a) Lực điện động tác dụng lên hai dây dẫn đặt trong cùng một mặt phẳng
Trên hình minh họa là hai dây dẫn l1 và l2 cùng đặt trong một mặt phẳng. Dây dẫn l1 mang dòng I1 dây dẫn l2 mang dòng I2.
Ta tìm sự phân bố lực lên dây dẫn l2.
Ta chọn trục tung oy trùng với dây l1 (chọn hệ xoy hình 4-6). Dòng I1 ở đơn vị dy trong dây l1 tạo ra ở đoạn dl có cường độ từ cảm là :
dB→=μ04πI1dy→xr→0r2dB→=μ04πI1dy→xr→0r2 size 12{d { vec {B}}= { {μ rSub { size 8{0} } } over {4π} } I rSub { size 8{1} } { {d { vec {y}}`x` { vec {r}} rSub { size 8{0} } } over {r rSup { size 8{2} } } } } {} hay:
dB
=
μ
0
4π
I
1
dy
sin
(
π
−
α
)
r
2
dB
=
μ
0
4π
I
1
dy
sin
(
π
−
α
)
r
2
size 12{ ital "dB"= { {μ rSub { size 8{0} } } over {4π} } I rSub { size 8{1} } ital "dy" { {"sin" \( π - α \) } over {r rSup { size 8{2} } } } } {}
Vì có: sin(
p−αp−α size 12{p-α} {})= sin
αα size 12{α} {} nên:
dB
=
μ
0
4π
I
1
dy
sin
α
r
2
dB
=
μ
0
4π
I
1
dy
sin
α
r
2
size 12{ ital "dB"= { {μ rSub { size 8{0} } } over {4π} } I rSub { size 8{1} } ital "dy" { {"sin"α} over {r rSup { size 8{2} } } } } {}
Lực tác dụng lên đoạn dl2 do I1dy gây ra là:
d
F
→
=
I
2
.
d
l
→
2
x
d
B
→
d
F
→
=
I
2
.
d
l
→
2
x
d
B
→
size 12{d { vec {F}}=I rSub { size 8{2} } "." d { vec {l}} rSub { size 8{2} } `x`d { vec {B}}} {}
Hay:
dB
=
μ
0
4π
I
1
I
2
dy
.
dl
2
sin
α
r
2
.
sin
90
0
dB
=
μ
0
4π
I
1
I
2
dy
.
dl
2
sin
α
r
2
.
sin
90
0
size 12{ ital "dB"= { {μ rSub { size 8{0} } } over {4π} } I rSub { size 8{1} } I rSub { size 8{2} } ital "dy" "." ital "dl" rSub { size 8{2} } { {"sin"α} over {r rSup { size 8{2} } } } "." "sin""90" rSup { size 8{0} } } {}
{}Từ hình 4-6 ta có :
y=cotg
α;dy=−xsin2αdα;r=xsinαα;dy=−xsin2αdα;r=xsinα size 12{α`; ital "dy"= { { - x} over {"sin" rSup { size 8{2} } α} } dα`;r= { {x} over {"sin"α} } } {}
Vậy:
dF=μ0.I1I24π.x.dl2.sinα.dαdF=μ0.I1I24π.x.dl2.sinα.dα size 12{ ital "dF"= { {μ rSub { size 8{0} } "." I rSub { size 8{1} } I rSub { size 8{2} } } over {4π "." x} } "." ital "dl" rSub { size 8{2} } "." "sin"α "." dα} {} (4.12)
Lực tác dụng lên đoạn dl2 ở vị trí x trên do dòng I1 chạy trong l1 gây ra là :
dFx=−μ0.I1.I24π.x∫α1α2sinα.dαdFx=−μ0.I1.I24π.x∫α1α2sinα.dα size 12{ ital "dF" rSub { size 8{x} } = - { {μ"" lSub { size 8{0} } "." I rSub { size 8{1} } "." I rSub { size 8{2} } } over {4π "." x} } Int cSub { size 8{α rSub { size 6{1} } } } cSup {α rSub { size 6{2} } } {"sin"α "." dα} } {} (4-13)
Lực tác dụng lên một đơn vị dài của dây l2 tại vị trí xi do
I1→trongl1I1→trongl1 size 12{ widevec {I rSub { size 8{1} } } ` ital "trong"`l rSub { size 8{1} } } {} gây lên là :
Fxi=dFxidl2=μ0.I1.I24π.cosα2i−cosα1ixiFxi=dFxidl2=μ0.I1.I24π.cosα2i−cosα1ixi size 12{F rSub { size 8{x rSub { size 6{i} } } } = { { ital "dF" rSub {x rSub { size 6{i} } } } over { size 12{ ital "dl" rSub {2} } } } size 12{ {}= { {μ rSub {0} size 12{ "." I rSub {1} } size 12{ "." I rSub {2} }} over { size 12{4π} } } } size 12{ "." { {"cos"α rSub {2i} size 12{ - "cos"α rSub {1i} }} over { size 12{x rSub {i} } } } }} {} (4-14)
Chú ý : khi chọn các điểm tính x dọc chiều dài l2 góc và độ dài x biến thiên dẫn đến các lực Fx biến
thiên không đều dọc chiều dài l2 của dây 2.
Điểm tác dụng của lực tổng F sẽ qua trọng tâm dây l2.
Bằng phương pháp vẽ ta có thể biết sự phân bố của lực dọc chiều dài dây l2.
- Lực điện động giữa hai dây dẫn đặt song song trong đó một dây dài vô tận
Hình minh họa, xét khi dây l1 = ; dây l2 = l khoảng cách giữa hai dây x = a. Áp dụng biểu thức (4.14) ta thay 1 = ; 2 = 0; x = a vào ta có :
Fxi=2μ0.I1.I24π.a=constFxi=2μ0.I1.I24π.a=const size 12{F rSub { size 8{ ital "xi"} } = { {2μ rSub { size 8{0} } "." I rSub { size 8{1} } "." I rSub { size 8{2} } } over {4π "." a} } = ital "const"} {}
Lực điện động tác dụng lên dây dẫn l2 là :
F2=2μ0.I1.I24π.laF2=2μ0.I1.I24π.la size 12{ size 10{F rSub { size 8{2} } = { { size 12{2μ rSub { size 8{0} } "." I rSub { size 8{1} } "." I rSub { size 8{2} } } } over { size 12{4π} } } "." { { size 12{l} } over { size 12{a} } } }} {} (4-14)
và có
F2=0,2.I1.I2.la.10−8[J/cm] hay F2=2,04.I1.I2.la.10−8[kg]F2=0,2.I1.I2.la.10−8[J/cm] hay F2=2,04.I1.I2.la.10−8[kg] size 12{ size 10{F rSub { size 8{2} } =0,2 "." I rSub { size 8{1} } "." I rSub { size 8{2} } "." { { size 12{l} } over { size 12{a} } } "." "10" rSup { size 8{ - 8} } \[ "J/cm" \] " hay F" rSub { size 8{2} } =2,"04" "." I rSub { size 8{1} } "." I rSub { size 8{2} } "." { { size 12{l} } over { size 12{a} } } "." "10" rSup { size 8{ - 8} } \[ ital "kg" \] }} {}.
c) Lực điện động giữa hai dây dẫn song song có chiều dài bằng nhau
Áp dụng công thức (4.12) ở phần trước và thay x = a; dl2 = dy ta có :
dF=μ0.I1.I24π.a.dy(cosα2−cosα1)dF=μ0.I1.I24π.a.dy(cosα2−cosα1) size 12{ size 10{ ital "dF"= { { size 10{μ rSub { size 8{0} } "." I rSub { size 8{1} } "." I rSub { size 8{2} } }} over { size 12{4π "." a} } } "." ital "dy" \( "cos"α rSub { size 8{2} } - "cos"α rSub { size 8{1} } \) }} {} (4-15)
Trên hình 4-7 có :
cosα2=l−y(l−y)2+a2 ,coìn cosα1=−cos(π−α1)=yy2+a2cosα2=l−y(l−y)2+a2 ,coìn cosα1=−cos(π−α1)=yy2+a2 size 12{"cos"α rSub { size 8{2} } = { {l - y} over { \( l - y \) rSup { size 8{2} } +a rSup { size 8{2} } } } " ,coìn "`"cos"α rSub { size 8{1} } = - "cos" \( π - α rSub { size 8{1} } \) = { {y} over { sqrt {y rSup { size 8{2} } +a rSup { size 8{2} } } } } } {}
Vậy :
F=μ0.I1.I24π.a∫0l(l−y)dy(l−y)2+a2+∫0lydyy2+a2F=μ0.I1.I24π.a∫0l(l−y)dy(l−y)2+a2+∫0lydyy2+a2 size 12{ size 10{F= { { size 10{μ rSub { size 8{0} } "." I rSub { size 8{1} } "." I rSub { size 8{2} } }} over { size 12{4π "." a} } } left [ size 12{ Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{l} } { { { \( l - y \) ital "dy"} over { size 12{ sqrt { \( l - y \) rSup { size 8{2} } +a rSup { size 8{2} } } } } } +{}} Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{l} } { size 12{ { { ital "ydy"} over { size 12{ sqrt {y rSup { size 8{2} } +a rSup { size 8{2} } } } } } } } } right ]}} {} (4-16)
Tính từng tích phân riêng rẽ có :
A
=
∫
0
l
ydy
y
2
+
a
2
A
=
∫
0
l
ydy
y
2
+
a
2
size 12{ size 10{A= Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{l} } { { { size 10{ ital "ydy"}} over { sqrt { size 10{y rSup { size 8{2} } +a rSup { size 8{2} } }} } } } }} {}
Nếu đặt z2= y2+a2
⇒⇒ size 12{ drarrow } {}2zdz = 2ydy và:
+ khi y= 0 thì z= a
+khi y=1 thì z=
l2+a2l2+a2 size 12{ sqrt {l rSup { size 8{2} } +a rSup { size 8{2} } } } {}{}{}
đổi cận ta có :
A
=
∫
0
l
ydy
y
2
+
a
2
=
∫
a
l
2
+
a
2
dz
=
a
2
+
l
2
−
a
.
A
=
∫
0
l
ydy
y
2
+
a
2
=
∫
a
l
2
+
a
2
dz
=
a
2
+
l
2
−
a
.
size 12{ size 10{A= Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{l} } { { { size 10{ ital "ydy"}} over { sqrt { size 10{y rSup { size 8{2} } +a rSup { size 8{2} } }} } } } = Int cSub { size 8{a} } cSup { size 8{ sqrt {l rSup { size 6{2} } +a rSup { size 6{2} } } } } { size 12{ ital "dz"} } = sqrt { size 12{a rSup { size 8{2} } +l rSup { size 8{2} } } } - a "." }} {}
∫
0
l
(
l
−
y
)
dy
(
l
−
y
)
2
+
a
2
=
−
∫
l
0
udu
u
2
+
a
2
=
l
2
+
a
2
−
a
∫
0
l
(
l
−
y
)
dy
(
l
−
y
)
2
+
a
2
=
−
∫
l
0
udu
u
2
+
a
2
=
l
2
+
a
2
−
a
size 12{ Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{l} } { { { size 10{ \( l - y \) ital "dy"}} over { sqrt { size 10{ \( l - y \) rSup { size 8{2} } +a rSup { size 8{2} } }} } } } =- Int cSub { size 8{l} } cSup { size 8{0} } { size 12{ { { ital "udu"} over { size 12{ sqrt {u rSup { size 8{2} } +a rSup { size 8{2} } } } } } } } = sqrt { size 12{l rSup { size 8{2} } +a rSup { size 8{2} } } } - a} {}
Đổ̉i cận ta có:
F
=
μ
0
.
I
1
.
I
2
4π
.
a
.
2
a
2
+
l
2
−
a
=
μ
0
.
I
1
.
I
2
2π
.
l
a
2
1
+
a
2
l
2
−
a
l
F
=
μ
0
.
I
1
.
I
2
4π
.
a
.
2
a
2
+
l
2
−
a
=
μ
0
.
I
1
.
I
2
2π
.
l
a
2
1
+
a
2
l
2
−
a
l
size 12{ size 10{F= { { size 10{μ rSub { size 8{0} } "." I rSub { size 8{1} } "." I rSub { size 8{2} } }} over { size 12{4π "." a} } } "." 2 left ( size 12{ sqrt {a rSup { size 8{2} } +l rSup { size 8{2} } } - a} right )= { { size 12{μ rSub { size 8{0} } "." I rSub { size 8{1} } "." I rSub { size 8{2} } } } over { size 12{2π} } } "." { { size 12{l} } over { size 12{a rSup { size 8{2} } } } } left [ size 12{ sqrt {1+ { { size 12{a rSup { size 8{2} } } } over { size 12{l rSup { size 8{2} } } } } } - { { size 12{a} } over { size 12{l} } } } right ]}} {}
Từ đó thay vào (4.16) ta có :
ϕ(al)=1+a2l2−al hay coìn goüi haìm hiãûu chènh khi l>>a thç ϕ(al)≈1 coï :ϕ(al)=1+a2l2−al hay coìn goüi haìm hiãûu chènh khi l>>a thç ϕ(al)≈1 coï : size 12{ size 10{ϕ \( { { size 10{a}} over { size 10{l}} } \) = sqrt { size 10{1+ { { size 10{a rSup { size 8{2} } }} over { size 12{l rSup { size 8{2} } } } } }} - { { size 12{a} } over { size 12{l} } } " hay coìn goüi haìm hiãûu chènh khi l"">>""a thç "ϕ \( { { size 12{a} } over { size 12{l} } } \) approx 1" coï :"}} {}
đặt
F=0,2I1.I2.la.ϕ(al).10−8[J/cm]hay: F=2,04.I1.I2.la.ϕ(al).10−8[kg]F=0,2I1.I2.la.ϕ(al).10−8[J/cm]hay: F=2,04.I1.I2.la.ϕ(al).10−8[kg] size 12{ size 10{F=0,2I rSub { size 8{1} } "." I rSub { size 8{2} } "." { { size 12{l} } over { size 12{a} } } "." ϕ \( { { size 12{a} } over { size 12{l} } } \) "." "10" rSup { size 8{ - 8} } \[ J/ ital "cm" \] `"hay: "F=2,"04" "." I rSub { size 8{1} } "." I rSub { size 8{2} } "." { { size 12{l} } over { size 12{a} } } "." ϕ \( { { size 12{a} } over { size 12{l} } } \) "." "10" rSup { size 8{ - 8} } \[ ital "kg" \] }} {}
F
=
0,2
I
1
I
2
l
.
1
h
2
2h
a
arctg
h
a
−
ln
l
+
h
2
a
2
.
10
−
8
[
J
/
cm
]
F
=
0,2
I
1
I
2
l
.
1
h
2
2h
a
arctg
h
a
−
ln
l
+
h
2
a
2
.
10
−
8
[
J
/
cm
]
size 12{ size 10{F=0,2I rSub { size 8{1} } I rSub { size 8{2} } l "." { { size 12{1} } over { size 12{h rSup { size 8{2} } } } } left [ size 12{ { {2h} over { size 12{a} } } ital "arctg" { { size 12{h} } over { size 12{a} } } - "ln" left ( size 12{l+ { { size 12{h rSup { size 8{2} } } } over { size 12{a rSup { size 8{2} } } } } } right )} right ] "." "10" rSup { size 8{ - 8} } \[ J/ ital "cm" \] }} {}
Khi hai thanh dẫn có tiết diện chữ nhật với kích thước rộng b, cao h và dài l
+ Nếu có b h, b a thì :
F=0,2.I1I2la.10−8ϕ(f)[J/cm]F=0,2.I1I2la.10−8ϕ(f)[J/cm] size 12{ size 10{F=0,2 "." I rSub { size 8{1} } I rSub { size 8{2} } { { size 12{l} } over { size 12{a} } } "." "10" rSup { size 8{ - 8} } ϕ \( f \) ~` \[ J/ ital "cm" \] }} {}. Có thể viết dưới dạng :
F=2,04.I1I2la.10−8ϕ(f)[kg]F=2,04.I1I2la.10−8ϕ(f)[kg] size 12{ size 10{F=2,"04" "." I rSub { size 8{1} } I rSub { size 8{2} } { { size 12{l} } over { size 12{a} } } "." "10" rSup { size 8{ - 8} } ϕ \( f \) ~` \[ ital "kg" \] }} {}hay
jj size 12{j} {}
có
ha;a−bh+bha;a−bh+b size 12{ { { size 10{h}} over { size 10{a}} } ;~ { { size 10{a - b}} over { size 10{h+b}} } } {} (f) gọi là hàm Dwight phụ thuộc theo
{}F=2,04.I1I2la.10−8ϕ(f)[kg]F=2,04.I1I2la.10−8ϕ(f)[kg] size 12{ size 10{F=2,"04" "." I rSub { size 8{1} } I rSub { size 8{2} } { { size 12{l} } over { size 12{a} } } "." "10" rSup { size 8{ - 8} } ϕ \( f \) ~` \[ ital "kg" \] }} {}
+ Nếu h<<a ; h/b<1 thì:
ϕ
(
f
)
=
a
2
b
2
[
(
1
+
a
b
)
+
(
1
−
b
a
)
.
ln
(
1
−
b
a
)
]
ϕ
(
f
)
=
a
2
b
2
[
(
1
+
a
b
)
+
(
1
−
b
a
)
.
ln
(
1
−
b
a
)
]
size 12{ size 10{ϕ \( f \) `= { { size 10{a rSup { size 8{2} } }} over { size 12{b rSup { size 8{2} } } } } \[ \( 1+ { { size 12{a} } over { size 12{b} } } \) + \( 1 - { { size 12{b} } over { size 12{a} } } \) "." "ln" \( 1 - { { size 12{b} } over { size 12{a} } } \) \] }} {}
Trong đó :
22 size 12{ sqrt {2} } {}.
