Xuất phát từ những phương trình nguyên thủy trong hệ tọa độ thẳng đứng theo địa hình, yêu cầu định rõ những tính chất cơ bản của hệ tọa độ. Nếu áp suất bề mặt là ππ size 12{π} {}, thì trục tọa độ thẳng đứng ηp,πηp,π size 12{η left (p,π right )} {} thỏa mãn:

1. ηp,πηp,π size 12{η left (p,π right )} {} là hàm đơn của p

2. ηπ,π=1ηπ,π=1 size 12{η left (π,π right )=1} {}

3. η0,π=0η0,π=0 size 12{η left (0,π right )=0} {}

4. ηpt,π=ηtηpt,π=ηt size 12{η left (p rSub { size 8{t} } ,π right )=η rSub { size 8{t} } } {} trong đó ptpt size 12{p rSub { size 8{t} } } {}là đỉnh mô hình

Động lực Bán-Lagrangian sử dụng cùng hệ tọa độ thẳng đứng ( ηη size 12{η} {}) như động lực Ơle, bằng

pη,ps=A(η)p0+B(η)pspη,ps=A(η)p0+B(η)ps size 12{p left (η,p rSub { size 8{s} } right )=A \( η \) p rSub { size 8{0} } +B \( η \) p rSub { size 8{s} } } {} (1.2)

trong đó p là áp suất, ps áp suất bề mặt mô hình, po là hằng số áp suất tra cứu, A và B là các hệ số theo các mực mô hình.

Trước hết xin đưa ra khái niệm “mật độ - giả” (pseudo-density) π=∂p∂ζπ=∂p∂ζ size 12{π= { { partial p} over { partial ζ} } } {} (gradient áp suất thẳng đứng trong hệ tọa độ thẳng đứng tổng quát ζζ size 12{ζ} {}).

Phương trình cân bằng thủy tĩnh trong hệ tọa độ Đề các có dạng:

1ρ∂p∂z+g=01ρ∂p∂z+g=0 size 12{ { {1} over {ρ} } { { partial p} over { partial z} } +g=0} {},(1.3)

trong đó  mật độ không khí, p áp suất, và g hằng số gia tốc trọng trường. Phương trình cân bằng thủy tĩnh mô tả mối quan hệ giữa mật độ-giả và mật độ thật trong hệ tọa độ thẳng đứng ζζ size 12{ζ} {} có dạng:

π=−∂Φ∂ζρπ=−∂Φ∂ζρ size 12{π= - { { partial Φ} over { partial ζ} } ρ} {},(1.4)

trong đó Φ=gzΦ=gz size 12{Φ= ital "gz"} {} địa thế vị. Ghi chú rằng ππ size 12{π} {}trở thành “mật độ thật” nếu ζ=−gzζ=−gz size 12{ζ= - ital "gz"} {}, áp suất bề mặt nếu σ=pPsσ=pPs size 12{ left (σ= { {p} over {P rSub { size 8{s} } } } right )} {}. Phương trình mô tả định luật bảo toàn tổng khối lượng không khí có dạng:

∂∂tπ+∇.V→π=0∂∂tπ+∇.V→π=0 size 12{ { { partial } over { partial t} } π+ nabla "." left ( {V} cSup { size 8{ rightarrow } } π right )=0} {},(1.5)

trong đó V→=u,v,dζdtV→=u,v,dζdt size 12{ {V} cSup { size 8{ rightarrow } } = left (u,v, { {dζ} over { ital "dt"} } right )} {}. Tương tự như vậy phương trình mô tả định luật bảo toàn khối lượng đối với hơi nước có thể được viết

∂∂tπq+∇.V→πq=0∂∂tπq+∇.V→πq=0 size 12{ { { partial } over { partial t} } left (πq right )+ nabla "." left ( {V} cSup { size 8{ rightarrow } } πq right )=0} {}(1.6)

trong đó q độ ẩm riêng hơi nước.

Phương trình mô tả định luật nhiệt động lực học thứ nhất đối với nhiệt độ thế vị θθ size 12{θ} {} có dạng:

∂∂tπθ+∇.V→πθ=0∂∂tπθ+∇.V→πθ=0 size 12{ { { partial } over { partial t} } left ( ital "πθ" right )+ nabla "." left ( {V} cSup { size 8{ rightarrow } } ital "πθ" right )=0} {}.(1.7)

Phương trình động lượng có dạng:

∂∂tu=Ωv−1Acosθ∂∂λk+Φ−vD+1ρ∂∂λp−dζdt∂u∂ζ∂∂tu=Ωv−1Acosθ∂∂λk+Φ−vD+1ρ∂∂λp−dζdt∂u∂ζ size 12{ { { partial } over { partial t} } u= %OMEGA v - { {1} over {A"cos"θ} } left [ { { partial } over { partial λ} } left (k+Φ - ital "vD" right )+ { {1} over {ρ} } { { partial } over { partial λ} } p right ] - { {dζ} over { ital "dt"} } { { partial u} over { partial ζ} } } {},(1.8)

∂∂tv=−Ωu−1A∂∂θk+Φ−vD+1ρ∂∂θp−dζdt∂v∂ζ∂∂tv=−Ωu−1A∂∂θk+Φ−vD+1ρ∂∂θp−dζdt∂v∂ζ size 12{ { { partial } over { partial t} } v= - %OMEGA u - { {1} over {A} } left [ { { partial } over { partial θ} } left (k+Φ - ital "vD" right )+ { {1} over {ρ} } { { partial } over { partial θ} } p right ] - { {dζ} over { ital "dt"} } { { partial v} over { partial ζ} } } {},(1.9)

trong đó λ,θλ,θ size 12{ left (λ,θ right )} {} hệ tọa độ (kinh, vĩ), A bán kính Trái đất,  hệ số phân kỳ lựa trọn, D phân kỳ ngang

D=1Acosθ∂∂λu+∂∂θvcosθD=1Acosθ∂∂λu+∂∂θvcosθ size 12{D= { {1} over {A"cos"θ} } left [ { { partial } over { partial λ} } left (u right )+ { { partial } over { partial θ} } left (v"cos"θ right ) right ]} {},

k=12u2+v2k=12u2+v2 size 12{k= { {1} over {2} } left (u rSup { size 8{2} } +v rSup { size 8{2} } right )} {},

và ΩΩ size 12{ %OMEGA } {} , thành phần thẳng đứng xoáy tuyệt đối, được xác định theo:

Ω=2ωsinθ+1Acosθ∂∂λv−∂∂θucosθΩ=2ωsinθ+1Acosθ∂∂λv−∂∂θucosθ size 12{ %OMEGA =2ω"sin"θ+ { {1} over {A"cos"θ} } left [ { { partial } over { partial λ} } v - { { partial } over { partial θ} } left (u"cos"θ right ) right ]} {},

trong đó ωω size 12{ω} {} vận tốc góc của Trái đất.