# Connexions

You are here: Home » Content » Giáo trình giải tích mạng điện » Đại số ma trận ứng dụng trong giải tích mạng

### Lenses

What is a lens?

#### Definition of a lens

##### Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

##### What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

##### Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

##### What are tags?

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

#### Affiliated with (What does "Affiliated with" mean?)

This content is either by members of the organizations listed or about topics related to the organizations listed. Click each link to see a list of all content affiliated with the organization.
• VOCW

This module and collection are included inLens: Vietnam OpenCourseWare's Lens
By: Vietnam OpenCourseWare

Click the "VOCW" link to see all content affiliated with them.

### Recently Viewed

This feature requires Javascript to be enabled.

Inside Collection:

Collection by: PGS. TS. Lê Kim Hùng. E-mail the author

# Đại số ma trận ứng dụng trong giải tích mạng

Module by: PGS. TS. Lê Kim Hùng. E-mail the author

Summary: Trong chương này ta nhắc lại một số kiến thức về đại số ma trận thông thường được ứng dụng trong giải tích mạng.

## ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN:

### Kí hiệu ma trận:

Ma trận chữ nhật A kích thước m x n là 1 bảng gồm m hàng và n cột có dạng sau:

A a 11 a 12 . . . a 1n a 21 a 22 . . . a 2n . . . . . . . . . . . . a m1 a m2 . . . a mn = a i j A a 11 a 12 . . . a 1n a 21 a 22 . . . a 2n . . . . . . . . . . . . a m1 a m2 . . . a mn = a i j size 12{ matrix { A {} # = lline matrix { a rSub { size 8{"11"} } {} # a rSub { size 8{"12"} } {} # "." "." "." {} # a rSub { size 8{1n} } {} ## a rSub { size 8{"21"} } {} # a rSub { size 8{"22"} } {} # "." "." "." {} # a rSub { size 8{2n} } {} ## "." "." "." {} # "." "." "." {} # "." "." "." {} # "." "." "." {} ## a rSub { size 8{m1} } {} # a rSub { size 8{m2} } {} # "." "." "." {} # a rSub { size 8{ ital "mn"} } {} } rline {} } = left [a rSub { size 8{ij} } right ]} {}

Nếu m = 1 và n >1 thì A gọi là ma trận hàng hoặc vectơ hàng.

Ngược lại n = 1 và m > 1 thì A gọi là ma trận cột hoặc vectơ cột.

Ví dụ: A=213A=213 size 12{A= lline  matrix { 2 {} ## 1 {} ## 3 }  rline } {}A=231A=231 size 12{A= lline matrix { 2 {} # 3 {} # 1{} } rline } {}

### Các dạng ma trận:

Ma trận vuông: Là ma trận có số hàng bằng số cột (m = n).

Ví dụ:

A a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 A a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 size 12{ matrix { A {} # = lline matrix { a rSub { size 8{"11"} } {} # a rSub { size 8{"12"} } {} # a rSub { size 8{"13"} } {} ## a rSub { size 8{"21"} } {} # a rSub { size 8{"22"} } {} # a rSub { size 8{"23"} } {} ## a rSub { size 8{"31"} } {} # a rSub { size 8{"32"} } {} # a rSub { size 8{"33"} } {} } rline {} } } {}

Ma trận tam giác trên: Là ma trận vuông mà các phần tử dưới đường chéo chính aị j của ma trận bằng 0 với i > j.

A a 11 a 12 a 13 0 a 22 a 23 0 0 a 33 A a 11 a 12 a 13 0 a 22 a 23 0 0 a 33 size 12{ matrix { A {} # = lline matrix { a rSub { size 8{"11"} } {} # a rSub { size 8{"12"} } {} # a rSub { size 8{"13"} } {} ## 0 {} # a rSub { size 8{"22"} } {} # a rSub { size 8{"23"} } {} ## 0 {} # 0 {} # a rSub { size 8{"33"} } {} } rline {} } } {}

Ma trận tam giác dưới: Là ma trận vuông mà các phần tử trên đường chéo chính aịj của ma trận bằng 0 với i < j.

A a 11 0 0 a 21 a 22 0 a 31 a 32 a 33 A a 11 0 0 a 21 a 22 0 a 31 a 32 a 33 size 12{ matrix { A {} # = lline matrix { a rSub { size 8{"11"} } {} # 0 {} # 0 {} ## a rSub { size 8{"21"} } {} # a rSub { size 8{"22"} } {} # 0 {} ## a rSub { size 8{"31"} } {} # a rSub { size 8{"32"} } {} # a rSub { size 8{"33"} } {} } rline {} } } {}

Ma trận đường chéo: Là ma trận vuông nếu tất cả các phần tử trên đường chéo chính khác 0, còn các phần tử khác ngoài đường chéo chính của ma trận bằng 0 (aịj = 0 với ijij size 12{i <> j} {}).

A a 11 0 0 0 a 22 0 0 0 a 33 A a 11 0 0 0 a 22 0 0 0 a 33 size 12{ matrix { A {} # = lline matrix { a rSub { size 8{"11"} } {} # 0 {} # 0 {} ## 0 {} # a rSub { size 8{"22"} } {} # 0 {} ## 0 {} # 0 {} # a rSub { size 8{"33"} } {} } rline {} } } {}

Ma trận đơn vị: Là ma trận vuông mà tất cả các phần tử trên đường chéo chính của ma trận bằng 1 còn tất cả các phần tử khác bằng 0 (aij = 1 với i = j và aịj = 0 với ijij size 12{i <> j} {}).

U 1 0 0 0 1 0 0 0 1 U 1 0 0 0 1 0 0 0 1 size 12{ matrix { U {} # = lline  matrix { 1 {} # 0 {} # 0 {} ## 0 {} # 1 {} # 0 {} ## 0 {} # 0 {} # 1{} }  rline {} } } {}

Ma trận không: Là ma trận mà tất cả các phần tử của ma trận bằng 0.

Ma trận chuyển vị: Là ma trận mà các phần tử aịj = aji (đổi hàng thành cột và ngược lại).

Aa11a12a21a22a31a32Aa11a12a21a22a31a32 size 12{ matrix { A {} # = lline matrix { a rSub { size 8{"11"} } {} # a rSub { size 8{"12"} } {} ## a rSub { size 8{"21"} } {} # a rSub { size 8{"22"} } {} ## a rSub { size 8{"31"} } {} # a rSub { size 8{"32"} } {} } rline {} } } {}ATa11a21a31a12a22a32ATa11a21a31a12a22a32 size 12{ matrix { A rSup { size 8{T} } {} # = lline matrix { a rSub { size 8{"11"} } {} # a rSub { size 8{"21"} } {} # a rSub { size 8{"31"} } {} ## a rSub { size 8{"12"} } {} # a rSub { size 8{"22"} } {} # a rSub { size 8{"32"} } {} } rline {} } } {}

Cho ma trận A thì ma trận chuyển vị kí hiệu là At, AT hoặc A’

Ma trận đối xứng: Là ma trận vuông có các cặp phần tử đối xứng qua đường chéo chính bằng nhau aịj = aji.

Ví dụ:

A 1 5 3 5 2 6 3 6 4 A 1 5 3 5 2 6 3 6 4 size 12{ matrix { A {} # = lline  matrix { 1 {} # 5 {} # 3 {} ## 5 {} # 2 {} # 6 {} ## 3 {} # 6 {} # 4{} }  rline {} } } {}

Chuyển vị ma trận đối xứng thì AT = A, nghĩa là ma trận không thay đổi.

Ma trận xiên - phản đối xứng: Là ma trận vuông có A = - AT. Các phần tử ngoài đường chéo chính tương ứng bằng giá trị đối của nó (aịj = - aji) và các phần tử trên đường chéo chính bằng 0.

Ví dụ:

A 0 5 3 5 0 6 3 6 0 A 0 5 3 5 0 6 3 6 0 size 12{ matrix { A {} # = lline matrix { 0 {} # 5 {} # - 3 {} ## - 5 {} # 0 {} # 6 {} ## 3 {} # - 6 {} # 0{} } rline {} } } {}

Ma trận trực giao: Là ma trận có ma trận chuyển vị chính là nghịch đảo của nó. (AT .A = U = A .AT với A là ma trận vuông và các phần tử là số thực).

Ma trận phức liên hợp: Là ma trận nếu thế phần tử a + jb bởi a - jb thì ma trận mới A* là ma trận phức liên hợp.

Cho ma trận A thì ma trận phức liên hợp là A*

A=j354+j21+j1A=j354+j21+j1 size 12{A= lline matrix { j3 {} # 5 {} ## 4+j2 {} # 1+j1{} } rline } {}Aj354j21j1Aj354j21j1 size 12{ matrix { A rSup { size 8{ * } } {} # = lline matrix { - j3 {} # 5 {} ## 4 - j2 {} # 1 - j1{} } rline {} } } {}

-Nếu tất cả các phần tử của A là thực, thì A = A*

-Nếu tất cả các phần tử của A là ảo, thì A = - A*.

Ma trận Hermitian (ma trận phức đối): Là ma trận vuông với các phần tử trên đường chéo chính là số thực còn các cặp phần tử đối xứng qua đường chéo chính là những số phức liên hợp, nghĩa là A = (A*)t.

A 4 2 j3 2 + j3 5 A 4 2 j3 2 + j3 5 size 12{ matrix { A {} # = lline matrix { 4 {} # 2 - j3 {} ## 2+j3 {} # 5{} } rline {} } } {}

Ma trận xiên - Hermitian (ma trận xiên - phức đối): Là ma trận vuông với các phần tử trên đường chéo chính bằng 0 hoặc toàn ảo còn các cặp phần tử đối xứng qua đường chéo chính là những số phức, tức A = - (A*)t.

A 0 2 j3 2 j3 0 A 0 2 j3 2 j3 0 size 12{ matrix { A {} # = lline matrix { 0 {} # 2 - j3 {} ## - 2 - j3 {} # 0{} } rline {} } } {}

Nếu ma trận vuông phức liên hợp có (A*) t. A = U = A. (A*)t thì ma trận A được gọi là ma trận đơn vị. Nếu ma trận đơn vị A với các phần tử là số thực được gọi là ma trận trực giao.

Bảng 1.1: Các dạng ma trận.

Bảng 1
 Kí hiệu Dạng ma trận A = -AA = AtA = - AtA = A*A = - A* KhôngĐối xứng Xiên-đối xứngThựcHoàn toàn ảo

 Kí hiệu Dạng ma trận A = (A*)tA = - (A*)tAt A = U(A*)t A = U HermitianXiên- HermitianTrực giaoĐơn vị

## CÁC ĐỊNH THỨC:

### Định nghĩa và các tính chất của định thức:

Cho hệ 2 phương trình tuyến tính

a11x1 + a12x2­ = k1 (1) (1.1)

a21x1 + a22x2­ = k2 (2)

Rút x2 từ phương trình (2) thế vào phương trình (1), giải được:

x 1 = a 22 k 1 a 12 k 2 a 11 a 22 a 12 a 21 x 1 = a 22 k 1 a 12 k 2 a 11 a 22 a 12 a 21 size 12{x rSub { size 8{1} } = { {a rSub { size 8{"22"} } k rSub { size 8{1} } - a rSub { size 8{"12"} } k rSub { size 8{2} } } over {a rSub { size 8{"11"} } a rSub { size 8{"22"} } - a rSub { size 8{"12"} } a rSub { size 8{"21"} } } } } {}

Suy ra:

x 2 = a 11 k 2 a 21 k 1 a 11 a 22 a 12 a 21 x 2 = a 11 k 2 a 21 k 1 a 11 a 22 a 12 a 21 size 12{x rSub { size 8{2} } = { {a rSub { size 8{"11"} } k rSub { size 8{2} } - a rSub { size 8{"21"} } k rSub { size 8{1} } } over {a rSub { size 8{"11"} } a rSub { size 8{"22"} } - a rSub { size 8{"12"} } a rSub { size 8{"21"} } } } } {}

Biểu thức (a11a22 - a12a21) là giá trị định thức của ma trận hệ số A. Trong đó |A| là định thức.

A a 11 a 12 a 21 a 22 A a 11 a 12 a 21 a 22 size 12{ matrix { \lline A \lline {} # = lline matrix { a rSub { size 8{"11"} } {} # a rSub { size 8{"12"} } {} ## a rSub { size 8{"21"} } {} # a rSub { size 8{"22"} } {} } rline {} } } {}

Giải phương trình (1.1) bằng phương pháp định thức ta có:

x1k1a12k2a22A=a22.k1a12.k2a11.a22a12.a21x1k1a12k2a22A=a22.k1a12.k2a11.a22a12.a21 size 12{ matrix { x rSub { size 8{1} } {} # = { { lline matrix { k rSub { size 8{1} } {} # a rSub { size 8{"12"} } {} ## k rSub { size 8{2} } {} # a rSub { size 8{"22"} } {} } rline } over { lline A rline } } {} } = { {a rSub { size 8{"22"} } "." k rSub { size 8{1} } - a rSub { size 8{"12"} } "." k rSub { size 8{2} } } over {a rSub { size 8{"11"} } "." a rSub { size 8{"22"} } - a rSub { size 8{"12"} } "." a rSub { size 8{"21"} } } } } {}x2a11k1a21k2A=a11.k2a21.k1a11.a22a12.a21x2a11k1a21k2A=a11.k2a21.k1a11.a22a12.a21 size 12{ matrix { x rSub { size 8{2} } {} # = { { lline matrix { a rSub { size 8{"11"} } {} # k rSub { size 8{1} } {} ## a rSub { size 8{"21"} } {} # k rSub { size 8{2} } {} } rline } over { lline A rline } } {} } = { {a rSub { size 8{"11"} } "." k rSub { size 8{2} } - a rSub { size 8{"21"} } "." k rSub { size 8{1} } } over {a rSub { size 8{"11"} } "." a rSub { size 8{"22"} } - a rSub { size 8{"12"} } "." a rSub { size 8{"21"} } } } } {}

• Tính chất của định thức:

a. Giá trị của định thức bằng 0 nếu:

- Tất cả các phần tử của hàng hoặc cột bằng 0.

- Các phần tử của 2 hàng (cột) tương ứng bằng nhau.

- Một hàng (cột) là tương ứng tỉ lệ của 1 hoặc nhiều hàng (cột).

b. Nếu ta đổi chổ 2 hàng của ma trận vuông A cho nhau ta được ma trận vuông B và có det(B) = - det(A).

c. Giá trị của định thức không thay đổi nếu:

- Tất cả các hàng và cột tương ứng đổi chổ cho nhau.

- Cộng thêm k vào 1 hàng (cột) thứ tự tương ứng với các phần tử của hàng (cột) đó.

d. Nếu tất cả các phần tử của hàng (cột) nhân với thừa số k, thì giá trị của định thức là được nhân bởi k.

e. Tích của các định thức bằng tích của từng định thức. | A.B.C| = |A| .|B| .|C|.

f. Định thức tổng khác tổng các định thức. |A + B - C| = |A| + |B| -|C|.

### Định thức con và các phần phụ đại số.

Xét định thức:

A a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 A a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 size 12{ matrix { A {} # = lline matrix { a rSub { size 8{"11"} } {} # a rSub { size 8{"12"} } {} # a rSub { size 8{"13"} } {} ## a rSub { size 8{"21"} } {} # a rSub { size 8{"22"} } {} # a rSub { size 8{"23"} } {} ## a rSub { size 8{"31"} } {} # a rSub { size 8{"32"} } {} # a rSub { size 8{"33"} } {} } rline {} } } {}

Chọn trong định thức này k hàng, k cột bất kỳ với 1  k  n. Các phần tử nằm phía trên kể từ giao của hàng và cột đã chọn tạo thành một định thức cấp k, gọi là định thức con cấp k của A. Bỏ k hàng và k cột đã chọn, các phần tử còn lại tạo thành 1 định thức con bù của định thức A.

Phần phụ đại số ứng với phần tử aij của định thức A là định thức con bù có kèm theo dấu (-1)i+j.

A 21 ( 1 ) 2 + 1 a 12 a 13 a 32 a 33 = a 12 a 13 a 32 a 33 A 21 ( 1 ) 2 + 1 a 12 a 13 a 32 a 33 = a 12 a 13 a 32 a 33 size 12{ matrix { A rSub { size 8{"21"} } {} # ={}{} } $$- 1$$ rSup { size 8{2+1} }  lline  matrix { a rSub { size 8{"12"} } {} # a rSub { size 8{"13"} } {} ## a rSub { size 8{"32"} } {} # a rSub { size 8{"33"} } {} } rline = -  lline  matrix { a rSub { size 8{"12"} } {} # a rSub { size 8{"13"} } {} ## a rSub { size 8{"32"} } {} # a rSub { size 8{"33"} } {} } rline } {}

Mối liên hệ giữa các định thức và phần phụ:

- Tổng các tích của các phần tử theo hàng (cột) với phần phụ tương ứng bằng định thức |A|.

- Tổng các tích của các phần tử theo hàng (cột) với phần phụ tương ứng trong hàng (cột) khác bằng 0.

## CÁC PHÉP TÍNH MA TRẬN.

### Các ma trận bằng nhau:

Hai ma trận A và B được gọi là bằng nhau nếu tất cả các phần tử của ma trận A bằng tất cả các phần tử của ma trận B (aij = bịj size 12{ forall } {} i, j; i, j = 1, 2, .. n).

### Phép cộng (trừ) ma trận.

Cộng (trừ) các ma trận phái có cùng kích thước m x n. Ví dụ: Có hai ma trận A[aij ]mn và B[bij ]mn thì tổng và hiệu của hai ma trận này là ma trận C[cij ]mn với cij = aij bij

Mở rộng: R = A + B + C +..... + N với rij = aij  bij cij  ... nij .

Phép cộng (trừ) ma trận có tính chất giao hoán: A + B = B + A.

Phép cộng (trừ) ma trận có tính chất kết hợp: A + (B + C) = (A + B) + C.

### Tích vô hướng của ma trận:

k.A = B. Trong đó: bij = k .aij size 12{ forall } {} i & j .

Tính giao hoán: k.A = A.k..

Tính phân phối: k (A + B) = k.A + k..B = (A + B) k.

(với A và B là các ma trận có cùng kích thước, k là 1 hằng số ).

### Nhân các ma trận:

Phép nhân hai ma trận A.B = C. Nếu ma trận A có kích thước m x q và ma trận B có kích thước q x n thì ma trận tích C có kích thước m x n. Các phần tử cij của ma trận C là tổng các tích của các phần tử tương ứng với i hàng của ma trận A và j cột của ma trận B là:

cij = ai1 .b1j + ai2 .b2j + ... + aiq .bqj

Ví dụ:

A.Ba11a12a21a22a31a32A.Ba11a12a21a22a31a32 size 12{ matrix { A "." B {} # = lline  matrix { a rSub { size 8{"11"} } {} # a rSub { size 8{"12"} } {} ## a rSub { size 8{"21"} } {} # a rSub { size 8{"22"} } {} ## a rSub { size 8{"31"} } {} # a rSub { size 8{"32"} } {} }  rline {} } } {} x b11b12b21b22=a11.b11+a12.b21a11.b12+a12.b22a21.b11+a22.b21a11.b12+a12.b22a31.b11+a32.b21a11.b12+a12.b22b11b12b21b22=a11.b11+a12.b21a11.b12+a12.b22a21.b11+a22.b21a11.b12+a12.b22a31.b11+a32.b21a11.b12+a12.b22 size 12{ lline  matrix { b rSub { size 8{"11"} } {} # b rSub { size 8{"12"} } {} ## b rSub { size 8{"21"} } {} # b rSub { size 8{"22"} } {} }  rline = lline  matrix { a rSub { size 8{"11"} } "." b rSub { size 8{"11"} } +a rSub { size 8{"12"} } "." b rSub { size 8{"21"} } {} # a rSub { size 8{"11"} } "." b rSub { size 8{"12"} } +a rSub { size 8{"12"} } "." b rSub { size 8{"22"} } {} ## a rSub { size 8{"21"} } "." b rSub { size 8{"11"} } +a rSub { size 8{"22"} } "." b rSub { size 8{"21"} } {} # a rSub { size 8{"11"} } "." b rSub { size 8{"12"} } +a rSub { size 8{"12"} } "." b rSub { size 8{"22"} } {} ## a rSub { size 8{"31"} } "." b rSub { size 8{"11"} } +a rSub { size 8{"32"} } "." b rSub { size 8{"21"} } {} # a rSub { size 8{"11"} } "." b rSub { size 8{"12"} } +a rSub { size 8{"12"} } "." b rSub { size 8{"22"} } {} }  rline } {}

Phép nhân ma trận không có tính chất hoán vị: A.B size 12{ <> } {} B.A

Phép nhân ma trận có tính chất phân phối đối với phép cộng:

A (B + C) = A.B + A.C.

Phép nhân ma trận có tính chất kết hợp: A (B.C) = (A.B) C = A.B.C.

Tích 2 ma trận A.B = 0 khi A = 0 hoặc B = 0.

Tích C.A = C.B khi A = B.

Nếu C = A.B thì CT = BT.AT

### Nghịch đảo ma trận:

Cho hệ phương trình:

a11x1 + a12­x2 + a13x3 = y1

a21x1 + a22­x2 + a23x3 = y2 (1.2)

a31x1 + a32­x2 + a33x3 = y3

Viết dưới dạng ma trận A.X = Y

Nếu nghiệm của hệ trên là duy nhất thì tồn tại một ma trận B là nghịch đảo của ma trận A.

Do đó: X = B.Y (1.3)

Nếu định thức của ma trận A size 12{ <> } {} 0 thì có thể xác định xi như sau:

x 1 = A 11 A y 1 + A 21 A y 2 + A 31 A y 3 x 1 = A 11 A y 1 + A 21 A y 2 + A 31 A y 3 size 12{x rSub { size 8{1} } = { {A rSub { size 8{"11"} } } over { lline A rline } } y rSub { size 8{1} } + { {A rSub { size 8{"21"} } } over { lline A rline } } y rSub { size 8{2} } + { {A rSub { size 8{"31"} } } over { lline A rline } } y rSub { size 8{3} } } {}

x 2 = A 12 A y 1 + A 22 A y 2 + A 32 A y 3 x 2 = A 12 A y 1 + A 22 A y 2 + A 32 A y 3 size 12{x rSub { size 8{2} } = { {A rSub { size 8{"12"} } } over { lline A rline } } y rSub { size 8{1} } + { {A rSub { size 8{"22"} } } over { lline A rline } } y rSub { size 8{2} } + { {A rSub { size 8{"32"} } } over { lline A rline } } y rSub { size 8{3} } } {}

x 3 = A 13 A y 1 + A 23 A y 2 + A 33 A y 3 x 3 = A 13 A y 1 + A 23 A y 2 + A 33 A y 3 size 12{x rSub { size 8{3} } = { {A rSub { size 8{"13"} } } over { lline A rline } } y rSub { size 8{1} } + { {A rSub { size 8{"23"} } } over { lline A rline } } y rSub { size 8{2} } + { {A rSub { size 8{"33"} } } over { lline A rline } } y rSub { size 8{3} } } {}

Trong đó: A11, A12, .... A33 là định thức con phụ của a11, a12, a13 và |A| là định thức của ma trận A. Ta có:

Bij=AijABij=AijA size 12{B rSub { size 8{ij} } = { {A rSub { size 8{ij} } } over { lline A rline } } } {} i, j = 1, 2, 3.

Nhân ma trận A với nghịch đảo của nó ta có A.A-1 = A-1.A = U

Rút X từ phương trình (1.3) sau khi đã nhân cả hai vế cho A-1.

A.X = Y

A-1.A.X = A-1 .Y

U.X = A-1.Y

Suy ra: X = A-1 .Y

Nếu định thức của ma trận bằng 0, thì ma trận nghịch đảo không xác định (ma trận suy biến).

Nếu định thức khác 0 gọi là ma trận không suy biến và là ma trận nghịch đảo duy nhất.

Giả sử 2 ma trận A và B cùng cấp và là khả đảo lúc đó:

(A.B)-1 = B-1.A-1

Nếu AT khả đảo thì (AT)-1 cũng khả đảo:

(At)-1 = (A-1)t

### Ma trận phân chia:

AA1A3A2A4=

Tổng các ma trận đã phân chia được biểu diễn bởi ma trận nhỏ bằng tổng các ma trận nhỏ tương ứng.

A1A3A2A4B1B3B2B4A1B1A3B3A2B3A4B3=

Phép nhân được biểu diễn như sau:

A1A3A2A4B1B3B2B4C1C3C2C4=

Trong đó:

C1 = A1.B1 + A2.B3

C2 = A1.B2 + A2.B4

C3 = A3.B1 + A4.B3

C4 = A3.B2 + A4.B4

Tách ma trận chuyển vị như sau:

AA1A3A2A4=ATAT1AT3AT2AT4=

Tách ma trận nghịch đảo như sau:

AA1A3A2A4=A-1B1B3B2B4=

Trong đó:

B1 = (A1 - A2.A4-1.A3)-1

B2 = -B1.A2.A4-1

B3 = -A4-1.A3.B1

B4 = A4-1 - A4-1.A3.B2

(với A1 và A4 phải là các ma trận vuông).

## SỰ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH VÀ HẠNG CỦA MA TRẬN:

### Sự phụ thuộc tuyến tính:

Số cột của ma trận A(m x n) có thể viết theo n vectơ cột hoặc m vectơ hàng.

{c1}{c1} ..... {c1}

{r1}{r1} ...... {r1}

Phương trình vectơ cột thuần nhất.

p1{c1} + p2{c2} + .... + pn{cn} = 0 (1.4)

Khi tất cả Pk = 0 (k = 1, 2, ...., n).

Tương tự vectơ hàng là không phụ thuộc tuyến tính nếu.

qr = 0 (r = 1, 2, ..., n).

q1{r1} + q2{r2} + ...... + qn{rn} = 0 (1.5)

Nếu pk size 12{ <> } {} 0 thỏa mãn phương trình (1.4), thì vectơ cột là tuyến tính.

Nếu qr size 12{ <> } {} 0 thỏa mãn phương trình (1.5), thì vectơ hàng là tuyến tính.

Nếu vectơ cột (hàng) của ma trận A là tuyến tính, thì định thức của A = 0.

### Hạng của ma trận:

Hạng của ma trận là cấp cao nhất mà tất cả các định thức con khác 0.

0  r(A)  min(m, n) với A là ma trận kích thước m x n.

## HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH:

Hệ phương trình tuyến tính của m phương trình trong n hệ số được viết:

a11x1 + a12­x2 + .... + a1nxn = y1

a21x1 + a22­x2 + .... + a2nxn = y2

.......................................... (1.6)

am1x1 + am2­x2 + .... + amnxn = ym

Trong đó:

ai j: Là hệ số thực hoặc phức ; xj: Là biến số ; yj: Là hằng số của hệ.

Hệ phương trình được biểu diễn ở dạng ma trận như sau:

A. X = Y (1.7)

Ma trận mở rộng:

A ˆ = a 11 a 12 . . . . a 1n y 1 a 21 a 22 . . . . a 2n y 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a m1 a m2 . . . . a mn y m A ˆ = a 11 a 12 . . . . a 1n y 1 a 21 a 22 . . . . a 2n y 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a m1 a m2 . . . . a mn y m size 12{ { hat {A}}= lline matrix { a rSub { size 8{"11"} } {} # a rSub { size 8{"12"} } {} # "." "." "." "." {} # a rSub { size 8{1n} } {} # y rSub { size 8{1} } {} ## a rSub { size 8{"21"} } {} # a rSub { size 8{"22"} } {} # "." "." "." "." {} # a rSub { size 8{2n} } {} # y rSub { size 8{2} } {} ## "." "." "." "." {} # "." "." "." "." {} # "." "." "." "." {} # "." "." "." "." {} # "." "." "." "." {} ## a rSub { size 8{m1} } {} # a rSub { size 8{m2} } {} # "." "." "." "." {} # a rSub { size 8{ ital "mn"} } {} # y rSub { size 8{m} } {} } rline } {}

Nếu yi = 0 thì hệ phương trình gọi là hệ thuần nhất, nghĩa là: A.X = 0.

Nếu một hoặc nhiều phần tử của vectơ yi size 12{ <> } {} 0 thì hệ gọi là hệ không thuần nhất.

Định lý:

Điều kiện cần và đủ để hệ phương trình tuyến tính có nghiệm là hạng của ma trận hệ số bằng hạng của ma trận mở rộng.

Hệ phương trình tuyến tính vô nghiệm khi và chỉ khi hạng của ma trận hệ số nhỏ hơn hạng của ma trận mở rộng.

Nếu hạng của ma trận r(A) = r(Â) = r = n (số ẩn) của hệ phương trình tuyến tính (1.6) thì hệ có nghiệm duy nhất (hệ xác định).

Nếu r(A) = r(Â) = r < n thì hệ phương trình tuyến tính có vô số nghiệm và các thành phần của nghiệm phụ thuộc (n - r) tham số tùy ý.

## Content actions

EPUB (?)

### What is an EPUB file?

EPUB is an electronic book format that can be read on a variety of mobile devices.

PDF | EPUB (?)

### What is an EPUB file?

EPUB is an electronic book format that can be read on a variety of mobile devices.

#### Collection to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

#### Definition of a lens

##### Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

##### What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

##### Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

##### What are tags?

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks

#### Module to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

#### Definition of a lens

##### Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

##### What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

##### Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

##### What are tags?

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks