Gọi nE= là số điện tử trong một đơn vị thể tích có năng lượng từ E đến E+E. Theo định nghĩa, mật độ điện tử trung bình có năng lượng từ E đến E+E là tỉ số
ΔnEΔEΔnEΔE size 12{ { {Δn rSub { size 8{E} } } over {ΔE} } } {}. Giới hạn của tỉ số này khi
ΔE→0ΔE→0 size 12{ΔE rightarrow 0} {} gọi là mật độ điện tử có năng lượng E.
Ta có:
ρ(E)=limΔE→0ΔnEΔE=dnEdE(1)ρ(E)=limΔE→0ΔnEΔE=dnEdE(1) size 12{ρ \( E \) = {"lim"} cSub { size 8{ΔE rightarrow 0} } { {Δn rSub { size 8{E} } } over {ΔE} } = { { ital "dn" rSub { size 8{E} } } over { ital "dE"} } " " \( 1 \) } {}
Vậy,
dnE=ρ(E).dE(2)dnE=ρ(E).dE(2) size 12{ ital "dn" rSub { size 8{E} } =ρ \( E \) "." ital "dE"" " \( 2 \) } {}
Do đó, nếu ta biết được hàm số
ρ(E)ρ(E) size 12{ρ \( E \) } {}ta có thể suy ra được số điện tử có năng lượng trong khoảng từ E đến E+dE bằng biểu thức (2). Ta thấy rằng (E) chính là số trạng thái năng lượng E đã bị điện tử chiếm. Nếu gọi n(E) là số trạng thái năng lượng có năng lượng E mà điện tử có thể chiếm được. Người ta chứng minh được rằng: tỉ số
ρ(E)n(E)ρ(E)n(E) size 12{ { {ρ \( E \) } over {n \( E \) } } } {} bằng một hàm số f(E), có dạng:
f
(
E
)
=
ρ
(
E
)
n
(
E
)
=
1
1
+
e
E
−
E
F
KT
f
(
E
)
=
ρ
(
E
)
n
(
E
)
=
1
1
+
e
E
−
E
F
KT
size 12{f \( E \) = { {ρ \( E \) } over {n \( E \) } } = { {1} over {1+e rSup { size 8{ { {E - E rSub { size 6{F} } } over { ital "KT"} } } } } } } {}
Trong đó, K=1,381.10-23 J/0K (hằng số Boltzman)
K
=
1,
381
.
10
−
23
e
=
8,
62
.
10
−
5
(
V/
0
K
)
K
=
1,
381
.
10
−
23
e
=
8,
62
.
10
−
5
(
V/
0
K
)
size 12{K= { {1,"381" "." "10" rSup { size 8{ - "23"} } } over {e} } =8,"62" "." "10" rSup { size 8{ - 5} } " " \( "V/" rSup { size 8{0} } K \) } {}
EF năng lượng Fermi, tùy thuộc vào bản chất kim loại.
Mức năng lượng này nằm trong dải cấm.
Ở nhiệt độ rất thấp (T00K)
Nếu E<EF, ta có f(E)=1
Nếu E>EF, ta có f(E)=0
Vậy f(E) chính là xác suất để tìm thấy điện tử có năng lượng E ở nhiệt độ T.
Hình sau đây là đồ thị của f(E) theo E khi T00K và khi T=2.5000K.
Ta chấp nhận rằng:
N(E)=γ.E12N(E)=γ.E12 size 12{N \( E \) =γ "." E rSup { size 8{ { {1} over {2} } } } } {} là hằng số tỉ lệ.
Lúc đó, mật độ điện tử có năng lượng E là:
ρ
(
E
)
=
f
(
E
)
.
N
(
E
)
=
γ
.
E
1
2
.
f
(
E
)
ρ
(
E
)
=
f
(
E
)
.
N
(
E
)
=
γ
.
E
1
2
.
f
(
E
)
size 12{ρ \( E \) =f \( E \) "." N \( E \) =γ "." E { {1} over {2} } "." f \( E \) } {}
Hình trên là đồ thị của (E) theo E tương ứng với nhiệt độ T=00K và T=2.5000K.
Ta thấy rằng hàm (E) biến đổi rất ít theo nhiệt độ và chỉ biến đổi trong vùng cận của năng lượng EF. Do đó, ở nhiệt độ cao (T=2.5000K) có một số rất ít điện tử có năng lượng lớn hơn EF, hầu hết các điện tử đều có năng lượng nhỏ hơn EF. Diện tích giới hạn bởi đường biểu diễn của (E) và trục E cho ta số điện tử tự do n chứa trong một đơn vị thể tích.
n
=
∫
0
E
F
ρ
(
E
)
.
dE
=
∫
0
E
F
γ
.
E
1
2
.
dE
=
2
3
γ
.
E
F
3
2
n
=
∫
0
E
F
ρ
(
E
)
.
dE
=
∫
0
E
F
γ
.
E
1
2
.
dE
=
2
3
γ
.
E
F
3
2
size 12{n= Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{E rSub { size 6{F} } } } {ρ \( E \) "." ital "dE"} = Int cSub {0} cSup {E rSub { size 6{F} } } {γ "." E rSup { { {1} over {2} } } size 12{ "." ital "dE"= { {2} over {3} } γ "." E rSub {F} rSup { { {3} over {2} } } }} } {}
(Để ý là f(E)=1 và T=00K)
Từ đây ta suy ra năng lượng Fermi EF
E
F
=
3
2
.
n
γ
2
3
E
F
=
3
2
.
n
γ
2
3
size 12{E rSub { size 8{F} } = left ( { {3} over {2} } "." { {n} over {γ} } right ) rSup { size 8{ { {2} over {3} } } } } {}
Nếu ta dùng đơn vị thể tích là m3 và đơn vị năng lượng là eV thì có trị số là:
= 6,8.1027
Do đó,
EF=3,64.10−19.n23EF=3,64.10−19.n23 size 12{E rSub { size 8{F} } =3,"64" "." "10" rSup { size 8{ - "19"} } "." n rSup { size 8{ { {2} over {3} } } } } {}
Nếu biết được khối lượng riêng của kim loại và số điện tử tự do mà mỗi nguyên tử có thể nhả ra, ta tính được n và từ đó suy ra EF. Thông thường EF < 10eV.
Thí dụ, khối lượng riêng của Tungsten là d = 18,8g/cm3, nguyên tử khối là A = 184, biết rằng mỗi nguyên tử cho v = 2 điện tử tự do. Tính năng lượng Fermi.
Giải: Khối lượng mỗi cm3 là d, vậy trong mỗt cm3 ta có một số nguyên tử khối là d/A. Vậy trong mỗi cm3, ta có số nguyên tử thực là:
dA.A0dA.A0 size 12{ { {d} over {A} } "." A rSub { size 8{0} } } {} với A0 là số Avogadro (A0 = 6,023.1023)
Mỗi nguyên tử cho v = 2 điện tử tự do, do đó số điện tử tự do trong mỗi m3 là:
n
=
d
A
.
A
0
.
v
.
10
6
n
=
d
A
.
A
0
.
v
.
10
6
size 12{n= { {d} over {A} } "." A rSub { size 8{0} } "." v "." "10" rSup { size 8{6} } } {}
Với Tungsten, ta có:
n=18,8184.6,203.1023.2.106≈1,23.1029n=18,8184.6,203.1023.2.106≈1,23.1029 size 12{n= { {"18",8} over {"184"} } "." 6,"203" "." "10" rSup { size 8{"23"} } "." 2 "." "10" rSup { size 8{6} } approx 1,"23" "." "10" rSup { size 8{"29"} } } {}điện tử/m3
⇒
E
F
=
3,
64
.
10
−
19
.
1,
23
.
10
29
2
3
⇒
E
F
=
3,
64
.
10
−
19
.
1,
23
.
10
29
2
3
size 12{ drarrow E rSub { size 8{F} } =3,"64" "." "10" rSup { size 8{ - "19"} } "." left (1,"23" "." "10" rSup { size 8{"29"} } right ) rSup { size 8{ { {2} over {3} } } } } {}
⇒
E
F
≈
8,
95
eV
⇒
E
F
≈
8,
95
eV
size 12{ drarrow E rSub { size 8{F} } approx 8,"95" ital "eV"} {}
