Hansen đã xuất phát từ hệ phương trình chuyển động sóng dài có kể đến ma sát rối thẳng đứng, trong đó các ứng suất ma sát rối tại đáy được xấp xỉ bằng quy luật tuyến tính (xem [6]). Trong trường hợp này hệ các phương trình chuyển động và phương trình liên tục có dạng (xem các phương trình (1.31), (1.32) và (1.28))

∂ u ∂ t − fv = − g ∂ ζ ∂ x − ru ∂ u ∂ t − fv = − g ∂ ζ ∂ x − ru size 12{ { { partial u} over { partial t} } - ital "fv"= - g { { partial ζ} over { partial x} } - ital "ru"} {} (2.14)

∂ v ∂ t + fu = − g ∂ ζ ∂ y − rv ∂ v ∂ t + fu = − g ∂ ζ ∂ y − rv size 12{ { { partial v} over { partial t} } + ital "fu"= - g { { partial ζ} over { partial y} } - ital "rv"} {} (2.15)

∂ ζ ∂ t + ∂ uD ∂ x + ∂ vD ∂ y = 0 ∂ ζ ∂ t + ∂ uD ∂ x + ∂ vD ∂ y = 0 size 12{ { { partial ζ} over { partial t} } + { { partial ital "uD"} over { partial x} } + { { partial ital "vD"} over { partial y} } =0} {} (2.16)

Khi hệ số ma sát được cho trước thì các phương trình (2.14)-(2.16) liên hệ ba hàm số cần tìm: các thành phần tốc độ u,vu,v size 12{u,```v} {} và độ cao ζζ size 12{ζ} {} của mặt biển so với mực trung bình.

Cũng như trong mục trước, các đại lượng u,vu,v size 12{u,```v} {} và ζζ size 12{ζ} {} biến thiên với thời gian theo quy luật điều hòa đơn giản, viết dưới dạng phức như sau:

u = u ˉ e − iσ t v = v ˉ e − iσ t ζ = ζ ˉ e − iσ t u = u ˉ e − iσ t v = v ˉ e − iσ t ζ = ζ ˉ e − iσ t alignl { stack { size 12{u= { bar {u}}`e rSup { size 8{ - iσ`t} } } {} # v= { bar {v}}`e rSup { size 8{ - iσ`t} } {} # ζ= { bar {ζ}}`e rSup { size 8{ - iσ`t} } {} } } {} (2.17)

trong đó σ−σ− size 12{σ - {}} {} tốc độ góc của dao động triều; uˉ,vˉ,ζˉ−uˉ,vˉ,ζˉ− size 12{ { bar {u}},`` { bar {v}},`` { bar {ζ}} - {}} {} những biên độ phức của các hàm tương ứng.

Thế (2.17) vào hệ các phương trình (2.14)-(2.16) và giản ước thừa số e−iσte−iσt size 12{e rSup { size 8{ - iσ`t} } } {} ta được hệ phương trình viết cho các biên độ

δ u ˉ − f v ˉ = − g ∂ ζ ˉ ∂ x δ u ˉ − f v ˉ = − g ∂ ζ ˉ ∂ x size 12{δ { bar {u}} - f { bar {v}}= - g { { partial { bar {ζ}}} over { partial x} } } {} (2.18)

δ v ˉ + f u ˉ = − g ∂ ζ ˉ ∂ y δ v ˉ + f u ˉ = − g ∂ ζ ˉ ∂ y size 12{δ { bar {v}}+f { bar {u}}= - g { { partial { bar {ζ}}} over { partial y} } } {} (2.19)

∂ u ˉ D ∂ x + ∂ v ˉ D ∂ y − iσ ζ ˉ = 0 ∂ u ˉ D ∂ x + ∂ v ˉ D ∂ y − iσ ζ ˉ = 0 size 12{ { { partial { bar {u}}D} over { partial x} } + { { partial { bar {v}}D} over { partial y} } - iσ { bar {ζ}}=0} {} (2.20)

ở đây δ=r−iσδ=r−iσ size 12{δ=r - iσ} {}.

Bây giờ ta biến đổi các phương trình này để nhận được một phương trình cho một ẩn là hàm ζˉζˉ size 12{ { bar {ζ}}} {}.

Trước hết nhân hai phương trình chuyển động với DD size 12{D} {}. Sau đó lấy đạo hàm phương trình (2.18) theo xx size 12{x} {}, lấy đạo hàm phương trình (2.19) theo yy size 12{y} {} rồi cộng hai phương trình lại (thực hiện toán tử phân kỳ ngang), nhận được:

δ ∂ u ˉ D ∂ x + ∂ v ˉ D ∂ y − f ∂ v ˉ D ∂ x + ∂ u ˉ D ∂ y = − gD ∇ 2 ζ ˉ − g ∂ D ∂ x ∂ ζ ˉ ∂ x + ∂ D ∂ y ∂ ζ ˉ ∂ y δ ∂ u ˉ D ∂ x + ∂ v ˉ D ∂ y − f ∂ v ˉ D ∂ x + ∂ u ˉ D ∂ y = − gD ∇ 2 ζ ˉ − g ∂ D ∂ x ∂ ζ ˉ ∂ x + ∂ D ∂ y ∂ ζ ˉ ∂ y size 12{δ left [ { { partial { bar {u}}D} over { partial x} } + { { partial { bar {v}}D} over { partial y} } right ] - f left [ { { partial { bar {v}}D} over { partial x} } + { { partial { bar {u}}D} over { partial y} } right ]= - ital "gD" nabla rSup { size 8{2} } { bar {ζ}} - g left [ { { partial D} over { partial x} } { { partial { bar {ζ}}} over { partial x} } + { { partial D} over { partial y} } { { partial { bar {ζ}}} over { partial y} } right ]} {} (2.21)

Lấy đạo hàm phương trình (2.18) theo yy size 12{y} {}, phương trình (2.19) theo xx size 12{x} {} rồi lấy phương trình thứ hai trừ đi phương trình thứ nhất (thực hiện toán tử xoáy), nhận được

δ ∂ v ˉ D ∂ x − ∂ u ˉ D ∂ y + f ∂ u ˉ D ∂ x + ∂ v ˉ D ∂ y = − g ∂ D ∂ x ∂ ζ ˉ ∂ y − ∂ D ∂ y ∂ ζ ˉ ∂ x δ ∂ v ˉ D ∂ x − ∂ u ˉ D ∂ y + f ∂ u ˉ D ∂ x + ∂ v ˉ D ∂ y = − g ∂ D ∂ x ∂ ζ ˉ ∂ y − ∂ D ∂ y ∂ ζ ˉ ∂ x size 12{δ left [ { { partial { bar {v}}D} over { partial x} } - { { partial { bar {u}}D} over { partial y} } right ]+f left [ { { partial { bar {u}}D} over { partial x} } + { { partial { bar {v}}D} over { partial y} } right ]= - g left [ { { partial D} over { partial x} } { { partial { bar {ζ}}} over { partial y} } - { { partial D} over { partial y} } { { partial { bar {ζ}}} over { partial x} } right ]} {} (2.22)

Trong các biểu thức nhận được uˉDuˉD size 12{ { bar {u}}D} {} và vˉDvˉD size 12{ { bar {v}}D} {} là những thành phần dòng toàn phần của triều lưu. Bây giờ nếu loại xoáy vận chuyển toàn phần ra khỏi hai phương trình vừa nhận được (bằng cách nhân phương trình thứ nhất với δδ size 12{δ} {}, phương trình thứ hai với ff size 12{f} {} rồi cộng hai phương trình lại), ta có

( δ 2 + f 2 ) ∂ u ˉ D ∂ x + ∂ v ˉ D ∂ y = − gδD ∇ 2 ζ ˉ − gδ I ( D , ζ ˉ ) − gf J ( D , ζ ˉ ) ( δ 2 + f 2 ) ∂ u ˉ D ∂ x + ∂ v ˉ D ∂ y = − gδD ∇ 2 ζ ˉ − gδ I ( D , ζ ˉ ) − gf J ( D , ζ ˉ ) size 12{ \( δ rSup { size 8{2} } +f rSup { size 8{2} } \) left [ { { partial { bar {u}}D} over { partial x} } + { { partial { bar {v}}D} over { partial y} } right ]= - gδD nabla rSup { size 8{2} } { bar {ζ}} - gδ`I \( D, { bar {ζ}} \) - ital "gf"`J \( D, { bar {ζ}} \) } {} (2.23)

với các ký hiệu

I ( D , ζ ˉ ) = ∂ D ∂ x ∂ ζ ˉ ∂ x + ∂ D ∂ y ∂ ζ ˉ ∂ y I ( D , ζ ˉ ) = ∂ D ∂ x ∂ ζ ˉ ∂ x + ∂ D ∂ y ∂ ζ ˉ ∂ y size 12{I \( D, { bar {ζ}} \) = left [ { { partial D} over { partial x} } { { partial { bar {ζ}}} over { partial x} } + { { partial D} over { partial y} } { { partial { bar {ζ}}} over { partial y} } right ]} {}

J ( D , ζ ˉ ) = ∂ D ∂ x ∂ ζ ˉ ∂ y − ∂ D ∂ y ∂ ζ ˉ ∂ x J ( D , ζ ˉ ) = ∂ D ∂ x ∂ ζ ˉ ∂ y − ∂ D ∂ y ∂ ζ ˉ ∂ x size 12{J \( D, { bar {ζ}} \) = left [ { { partial D} over { partial x} } { { partial { bar {ζ}}} over { partial y} } - { { partial D} over { partial y} } { { partial { bar {ζ}}} over { partial x} } right ]} {}

Dùng phương trình (2.20) để loại biểu thức phân kỳ dòng toàn phần ra khỏi phương trình (2.23), giả thiết (δ2+f2)(δ2+f2) size 12{ \( δ rSup { size 8{2} } +f rSup { size 8{2} } \) } {} khác không, cuối cùng ta nhận được phương trình vi phân mô tả dao động mặt biển

∇ 2 ζ ˉ + I ( D , ζ ˉ ) D + f δ D J ( D , ζ ˉ ) + iσ gD δ ( δ 2 + f 2 ) ζ ˉ = 0 ∇ 2 ζ ˉ + I ( D , ζ ˉ ) D + f δ D J ( D , ζ ˉ ) + iσ gD δ ( δ 2 + f 2 ) ζ ˉ = 0 size 12{ nabla rSup { size 8{2} } { bar {ζ}}+ { {I \( D, { bar {ζ}} \) } over {D} } + { {f} over {δ`D} } J \( D, { bar {ζ}} \) + { {iσ} over { ital "gD"δ} } \( δ rSup { size 8{2} } +f rSup { size 8{2} } \) ` { bar {ζ}}=0} {} (2.24)

Phương trình (2.24) là phương trình vi phân đạo hàm riêng dạng elliptic với các hệ số phức của hàm phức ζˉζˉ size 12{ { bar {ζ}}} {}.

Hansen (1952) đã chứng minh rằng đối với trường hợp vùng nghiên cứu có hệ số ma sát không bằng không, nghiệm của phương trình (2.24) khi cho trước điều kiện biên hỗn hợp sẽ xác định đơn trị. Vì vậy nếu vùng biển giới hạn bởi đường biên kín GG size 12{G} {}, một phần G1G1 size 12{G rSub { size 8{1} } } {} của nó là đường bờ, phần còn lại G2G2 size 12{G rSub { size 8{2} } } {} là biên lỏng, thì hàm ζˉζˉ size 12{ { bar {ζ}}} {} được xác định đơn trị trong khắp vùng biển khi ở biên cứng G1G1 size 12{G rSub { size 8{1} } } {} cho trước điều kiện không chảy xuyên qua biên

( u ˉ cos α + v ˉ cos β ) ∣ G 1 = 0 ( u ˉ cos α + v ˉ cos β ) ∣ G 1 = 0 size 12{ \( { bar {u}}"cos"α+ { bar {v}}"cos"β \) \lline rSub { size 8{G rSub { size 6{1} } } } =0} {} (2.25)

còn ở biên lỏng G2G2 size 12{G rSub { size 8{2} } } {} biết trước giá trị mực nước

ζ ˉ ( x , y ) ∣ G 2 = ϕ ( x , y ) ζ ˉ ( x , y ) ∣ G 2 = ϕ ( x , y ) size 12{ { bar {ζ}} \( x,y \) \lline rSub { size 8{G rSub { size 6{2} } } } =ϕ \( x,y \) } {} (2.26)

ở đây αα size 12{α} {} và β−β− size 12{β - {}} {} các góc giữa pháp tuyến trong của bờ với các trục xx size 12{x} {} và yy size 12{y} {} (hình 2). Bài toán này gọi là bài toán biên hỗn hợp.

Tính đơn trị của nghiệm cũng tồn tại cả trong trường hợp khi các giá trị của hàm ζˉζˉ size 12{ { bar {ζ}}} {} được biết trước trên khắp vòng biên vùng biển nghiên cứu:

ζ ˉ ( x , y ) ∣ G = ψ ( x , y ) ζ ˉ ( x , y ) ∣ G = ψ ( x , y ) size 12{ { bar {ζ}} \( x,y \) \lline rSub { size 8{G} } =ψ \( x,y \) } {} (2.27)

(tức bài toán toán biên loại một) [6].

Sự khác nhau giữa bài toán biên loại một và bài toán biên hỗn hợp là ở chỗ trong bài toán biên loại một các giá trị của hàm mực nước được cho trước trên toàn đường biên, khi giải phương trình (2.24) cho hàm mực nước ta chỉ cần tính giá trị của hàm này cho những điểm bên trong của miền tính. Với bài toán biên loại hỗn hợp cần ít thông tin đầu vào hơn vì điều kiện biên (2.25) thực chất là điều kiện lý thuyết thuần tuý, không yêu cầu dữ liệu thực. Song với bài toán này khi giải phương trình (2.24) ta cần tính hàm mực nước cho cả các điểm bên trong miền tính và các điểm trên biên cứng và do đó về phương diện kỹ thuật giải số bài toán này sẽ khó khăn hơn.

Hình 2: Biên cứng

Nhiệm vụ tiếp theo là tìm các biểu thức tính biên độ tốc độ dòng triều theo mực nước. Muốn vậy sử dụng các phương trình (2.18) và (2.19). Nhân phương trình (2.18) với δδ size 12{δ} {}, nhân phương trình (2.19) với ff size 12{f} {} rồi cộng hai kết quả với nhau ta sẽ được biểu thức của uˉuˉ size 12{ { bar {u}}} {} và trừ hai kết quả cho nhau ta sẽ được biểu thức của :

u ˉ = − g δ 2 + f 2 δ ∂ ζ ˉ ∂ x + f ∂ ζ ˉ ∂ y v ˉ = g δ 2 + f 2 f ∂ ζ ˉ ∂ x + δ ∂ ζ ˉ ∂ y u ˉ = − g δ 2 + f 2 δ ∂ ζ ˉ ∂ x + f ∂ ζ ˉ ∂ y v ˉ = g δ 2 + f 2 f ∂ ζ ˉ ∂ x + δ ∂ ζ ˉ ∂ y alignl { stack { size 12{ { bar {u}}= - { {g} over {δ rSup { size 8{2} } +f rSup { size 8{2} } } } left [δ { { partial { bar {ζ}}} over { partial x} } +f { { partial { bar {ζ}}} over { partial y} } right ]} {} # { bar {v}}= { {g} over {δ rSup { size 8{2} } +f rSup { size 8{2} } } } left [f { { partial { bar {ζ}}} over { partial x} } +δ { { partial { bar {ζ}}} over { partial y} } right ] {} } } {} (2.28)

Nếu bên trong vùng nghiên cứu và trên các biên của nó đã tính được hoặc cho trước các giá trị hàm ζˉζˉ size 12{ { bar {ζ}}} {}, thì theo các biểu thức (2.28) dễ dàng tính được uˉuˉ size 12{ { bar {u}}} {} và vˉvˉ size 12{ { bar {v}}} {}.

Vùng biển được chia bằng mạng lưới đều (hình 3). Đối với bài toán loại một, theo các điều kiện biên (2.27) ta xác định các giá trị hàm ζˉζˉ size 12{ { bar {ζ}}} {} ở dãy nút ngoài của vùng lưới G'G' size 12{G'} {}:

ζ ˉ ( x , y ) ∣ G ' = ψ ' ( x , y ) ζ ˉ ( x , y ) ∣ G ' = ψ ' ( x , y ) size 12{ { bar {ζ}} \( x,y \) \lline rSub { size 8{G'} } = { {ψ}} sup { ' } \( x,y \) } {} (2.29)

Ở các nút trong của lưới phương trình vi phân (2.24) được được thay bằng tương tự sai phân hữu hạn của nó

∇ P 2 ζ ˉ + 1 4D I P ( D , ζ ˉ ) + f δ J P ( D , ζ ˉ ) + μ ζ ˉ = 0 ∇ P 2 ζ ˉ + 1 4D I P ( D , ζ ˉ ) + f δ J P ( D , ζ ˉ ) + μ ζ ˉ = 0 size 12{ nabla rSub { size 8{P} } rSup { size 8{2} } { bar {ζ}}+ { {1} over {4D} } left [I rSub { size 8{P} } \( D, { bar {ζ}} \) + { {f} over {δ} } J rSub { size 8{P} } \( D, { bar {ζ}} \) right ]+μ { bar {ζ}}=0} {} (2.30)

trong đó ∇P2ζˉ,IP(D,ζˉ),JP(D,ζˉ)−∇P2ζˉ,IP(D,ζˉ),JP(D,ζˉ)− size 12{ nabla rSub { size 8{P} } rSup { size 8{2} } { bar {ζ}},```I rSub { size 8{P} } \( D, { bar {ζ}} \) ,```J rSub { size 8{P} } \( D, { bar {ζ}} \) - {}} {} tuần tự là các tương tự sai phân của các toán tử Laplace, I(D,ζˉ)I(D,ζˉ) size 12{I \( D, { bar {ζ}} \) } {} và J(D,ζˉ)J(D,ζˉ) size 12{`J \( D, { bar {ζ}} \) } {} nhận được bằng phép xấp xỉ sai phân hữu hạn trung tâm:

∇ 2 ζ ˉ ≃ 1 h 2 ( ζ ˉ l + 1, k + ζ ˉ l , k + 1 + ζ ˉ l − 1, k + ζ ˉ l , k − 1 − 4 ζ ˉ l , k ) ≡ ∇ P 2 ζ ˉ h 2 ∇ 2 ζ ˉ ≃ 1 h 2 ( ζ ˉ l + 1, k + ζ ˉ l , k + 1 + ζ ˉ l − 1, k + ζ ˉ l , k − 1 − 4 ζ ˉ l , k ) ≡ ∇ P 2 ζ ˉ h 2 size 12{ nabla rSup { size 8{2} } { bar {ζ}} simeq { {1} over {h rSup { size 8{2} } } } \( { bar {ζ}} rSub { size 8{l+1,`k} } + { bar {ζ}} rSub { size 8{l,`k+1} } + { bar {ζ}} rSub { size 8{l - 1,`k} } + { bar {ζ}} rSub { size 8{l,`k - 1} } - 4 { bar {ζ}} rSub { size 8{l,`k} } \) equiv { { nabla rSub { size 8{P} } rSup { size 8{2} } { bar {ζ}}} over {h rSup { size 8{2} } } } } {}

I ( D , ζ ˉ ) = ∂ D ∂ x ∂ ζ ˉ ∂ y + ∂ D ∂ y ∂ ζ ˉ ∂ y ≃ 1 4h 2 ( D l + 1, k − D l − 1, k ) ( ζ ˉ l + 1, k − ζ ˉ l − 1, k ) + ( D l , k + 1 − D l , k − 1 ) ( ζ ˉ l , k + 1 − ζ ˉ l , k − 1 ) ≡ 1 4h 2 I P ( D , ζ ˉ ) I ( D , ζ ˉ ) = ∂ D ∂ x ∂ ζ ˉ ∂ y + ∂ D ∂ y ∂ ζ ˉ ∂ y ≃ 1 4h 2 ( D l + 1, k − D l − 1, k ) ( ζ ˉ l + 1, k − ζ ˉ l − 1, k ) + ( D l , k + 1 − D l , k − 1 ) ( ζ ˉ l , k + 1 − ζ ˉ l , k − 1 ) ≡ 1 4h 2 I P ( D , ζ ˉ ) alignl { stack { size 12{I \( D, { bar {ζ}} \) = { { partial D} over { partial x} } { { partial { bar {ζ}}} over { partial y} } + { { partial D} over { partial y} } { { partial { bar {ζ}}} over { partial y} } simeq } {} # size 12{ { {1} over {4h rSup { size 8{2} } } } left [ \( D rSub { size 8{l+1,`k} } - D rSub { size 8{l - 1,`k} } \) \( { bar {ζ}} rSub { size 8{l+1,`k} } - { bar {ζ}} rSub { size 8{l - 1,`k} } \) + \( D rSub { size 8{l,`k+1} } - D rSub { size 8{l,`k - 1} } \) \( { bar {ζ}} rSub { size 8{l,`k+1} } - { bar {ζ}} rSub { size 8{l,`k - 1} } \) right ] equiv { {1} over {4h rSup { size 8{2} } } } I rSub { size 8{P} } \( D, { bar {ζ}} \) } {} } } {}

J ( D , ζ ˉ ) = ∂ D ∂ x ∂ ζ ˉ ∂ y − ∂ D ∂ y ∂ ζ ˉ ∂ x ≃ 1 4h 2 ( D l + 1, k − D l − 1, k ) ( ζ ˉ l , k + 1 − ζ ˉ l , k − 1 ) − ( D l , k + 1 − D l , k − 1 ) ( ζ ˉ l + 1, k − ζ ˉ l − 1, k ) ≡ 1 4h 2 J P ( D , ζ ˉ ) J ( D , ζ ˉ ) = ∂ D ∂ x ∂ ζ ˉ ∂ y − ∂ D ∂ y ∂ ζ ˉ ∂ x ≃ 1 4h 2 ( D l + 1, k − D l − 1, k ) ( ζ ˉ l , k + 1 − ζ ˉ l , k − 1 ) − ( D l , k + 1 − D l , k − 1 ) ( ζ ˉ l + 1, k − ζ ˉ l − 1, k ) ≡ 1 4h 2 J P ( D , ζ ˉ ) alignl { stack { size 12{J \( D, { bar {ζ}} \) = { { partial D} over { partial x} } { { partial { bar {ζ}}} over { partial y} } - { { partial D} over { partial y} } { { partial { bar {ζ}}} over { partial x} } simeq } {} # size 12{ { {1} over {4h rSup { size 8{2} } } } left [ \( D rSub { size 8{l+1,`k} } - D rSub { size 8{l - 1,`k} } \) \( { bar {ζ}} rSub { size 8{l,`k+1} } - { bar {ζ}} rSub { size 8{l,`k - 1} } \) - \( D rSub { size 8{l,`k+1} } - D rSub { size 8{l,`k - 1} } \) \( { bar {ζ}} rSub { size 8{l+1,`k} } - { bar {ζ}} rSub { size 8{l - 1,`k} } \) right ] equiv { {1} over {4h rSup { size 8{2} } } } J rSub { size 8{P} } \( D, { bar {ζ}} \) } {} } } {}

μ−μ− size 12{μ - {}} {} thông số không thứ nguyên, bằng iσh2gDδ(δ2+f2)iσh2gDδ(δ2+f2) size 12{ { {iσh rSup { size 8{2} } } over { ital "gD"δ} } \( δ rSup { size 8{2} } +f rSup { size 8{2} } \) } {}; h−h− size 12{h - {}} {} bước lưới; các chỉ số l,kl,k size 12{l,``k} {} xác định vị trí của từng nút bên trong vùng lưới.

Nếu ll size 12{l} {} biến thiên từ 0 đến NN size 12{N} {}, và kk size 12{k} {} từ 0 đến MM size 12{M} {}, thì lưới sẽ chứa (N−1)(M−1)(N−1)(M−1) size 12{ \( N - 1 \) \( M - 1 \) } {} nút trong. Giá trị của hàm ζˉζˉ size 12{ { bar {ζ}}} {} ở mỗi nút trong là những giá trị cần tìm. Vậy nếu viết phương trình (2.30) cho từng điểm trong l,kl,k size 12{l,``k} {} của lưới thì ta sẽ có một hệ phương trình đại số gồm (N−1)(M−1)(N−1)(M−1) size 12{ \( N - 1 \) \( M - 1 \) } {} phương trình chứa đúng (N−1)(M−1)(N−1)(M−1) size 12{ \( N - 1 \) \( M - 1 \) } {} ẩn số. Như vậy giải bài toán biên loại một dẫn đến giải hệ (N−1)(M−1)(N−1)(M−1) size 12{ \( N - 1 \) \( M - 1 \) } {} phương trình đại số tuyến tính.

Khi giải bài toán biên loại hỗn hợp hàm ζˉζˉ size 12{ { bar {ζ}}} {} ở từng nút trong của vùng lưới cũng cần phải thoả mãn phương trình sai phân (2.30). Tuy nhiên, khác với trường hợp đã xét ở trên, các giá trị của hàm ở các nút trên vòng biên cứng bây giờ lại phải xác định dựa theo điều kiện biên (2.25).

Kết hợp các phương trình (2.28) và điều kiện biên (2.25) có thể nhận được các phương trình tính ζˉζˉ size 12{ { bar {ζ}}} {} cho những điểm trên biên cứng như sau:

δ∂ζˉ∂x+f∂ζˉ∂y=0δ∂ζˉ∂x+f∂ζˉ∂y=0 size 12{δ { { partial { bar {ζ}}} over { partial x} } +f { { partial { bar {ζ}}} over { partial y} } =0} {} cho biên kinh tuyến

f∂ζˉ∂x+δ∂ζˉ∂y=0f∂ζˉ∂x+δ∂ζˉ∂y=0 size 12{f { { partial { bar {ζ}}} over { partial x} } +δ { { partial { bar {ζ}}} over { partial y} } =0} {} cho biên vĩ tuyến.

Cách đơn giản nhất để xấp xỉ sai phân các phương trình này cho những điểm biên là thay các đạo hàm bằng sai phân hữu hạn một chiều.

Kết hợp những phương trình sai phân vừa nhận được cho các điểm nút biên với các phương trình sai phân cho những nút bên trong lưới ta sẽ được một hệ phương trình đại số tuyến tính trong đó số phương trình bằng số điểm nút bên trong cộng với số nút ở biên cứng.

Hình 3: Sơ đồ vùng tính và lưới sai phân trong phương pháp Hanxen

Hệ phương trình đại số tuyến tính nhận được sẽ có nghiệm đơn trị chỉ trong trường hợp định thức các hệ số của hệ khác không [6]. Nếu điều kiện này thoả mãn thì có thể giải hệ phương trình đại số tuyến tính bằng phương pháp thế hoặc phương pháp ma trận. Cũng có thể giải hệ đó bằng phương pháp lặp, nhưng mỗi lần giải phải kiểm tra tính hội tụ của phương pháp. Hansen cho biết rằng khi định thức có trị số nhỏ tính hội tụ của nghiệm bài toán bị phá vỡ.

Những công trình tính thủy triều ở Đại Tây Dương (Hansen, 1949; Boris, 1961) và Thái Bình Dương (Bogđanov, Kim, Magaric, 1964) và ở các biển khác như Bắc Hải (Hansen, 1952), Hoàng Hải (Boris, 1958), biển Nauy và biển Grinlen (Nhecrasov, 1962, 1965)... xác nhận rằng phương pháp Hansen không những cho bức tranh chung, mà cả những nét chi tiết trong sự phân bố thủy triều trên các biển này. Các nhà khoa học Việt Nam như Nguyễn Ngọc Thụy (1969) [18], Đặng Công Minh (1975) [14] cũng đã sử dụng phương pháp Hansen để nghiên cứu đặc điểm truyền sóng thủy triều ở biển Đông.

Tuy nhiên phương pháp này có những thiếu sót sau: a) Không thể tính thủy triều cho những biển sâu nằm gần vùng vĩ tuyến "tới hạn", nơi tốc độ góc của phân triều cần tính xấp xỉ bằng thông số Coriolis; b) Cách đánh giá ứng suất ma sát đáy trong mô hình rất thô. Hansen khi tính toán đã cho hệ số ma sát tỉ lệ với độ sâu biển và tốc độ triều lưu. Nhưng bản thân tốc độ dòng triều là đại lượng chưa biết cần tìm trong khi giải bài toán và trong thực tế hệ số ma sát phải xem như đã được biết trước (theo kết quả đo triều lưu cực đại).

Những nghiên cứu lý thuyết và thử nghiệm (Kagan, 1968) [6] chỉ ra rằng ma sát rối thẳng đứng chỉ góp phần ảnh hưởng tới sự phân bố thẳng đứng theo độ sâu của tốc độ dòng triều ở lớp biên gần đáy biển. Trong toàn bề dày còn lại của biển với độ sâu lớn có thể bỏ qua lực ma sát rối. Điều này làm cho phương pháp Hansen không áp dụng được cho các vùng vĩ độ “tới hạn”. Một trong những cách khắc phục nhược điểm này là đề xuất của Nhecrasov và Kagan (1965, 1966) đưa thành phần ma sát rối ngang vào các phương trình chuyển động [6].

Trong các mô hình tính thủy triều hiện đại người ta có thể tính tới cả những số hạng phi tuyến trong các phương trình chuyển động, sử dụng những phương trình đầy đủ dưới dạng (1.31)-(1.32), tính toán thủy triều có kể tới sự tương tác của nó với những dao động mực nước tổng cộng, ngoài dao động thủy triều có thể tính tới những dao động nguồn gốc do gió, nước dâng, ảnh hưởng của các dòng nước lục địa...