bằng những chỉ số khác nhau biểu thị đặc điểm và cường độ hoàn lưu khí quyển sao cho thâu tóm được ảnh hưởng của các quá trình khí quyển trên những miền rộng lớn bao quanh vùng dự báo.

Trong khi xây dựng những mối phụ thuộc dự báo thì nhiệt độ không khí, tốc độ gió, áp suất không khí ở một hay một số địa điểm, hiệu áp suất không khí ở hai địa điểm hay ở hai hướng vuông góc nhau có thể được dùng làm chỉ số hoàn lưu khí quyển. Phương pháp tỏ ra hiệu quả nhất để tính tới ảnh hưởng định lượng của hoàn lưu khí quyển là sử dụng những chỉ số hoàn lưu khí quyển. Trong thực hành dự báo biển sử dụng rộng rãi nhất là những chỉ số do N.A. Belinxki, L.A. Vitels, E.N. Blinova, A.L. Katx đề suất.

Chỉ số hoàn lưu khí quyển Belinxki biểu thị cường độ của hoạt động xoáy thuận và xoáy nghịch trong khí quyển. Vùng nghiên cứu được chia ra thành các ô hình chữ nhật với các cạnh 10°10° size 12{"10" rSup { size 8{ circ } } } {} trên kinh tuyến và 5°5° size 12{5 rSup { size 8{ circ } } } {} trên vĩ tuyến. Trong mỗi ô hình chữ nhật, từ bản đồ synop lấy giá trị áp suất có kể đến độ cong của các đường đẳng áp đi qua hình chữ nhật đó. Độ cong của các đường đẳng áp được xác định như sau: đường đẳng áp có độ cong xoáy thuận nếu trong vùng do đường đẳng áp bao quanh quan sát thấy áp suất thấp, nếu như áp suất bên trong vùng do đường đẳng áp bao quanh lớn hơn áp suất ghi trên đường đẳng áp thì đường đẳng áp ấy có độ cong xoáy nghịch.

Để đặc trưng về mặt số trị áp suất khí quyển và độ cong các đường đẳng áp Belinxki đã đề ra một hệ thống các chỉ số quy ước (bảng 3.1). Nếu đường đẳng áp thuộc xoáy thuận chỉ số hoàn lưu sẽ mang dấu dương, nếu đường đẳng áp thuộc xoáy nghịch chỉ số hoàn lưu sẽ mang dấu âm.

Những chỉ số này được tính bằng cách như sau: Hàng ngày trên các vùng đã chọn, từ bản đồ synop lấy các giá trị áp suất khí quyển theo độ lệch so với 1010 mba (có tính đến độ cong các đường đẳng áp) và sau đó tính trung bình trượt năm ngày. Sau đó trên cơ sở các kết quả nhận được tìm các giá trị trung bình của chỉ số trong tháng cho các vùng riêng biệt, giá trị rổng cộng của một số vùng, giá trị tổng cộng của chỉ số trong năm... Đây là một công việc rất nặng nhọc. Vì vậy để nhận được các chuỗi quan trắc dài nhiều năm Belinxki đã đề xuất một phương pháp nữa, đơn giản hơn, để xác định các chỉ số hoàn lưu khí quyển xuất phát từ thang điểm đánh giá các quá trình khí quyển cho những vùng cố định (thí dụ, Vitels đã định ra tất cả tám vùng bao quát phần bắc Đại Tây dương, châu Âu và lãnh thổ châu Âu của nước Nga) (bảng 3.2).

Trong thực hành dự báo thủy văn biển cũng như trong dự báo khí tượng sử dụng rộng rãi cách biểu thị giải tích các trường thủy văn, khí tượng dưới dạng các hàm của toạ độ. Phương pháp thường được sử dụng nhất là khai triển các trường thành chuỗi của các đa thức hoặc các hàm trực giao, thí dụ các đa thức trực giao của Chebưsev, các hàm trực giao tự nhiên của Bagrov. Trong dự báo thủy văn biển N.A. Belinxki và M.I. Glagoleva là những người đầu tiên sử dụng các phương pháp này.

Khi khai triển theo các đa thức Chebưsev một đường cong hay một trường yếu tố khí tượng thủy văn cần nghiên cứu được biểu diễn dưới dạng tổng của các đường cong hay trường đơn giản, mỗi đường cong hay trường đơn giản ấy đặc trưng cho những nét riêng biệt của phân bố thực.

Khai triển hàm một biến thành chuỗi theo các đa thức trực giao Chebưsev có dạng

f(x)=A0ϕ0+A1ϕ1+A2ϕ2+...+Aiϕif(x)=A0ϕ0+A1ϕ1+A2ϕ2+...+Aiϕi size 12{f \( x \) =A rSub { size 8{0} } ϕ rSub { size 8{0} } +A rSub { size 8{1} } ϕ rSub { size 8{1} } +A rSub { size 8{2} } ϕ rSub { size 8{2} } + "." "." "." +A rSub { size 8{i} } ϕ rSub { size 8{i} } } {}, (3.1)

trong đó Ai−Ai− size 12{A rSub { size 8{i} } - {}} {} các hệ số khai triển, ϕi−ϕi− size 12{ϕ rSub { size 8{i} } - {}} {} các đa thức biểu diễn các hàm parabôn bậc i(i=1,2,...,n)i(i=1,2,...,n) size 12{i`` \( i=1,2, "." "." "." ,n \) } {},

ϕ0=1ϕ0=1 size 12{ϕ rSub { size 8{0} } =1} {},

ϕ1=x−n+12ϕ1=x−n+12 size 12{ϕ rSub { size 8{1} } =x - { {n+1} over {2} } } {},

ϕ2=ϕ12−n2−112ϕ2=ϕ12−n2−112 size 12{ϕ rSub { size 8{2} } =ϕ rSub { size 8{1} } rSup { size 8{2} } - { {n rSup { size 8{2} } - 1} over {"12"} } } {}. (3.2)

Công thức để tính các đa thức bậc bất kỳ có dạng

ϕk+1=ϕ1ϕk−k2(n2−k2)4(4k2−1)ϕk−1ϕk+1=ϕ1ϕk−k2(n2−k2)4(4k2−1)ϕk−1 size 12{ϕ rSub { size 8{k+1} } =ϕ rSub { size 8{1} } ϕ rSub { size 8{k} } - { {k rSup { size 8{2} } \( n rSup { size 8{2} } - k rSup { size 8{2} } \) } over {4 \( 4k rSup { size 8{2} } - 1 \) } } ϕ rSub { size 8{k - 1} } } {}, (3.3)

trong đó n−n− size 12{n - {}} {} số điểm tại đó cho giá trị của hàm, x−x− size 12{x - {}} {} số hiệu của điểm nhận các trị số 1, 2, 3, ..., nn size 12{n} {}.

Những giá trị của các đa thức Chebưsev với những trường hợp n=11,12,13n=11,12,13 size 12{n="11", "12", "13"} {} được ghi trong bảng 3.3.

Những hệ số khai triển được xác định theo những giá trị cho trước của hàm và các đa thức

Ai=∑x=1nf(x)ϕi(x)∑x=1nϕi2(x).Ai=∑x=1nf(x)ϕi(x)∑x=1nϕi2(x). size 12{A rSub { size 8{i} } = { { Sum cSub { size 8{x=1} } cSup { size 8{n} } {f \( x \) ϕ rSub { size 8{i} } \( x \) } } over { Sum cSub { size 8{x=1} } cSup { size 8{n} } {ϕ rSub { size 8{i} } rSup { size 8{2} } \( x \) } } } "." } {} (3.4)

Số hạng thứ nhất của chuỗi (3.1) A0ϕ0A0ϕ0 size 12{A rSub { size 8{0} } ϕ rSub { size 8{0} } } {} đặc trưng cho trị số trung bình số học của hàm f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {} tại nn size 12{n} {} điểm, số hạng thứ hai của chuỗi (A1ϕ1)−(A1ϕ1)− size 12{ \( A rSub { size 8{1} } ϕ rSub { size 8{1} } \) - {}} {} thể hiện đường thẳng, các số hạng tiếp sau - các parabôn bậc ii size 12{i} {} (hình 3.1). Để khẳng định rằng những hệ số khai triển tính được đã thể hiện đủ chính xác đường cong xuất phát hay chưa ta có thể tiến hành khôi phục lại đường cong đó. Muốn vậy cần tính giá trị của hàm f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {} tại từng điểm của biến xx size 12{x} {}.

Trong bảng 3.4 và 3.5 trình bày thí dụ khai triển và khôi phục đường cong phân bố thẳng đứng của nhiệt độ nước tqttqt size 12{t rSub { size 8{ ital "qt"} } } {}. Trên hình 3.2 dẫn đường cong thực và đường cong khôi phục để so sánh (lấy từ [12]).

A 0 = 8, 80 , A 1 = − 84 , 2 182 = − 0, 4626 , A 2 = 33 , 8 2002 = 0, 01688 , A 3 = 43 , 5 572 = − 0, 07604 , A 4 = − 168 , 5 68068 = − 0, 002475 , A 5 = − 47 , 4 6188 = − 0, 007659 , A 6 = 57 , 4 14212 = 0, 004038 A 0 = 8, 80 , A 1 = − 84 , 2 182 = − 0, 4626 , A 2 = 33 , 8 2002 = 0, 01688 , A 3 = 43 , 5 572 = − 0, 07604 , A 4 = − 168 , 5 68068 = − 0, 002475 , A 5 = − 47 , 4 6188 = − 0, 007659 , A 6 = 57 , 4 14212 = 0, 004038 alignl { stack { size 12{A rSub { size 8{0} } =8,"80"," "A rSub { size 8{1} } = { { - "84",2} over {"182"} } = - 0,"4626"," "A rSub { size 8{2} } = { {"33",8} over {"2002"} } =0,"01688"," A" rSub { size 8{3} } = { {"43",5} over {"572"} } = - 0,"07604"," "A rSub { size 8{4} } = { { - "168",5} over {"68068"} } = - 0,"002475",} {} # A rSub { size 8{5} } = { { - "47",4} over {"6188"} } = - 0,"007659"," "A rSub { size 8{6} } = { {"57",4} over {"14212"} } =0,"004038" {} } } {}

Muốn đạt được sự trùng hợp hoàn toàn giữa hàm giải tích và hàm thực cần phải lấy số số hạng của chuỗi bằng số điểm nút tại đó cho giá trị của hàm. Kinh nghiệm cho thấy rằng để xấp xỉ đường cong với độ chính xác thoả mãn các mục đích thực tiễn có thể chỉ cần lấy số số hạng chuỗi nhỏ hơn. Thí dụ, nếu đường cong được cho bởi các giá trị nhiệt độ nước tại 13 điểm nút thì chỉ cần lấy 6-8 đa thức đầu tiên đã cho độ chính xác thoả mãn mục đích thực tiễn. Trên hình 3.2 thấy rằng đường cong 4 biểu thị tổng của sáu số hạng đầu tiên đã gần trùng với đường cong nhiệt độ thực 5.

Để khai triển hàm hai biến sử dụng công thức sau

P ( x , y ) = A 00 ϕ 0 ( x ) ψ 0 ( y ) + A 10 ϕ 1 ( x ) ψ 0 ( y ) + A 01 ϕ 0 ( x ) ψ 1 ( y ) P ( x , y ) = A 00 ϕ 0 ( x ) ψ 0 ( y ) + A 10 ϕ 1 ( x ) ψ 0 ( y ) + A 01 ϕ 0 ( x ) ψ 1 ( y ) size 12{P \( x,y \) =A rSub { size 8{"00"} } ϕ rSub { size 8{0} } \( x \) ψ rSub { size 8{0} } \( y \) +A rSub { size 8{"10"} } ϕ rSub { size 8{1} } \( x \) ψ rSub { size 8{0} } \( y \) +A rSub { size 8{"01"} } ϕ rSub { size 8{0} } \( x \) ψ rSub { size 8{1} } \( y \) } {}

+A11ϕ1(x)ψ1(y)+...+Aijϕi(x)ψj(y)+...+A11ϕ1(x)ψ1(y)+...+Aijϕi(x)ψj(y)+... size 12{+A rSub { size 8{"11"} } ϕ rSub { size 8{1} } \( x \) ψ rSub { size 8{1} } \( y \) + "." "." "." +A rSub { size 8{ ital "ij"} } ϕ rSub { size 8{i} } \( x \) ψ rSub { size 8{j} } \( y \) + "." "." "." } {}, (3.5)

Hình 1: Những đường cong đơn biểu thị các đa thức Chebưsev bậc từ 1 đến 6

trong đó ϕi,ψj−ϕi,ψj− size 12{ϕ rSub { size 8{i} } , ψ rSub { size 8{j} } - {}} {} các đa thức Chebưsev, Aij−Aij− size 12{A rSub { size 8{ ital "ij"} } - {}} {} các hệ số khai triển.

Giá trị của các hệ số được tính theo công thức tương tự như công thức (3.4)

Aij=∑m=1k∑n=1qP(xm,yn)ϕi(xm)ψj(yn)∑m=1kϕi2(xm)∑n=1qψj2(yn)Aij=∑m=1k∑n=1qP(xm,yn)ϕi(xm)ψj(yn)∑m=1kϕi2(xm)∑n=1qψj2(yn) size 12{A rSub { size 8{ ital "ij"} } = { { Sum cSub { size 8{m=1} } cSup { size 8{k} } { Sum cSub { size 8{n=1} } cSup { size 8{q} } {P \( x rSub { size 8{m} } ,y rSub { size 8{n} } \) ϕ rSub { size 8{i} } \( x rSub { size 8{m} } \) ψ rSub { size 8{j} } \( y rSub { size 8{n} } \) } } } over { Sum cSub { size 8{m=1} } cSup { size 8{k} } {ϕ rSub { size 8{i} } rSup { size 8{2} } \( x rSub { size 8{m} } \) Sum cSub { size 8{n=1} } cSup { size 8{q} } {ψ rSub { size 8{j} } rSup { size 8{2} } \( y rSub { size 8{n} } \) } } } } } {} , (3.6)

trong đó k−k− size 12{k - {}} {} số điểm nút trên hướng trục xx size 12{x} {} tại đó cho hàm, q−q− size 12{q - {}} {} số điểm nút trên hướng trục yy size 12{y} {}.

Các giá trị của hàm P(xm,yn)P(xm,yn) size 12{P \( x rSub { size 8{m} } ,y rSub { size 8{n} } \) } {} được cho dưới dạng ma trận

Pxm,yn=∣P(x1,y1)P(x1,y2)...P(x1,yq)P(x2,y1)P(x2,y2)...P(x2,yq)............P(xk,y1)P(xk,y2)...P(xk,yq)∣Pxm,yn=∣P(x1,y1)P(x1,y2)...P(x1,yq)P(x2,y1)P(x2,y2)...P(x2,yq)............P(xk,y1)P(xk,y2)...P(xk,yq)∣ size 12{P left (x rSub { size 8{m} } ,y rSub { size 8{n} } right )= lline matrix { " "P \( x rSub { size 8{1} } ,y rSub { size 8{1} } \) {} # P \( x rSub { size 8{1} } ,y rSub { size 8{2} } \) {} # "." "." "." {} # P \( x rSub { size 8{1} } ,y rSub { size 8{q} } \) " " {} ## " "P \( x rSub { size 8{2} } ,y rSub { size 8{1} } \) {} # P \( x rSub { size 8{2} } ,y rSub { size 8{2} } \) {} # "." "." "." {} # P \( x rSub { size 8{2} } ,y rSub { size 8{q} } \) " " {} ## "." "." "." {} # "." "." "." {} # "." "." "." {} # "." "." "." {} ## " "P \( x rSub { size 8{k} } ,y rSub { size 8{1} } \) {} # P \( x rSub { size 8{k} } ,y rSub { size 8{2} } \) {} # "." "." "." {} # P \( x rSub { size 8{k} } ,y rSub { size 8{q} } \) " "{} } rline } {} (3.7)

Hình 2: Xấp xỉ đường cong nhiệt độ nước bằng tổng của các đa thức Chebưsev

Công thức trên đây đối với trường hợp một trong các chỉ số bằng không, thí dụ A00,A10, A01,...A00,A10, A01,... size 12{A rSub { size 8{"00"} } , A rSub { size 8{"10"} } ," A" rSub { size 8{"01"} } , "." "." "." } {}, sẽ trở nên đơn giản hơn:

A00=∑m=1k∑n=1qP(xm,yn)kq,A00=∑m=1k∑n=1qP(xm,yn)kq, size 12{A rSub { size 8{"00"} } = { { Sum cSub { size 8{m=1} } cSup { size 8{k} } { Sum cSub { size 8{n=1} } cSup { size 8{q} } {P \( x rSub { size 8{m} } ,y rSub { size 8{n} } \) } } } over { ital "kq"} } ,} {} (3.8)

A10=∑m=1k∑n=1qP(xm,yn)ϕ1(xm)q∑m=1kϕ12(xm),A10=∑m=1k∑n=1qP(xm,yn)ϕ1(xm)q∑m=1kϕ12(xm), size 12{A rSub { size 8{"10"} } = { { Sum cSub { size 8{m=1} } cSup { size 8{k} } { Sum cSub { size 8{n=1} } cSup { size 8{q} } {P \( x rSub { size 8{m} } ,y rSub { size 8{n} } \) ϕ rSub { size 8{1} } \( x rSub { size 8{m} } \) } } } over {q Sum cSub { size 8{m=1} } cSup { size 8{k} } {ϕ rSub { size 8{1} } rSup { size 8{2} } \( x rSub { size 8{m} } \) } } } ,} {} (3.9)

A01=∑m=1k∑n=1qP(xm,yn)ψ1(yn)k∑m=1qψ12(yn).A01=∑m=1k∑n=1qP(xm,yn)ψ1(yn)k∑m=1qψ12(yn). size 12{A rSub { size 8{"01"} } = { { Sum cSub { size 8{m=1} } cSup { size 8{k} } { Sum cSub { size 8{n=1} } cSup { size 8{q} } {P \( x rSub { size 8{m} } ,y rSub { size 8{n} } \) ψ rSub { size 8{1} } \( y rSub { size 8{n} } \) } } } over {k Sum cSub { size 8{m=1} } cSup { size 8{q} } {ψ rSub { size 8{1} } rSup { size 8{2} } \( y rSub { size 8{n} } \) } } } "." } {} (3.10)

A 00 = 384 7 ⋅ 9 = 6, 095 , A 10 = − 29 28 ⋅ 9 = − 0, 115 , A 01 = 902 60 ⋅ 7 = 2, 148 , A 20 = 5 84 ⋅ 9 = 0, 007 , A 00 = 384 7 ⋅ 9 = 6, 095 , A 10 = − 29 28 ⋅ 9 = − 0, 115 , A 01 = 902 60 ⋅ 7 = 2, 148 , A 20 = 5 84 ⋅ 9 = 0, 007 , size 12{A rSub { size 8{"00"} } = { {"384"} over {7 cdot 9} } =6,"095"," "A rSub { size 8{"10"} } = { { - "29"} over {"28" cdot 9} } = - 0,"115"," "A rSub { size 8{"01"} } = { {"902"} over {"60" cdot 7} } =2,"148"," "A rSub { size 8{"20"} } = { {5} over {"84" cdot 9} } =0,"007",} {}

A02=−16362772⋅7=−0,084,A30=466⋅9=0,852,A03=−1303990⋅7=−0,188A02=−16362772⋅7=−0,084,A30=466⋅9=0,852,A03=−1303990⋅7=−0,188 size 12{A rSub { size 8{"02"} } = { { - "1636"} over {"2772" cdot 7} } = - 0,"084"," "A rSub { size 8{"30"} } = { {"46"} over {6 cdot 9} } =0,"852"," "A rSub { size 8{"03"} } = { { - "1303"} over {"990" cdot 7} } = - 0,"188"} {}.

Tích số ϕ1ψ1ϕ1ψ1 size 12{ϕ rSub { size 8{1} } ψ rSub { size 8{1} } } {}

Tích số Pϕ1ψ1Pϕ1ψ1 size 12{Pϕ rSub { size 8{1} } ψ rSub { size 8{1} } } {}

A 11 = 449 28 ⋅ 60 = 0, 267 A 11 = 449 28 ⋅ 60 = 0, 267 size 12{A rSub { size 8{"11"} } = { {"449"} over {"28" cdot "60"} } =0,"267"} {}

Những số hạng riêng biệt của chuỗi Chebưsev (ít ra là những số hạng đầu tiên) tương ứng với những trường đơn nhất định và có ý nghĩa vật lý riêng. Thí dụ, nếu ta khai triển trường áp suất khí quyển thành chuỗi Chebưsev, thì số hạng A00ϕ0ψ0A00ϕ0ψ0 size 12{A rSub { size 8{"00"} } ϕ rSub { size 8{0} } ψ rSub { size 8{0} } } {} ứng với giá trị trung bình của trường khí áp trên toàn diện tích miền cho trước áp suất, các số hạng A10ϕ1ψ0A10ϕ1ψ0 size 12{A rSub { size 8{"10"} } ϕ rSub { size 8{1} } ψ rSub { size 8{0} } } {} và A01ϕ0ψ1A01ϕ0ψ1 size 12{A rSub { size 8{"01"} } ϕ rSub { size 8{0} } ψ rSub { size 8{1} } } {} đặc trưng cho sự vận chuyển tuần tự theo hướng dọc kinh tuyến và dọc vĩ tuyến của không khí (nếu các trục xx size 12{x} {} và yy size 12{y} {} hướng tuần tự theo vĩ tuyến và kinh tuyến), A11ϕ1ψ1−A11ϕ1ψ1− size 12{A rSub { size 8{"11"} } ϕ rSub { size 8{1} } ψ rSub { size 8{1} } - {}} {} sự hội tụ và phân kỳ của các dòng không khí v.v... (hình 3.3).

Các trị số tuyệt đối của các hệ số khai triển chỉ ra tỷ trọng của mỗi trường đơn trong trường xuất phát. Dấu đứng trước các hệ số đặc trưng cho hướng của dòng. Thí dụ nếu dấu của A10A10 size 12{A rSub { size 8{"10"} } } {} dương thì trường đơn A10ϕ1ψ0A10ϕ1ψ0 size 12{A rSub { size 8{"10"} } ϕ rSub { size 8{1} } ψ rSub { size 8{0} } } {} đặc trưng cho dòng không khí theo kinh tuyến hướng từ nam lên bắc, nếu dấu của A10A10 size 12{A rSub { size 8{"10"} } } {} là dấu âm - từ bắc xuống nam.