Mối phụ thuộc phức tạp của lực tạo triều với thời gian được thể hiện bằng cách khai triển các hàm thế vị
Ω(t)Ω(t) size 12{ %OMEGA \( t \) } {} hay hàm độ cao mực nước triều
ζˉ(t)ζˉ(t) size 12{ { bar {ζ}} \( t \) } {} thành các số hạng (thành phần) điều hoà theo thời gian, hơn nữa trong thực tiễn người ta chỉ tính tới một số các thành phần điều hoà đầu tiên, những số hạng khai triển quan trọng nhất (xem chương 3). Điều này phù hợp với những nguyên lý của cơ học cổ điển nói rằng: (1) chu kỳ dao động do tác động của lực tuần hoàn thì bằng chu kỳ của lực; (2) nếu có nhiều lực tác động thì có thể nghiên cứu dao động do từng lực gây ra, kết quả cộng các dao động ấy sẽ cho kết quả tác động tổng cộng của tất cả các lực.
Sự biến động nhanh của lực tạo triều với thời gian dẫn tới phá hủy có tính chu kỳ sự cân bằng và lôi cuốn các khối nước dao động với tốc độ và gia tốc lớn. Thành thử trong thực tế hiện tượng thủy triều có đặc điểm động lực rõ rệt, chứ không như giả thiết cơ bản của thuyết tĩnh học về thủy triều: Các khối nước có quán tính lớn không thể trở nên cân bằng tức khắc với biến đổi của lực tạo triều. Vì vậy, dưới tác động của lực tạo triều tuần hoàn, các phần tử nước chuyển động đến những vị trí cân bằng mới, có xu hướng vượt quá vị trí cân bằng đó và sau đó dao động bên nó. Nếu lực tạo triều ngừng tác động thì dao động của các phần tử nước và do đó của mực biển sẽ tắt dần do ma sát. Vì lực tạo triều tuần hoàn, có chu kỳ xác định, nên dao động mực biển không tắt dần và có chu kỳ. Mặt biển không còn đặc trưng bằng
ζˉζˉ size 12{ { bar {ζ}}} {} nữa mà bằng độ dâng thực
ζζ size 12{ζ} {} so với mực trung bình.
Như vậy, nếu xem xét hiện tượng thủy triều theo quan điểm động lực như trên thì đòi hỏi phải kể đến các lực liên quan với bản chất động lực của hiện tượng. Những lực quan trọng nhất gồm: građien áp suất do tồn tại độ chênh mực nước theo phương ngang, các lực quán tính thời gian và không gian, lực Coriolis và các lực ma sát. Trong trường hợp này hiện tượng thủy triều được mô tả bằng hệ các phương trình thủy triều bao gồm phương trình chuyển động phản ánh cân bằng động lượng đối với yếu tố thể tích chất lỏng và phương trình liên tục biểu diễn sự bảo tồn khối lượng của yếu tố thể tích đó. Lấy hệ tọa độ vuông góc
OxyzOxyz size 12{ ital "Oxyz"} {} với gốc
OO size 12{O} {} nằm trên mặt phẳng mực nước trung bình, trục
OxOx size 12{ ital "Ox"} {} hướng dương phía đông, trục
OyOy size 12{ ital "Oy"} {} hướng dương phía bắc và trục
OzOz size 12{ ital "Oz"} {} hướng dương lên trên (hình 7).
Để nhận được hệ phương trình mô tả chuyển động thủy triều ta xuất phát từ phương trình chuyển động và phương trình liên tục của chất lỏng không nén trong Trái Đất quay. Dưới dạng vectơ hệ này có dạng:
d
v
→
dt
+
2
ω
→
×
v
→
+
1
ρ
∇
p
+
F
→
=
0
d
v
→
dt
+
2
ω
→
×
v
→
+
1
ρ
∇
p
+
F
→
=
0
size 12{ { {d { vec {v}}} over { ital "dt"} } +2 { vec {ω}} times { vec {v}}+ { {1} over {ρ} } nabla p+ { vec {F}}=0} {}
∇
⋅
v
→
=
0
∇
⋅
v
→
=
0
size 12{ nabla cdot { vec {v}}=0} {}
trong đó
v→−v→− size 12{ { vec {v}} - {}} {} vectơ vận tốc;
p−p− size 12{p - {}} {} áp suất trong chất lỏng;
ω→−ω→− size 12{ { vec {ω}} - {}} {} vectơ tốc độ góc quay của Trái Đất;
t−t− size 12{t - {}} {} thời gian;
ρ−ρ− size 12{ρ - {}} {} mật độ chất lỏng;
F→−F→− size 12{ { vec {F}} - {}} {} ngoại lực, hay dưới dạng cho tọa độ vuông góc:
∂
u
∂
t
+
u
∂
u
∂
x
+
v
∂
u
∂
y
+
w
∂
u
∂
z
−
fv
+
1
ρ
∂
p
∂
x
+
F
x
=
0
∂
u
∂
t
+
u
∂
u
∂
x
+
v
∂
u
∂
y
+
w
∂
u
∂
z
−
fv
+
1
ρ
∂
p
∂
x
+
F
x
=
0
size 12{ { { partial u} over { partial t} } +u { { partial u} over { partial x} } +v { { partial u} over { partial y} } +w { { partial u} over { partial z} } - ital "fv"+ { {1} over {ρ} } { { partial p} over { partial x} } +F rSub { size 8{x} } =0} {}
∂
v
∂
t
+
u
∂
v
∂
x
+
v
∂
v
∂
y
+
w
∂
v
∂
z
+
fu
+
1
ρ
∂
p
∂
y
+
F
y
=
0
∂
v
∂
t
+
u
∂
v
∂
x
+
v
∂
v
∂
y
+
w
∂
v
∂
z
+
fu
+
1
ρ
∂
p
∂
y
+
F
y
=
0
size 12{ { { partial v} over { partial t} } +u { { partial v} over { partial x} } +v { { partial v} over { partial y} } +w { { partial v} over { partial z} } + ital "fu"+ { {1} over {ρ} } { { partial p} over { partial y} } +F rSub { size 8{y} } =0} {}
1
ρ
∂
p
∂
z
+
F
z
=
0
1
ρ
∂
p
∂
z
+
F
z
=
0
size 12{ { {1} over {ρ} } { { partial p} over { partial z} } +F rSub { size 8{z} } =0} {}
∂
u
∂
x
+
∂
v
∂
y
+
∂
w
∂
z
=
0
∂
u
∂
x
+
∂
v
∂
y
+
∂
w
∂
z
=
0
size 12{ { { partial u} over { partial x} } + { { partial v} over { partial y} } + { { partial w} over { partial z} } =0} {}
Trong các phương trình trên các đại lượng
Fx,Fy,Fz−Fx,Fy,Fz− size 12{F rSub { size 8{x} } ,``F rSub { size 8{y} } ,``F rSub { size 8{z} } - {}} {} là những hình chiếu của ngoại lực;
u,v,w−u,v,w− size 12{u,``v,``w - {}} {} những hình chiếu của vận tốc tuần tự trên các hướng
Ox,Oy,OzOx,Oy,Oz size 12{ ital "Ox",`` ital "Oy",`` ital "Oz"} {};
f−f− size 12{f - {}} {} thông số Coriolis (
=2ωsinϕ,ϕ−=2ωsinϕ,ϕ− size 12{ {}=2ω"sin"ϕ,```ϕ - {}} {} vĩ độ địa lý).
Bây giờ chúng ta xem các chuyển động triều trong đại dương như là phản ứng của lớp nước đối với tác động của lực tạo triều.
Một trong những tính chất quan trọng của lực tạo triều rút ra từ các mục trước là sự đồng nhất của nó theo chiều thẳng đứng trong phạm vi cả lớp nước. Còn phân bố không gian của thành phần ngang của lực tạo triều (như đã nhận xét, thành phần thẳng đứng không có giá trị đáng kể đối với chuyển động triều) thường được mô tả bằng hàm thế vị
ΩΩ size 12{ %OMEGA } {} hay bằng thủy triều tĩnh (tức độ dâng của mực nước
ζˉζˉ size 12{ { bar {ζ}}} {} so với mực trung bình) liên quan với hàm thế vị bằng biểu thức kiểu (1.10).
Khi đó các thành phần phuơng ngang của ngoại lực (Fx, Fy) sẽ là những hình chiếu của lực tạo triều lên các trục tọa độ ngang, còn thành phần thẳng đứng (Fz) chỉ gồm trọng lực:
F
x
=
∂
Ω
∂
x
=
−
g
∂
ζ
ˉ
∂
x
F
x
=
∂
Ω
∂
x
=
−
g
∂
ζ
ˉ
∂
x
size 12{F rSub { size 8{x} } = { { partial %OMEGA } over { partial x} } = - g { { partial { bar {ζ}}} over { partial x} } } {}
Fy=∂Ω∂y=−g∂ζˉ∂yFy=∂Ω∂y=−g∂ζˉ∂y size 12{F rSub { size 8{y} } = { { partial %OMEGA } over { partial y} } = - g { { partial { bar {ζ}}} over { partial y} } } {} (1.13)
F
z
=
g
F
z
=
g
size 12{F rSub { size 8{z} } =g} {}
Như vậy lực tạo triều tại mọi thời điểm được thể hiện qua građien ngang của áp suất thủy tĩnh gây bởi độ dâng mực nước
ζˉζˉ size 12{ { bar {ζ}}} {} của thủy triều tĩnh học trên mặt phẳng gốc tọa độ.
Lấy trung bình thời gian của các phương trình chuyển động và liên tục trên đây, ta sẽ nhận được hệ phương trình chuyển động chất lỏng không nén trong Trái Đất quay dưới dạng Reynolds:
∂u∂t+u∂u∂x+v∂u∂y+w∂u∂z−fv=1ρ∂p∂x−∂∂zK∂u∂z−A∇2u+Fx∂u∂t+u∂u∂x+v∂u∂y+w∂u∂z−fv=1ρ∂p∂x−∂∂zK∂u∂z−A∇2u+Fx size 12{ { { partial u} over { partial t} } +u { { partial u} over { partial x} } +v { { partial u} over { partial y} } +w { { partial u} over { partial z} } - ital "fv"= { {1} over {ρ} } { { partial p} over { partial x} } - { { partial } over { partial z} } K { { partial u} over { partial z} } - A nabla rSup { size 8{2} } u+F rSub { size 8{x} } } {} (1.14)
∂v∂t+u∂v∂x+v∂v∂y+w∂v∂z+fu=1ρ∂p∂y−∂∂zK∂v∂z−A∇2v+Fy∂v∂t+u∂v∂x+v∂v∂y+w∂v∂z+fu=1ρ∂p∂y−∂∂zK∂v∂z−A∇2v+Fy size 12{ { { partial v} over { partial t} } +u { { partial v} over { partial x} } +v { { partial v} over { partial y} } +w { { partial v} over { partial z} } + ital "fu"= { {1} over {ρ} } { { partial p} over { partial y} } - { { partial } over { partial z} } K { { partial v} over { partial z} } - A nabla rSup { size 8{2} } v+F rSub { size 8{y} } } {} (1.15)
1ρ∂p∂z+g=01ρ∂p∂z+g=0 size 12{ { {1} over {ρ} } { { partial p} over { partial z} } +g=0} {} (1.16)
và phương trình liên tục
∂u∂x+∂v∂y+∂w∂z=0∂u∂x+∂v∂y+∂w∂z=0 size 12{ { { partial u} over { partial x} } + { { partial v} over { partial y} } + { { partial w} over { partial z} } =0} {} (1.17)
Trong các phương trình trên các đại lượng
K−K− size 12{K - {}} {} hệ số nhớt rối phương thẳng đứng và
A−A− size 12{A - {}} {} hệ số nhớt rối phương ngang.
Xuất phát từ những phương trình (1.14-1.17) chúng ta sẽ thực hiện một số biến đổi để nhận được hệ phương trình đặc trưng mô tả chuyển động triều liên hệ giữa các vận tốc chuyển động theo các phương ngang ứng với các trục
Ox,OyOx,Oy size 12{ ital "Ox",`` ital "Oy"} {} và dao động thẳng đứng của mặt nước biển trong thủy triều.
Tích phân phương trình (1.16) từ độ sâu đến mặt tự do của biển để tính áp suất tại độ sâu
zz size 12{z} {} và giá trị của các đạo hàm áp suất theo các phương ngang, chúng ta sẽ nhận được:
∫
p
P
0
dp
=
−
g
∫
z
ζ
ρ
dz
→
p
=
P
0
+
g
∫
z
ζ
ρ
dz
∫
p
P
0
dp
=
−
g
∫
z
ζ
ρ
dz
→
p
=
P
0
+
g
∫
z
ζ
ρ
dz
size 12{ Int cSub { size 8{p} } cSup { size 8{P rSub { size 6{0} } } } { ital "dp"} = - g Int cSub {z} cSup {ζ} {ρ ital "dz"} size 12{`` rightarrow ``p=P rSub {0} } size 12{+g Int cSub {z} cSup {ζ} {ρ ital "dz"} }} {}
trong đó
P0−P0− size 12{P rSub { size 8{0} } - {}} {} áp suất khí quyển,
ζ−ζ− size 12{ζ - {}} {} độ cao mực nước triều trên mực trung bình. Do đó
∂
p
∂
x
=
∂
P
0
∂
x
+
g
∫
z
ζ
∂
ρ
∂
x
dz
+
gρ
(
ζ
)
∂
ζ
∂
x
∂
p
∂
x
=
∂
P
0
∂
x
+
g
∫
z
ζ
∂
ρ
∂
x
dz
+
gρ
(
ζ
)
∂
ζ
∂
x
size 12{ { { partial p} over { partial x} } = { { partial P rSub { size 8{0} } } over { partial x} } +g Int cSub { size 8{z} } cSup { size 8{ζ} } { { { partial ρ} over { partial x} } ital "dz"+gρ \( ζ \) { { partial ζ} over { partial x} } } } {}
∂
p
∂
y
=
∂
P
0
∂
y
+
g
∫
z
ζ
∂
ρ
∂
y
dz
+
gρ
(
ζ
)
∂
ζ
∂
y
∂
p
∂
y
=
∂
P
0
∂
y
+
g
∫
z
ζ
∂
ρ
∂
y
dz
+
gρ
(
ζ
)
∂
ζ
∂
y
size 12{ { { partial p} over { partial y} } = { { partial P rSub { size 8{0} } } over { partial y} } +g Int cSub { size 8{z} } cSup { size 8{ζ} } { { { partial ρ} over { partial y} } ital "dz"+gρ \( ζ \) { { partial ζ} over { partial y} } } } {}
hoặc nếu
P0,ρ=constP0,ρ=const size 12{P rSub { size 8{0} } ,```ρ="const"} {}
thì
∂
p
∂
x
=
gρ
∂
ζ
∂
x
∂
p
∂
x
=
gρ
∂
ζ
∂
x
size 12{ { { partial p} over { partial x} } =gρ { { partial ζ} over { partial x} } } {}
∂p∂y=gρ∂ζ∂y∂p∂y=gρ∂ζ∂y size 12{ { { partial p} over { partial y} } =gρ { { partial ζ} over { partial y} } } {} (1.18)
Gộp các số hạng chứa đạo hàm áp suất theo các trục tọa độ (biểu thức (1.18)) với các số hạng chứa đạo hàm của độ cao triều tĩnh (biểu thức (1.13)) ta viết lại các phương trình (1.14-1.15) như sau
∂u∂t+u∂u∂x+v∂u∂y+w∂u∂z−fv−g∂∂x(ζ−ζˉ)−∂∂zK∂u∂z−A∇2u=0∂u∂t+u∂u∂x+v∂u∂y+w∂u∂z−fv−g∂∂x(ζ−ζˉ)−∂∂zK∂u∂z−A∇2u=0 size 12{ { { partial u} over { partial t} } +u { { partial u} over { partial x} } +v { { partial u} over { partial y} } +w { { partial u} over { partial z} } - ital "fv" - g { { partial } over { partial x} } \( ζ - { bar {ζ}} \) - { { partial } over { partial z} } K { { partial u} over { partial z} } - A nabla rSup { size 8{2} } u=0} {} (1.19)
∂v∂t+u∂v∂x+v∂v∂y+w∂v∂z+fu−g∂∂y(ζ−ζˉ)−∂∂zK∂v∂z−A∇2v=0∂v∂t+u∂v∂x+v∂v∂y+w∂v∂z+fu−g∂∂y(ζ−ζˉ)−∂∂zK∂v∂z−A∇2v=0 size 12{ { { partial v} over { partial t} } +u { { partial v} over { partial x} } +v { { partial v} over { partial y} } +w { { partial v} over { partial z} } + ital "fu" - g { { partial } over { partial y} } \( ζ - { bar {ζ}} \) - { { partial } over { partial z} } K { { partial v} over { partial z} } - A nabla rSup { size 8{2} } v=0} {} (1.20)
Những phương trình (1.19), (1.20) và (1.17) làm thành hệ phương trình để mô tả chuyển động thủy triều trong biển đồng nhất. Bây giờ chúng ta biến đổi tiếp để nhận hai phương trình chuyển động trong đó có mặt các thành phần vận tốc trung bình toàn bề dày lớp nước biển từ mặt tự do tới đáy
z=−Dz=−D size 12{z= - D} {}:
uˉ=1D+ζ∫−Dζudzuˉ=1D+ζ∫−Dζudz size 12{ { bar {u}}= { {1} over {D+ζ} } Int cSub { size 8{ - D} } cSup { size 8{ζ} } { ital "udz"} } {} và
vˉ=1D+ζ∫−Dζvdzvˉ=1D+ζ∫−Dζvdz size 12{ { bar {v}}= { {1} over {D+ζ} } Int cSub { size 8{ - D} } cSup { size 8{ζ} } { ital "vdz"} } {} (1.21)
Muốn vậy phải tích phân từng số hạng trong các phương trình chuyển động và liên tục (1.19) - (1.20) và (1.17) và sử dụng những điều kiện biên theo phương trục thẳng đứng:
- Điều kiện dính tại đáy đối với các thành phần tốc độ ngang
u=v=0u=v=0 size 12{u=v=0} {} khi
z=−Dz=−D size 12{z= - D} {} (1.22)
còn đối với thành phần thẳng đứng có thể xác định theo biểu thức
w−D=u−D∂D∂x+v−D∂D∂yw−D=u−D∂D∂x+v−D∂D∂y size 12{w rSub { size 8{ - D} } =u rSub { size 8{ - D} } { { partial D} over { partial x} } +v rSub { size 8{ - D} } { { partial D} over { partial y} } } {} (1.23)
khi có những bất đồng nhất khá lớn về độ sâu biển, hoặc thông thường người ta sử dụng điều kiện triệt tiêu tốc độ thẳng đứng tại đáy
w−D=0w−D=0 size 12{w rSub { size 8{ - D} } =0} {} (1.24)
- Điều kiện triệt tiêu ứng suất ma sát trên mặt tự do:
K∂u∂z=K∂v∂z=0K∂u∂z=K∂v∂z=0 size 12{K { { partial u} over { partial z} } =K { { partial v} over { partial z} } =0} {} khi
z=ζz=ζ size 12{z=ζ} {} (1.25)
với
D−D− size 12{D - {}} {} độ sâu biển.
- Ứng suất ma sát ở đáy xấp xỉ bằng luật bình phương, tức thông lượng động lượng tỷ lệ với bình phương độ lớn của vận tốc dòng nước:
K∂u∂z=ruˉ2+vˉ2uˉK∂u∂z=ruˉ2+vˉ2uˉ size 12{K { { partial u} over { partial z} } =r` sqrt { { bar {u}} rSup { size 8{2} } + { bar {v}} rSup { size 8{2} } } ` { bar {u}}} {} và
K∂v∂z=ruˉ2+vˉ2vˉK∂v∂z=ruˉ2+vˉ2vˉ size 12{K { { partial v} over { partial z} } =r` sqrt { { bar {u}} rSup { size 8{2} } + { bar {v}} rSup { size 8{2} } } ` { bar {v}}} {} (1.26)
trong đó
r−r− size 12{r - {}} {} hệ số ma sát đáy.
- Trên mặt tự do thoả mãn biểu thức động học:
wζ=∂ζ∂t+uζ∂ζ∂x+vζ∂ζ∂ywζ=∂ζ∂t+uζ∂ζ∂x+vζ∂ζ∂y size 12{w rSub { size 8{ζ} } = { { partial ζ} over { partial t} } +u rSub { size 8{ζ} } { { partial ζ} over { partial x} } +v rSub { size 8{ζ} } { { partial ζ} over { partial y} } } {} (1.27)
Trong khi lấy tích phân từng số hạng của các phương trình và đổi thứ tự phép lấy tích phân và phép vi phân người ta phải áp dụng công thức tích phân với các cận biến đổi, thí dụ đối với hàm
F(x,y,z,t)F(x,y,z,t) size 12{F \( x,y,z,t \) } {} công thức có dạng sau:
1
D
+
ζ
∫
−
D
ζ
∂
F
∂
x
dz
=
∂
∂
x
1
D
+
ζ
∫
−
D
ζ
Fdz
+
1
(
D
+
ζ
)
2
∂
(
D
+
ζ
)
∂
x
∫
−
D
ζ
Fdz
−
1
D
+
ζ
F
ζ
∂
ζ
∂
x
−
1
D
+
ζ
F
−
D
∂
D
∂
x
1
D
+
ζ
∫
−
D
ζ
∂
F
∂
x
dz
=
∂
∂
x
1
D
+
ζ
∫
−
D
ζ
Fdz
+
1
(
D
+
ζ
)
2
∂
(
D
+
ζ
)
∂
x
∫
−
D
ζ
Fdz
−
1
D
+
ζ
F
ζ
∂
ζ
∂
x
−
1
D
+
ζ
F
−
D
∂
D
∂
x
size 12{ { {1} over {D+ζ} } Int cSub { size 8{ - D} } cSup { size 8{ζ} } { { { partial F} over { partial x} } } ital "dz"= { { partial } over { partial x} } { {1} over {D+ζ} } Int cSub { size 8{ - D} } cSup { size 8{ζ} } { ital "Fdz"} + { {1} over { \( D+ζ \) rSup { size 8{2} } } } { { partial \( D+ζ \) } over { partial x} } Int cSub { size 8{ - D} } cSup { size 8{ζ} } { ital "Fdz"} - { {1} over {D+ζ} } F rSub { size 8{ζ} } { { partial ζ} over { partial x} } - { {1} over {D+ζ} } F rSub { size 8{ - D} } { { partial D} over { partial x} } } {}
Thí dụ, với phương trình liên tục (1.17) ta thực hiện như sau:
1
D
+
ζ
∫
−
D
ζ
∂
u
∂
x
dz
=
∂
u
ˉ
∂
x
+
1
(
D
+
ζ
)
∂
(
D
+
ζ
)
∂
x
u
ˉ
−
u
ζ
D
+
ζ
∂
ζ
∂
x
−
u
−
D
D
+
ζ
∂
D
∂
x
1
D
+
ζ
∫
−
D
ζ
∂
u
∂
x
dz
=
∂
u
ˉ
∂
x
+
1
(
D
+
ζ
)
∂
(
D
+
ζ
)
∂
x
u
ˉ
−
u
ζ
D
+
ζ
∂
ζ
∂
x
−
u
−
D
D
+
ζ
∂
D
∂
x
size 12{ { {1} over {D+ζ} } Int cSub { size 8{ - D} } cSup { size 8{ζ} } { { { partial u} over { partial x} } } ital "dz"= { { partial { bar {u}}} over { partial x} } + { {1} over { \( D+ζ \) } } { { partial \( D+ζ \) } over { partial x} } { bar {u}} - { {u rSub { size 8{ζ} } } over {D+ζ} } { { partial ζ} over { partial x} } - { {u rSub { size 8{ - D} } } over {D+ζ} } { { partial D} over { partial x} } } {}
1
D
+
ζ
∫
−
D
ζ
∂
v
∂
x
dz
=
∂
v
ˉ
∂
x
+
1
(
D
+
ζ
)
∂
(
D
+
ζ
)
∂
x
v
ˉ
−
v
ζ
D
+
ζ
∂
ζ
∂
x
−
v
−
D
D
+
ζ
∂
D
∂
x
1
D
+
ζ
∫
−
D
ζ
∂
v
∂
x
dz
=
∂
v
ˉ
∂
x
+
1
(
D
+
ζ
)
∂
(
D
+
ζ
)
∂
x
v
ˉ
−
v
ζ
D
+
ζ
∂
ζ
∂
x
−
v
−
D
D
+
ζ
∂
D
∂
x
size 12{ { {1} over {D+ζ} } Int cSub { size 8{ - D} } cSup { size 8{ζ} } { { { partial v} over { partial x} } } ital "dz"= { { partial { bar {v}}} over { partial x} } + { {1} over { \( D+ζ \) } } { { partial \( D+ζ \) } over { partial x} } { bar {v}} - { {v rSub { size 8{ζ} } } over {D+ζ} } { { partial ζ} over { partial x} } - { {v rSub { size 8{ - D} } } over {D+ζ} } { { partial D} over { partial x} } } {}
1
D
+
ζ
∫
−
D
ζ
∂
w
∂
x
dz
=
w
ζ
−
w
−
D
1
D
+
ζ
∫
−
D
ζ
∂
w
∂
x
dz
=
w
ζ
−
w
−
D
size 12{ { {1} over {D+ζ} } Int cSub { size 8{ - D} } cSup { size 8{ζ} } { { { partial w} over { partial x} } } ital "dz"=w rSub { size 8{ζ} } - w rSub { size 8{ - D} } } {}
Vậy sau khi sử dụng các điều kiện (1.24) và (1.27) phương trình liên tục trở thành
∂ζ∂t=−∂(D+ζ)uˉ∂x−∂(D+ζ)vˉ∂y∂ζ∂t=−∂(D+ζ)uˉ∂x−∂(D+ζ)vˉ∂y size 12{ { { partial ζ} over { partial t} } = - { { partial \( D+ζ \) { bar {u}}} over { partial x} } - { { partial \( D+ζ \) { bar {v}}} over { partial y} } } {} (1.28)
Thực hiện tương tự chúng ta nhận được các phương trình chuyển động viết cho tốc độ trung bình độ sâu dưới dạng tổng quát
∂uˉ∂t+1D∂∂x∫−Dζu2dz+∂∂y∫−Dζuvdz−fvˉ=−g∂∂x(ζ−ζˉ)−rDuˉ2+vˉ2uˉ+A∇2uˉ∂uˉ∂t+1D∂∂x∫−Dζu2dz+∂∂y∫−Dζuvdz−fvˉ=−g∂∂x(ζ−ζˉ)−rDuˉ2+vˉ2uˉ+A∇2uˉ size 12{ { { partial { bar {u}}} over { partial t} } + { {1} over {D} } left [ { { partial } over { partial x} } Int cSub { size 8{ - D} } cSup { size 8{ζ} } {u rSup { size 8{2} } ital "dz"} + { { partial } over { partial y} } Int cSub { size 8{ - D} } cSup { size 8{ζ} } { ital "uvdz"} right ] - f { bar {v}}= - g { { partial } over { partial x} } \( ζ - { bar {ζ}} \) - { {r} over {D} } sqrt { { bar {u}} rSup { size 8{2} } + { bar {v}} rSup { size 8{2} } } ` { bar {u}}+A nabla rSup { size 8{2} } { bar {u}}} {} (1.29)
∂vˉ∂t+1D∂∂x∫−Dζuvdz+∂∂y∫−Dζv2dz+fuˉ=−g∂∂y(ζ−ζˉ)−rDuˉ2+vˉ2vˉ+A∇2vˉ∂vˉ∂t+1D∂∂x∫−Dζuvdz+∂∂y∫−Dζv2dz+fuˉ=−g∂∂y(ζ−ζˉ)−rDuˉ2+vˉ2vˉ+A∇2vˉ size 12{ { { partial { bar {v}}} over { partial t} } + { {1} over {D} } left [ { { partial } over { partial x} } Int cSub { size 8{ - D} } cSup { size 8{ζ} } { ital "uvdz"} + { { partial } over { partial y} } Int cSub { size 8{ - D} } cSup { size 8{ζ} } {v rSup { size 8{2} } ital "dz"} right ]+f { bar {u}}= - g { { partial } over { partial y} } \( ζ - { bar {ζ}} \) - { {r} over {D} } sqrt { { bar {u}} rSup { size 8{2} } + { bar {v}} rSup { size 8{2} } } ` { bar {v}}+A nabla rSup { size 8{2} } { bar {v}}} {} (1.30)
Khi viết các phương trình này người ta đã chấp nhận
D>>ζD>>ζ size 12{D">>"ζ} {}. Người ta có thể thay thế các số hạng thứ hai biểu thị lực quán tính không gian trong các phương trình chuyển động (1.29) và (1.30) bằng những số hạng tương đương thông qua các thành phần tốc độ trung bình độ sâu chứ không phải là tốc độ
uu size 12{u} {} và
vv size 12{v} {}. Người ta đã chứng minh được rằng những xấp xỉ
1D+ζ∫−Dζu2dz≈uˉ21D+ζ∫−Dζu2dz≈uˉ2 size 12{ { {1} over {D+ζ} } Int cSub { size 8{ - D} } cSup { size 8{ζ} } {u rSup { size 8{2} } ital "dz"} approx { bar {u}} rSup { size 8{2} } } {},
1D+ζ∫−Dζuvdz≈uˉvˉ1D+ζ∫−Dζuvdz≈uˉvˉ size 12{ { {1} over {D+ζ} } Int cSub { size 8{ - D} } cSup { size 8{ζ} } { ital "uvdz"} approx { bar {u}} { bar {v}}} {},
Hay
1
D
+
ζ
∫
−
D
ζ
v
2
dz
≈
v
ˉ
2
1
D
+
ζ
∫
−
D
ζ
v
2
dz
≈
v
ˉ
2
size 12{ { {1} over {D+ζ} } Int cSub { size 8{ - D} } cSup { size 8{ζ} } {v rSup { size 8{2} } ital "dz"} approx { bar {v}} rSup { size 8{2} } } {}
sẽ chỉ mắc sai số khoảng 2 - 3 % trong điều kiện phân bố tốc độ theo độ sâu có dạng parabol - là dạng hiện thực của chuyển động triều. Trong những trường hợp này hai phương trình chuyển động sẽ có dạng sau đây thường được sử dụng nhiều nhất trong thực tiễn mô hình hoá thủy triều
∂uˉ∂t+uˉ∂uˉ∂x+vˉ∂uˉ∂y−fvˉ=−g∂∂x(ζ−ζˉ)−rDuˉ2+vˉ2uˉ+A∇2uˉ∂uˉ∂t+uˉ∂uˉ∂x+vˉ∂uˉ∂y−fvˉ=−g∂∂x(ζ−ζˉ)−rDuˉ2+vˉ2uˉ+A∇2uˉ size 12{ { { partial { bar {u}}} over { partial t} } + { bar {u}} { { partial { bar {u}}} over { partial x} } + { bar {v}} { { partial { bar {u}}} over { partial y} } - f { bar {v}}= - g { { partial } over { partial x} } \( ζ - { bar {ζ}} \) - { {r} over {D} } sqrt { { bar {u}} rSup { size 8{2} } + { bar {v}} rSup { size 8{2} } } { bar {u}}+A nabla rSup { size 8{2} } { bar {u}}} {} (1.31)
∂vˉ∂t+uˉ∂vˉ∂x+vˉ∂vˉ∂y+fuˉ=−g∂∂y(ζ−ζˉ)−rDuˉ2+vˉ2vˉ+A∇2vˉ∂vˉ∂t+uˉ∂vˉ∂x+vˉ∂vˉ∂y+fuˉ=−g∂∂y(ζ−ζˉ)−rDuˉ2+vˉ2vˉ+A∇2vˉ size 12{ { { partial { bar {v}}} over { partial t} } + { bar {u}} { { partial { bar {v}}} over { partial x} } + { bar {v}} { { partial { bar {v}}} over { partial y} } +f { bar {u}}= - g { { partial } over { partial y} } \( ζ - { bar {ζ}} \) - { {r} over {D} } sqrt { { bar {u}} rSup { size 8{2} } + { bar {v}} rSup { size 8{2} } } { bar {v}}+A nabla rSup { size 8{2} } { bar {v}}} {} (1.32)
Các phương trình (1.28) và (1.31) - (1.32) liên hệ giữa các hàm - hai thành phần tốc độ ngang và độ cao mực nước trong thủy triều gọi là những phương trình triều. Người ta cũng còn gọi những phương trình trên là hệ phương trình chuyển động của sóng dài trong nước nông [7].
