Vào năm 1845 G. Airy đã giải bằng giải tích bài toán truyền dao động thủy triều trong kênh hẹp không ma sát gọi là thuyết kênh thủy triều (xem [11]). Trong kênh hẹp chuyển động chỉ xảy ra theo phương dọc kênh, trục xx size 12{x} {}, và thay vì các phương trình chuyển động (1.31)-(1.32), chỉ cần mô tả chuyển động đó bằng một phương trình chuyển động đơn giản

∂ u ∂ t = − g ∂ ( ζ − ζ ˉ ) ∂ x = − g ∂ ζ ∂ x + ∂ Ω ∂ x ∂ u ∂ t = − g ∂ ( ζ − ζ ˉ ) ∂ x = − g ∂ ζ ∂ x + ∂ Ω ∂ x size 12{ { { partial u} over { partial t} } = - g { { partial \( ζ - { bar {ζ}} \) } over { partial x} } = - g { { partial ζ} over { partial x} } + { { partial %OMEGA } over { partial x} } } {} (1.36)

Nếu độ sâu của kênh không đổi thì phương trình liên tục có dạng

∂ ζ ∂ t = − D ∂ u ∂ x ∂ ζ ∂ t = − D ∂ u ∂ x size 12{ { { partial ζ} over { partial t} } = - D { { partial u} over { partial x} } } {} (1.37)

Bây giờ ta khảo sát trường hợp chuyển động triều dọc kênh bỏ qua lực tạo triều, tức xét sự truyền sóng tự do trong kênh. Tạm thời bỏ qua số hạng thứ hai vế phải của phương trình (1.36), lấy đạo hàm hai vế của phương trình này theo xx size 12{x} {}, lấy đạo hàm hai vế của phương trình (1.37) theo tt size 12{t} {} rồi thế vào phương trình (1.36), nhận được phương trình sóng dưới đây cho đại lượng ζζ size 12{ζ} {}:

∂ 2 ζ ∂ t 2 = − gD ∂ 2 ζ ∂ x 2 ∂ 2 ζ ∂ t 2 = − gD ∂ 2 ζ ∂ x 2 size 12{ { { partial rSup { size 8{2} } ζ} over { partial t rSup { size 8{2} } } } = - ital "gD" { { partial rSup { size 8{2} } ζ} over { partial x rSup { size 8{2} } } } } {} (1.38)

Như đã biết, phương trình này xác định sóng lan truyền dọc theo trục xx size 12{x} {} với vận tốc

C = gD C = gD size 12{C= sqrt { ital "gD"} } {} (1.39)

Có thể kiểm tra điều này bằng cách viết tích phân tổng quát của phương trình (1.38) dưới dạng

ζ = F 1 ( x − Ct ) + F 2 ( x + Ct ) ζ = F 1 ( x − Ct ) + F 2 ( x + Ct ) size 12{ζ=F rSub { size 8{1} } \( x - ital "Ct" \) +F rSub { size 8{2} } \( x+ ital "Ct" \) } {} (1.40)

trong đó F1,F2−F1,F2− size 12{F rSub { size 8{1} } ,``F rSub { size 8{2} } - {}} {} những hàm số dạng bất kỳ.

Thoạt đầu bỏ qua số hạng thứ hai trong phương trình (1.40) và đặt t=0t=0 size 12{t=0} {}. Khi đó nhận được phương trình của hình nghiêng sóng tại thời điểm đầu

ζ = F 1 ( x ) ζ = F 1 ( x ) size 12{ζ=F rSub { size 8{1} } \( x \) } {} (1.41)

Trong phương trình (1.41), nếu thêm một lượng CC size 12{C} {} vào tọa độ xx size 12{x} {} và thêm một giây vào thời gian tt size 12{t} {}, ta được

ζ = F 1 [ x + C − C ( 0 + 1 ) ] = F 1 ( x ) ζ = F 1 [ x + C − C ( 0 + 1 ) ] = F 1 ( x ) size 12{ζ=F rSub { size 8{1} } \[ x+C - C \( 0+1 \) \] =F rSub { size 8{1} } \( x \) } {}

Thấy rằng sau một giây, cùng một hình nghiêng sóng sẽ di chuyển tới một điểm khác, cách điểm ban đầu một khoảng cách bằng CC size 12{C} {}, tức khoảng cách đi được sau một giây với tốc độ CC size 12{C} {}. Vậy sóng truyền theo kênh với tốc độ bằng CC size 12{C} {}.

Nếu tính đến số hạng thứ hai trong phương trình (1.40), thì thấy rằng sóng thứ hai sẽ truyền trong kênh với tốc độ bằng về giá trị tuyệt đối so với sóng thứ nhất, nhưng theo hướng ngược lại. Hình nghiêng của nó được cho bởi hàm F2F2 size 12{F rSub { size 8{2} } } {} dạng bất kỳ. Tốc độ truyền sóng thủy triều không phụ thuộc vào dạng của hình nghiêng sóng, mà chỉ phụ thuộc vào độ sâu DD size 12{D} {}. Dạng của các hàm F1F1 size 12{F rSub { size 8{1} } } {} và F2F2 size 12{F rSub { size 8{2} } } {} phụ thuộc điều kiện thành tạo sóng thủy triều.

Bây giờ giả sử dao động mặt kênh có dạng điều hòa đơn giản

ζ = ζ 0 cos ( Ct − x ) = ζ 0 cos ( nt − kx ) ζ = ζ 0 cos ( Ct − x ) = ζ 0 cos ( nt − kx ) size 12{ζ=ζ rSub { size 8{0} } "cos" \( ital "Ct" - x \) =ζ rSub { size 8{0} } "cos" \( ital "nt" - ital "kx" \) } {} (1.42)

trong đó ζ0−ζ0− size 12{ζ rSub { size 8{0} } - {}} {} biên độ dao động mực nước; n=2πT,k=2πλn=2πT,k=2πλ size 12{n= { {2π} over {T} } ,```k= { {2π} over {λ} } } {} ( n−n− size 12{n - {}} {} tốc độ góc của sóng, k−k− size 12{k - {}} {} số sóng, T−T− size 12{T - {}} {} chu kỳ sóng, λ−λ− size 12{λ - {}} {} bước sóng), thì từ (1.37) ta có tốc độ chuyển động của các hạt nước trong kênh sẽ bằng

u = C D ζ 0 cos ( nt − kx ) u = C D ζ 0 cos ( nt − kx ) size 12{u= { {C} over {D} } ζ rSub { size 8{0} } "cos" \( ital "nt" - ital "kx" \) } {} (1.43)

Phân tích (1.42) và (1.43), ta thấy trong trường hợp này tốc độ chuyển động của các hạt nước đạt cực đại khi mực nước cao nhất hoặc thấp nhất, tức lúc nước lớn hoặc nước ròng. Tương quan giữa dao động của tốc độ dòng triều và dao động mực nước (công thức Comoa) bằng

u = ( g / D ) 1 / 2 ζ u = ( g / D ) 1 / 2 ζ size 12{u= \( g/D \) rSup { size 8{1/2} } ``ζ} {} (1.44)

Lúc nước lớn và nước ròng tốc độ dòng triều bằng nhau nhưng ngược chiều, dòng triều luôn hướng theo trục kênh và đổi chiều tùy theo pha nước lên hoặc xuống - tức có dòng triều thuận nghịch. Hình dạng mặt kênh chuyển dịch dọc theo kênh với tốc độ truyền sóng CC size 12{C} {}. Chuyển động sóng trong trường hợp như vậy gọi là sóng tiến.

Nếu xét hai sóng truyền ngược chiều nhau, tức kể đến số hạng thứ hai trong biểu thức (1.40), thí dụ trường hợp hai dao động cùng biên độ truyền ngược chiều trong kênh, điều này xảy ra khi thủy triều truyền vào kênh kín một đầu và bị phản xạ toàn phần tại đầu kín, ta có:

ζ = ζ 0 cos ( nt − kx ) + ζ 0 cos ( nt + kx ) = ζ 0 cos kx cos nt ζ = ζ 0 cos ( nt − kx ) + ζ 0 cos ( nt + kx ) = ζ 0 cos kx cos nt size 12{ζ=ζ rSub { size 8{0} } "cos" \( ital "nt" - ital "kx" \) +ζ rSub { size 8{0} } "cos" \( ital "nt"+ ital "kx" \) =ζ rSub { size 8{0} } "cos" ital "kx""cos" ital "nt"} {} (1.45)

và từ (1.37) suy ra:

u = − C D ζ 0 sin kx cos nt − π 2 u = − C D ζ 0 sin kx cos nt − π 2 size 12{u= - { {C} over {D} } ζ rSub { size 8{0} } "sin" ital "kx"``"cos"`` left [ ital "nt" - { {π} over {2} } right ]} {} (1.46)

Từ (1.46) thấy rằng tốc độ triều lưu sẽ bằng không khi t=0,t=T2t=0,t=T2 size 12{t=0,```t= { {T} over {2} } } {} (lúc nước lớn và nước ròng), nhưng đạt giá trị cực đại khi t=T4,t=3T4t=T4,t=3T4 size 12{t= { {T} over {4} } ,```t= { {3T} over {4} } } {} (khi mực nước đi qua vị trí trung bình ζ=0ζ=0 size 12{ζ=0} {}). Dạng của sóng thủy triều không dịch chuyển trong không gian, tại những vị trí dọc kênh như

x = 0, x = λ 2 , x = λ , . . . x = 0, x = λ 2 , x = λ , . . . size 12{x=0,```x= { {λ} over {2} } ,```x=λ,``` "." "." "." } {}

tức ở đầu kín của kênh và tại những khoảng cách bằng một số nguyên lần nửa bước sóng dọc theo kênh mực nước dao động với biên độ cực đại. Những điểm đó gọi là điểm bụng sóng. Tại những điểm

x = λ 4 , x = 3λ 4 , . . . x = λ 4 , x = 3λ 4 , . . . size 12{x= { {λ} over {4} } ,```x= { {3λ} over {4} } ,``` "." "." "." } {}

mặt nước luôn ở vị trí trung bình, điểm nút sóng. Chuyển động thủy triều trong trường hợp này gọi là sóng đứng. Trong trường hợp này dòng triều cũng thuộc loại thuận nghịch.

Trên cơ sở các biểu thức (1.43) hay (1.46) có thể tính các tốc độ triều lưu cực đại và khoảng dịch chuyển phương ngang (li độ phương ngang) cực đại của hạt nước trong một nửa chu kỳ triều ( ξmax=∫0T/2udt=Cnζ0Dξmax=∫0T/2udt=Cnζ0D size 12{ξ rSub { size 8{"max"} } = Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{T/2} } { ital "udt"} = { {C} over {n} } { {ζ rSub { size 8{0} } } over {D} } } {}). Thí dụ ở bảng 1.1 tính cho trường hợp thủy triều bán nhật với biên độ mực nước 100 cm.

Bây giờ xét những điều kiện thành tạo các sóng triều cưỡng bức, tức xét hệ phương trình (1.36) và (1.37) dưới dạng đầy đủ có kể tới cả thế vị lực tạo triều, trong đó thế vị lực tạo triều được biểu diễn bằng biểu thức (xem công thức (1.6)):

Ω = 3 2 kM ρ 2 r 3 cos 2 Z − 1 3 Ω = 3 2 kM ρ 2 r 3 cos 2 Z − 1 3 size 12{ %OMEGA = { {3} over {2} } { { ital "kM"ρ rSup { size 8{2} } } over {r rSup { size 8{3} } } } `` left ["cos" rSup { size 8{2} } Z - { {1} over {3} } right ]} {}

Bây giờ ta biểu diễn khoảng thiên đỉnh của Mặt Trăng ZZ size 12{Z} {} dưới dạng thuận tiện cho việc lấy tích phân tiếp theo. Mặt Trăng chuyển động với tốc độ góc ω2ω2 size 12{ω rSub { size 8{2} } } {} quanh Trái Đất xấp xỉ trong mặt phẳng xích đạo, còn Trái Đất xoay quanh trục của nó với tốc độ góc ωω size 12{ω} {}. Kết quả là tốc độ góc của chuyển động tương đối của Mặt Trăng được xác định bằng hiệu giữa hai tốc độ góc ω2ω2 size 12{ω rSub { size 8{2} } } {} và ωω size 12{ω} {} [11]:

n = ω 2 − ω n = ω 2 − ω size 12{n=ω rSub { size 8{2} } - ω} {}

Trường hợp kênh hướng dọc theo xích đạo, khoảng thiên đỉnh Mặt Trăng biến thiên theo quy luật

Z = nt + x ρ + e Z = nt + x ρ + e size 12{Z= ital "nt"+ { {x} over {ρ} } +e} {} (1.47)

trong đó cung xρxρ size 12{ { {x} over {ρ} } } {} tính theo đường xích đạo về phía đông; còn e−e− size 12{e - {}} {} khoảng thiên đỉnh Mặt Trăng tại thời điểm t=0t=0 size 12{t=0} {} cho một điểm tại đó xρ=0xρ=0 size 12{ { {x} over {ρ} } =0} {}. Đạo hàm

∂ Ω ∂ x = − 3 2 kM ρ 2 r 3 sin 2Z ∂ Z ∂ x = − 3 2 kM ρ r 3 sin 2 nt + x ρ + e = − H sin 2 nt + x ρ + e ∂ Ω ∂ x = − 3 2 kM ρ 2 r 3 sin 2Z ∂ Z ∂ x = − 3 2 kM ρ r 3 sin 2 nt + x ρ + e = − H sin 2 nt + x ρ + e size 12{ { { partial %OMEGA } over { partial x} } = - { {3} over {2} } { { ital "kM"ρ rSup { size 8{2} } } over {r rSup { size 8{3} } } } "sin"2Z { { partial Z} over { partial x} } = - { {3} over {2} } { { ital "kM"ρ} over {r rSup { size 8{3} } } } "sin"2`` left [ ital "nt"+ { {x} over {ρ} } +e right ]= - H"sin"2`` left [ ital "nt"+ { {x} over {ρ} } +e right ]} {}

trong đó ký hiệu H=32kMρr3H=32kMρr3 size 12{H= { {3} over {2} } { { ital "kM"ρ} over {r rSup { size 8{3} } } } } {}.

Phương trình sóng (1.38) bây giờ trở thành

∂ 2 ζ ∂ t 2 = C 2 ∂ 2 ζ ∂ x 2 − H sin 2 nt + x ρ + e ∂ 2 ζ ∂ t 2 = C 2 ∂ 2 ζ ∂ x 2 − H sin 2 nt + x ρ + e size 12{ { { partial rSup { size 8{2} } ζ} over { partial t rSup { size 8{2} } } } =C rSup { size 8{2} } { { partial rSup { size 8{2} } ζ} over { partial x rSup { size 8{2} } } } - H"sin"2`` left [ ital "nt"+ { {x} over {ρ} } +e right ]} {} (1.48)

Ta tìm tích phân của phương trình này dưới dạng

ζ = A cos 2 nt + x ρ + e ζ = A cos 2 nt + x ρ + e size 12{ζ=A"cos"2`` left [ ital "nt"+ { {x} over {ρ} } +e right ]} {}

Hằng số tích phân AA size 12{A} {} xác định bằng cách lấy đạo hàm hai lần biểu thức này theo tt size 12{t} {} và theo xx size 12{x} {} rồi thế vào (1.48), nhận được

A = 1 4 Hρ 2 C 2 − ρ 2 n 2 A = 1 4 Hρ 2 C 2 − ρ 2 n 2 size 12{A= { {1} over {4} } { {Hρ rSup { size 8{2} } } over {C rSup { size 8{2} } - ρ rSup { size 8{2} } n rSup { size 8{2} } } } } {}

Cuối cùng ta có các biểu thức của dao động mực và dòng triều

ζ = 1 2 DH ρ C 2 − ρ 2 n 2 cos 2 nt + x ρ + e ζ = 1 2 DH ρ C 2 − ρ 2 n 2 cos 2 nt + x ρ + e size 12{ζ= { {1} over {2} } { { ital "DH"ρ} over {C rSup { size 8{2} } - ρ rSup { size 8{2} } n rSup { size 8{2} } } } ``"cos"2`` left [ ital "nt"+ { {x} over {ρ} } +e right ]} {} (1.49)

u = 1 2 DH ρ C 2 − ρ 2 n 2 cos 2 nt + x ρ + e u = 1 2 DH ρ C 2 − ρ 2 n 2 cos 2 nt + x ρ + e size 12{u= { {1} over {2} } { { ital "DH"ρ} over {C rSup { size 8{2} } - ρ rSup { size 8{2} } n rSup { size 8{2} } } } ``"cos"2`` left [ ital "nt"+ { {x} over {ρ} } +e right ]} {} (1.50)

Chu kỳ dao động của mặt nước đại dương - chu kỳ thủy triều - bằng nửa ngày. Điều này tương ứng với quy luật đơn giản (1.47) của biến thiên khoảng thiên đỉnh Mặt Trăng. Phương trình (1.49) xác định sóng cưỡng bức chạy trong kênh đuổi theo Mặt Trăng. Hiệu ρ2n2−C2ρ2n2−C2 size 12{ρ rSup { size 8{2} } n rSup { size 8{2} } - C rSup { size 8{2} } } {} trong điều kiện tự nhiên tùy thuộc độ sâu của kênh có thể mang dấu âm, do đó, có thể trong lúc Mặt Trăng đi qua thiên đỉnh, tức khi biểu thức dưới dấu hàm cosin bằng không, vẫn có thể thấy nước ròng tại vị trí quan trắc [11].

Cũng thấy rằng tốc độ chuyển động của các hạt nước sẽ đạt cực đại vào những lúc nước lớn hoặc nước ròng.

Kênh hướng theo vĩ tuyến tại vĩ độϕϕ size 12{ϕ} {}. Giả sử kênh hướng theo đường MNMN size 12{ ital "MN"} {} trên hình 1. Cũng như trong trường hợp trước ta giả sử độ xích vĩ Mặt Trăng bằng không. Khi đó tâm Mặt Trăng vào thời điểm tt size 12{t} {} nào đó sẽ có hình chiếu lên trên đường xích đạo trùng với điểm LL size 12{L} {}. Tại thời điểm Mặt Trăng đứng ở thiên đỉnh trên điểm L0L0 size 12{L rSub { size 8{0} } } {}, từ đó ta tính khoảng cách dọc theo kênh xích đạo theo điều kiện (1.47). Như vậy cung L0A=eL0A=e size 12{L rSub { size 8{0} } A=e} {} (theo 1.47) và LA=nt+eLA=nt+e size 12{ ital "LA"= ital "nt"+e} {}.

Hình 1: Sơ đồ vị trí các kênh trên Trái Đất

Nếu khoảng cách giữa các điểm MM size 12{M} {} và NN size 12{N} {} đo theo cung vòng tròn lớn bằng xx size 12{x} {}, thì đoạn MNMN size 12{ ital "MN"} {} biểu diễn thành rađian sẽ là xρxρ size 12{ { {x} over {ρ} } } {}. Theo các quan hệ của lượng giác cầu, ta có

AB = MN cos ϕ = x ρ cos ϕ AB = MN cos ϕ = x ρ cos ϕ size 12{ ital "AB"= { { ital "MN"} over {"cos"ϕ} } = { {x} over {ρ"cos"ϕ} } } {}

Do đó

LB = nt + x ρ cos ϕ + e LB = nt + x ρ cos ϕ + e size 12{ ital "LB"= ital "nt"+ { {x} over {ρ"cos"ϕ} } +e} {}

Mặt khác, xét tam giác cầu LNBLNB size 12{ ital "LNB"} {}, ta có

cos Z = cos LN = cos ϕ cos nt + x ρ cos ϕ + e cos Z = cos LN = cos ϕ cos nt + x ρ cos ϕ + e size 12{"cos"Z="cos" ital "LN"="cos"ϕ"cos"`` left [ ital "nt"+ { {x} over {ρ"cos"ϕ} } right ]``+e} {} (1.51)

Thế (1.51) vào (1.6), lấy đạo hàm hàm thế vị nhận được theo xx size 12{x} {}

∂ Ω ∂ x = − H cos ϕ sin 2 nt + x ρ cos ϕ + e ∂ Ω ∂ x = − H cos ϕ sin 2 nt + x ρ cos ϕ + e size 12{ { { partial %OMEGA } over { partial x} } = - H"cos"ϕ"sin"2`` left [ ital "nt"+ { {x} over {ρ"cos"ϕ} } +e right ]} {} (1.52)

Với biểu thức lực tạo triều (1.52), phương trình sóng nhận được nhờ biến đổi hệ (1.36) và (1.37) sẽ có dạng

∂ 2 ζ ∂ t 2 = C 2 ∂ 2 ζ ∂ x 2 − H cos ϕ sin 2 nt + x ρ cos ϕ + e ∂ 2 ζ ∂ t 2 = C 2 ∂ 2 ζ ∂ x 2 − H cos ϕ sin 2 nt + x ρ cos ϕ + e size 12{ { { partial rSup { size 8{2} } ζ} over { partial t rSup { size 8{2} } } } =C rSup { size 8{2} } { { partial rSup { size 8{2} } ζ} over { partial x rSup { size 8{2} } } } - H"cos"ϕ"sin"2`` left [ ital "nt"+ { {x} over {ρ"cos"ϕ} } +e right ]} {} (1.53)

Lấy tích phân phương trình này giống như trường hợp kênh xích đạo, ta nhận được kết quả cuối cùng như sau

ζ = 1 2 DH ρ C 2 − ρ 2 n 2 cos 2 ϕ cos 2 ϕ cos 2 nt + x ρ cos ϕ + e ζ = 1 2 DH ρ C 2 − ρ 2 n 2 cos 2 ϕ cos 2 ϕ cos 2 nt + x ρ cos ϕ + e size 12{ζ= { {1} over {2} } { { ital "DH"ρ} over {C rSup { size 8{2} } - ρ rSup { size 8{2} } n rSup { size 8{2} } "cos" rSup { size 8{2} } ϕ} } "cos" rSup { size 8{2} } ϕ"cos"2`` left [ ital "nt"+ { {x} over {ρ"cos"ϕ} } +e right ]} {} (1.54)

Đó là quy luật diễn biến của mực nước thủy triều trong kênh dọc vĩ tuyến tại vĩ độ ϕϕ size 12{ϕ} {}. Trong biểu thức này, tùy thuộc vào vĩ độ mà hiệu giữa tốc độ truyền sóng tự do và sóng cưỡng bức ρ2n2cos2ϕ−C2ρ2n2cos2ϕ−C2 size 12{ρ rSup { size 8{2} } n rSup { size 8{2} } "cos" rSup { size 8{2} } ϕ - C rSup { size 8{2} } } {} có thể là một hiệu dương, nước lớn có thể xảy ra khi Mặt Trăng ở thượng đỉnh.

Các quy luật (1.49) và (1.54) tương ứng với giả thiết độ xích vĩ Mặt Trăng bằng không. Nếu kể đến độ xích vĩ bất kỳ của Mặt Trăng, thì quy luật biến thiên của khoảng thiên đỉnh xác định bằng biểu thức

cos Z = cos ϕ cos δ cos nt + x ρ cos ϕ + e + sin ϕ sin δ cos Z = cos ϕ cos δ cos nt + x ρ cos ϕ + e + sin ϕ sin δ size 12{"cos"Z="cos"ϕ"cos"δ"cos"`` left [ ital "nt"+ { {x} over {ρ"cos"ϕ} } +e right ]``+"sin"ϕ"sin"δ} {}

và biểu thức đầy đủ hơn của độ cao thủy triều sẽ là

ζ = 1 2 DH ρ C 2 − ρ 2 n 2 cos 2 ϕ sin 2ϕ sin 2δ cos nt + x ρ cos ϕ + e ζ = 1 2 DH ρ C 2 − ρ 2 n 2 cos 2 ϕ sin 2ϕ sin 2δ cos nt + x ρ cos ϕ + e size 12{ζ= { {1} over {2} } { { ital "DH"ρ} over {C rSup { size 8{2} } - ρ rSup { size 8{2} } n rSup { size 8{2} } "cos" rSup { size 8{2} } ϕ} } "sin"2ϕ"sin"2δ"cos"`` left [ ital "nt"+ { {x} over {ρ"cos"ϕ} } +e right ]} {}

+ 1 2 DH ρ C 2 − ρ 2 n 2 cos 2 ϕ cos 2 ϕ sin 2 δ cos 2 nt + x ρ cos ϕ + e + 1 2 DH ρ C 2 − ρ 2 n 2 cos 2 ϕ cos 2 ϕ sin 2 δ cos 2 nt + x ρ cos ϕ + e size 12{+ { {1} over {2} } { { ital "DH"ρ} over {C rSup { size 8{2} } - ρ rSup { size 8{2} } n rSup { size 8{2} } "cos" rSup { size 8{2} } ϕ} } "cos" rSup { size 8{2} } ϕ"sin" rSup { size 8{2} } δ"cos"2`` left [ ital "nt"+ { {x} over {ρ"cos"ϕ} } +e right ]} {} (1.55)

Biểu thức này cho thấy rằng dao động mực nước trong kênh vĩ tuyến gồm ba hợp phần với chu kỳ khác nhau: thủy triều bán nhật đặc trưng bởi số hạng thứ hai vế phải (1.55) có biên độ tỷ lệ với bình phương của cosin độ xích vĩ; thủy triều toàn nhật đặc trưng bởi số hạng thứ nhất vế phải, biên độ tỷ lệ với sin hai lần độ xích vĩ. Khi độ xích vĩ lớn số hạng này có giá trị đáng kể. Dạng dao động thứ ba liên quan tới biến đổi chu kỳ nửa tháng của độ xích vĩ làm biến thiên biên độ của cả số hạng toàn nhật lẫn bán nhật.

Kênh hướng theo kinh tuyến. Giả sử kênh hướng theo đường AQAQ size 12{ ital "AQ"} {} hình (1.10). Trong trường hợp này, khoảng thiên đỉnh Z=LQZ=LQ size 12{Z= ital "LQ"} {} tính được từ tam giác cầu LAQLAQ size 12{ ital "LAQ"} {}

cos Z = cos x ρ cos ( nt + e ) cos Z = cos x ρ cos ( nt + e ) size 12{"cos"Z="cos" { {x} over {ρ} } "cos" \( ital "nt"+e \) } {}

và biểu thức độ cao thủy triều sẽ có dạng

ζ = DH ρ 4C 2 cos 2x ρ + DH ρ 4 ( C 2 − ρ 2 n 2 ) cos 2x ρ cos 2 ( nt + e ) ζ = DH ρ 4C 2 cos 2x ρ + DH ρ 4 ( C 2 − ρ 2 n 2 ) cos 2x ρ cos 2 ( nt + e ) size 12{ζ= { { ital "DH"ρ} over {4C rSup { size 8{2} } } } "cos" { {2x} over {ρ} } + { { ital "DH"ρ} over {4 \( C rSup { size 8{2} } - ρ rSup { size 8{2} } n rSup { size 8{2} } \) } } "cos" { {2x} over {ρ} } "cos"2 \( ital "nt"+e \) } {} (1.56)

Phương trình độ cao thủy triều như trên cho thấy mực triều trung bình liên tục biến đổi khi xa dần xích đạo, còn dao động bán nhật triều xảy ra xung quanh mực trung bình này và biên độ của bán nhật triều cũng liên tục biến đổi dọc theo kênh. Ở vùng dưới 45°45° size 12{"45" rSup { size 8{ circ } } } {} nước ròng xảy ra khi Mặt Trăng ở thượng đỉnh, còn ở trên 45°45° size 12{"45" rSup { size 8{ circ } } } {}, ngược lại, khi Mặt Trăng ở thượng đỉnh thì sẽ xảy ra nước lớn.

Trong mục trước đã thấy rằng sóng thủy triều lan truyền với tốc độ CC size 12{C} {} theo công thức (1.39). Bước sóng, chu kỳ và tốc độ truyền sóng liên hệ với nhau theo công thức

λ = CT λ = CT size 12{λ= ital "CT"} {} (1.57)

Như vậy tốc độ truyền sóng và bước sóng hoàn toàn bị quy định bởi độ sâu. Từ (1.57) có thể tính được các giá trị của tốc độ truyền sóng bán nhật triều và bước sóng của nó ứng với những độ sâu khác nhau trong biển (xem bảng 1.2).

Tỷ số giữa bước sóng và độ sâu rất lớn. Với những tương quan như vậy giữa bước sóng và độ sâu biển, thì các điều kiện động lực tại mọi tầng sâu là như nhau: áp suất trong các phương trình chuyển động có thể xem như thuần túy thủy tĩnh. Sự chuyển động của các hạt nước trong phương thẳng đứng lẫn phương ngang diễn ra như nhau tại mọi điểm của đường thẳng đứng và năng lượng của chuyển động tính được một cách đơn giản.

Để tính thế năng của sóng thủy triều, trước hết xác định công thực hiện để nâng khối nước nguyên tố dọc trục kênh γbζdxγbζdx size 12{γ`bζ` ital "dx"} {} lên độ cao 12ζ12ζ size 12{ { {1} over {2} } ζ} {}, ( γ−γ− size 12{γ - {}} {} mật độ nước, b−b− size 12{b - {}} {} độ rộng của khối nước nguyên tố) tức lên độ cao tâm trọng lực của lớp nước dâng cao trên mực không nhiễu động.

Từ khối lượng nguyên tố này chuyển sang vùng trải dọc theo hướng xx size 12{x} {} một bước sóng

E bL p = 1 2 γ gb ∫ 0 L ζ 2 dx E bL p = 1 2 γ gb ∫ 0 L ζ 2 dx size 12{E rSub { size 8{ ital "bL"`p} } = { {1} over {2} } γ` ital "gb" Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{L} } {ζ rSup { size 8{2} } ital "dx"} } {} (1.58)

Động năng của khối nước nguyên tố sẽ tính theo tốc độ của các hạt nước theo phương ngang. Đối với vùng có độ rộng bb size 12{b} {} và độ dài LL size 12{L} {} động năng sẽ là tích phân

E bLk = 1 2 γ Db ∫ 0 L u 2 dx E bLk = 1 2 γ Db ∫ 0 L u 2 dx size 12{E rSub { size 8{ ital "bLk"} } = { {1} over {2} } γ` ital "Db"` Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{L} } {u rSup { size 8{2} } ital "dx"} } {} (1.59)

Thế các giá trị của ζζ size 12{ζ} {} và uu size 12{u} {} vào các tích phân trên và tính

E bLk = 1 2 γ C 2 D b ∫ 0 L ζ 2 dx = 1 2 γ g b ∫ 0 L ζ 2 dx = E bLp E bLk = 1 2 γ C 2 D b ∫ 0 L ζ 2 dx = 1 2 γ g b ∫ 0 L ζ 2 dx = E bLp size 12{E rSub { size 8{ ital "bLk"} } = { {1} over {2} } γ { {C rSup { size 8{2} } } over {D} } b`` Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{L} } {ζ rSup { size 8{2} } ital "dx"} = { {1} over {2} } γ`g`b Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{L} } {ζ rSup { size 8{2} } ital "dx"} =E rSub { size 8{ ital "bLp"} } } {} (1.60)

Như vậy động năng EbLkEbLk size 12{E rSub { size 8{ ital "bLk"} } } {} của sóng thủy triều bằng thế năng EbLpEbLp size 12{E rSub { size 8{ ital "bLp"} } } {}, và cùng tính cho diện tích bLxbLx size 12{ ital "bLx"} {}. Tổng hai phần này là năng lượng toàn phần tính cho diện tích đó. Ta viết tương quan

E bLp = E bLk = 1 2 E bL E bLp = E bLk = 1 2 E bL size 12{E rSub { size 8{ ital "bLp"} } =E rSub { size 8{ ital "bLk"} } = { {1} over {2} } E rSub { size 8{ ital "bL"} } } {} (1.61)

cho bất kỳ hình dạng sóng nào. Phần lớn trường hợp dạng sóng là đường cong điều hòa đơn giản

ζ = a cos 2n L x ζ = a cos 2n L x size 12{ζ=a"cos" { {2n} over {L} } x} {}

trong đó a−a− size 12{a - {}} {} biên độ dao động. Khi đó thế năng tính cho diện tích bLbL size 12{ ital "bL"} {} bằng

E bLp = 1 4 γ gbLa 2 E bLp = 1 4 γ gbLa 2 size 12{E rSub { size 8{ ital "bLp"} } = { {1} over {4} } γ` ital "gbLa" rSup { size 8{2} } } {} (1.62)

hay, nếu tính cho một đơn vị diện tích mặt biển (mật độ thế năng), bằng

E bLp = 1 4 γ ga 2 E bLp = 1 4 γ ga 2 size 12{E rSub { size 8{ ital "bLp"} } = { {1} over {4} } γ` ital "ga" rSup { size 8{2} } } {} (1.63)

Theo (1.61) mật độ năng lượng toàn phần của sóng thủy triều EE size 12{E} {} sẽ bằng

E = 1 2 γ ga 2 E = 1 2 γ ga 2 size 12{E= { {1} over {2} } γ` ital "ga" rSup { size 8{2} } } {} (1.64)

Như vậy trong trường hợp đơn giản chuyển động thủy triều trong kênh hẹp chỉ kể đến ba lực chính, đó là lực tạo triều, lực áp suất ngang sinh ra do độ nghiêng mặt nước thủy triều và lực quán tính, thì với kênh định hướng theo vĩ tuyến sự truyền thủy triều có dạng sóng dài tiến, còn trong những kênh định hướng theo kinh tuyến - sóng đứng. Tuy nhiên, trong cả hai trường hợp, sự truyền thuỷ triều trong kênh có dạng các sóng phẳng, tức không có sự chênh lệch mực nước trong phương vuông góc với hướng truyền sóng triều.

Lực Coriolis tác dụng vuông góc với hướng chuyển động sẽ tạo nên sự quay về bên phải (ở Bắc bán cầu) và sự quay trái (ở Nam bán cầu) của dòng chảy. Bây giờ, để nghiên cứu ảnh hưởng của lực Coriolis, ta khảo sát các phương trình chuyển động dưới một dạng đơn giản khác - chỉ xét đến các lực quán tính, građien áp suất và lực Coriolis (xem [8]). Trong kênh hẹp, giả sử chuyển động chỉ xảy ra trong hướng dọc trục kênh (trục xx size 12{x} {}), không có thành phần tốc độ theo hướng trục yy size 12{y} {}, hệ phương trình chuyển động sẽ có dạng

∂ u ∂ t = − g ∂ ζ ∂ x fu = − g ∂ ζ ∂ y ∂ u ∂ t = − g ∂ ζ ∂ x fu = − g ∂ ζ ∂ y alignl { stack { size 12{ { { partial u} over { partial t} } = - g { { partial ζ} over { partial x} } } {} # size 12{ ital "fu"= - g { { partial ζ} over { partial y} } } {} } } {} (1.65)

Phương trình thứ nhất của (1.65) cho thấy tính chất của chuyển động dọc kênh vẫn giống như trong trường hợp không có lực Coriolis, tức tương quan giữa dòng chảy dọc kênh và độ nghiêng mực dọc kênh vẫn như trong sóng phẳng. Phương trình thứ hai biểu diễn sự cân bằng tĩnh giữa lực Coriolis và lực građien áp suất gây bởi độ nghiêng ngang của mực nước. Từ phương trình này có hệ thức địa chuyển

∂ ζ ∂ y = − 2ω sin ϕ u g ∂ ζ ∂ y = − 2ω sin ϕ u g size 12{ { { partial ζ} over { partial y} } = - { {2ω"sin"ϕ`u} over {g} } } {} (1.66)

Hình 2: Những đặc điểm của sóng Kelvin (theo [8])

Như vậy sóng tiến trong kênh hẹp không thể giữ nguyên là sóng phẳng, nó phải có độ chênh mực nước ngang kênh để cân bằng lực Coriolis và độ chênh mực nước ngang kênh này tỷ lệ thuận với vận tốc dòng chảy dọc kênh. Nếu nhìn theo hướng truyền sóng tiến thì ở bắc bán cầu mực nước ở đỉnh sóng phải nâng cao dần từ trái sang phải, còn ở chân sóng - phải hạ thấp dần từ trái sang phải (quy tắc địa chuyển), làm tăng biên độ triều ở bờ phải của kênh và giảm biên độ ở bờ trái mặc dù trong hướng trục xx size 12{x} {} sóng vẫn có hình sin. Nhưng sự tỷ lệ giữa mực nước ζζ size 12{ζ} {} và độ lớn dòng chảy trong sóng tiến có ngĩa là dòng chảy dọc ở bờ phải cũng lớn hơn ở bờ trái, do đó độ dốc của chênh mực nước ngang ∂ζ∂y∂ζ∂y size 12{ { { partial ζ} over { partial y} } } {} theo (1.66) cũng tăng dần từ trái sang phải (hình 2 (trên hình này mũi tên lớn là hướng truyền sóng)).

Tất cả những tính chất trên của sóng thể hiện bởi nghiệm giải tích của hệ (1.65) gọi là sóng Kelvin:

ζ = He − my cos ( σt − kx ) u = ( g / D ) 1 / 2 He − my cos ( σt − kx ) ζ = He − my cos ( σt − kx ) u = ( g / D ) 1 / 2 He − my cos ( σt − kx ) alignl { stack { size 12{ζ= ital "He" rSup { size 8{ - ital "my"} } "cos" \( σt - ital "kx" \) } {} # u= \( g/D \) rSup { size 8{1/2} } ital "He" rSup { size 8{ - ital "my"} } "cos" \( σt - ital "kx" \) {} } } {} (1.67)

trong đó m=fC,σ=2πT−m=fC,σ=2πT− size 12{m= { {f} over {C} } ,```σ= { {2π} over {T} } - {}} {} tốc độ góc của dao động, k=2πλ−k=2πλ− size 12{k= { {2π} over {λ} } - {}} {} số sóng ( λ−λ− size 12{λ - {}} {} bước sóng), H−H− size 12{H - {}} {} biên độ mực nước.

Từ nghiệm (1.67) thấy rằng: Tốc độ truyền sóng dọc kênh giữ nguyên như trường hợp không có lực Coriolis. Tương quan giữa tốc độ dòng chảy và mực nước:

u = ( g / D ) 1 / 2 ζ u = ( g / D ) 1 / 2 ζ size 12{u= \( g/D \) rSup { size 8{1/2} } `ζ} {}

Biên độ của ζζ size 12{ζ} {} và uu size 12{u} {} tăng từ trái sang phải (theo chiều âm của trục yy size 12{y} {}) theo quy luật hàm mũ.

Sự giao thoa của hai sóng Kelvin truyền ngược chiều nhau sẽ giải thích sự hình thành của các điểm vô triều Taylor: Nếu gốc tọa độ đặt ở điểm trên trục kênh, nơi hai sóng nghịch pha nhau, tức điểm nút sóng, thì mỗi sóng được viết dưới dạng:

ζ + = He − my cos ( σt − kx ) ζ − = − nHe + my cos ( σt + kx ) ζ + = He − my cos ( σt − kx ) ζ − = − nHe + my cos ( σt + kx ) alignl { stack { size 12{ζ rSup { size 8{+{}} } = ital "He" rSup { size 8{ - ital "my"} } "cos" \( σt - ital "kx" \) } {} # ζ rSup { size 8{ - {}} } = - ital "nHe" rSup { size 8{+ ital "my"} } "cos" \( σt+ ital "kx" \) {} } } {} (1.68)

( n−n− size 12{n - {}} {} tỷ số biên độ của hai sóng truyền ngược chiều nhau). Các biểu thức tương tự cũng thể viết cho dòng chảy u+u+ size 12{u rSup { size 8{+{}} } } {} và u−u− size 12{u rSup { size 8{ - {}} } } {}. Chuyển động tổng cộng sẽ là ζ++ζ−ζ++ζ− size 12{ζ rSup { size 8{+{}} } +ζ rSup { size 8{ - {}} } } {} và u++u−u++u− size 12{u rSup { size 8{+{}} } +u rSup { size 8{ - {}} } } {}. Dòng chảy vẫn có tính chất thuận nghịch và hướng dọc theo trục xx size 12{x} {}.

Hình 3: Hệ thống các điểm vô triều trong kênh có hai sóng truyền ngược chiều (các điểm B - bụng sóng, N - nút sóng) (theo [8])

Trên kênh hình thành một loạt các hệ thống điểm vô triều (hình 3), các phương trình của các đường đồng dao động mực nước và dòng chảy nhận được bằng cách khảo sát cực trị của các biểu thức mực và dòng theo thời gian như sau:

tg σt NL = e − my + ne my e − my − ne my tg k x tg σt max U = e − my − ne my e − my + ne my tg k x tg σt NL = e − my + ne my e − my − ne my tg k x tg σt max U = e − my − ne my e − my + ne my tg k x alignl { stack { size 12{"tg"σt rSub { size 8{ ital "NL"} } = { {e rSup { size 8{ - ital "my"} } + ital "ne" rSup { size 8{ ital "my"} } } over {e rSup { size 8{ - ital "my"} } - ital "ne" rSup { size 8{ ital "my"} } } } "tg"`k`x} {} # "tg"σt rSub { size 8{"max"`U} } = { {e rSup { size 8{ - ital "my"} } - ital "ne" rSup { size 8{ ital "my"} } } over {e rSup { size 8{ - ital "my"} } + ital "ne" rSup { size 8{ ital "my"} } } } "tg"`k`x {} } } {} (1.69)

trong đó tNL−tNL− size 12{t rSub { size 8{ ital "NL"} } - {}} {} thời gian nước lớn; tmaxU−tmaxU− size 12{t rSub { size 8{"max"`U} } - {}} {} thời gian dòng triều cực đại.

Hoành độ của điểm vô triều ( xaxa size 12{x rSub { size 8{a} } } {}) xác định từ điều kiện nghịch pha của các sóng chạy ngược nhau, tức cho

cos ( σt − kx ) = cos ( σt + kx ) → x a = 0, ± λ 2 , ± λ , . . . cos ( σt − kx ) = cos ( σt + kx ) → x a = 0, ± λ 2 , ± λ , . . . size 12{"cos" \( σt - ital "kx" \) ="cos" \( σt+ ital "kx" \) ``` rightarrow ````x rSub { size 8{a} } =0,``` +- { {λ} over {2} } ,``` +- λ,``` "." "." "." } {}

Tung độ ( yaya size 12{y rSub { size 8{a} } } {}) xác định từ điều kiện bằng nhau của các biên độ của các sóng chạy ngược nhau gặp nhau nghịch pha:

He − m y a = nHe my a → y a = − ln n 2m = − gD ln n 4ω sin ϕ He − m y a = nHe my a → y a = − ln n 2m = − gD ln n 4ω sin ϕ size 12{ ital "He" rSup { size 8{ - m`y rSub { size 6{a} } } } = ital "nHe" rSup { ital "my" rSub { size 6{a} } } size 12{``` rightarrow ````y rSub {a} } size 12{ {}= - { {"ln"n} over {2m} } = - { { sqrt { ital "gD"} ``"ln"n} over {4ω"sin"ϕ} } }} {} (1.70)

Thấy rằng trong kênh xuất hiện hàng loạt điểm vô triều với hệ thống các đường đồng dao động triều (các đường liền nét trên hình 1.12) cùng quay ngược chiều kim đồng hồ.

Biên độ dao động (các đường gạch nối trên hình 3) tăng dần từ điểm vô triều ra phía các cạnh của kênh, đạt lớn nhất tại các góc kênh.

Nếu nhìn theo hướng truyền sóng lớn hơn (mũi tên lớn trên hình 3), thì thấy điểm vô triều dịch về bên trái khỏi trục giữa kênh (ở Bắc bán cầu), nếu n=1n=1 size 12{n=1} {} thì điểm vô triều nằm trên trục giữa kênh; nếu n=0n=0 size 12{n=0} {} thì không có điểm vô triều; khi n<<1n<<1 size 12{n"<<"1} {} tồn tại điểm vô triều tưởng tượng ở trên lục địa bờ trái, các đường đồng dao động triều tỏa tia quạt từ phía bờ trái ra phía biển. Từ biểu thức (1.70), nếu biết D,ϕD,ϕ size 12{D,``ϕ} {} và yaya size 12{y rSub { size 8{a} } } {} chúng ta có thể ước lượng tương quan biên độ nn size 12{n} {} của hai sóng truyền ngược nhau trong kênh.

Ảnh hưởng của lực Coriolis đến chuyển động triều còn được khảo sát lý thuyết cho một trường hợp thủy vực phẳng rộng vô tận trên Trái Đất quay. Trong trường hợp này, lực Coriolis tác động lên sóng tiến truyền dọc trục xx size 12{x} {} sẽ dẫn tới dòng chảy ngang, nhưng dòng chảy ngang không gặp cản trở bởi bờ nên nó không tạo thành độ chênh lệch mực nước theo phương ngang so với phương lan truyền sóng và các đỉnh sóng triều vẫn giữ nằm ngang (phẳng) dọc trục yy size 12{y} {}. Hệ phương trình trong trường hợp này có dạng:

∂ u ∂ t − fv = − g ∂ ζ ∂ x ∂ v ∂ t + fu = 0 ∂ u ∂ t − fv = − g ∂ ζ ∂ x ∂ v ∂ t + fu = 0 alignl { stack { size 12{ { { partial u} over { partial t} } - ital "fv"= - g { { partial ζ} over { partial x} } } {} # size 12{ { { partial v} over { partial t} } + ital "fu"=0} {} } } {} (1.71)

Nghiệm của hệ phương trình này, được gọi là sóng Sverdrup, có dạng

ζ = H s cos ( σt − k s x ) ζ = H s cos ( σt − k s x ) size 12{ζ=H rSub { size 8{s} } "cos" \( σt - k rSub { size 8{s} } x \) } {}

u = ( g / D ) 1 / 2 1 1 − s 2 H s cos ( σt − k s x ) 1 / 2 u = ( g / D ) 1 / 2 1 1 − s 2 H s cos ( σt − k s x ) 1 / 2 size 12{u= \( g/D \) rSup { size 8{1/2} } `` left [ { {1} over {1 - s rSup { size 8{2} } } } H rSub { size 8{s} } "cos" \( σt - k rSub { size 8{s} } x \) right ] rSup { size 8{1/2} } } {}

v = − ( g / D ) 1 / 2 1 1 − s 2 H s sin ( σt − k s x ) 1 / 2 v = − ( g / D ) 1 / 2 1 1 − s 2 H s sin ( σt − k s x ) 1 / 2 size 12{v= - ` \( g/D \) rSup { size 8{1/2} } `` left [ { {1} over {1 - s rSup { size 8{2} } } } H rSub { size 8{s} } "sin" \( σt - k rSub { size 8{s} } x \) right ] rSup { size 8{1/2} } } {} (1.72)