Các nút của graph liên thông có thể chọn làm nút qui chiếu. Nút qui chiếu có thể thay đổi, nó được xem như một nút trong graph có thể cân nhắc khi ấn định cụ thể một nút nào đó làm nút qui chiếu. Ma trận thu được từ ma trận  bỏ đi cột tương ứng với nút chọn làm nút qui chiếu là ma trận nhánh - nút A, nó sẽ được gọi là ma trận nút. Kích thước của ma trận là e x (n-1) và hạng là n-1 = b.
Với: b là số nhánh cây của graph. Chọn nút 0 làm nút qui chiếu thể hiện trên graph trong hình 4.2.
nút1234567eA = -1-1-1-11-11-111-14123
Ma trận A là hình chữ nhật và là duy nhất. Nếu hàng của A sắp xếp theo một cây riêng biệt thì ma trận trên có thể phân chia thành các ma trận con Ab có kích thước b x (n-1) và At có kích thước là l x (n-1). Số hàng của ma trận Ab tương ứng với số nhánh cây và số hàng của ma trận At tương ứng với số nhánh bù cây. Ma trận phân chia của graph trên hình 4.2 được trình bày như sau:
nútnút1234567eA = -1-1-1-11-11-111-1e= AtCác nútAbNhánh câyNhánh bù cây4123
Ab là ma trận vuông không duy nhất với hạng (n -1).
4.3.3. Ma trận hướng đường - nhánh cây K:
Hướng của các nhánh cây đến các đường trong 1 cây được trình bày bằng ma trận hướng đường - nhánh cây. Với 1 đường được định hướng từ 1 nút qui chiếu. Các phần tử của ma trận này là:
kij = 1: Nếu nhánh cây i nằm trong đường từ nút j đến nút qui chiếu và được định hướng cùng hướng.
kij = -1: Nếu nhánh cây i nằm trong đường từ nút j đến nút qui chiếu nhưng được định hướng ngược hướng.
kij = 0: Nếu nhánh cây i không nằm trong đường từ nút j đến nút qui chiếu.
Với nút 0 là nút qui chiếu ma trận hướng đường - nhánh cây liên kết với cây được trình bày ở hình 4.2 có dạng dưới đây.
đường1234Nhánh câyK = -1-1-1-1-14123
Đây là ma trận vuông không duy nhất với cấp là (n-1). Ma trận hướng - đường nhánh cây liên hệ nhánh cây với các đường nhánh cây nối đến nút qui chiếu và ma trận Ab liên kết các nhánh cây với các nút. Vì vậy có tỉ lệ tương ứng 1:1 giữa các đường và các nút.
Ab.Kt = 1 (4.3)
Do đó: Kt = Ab-1 (4.4)
4.3.4. Ma trận vết cắt cơ bản B.
Liên hệ giữa nhánh với vết cắt cơ bản của graph liên thông được thể hiện trong ma trận vết cắt cơ bản B. Các thành phần của ma trận là.
bịj = 1 : Nếu nhánh thứ i và hướng cùng chiều với vết cắt cơ bản thứ j
bịj = -1 : Nếu nhánh thứ i và hướng ngược chiều với vết cắt cơ bản thứ j
bịj = 0 : Nếu nhánh thứ i không liên quan với vết cắt thứ j
Ma trận vết cắt cơ bản có kích thước là e x b của graph cho trên hình 4.4 là:
Ma trận B có thể phân chia thành các ma trận con Ub và Bt. Số hàng của ma trận Ub tương ứng với số nhánh cây và số hàng của ma trận Bt tương ứng với số nhánh bù cây. Ma trận phân chia được biểu diễn như sau:
Ma trận đơn vị Ub cho ta thấy quan hệ tương ứng của một nhánh cây với một vết cắt cơ bản..
Ma trận con Bt có thể thu được từ ma trận nút A. Liên hệ giữa nhánh bù cây với nút cho thấy bởi ma trận con At và giữa nhánh cây với nút là ma trận con Ab. Từ đây tương ứng quan hệ của một nhánh cây với một vết cắt cơ bản, Bt.Ab cho thấy quan hệ giữa các nhánh bù cây với các nút như sau:
Bt.Ab = At
Vì vậy
Bt = At .Ab-1
Theo phương trình (4.4) ta có
Ab-1 = Kt
Vì vậy ta có
Bt = At .Kt (4.5)
4.3.5. Ma trận vết cắt tăng thêm
BˆBˆ size 12{ { hat {B}}} {}.
Vết cắt giả thiết được gọi là vết cắt ràng buộc có thể đưa vào sau từng bước để số vết cắt đúng bằng số nhánh. Mỗi vết cắt ràng buộc chỉ gồm một nhánh bù cây của graph liên thông. Vết cắt ràng buộc của graph cho trên hình 4.4 được trình bày trong hình 4.5.
7Vết cắt ràng buộcG643215Hình 4.5 : Vết cắt cơ bản và ràng buộc định hướng theo graph liên thông BDCAVết cắt cơ bảnFE41230
Ma trận vết cắt tăng thêm có hình thức biểu diễn như ma trận vết cắt cơ bản cộng thêm số cột của vết cắt ràng buộc. Vết cắt ràng buộc được định hướng phụ thuộc vào hướng của nhánh bù cây. Ma trận vết cắt tăng thêm của graph trình bày trên hình 4.5 là ma trận
BˆBˆ size 12{ { hat {B}}} {} như sau:
1111-1111-11-11111234567eeABCDEFGVết cắt cơ bảnVết cắt giả tạo
BˆBˆ size 12{ { hat {B}}} {}: Là ma trận vuông có kích thước e x e và không duy nhất. Ma trận
BˆBˆ size 12{ { hat {B}}} {} có thể phân chia như sau:
1111-1111-11-11111234567eeABCD EFGVết cắt cơ bảnVết cắt giả tạoe0UtUbBtNhánh câyNhánh bù câye=Vết cắt cơ bảnVết cắt giả tạo
4.3.6. Ma trận thêm vào vòng cơ bản C.
Tác động của nhánh cây với vòng cơ bản của graph liên thông thể hiện bởi ma trận vòng cơ bản. Thành phần của ma trận là:
cịj = 1 : Nếu nhánh cây thứ i và hướng cùng chiều với vòng cơ bản thứ j
cịj = -1: Nếu nhánh cây thứ i và hướng ngược chiều với vòng cơ bản thứ j
cịj = 0 : Nếu nhánh cây thứ i không liên quan với vòng cơ bản thứ j
Ma trận vòng cơ bản có kích thước e x l theo graph cho trên hình 4.3 như sau:
l1234567eEFGC = 1-1-1-11111Vòng cơ bản
Ma trận C có thể phân chia thành các ma trận con Cb và Ut. Số hàng của ma trận Cb tương ứng với số nhánh cây và số hàng của ma trận Ut tương ứng với số nhánh bù cây. Ma trận phân chia như sau:
l1234567eEFGC = 1-1-1-11111Vòng cơ bảnlNhánh câyNhánh bù câye=CbUtVòng cơ bản
Ma trận đơn vị Ut cho thấy một nhánh bù cây tương ứng với một vòng cơ bản.
4.3.6. Ma trận số vòng tăng thêm
CˆCˆ size 12{ { hat {C}}} {}.
Số vòng cơ bản trong graph liên thông bằng số nhánh bù cây. Để có tổng số vòng bằng số nhánh, thêm vào (e-l) vòng, tương ứng với b nhánh cây, gọi là vòng hở. Vòng hở được vẽ bên các nút nối bởi nhánh cây. Vòng hở của graph cho trên hình 4.3 được trình bày trong hình 4.6. Hướng của vòng hở được xác định theo như hướng của nhánh cây.
Ma trận vòng tăng thêm có hình thức nằm bên cạnh ma trận vòng cơ bản, các cột của nó biểu diễn mối quan hệ giữa các nhánh với vòng hở. Ma trận của graph trình bày trong hình 4.6 được biểu diễn dưới đây.
CˆCˆ size 12{ { hat {C}}} {}: Là ma trận vuông, kích thước e x e và không duy nhất.
1111-1111-1-1-11111234567eeABCD EFGVòng hởVòng cơ bản
Ma trận
CˆCˆ size 12{ { hat {C}}} {} có thể phân chia như sau:
1111-1111-1-1-11111234567eeABCD EFGVòng hởVòng cơ bản=eCbUtUb0Nhánh câyNhánh bù câyeVòng hởVòng cơ bản
4.4. MẠNG ĐIỆN GỐC.
Thành phần của mạng điện là tổng trở và tổng dẫn được trình bày trong hình 4.7. Đặc tính của các thành phần có thể biểu diễn trong mỗi công thức. Biến và tham số là:
vpq: Là hiệu điện thế của nhánh p-q
epq: Là nguồn áp mắc nối tiếp với nhánh p-q
ipq: Là dòng điện chạy trong nhánh p-q
jpq: Là nguồn dòng mắc song song với nhánh p-q
zpq: Là tổng trở riêng của nhánh p-q
ypq: Là tổng dẫn riêng của nhánh p-q
Mỗi một nhánh có hai biến vpq và ipq. Trong trạng thái ổn định các biến và tham số của nhánh zpq và ypq là một số thực đối với dòng điện một chiều và là một số phức đối với dòng điện xoay chiều.
