Đáp ứng xung lực(impulse).

Một hệ tuyến tính, không đổi theo thời gian có thể được đặc trưng bằng đáp ứng xung lực g(t) của nó. Đó chính là output của hệ khi cho input là một hàm xung lực đơn vị (t).

Hàm xung lực

- 1dt)t(

Tính chất thứ ba là tổng diện tích trên xung lực là một.

Vì tất cả diện tích của xung lực thì tập trung tại một điểm, các giới hạn của tích phân có thể dời về góc mà không làm thay đổi trị giá của nó.

ba1dt)t(

a < 0 ; b > 0 .

Có thể thấy rằng tích phân của (t) là u(t) (hàm nấc).

01tdt)t(, t > 0= u (t), t < 0

Hình 1

Một khi đáp ứng xung lực của hệ được biết, thì output c(t) của nó với một input r(t) bất kỳ nào đó có thể được xác định bằng cách dùng hàm chuyển.

Hàm chuyển của hệ đơn biến.

Hàm chuyển (transfer function) của một hệ tuyến tính không thay đổi theo thời gian, được định nghĩa như là biến đổi Laplace của đáp ứng xung lực của nó, với các điều kiện đầu là zero. Đặt G(s) là hàm chuyển với r(t) là input và c(t) là output.

G(s)= L [g(t)] (2.1)

G(s)=C(s)R(s)G(s)=C(s)R(s) size 12{G \( s \) = { {C \( s \) } over {R \( s \) } } } {} (2.2)

Trong đó : R(s)= L [r(t)] (2.3)

C(s)= L [c(t)] (2.4)

Với tất cả các điều kiện đầu đặt ở zero.

Mặc dù hàm chuyển được định nghĩa từ đáp ứng xung lực, trong thực tế sự tương quan giữa input và output của hệ tuyến tính không thay đổi theo thời gian với dữ liệu vào liên tục, thường được miêu tả bằng phương trình vi phân thích hợp, và dạng tổng quát của hàm chuyển được suy trực tiếp từ phương trình vi phân đó.

Xem phương trình vi phân với hệ số thực hằng, mô tả sự tương quan giữa input và output của hệ tuyến tính không thay đổi theo thời gian.

d n c ( t ) dt n + a n d n − 1 c ( t ) dt n − 1 + . . . . . . + a 2 dc ( t ) dt + a 1 c ( t ) d n c ( t ) dt n + a n d n − 1 c ( t ) dt n − 1 + . . . . . . + a 2 dc ( t ) dt + a 1 c ( t ) size 12{ { {d rSup { size 8{n} } c \( t \) } over { ital "dt" rSup { size 8{n} } } } +a rSub { size 8{n} } { {d rSup { size 8{n - 1} } c \( t \) } over { ital "dt" rSup { size 8{n - 1} } } } + "." "." "." "." "." "." +a rSub { size 8{2} } { { ital "dc" \( t \) } over { ital "dt"} } +a rSub { size 8{1} } c \( t \) } {}

=bm+1dmr(t)dtm+bmdm−1r(t)dtm−1+...+b2dr(t)dt+b1r(t)=bm+1dmr(t)dtm+bmdm−1r(t)dtm−1+...+b2dr(t)dt+b1r(t) size 12{ {}=b rSub { size 8{m+1} } { {d rSup { size 8{m} } r \( t \) } over { ital "dt" rSup { size 8{m} } } } +b rSub { size 8{m} } { {d rSup { size 8{m - 1} } r \( t \) } over { ital "dt" rSup { size 8{m - 1} } } } + "." "." "." +b rSub { size 8{2} } { { ital "dr" \( t \) } over { ital "dt"} } +b rSub { size 8{1} } r \( t \) } {} (2.5)

Các hệ số a1,a2,…..an và b1, b2…bn là hằng thực vànm.

Một khi r(t) với tto và những điều kiện đầu của c(t) và các đạo hàm của nó được xác định tại thời điểm đầu t=t0, thì output c(t) với tt0 sẽ được xác định bởi phương trình (2.5). Nhưng, trên quan điểm phân giải và thiết kế hệ thống, phương pháp dùng phương trình vi phân để mô tả hệ thống thì rất trở ngại. Do đó, phương trình (2.5) ít khi được dùng trong dạng ban đầu để phân tích và thiết kế.

Thực quan trọng để nhớ rằng, mặc dù những chương trình có hiệu quả trên máy tính digital thì cần thiết để giải các phương trình vi phân bậc cao, nhưng triết lý căn bản của lý thuyết điều khiển hệ tuyến tính là: các kỹ thuật phân giải và thiết kế sẽ tránh các lời giải chính xác của hệ phương trình vi phân, trừ khi các lời giải trên máy tính mô phỏng được đòi hỏi.

Để được hàm chuyển của hệ tuyến tính mô tả bởi phương trình (2.5) , ta lấy biến đổi Laplace ở cả hai vế, với sự giả định các điều kiện đầu là zero.

(Sn+anSn-1+…+a2S+a1)C(S)=(bm+1Sm+bmSm-1+…+b2S+b1)R(S) (2.6)

Hàm chuyển: G(s)=C(s)R(s)=bm+1Sm+bmSm−1+...+b2S+b1Sn+anSn−1+...+a2S+a1G(s)=C(s)R(s)=bm+1Sm+bmSm−1+...+b2S+b1Sn+anSn−1+...+a2S+a1 size 12{G \( s \) = { {C \( s \) } over {R \( s \) } } = { {b rSub { size 8{m+1} } S rSup { size 8{m} } +b rSub { size 8{m} } S rSup { size 8{m - 1} } + "." "." "." +b rSub { size 8{2} } S+b rSub { size 8{1} } } over {S rSup { size 8{n} } +a rSub { size 8{n} } S rSup { size 8{n - 1} } + "." "." "." +a rSub { size 8{2} } S+a rSub { size 8{1} } } } } {} (2.7)

 Có thể tóm tắt các tính chất của hàm chuyển như sau:

*Hàm chuyển chỉ được định nghĩa cho hệ tuyến tính không thay đổi theo thời gian.

* Hàm chuyển giữa một biến vào và một biến ra của hệ được định nghĩa là biến đổi Laplace của đáp ứng xung lực. Măt khác, hàm chuyển là tỷ số của biến đổi Laplace của output và input.

* Khi xác định hàm chuyển, tất cả điều kiện đầu đều đặt zero.

* Hàm chuyển thì độc lập với input của hệ.

* Hàm chuyển là một hàm biến phức S. Nó không là hàm biến thực theo thời gian, hoặc bất kỳ một biến nào được dùng như một biến độc lập.

Hàm chuyển của hệ đa biến.

Định nghĩa của hàm chuyển dễ được mở rộng cho một hệ thống với nhiều input và nhiều output. Một hệ như vậy được xem là hệ đa biến. Phương trình (2.5) cũng được để mô tả sự tương quan giữa các input và output của nó.

Khi xét sự tương quan giữa một input và một output, ta giả sử các input khác là zero. Rồi dùng nguyên lý chồng chất (super position) cho một hệ tuyến tính, để xác định một biến số ra nào đó do hậu quả của tất cả các biếùn vào tác đôïng đồng thời, bằng cách cộng tất cả các output do từng input tác động riêng lẽ.

Một cách tổng quát, nếu một hệ tuyến tính có p input và có q output, hàm chuyển giữa output thứ i và input thứ j được định nghĩa là:

Gij(s) = Ci(s)Rj(s)Ci(s)Rj(s) size 12{ { {C rSub { size 8{i} } \( s \) } over {R rSub { size 8{j} } \( s \) } } } {} (2.8)

Với Rk(s)=0 ; k=1,2...p ; k j

Lưu ý :phương trình (2.8) chỉ được định nghĩa với input thứ j, các input khác đều zero.

Nếu các input tác đôïng đồng thời, biến đổi Laplace của output thứ i liên hệ với biến đổi Laplace của tất cả các input theo hệ thức .

Ci(s) =Gi1(s).R1(s)+ Gi2(s).R2(s)+....+Gip(s).Rp(s)

Ci(s)=∑j=1pCij(s)Rj(s)Ci(s)=∑j=1pCij(s)Rj(s) size 12{C rSub { size 8{i} } \( s \) = Sum cSub { size 8{j=1} } cSup { size 8{p} } {C rSub { size 8{ ital "ij"} } } \( s \) R rSub { size 8{j} } \( s \) } {}; ( i=1, 2, 3...9) (2.9)

và Gij(s) xác định bởi phương trình (2.8)

Thật tiện lợi, nếu diễn tả phương trình (2.9) bằng một phương trình ma trận:

C(s) = G(s). R(s) (2.10)

Trong đó : C1(s)C1(s)...Cq(s)righC(s)=C1(s)C1(s)...Cq(s)righC(s)= size 12{C \( s \) =alignl { stack { left [C rSub { size 8{1} } \( s \) {} # right ] left [C rSub { size 8{1} } \( s \) {} # right ] left [ "." "." "." {} # right ] left [C rSub { size 8{q} } \( s \) {} # righ]} } \[ \] } {} (2.11)

Là một ma trận qx1, gọi là vector output.

R1(s)R2(s)...Rp(s)righR(s)=R1(s)R2(s)...Rp(s)righR(s)= size 12{R \( s \) =alignl { stack { left [R rSub { size 8{1} } \( s \) {} # right ] left [R rSub { size 8{2} } \( s \) {} # right ] left [ "." "." "." {} # right ] left [R rSub { size 8{p} } \( s \) {} # righ]} } \[ \] } {} (2.12)

Là một ma trận px1, gọi là vector input.

G11(s)....G12(s)..........G1p(s)G21(s)....G22(s)..........G2p(s)......................................Gq1(s)....Gq2(s)..........Gqp(s)righG(s)=G11(s)....G12(s)..........G1p(s)G21(s)....G22(s)..........G2p(s)......................................Gq1(s)....Gq2(s)..........Gqp(s)righG(s)= size 12{G \( s \) =alignl { stack { left [G rSub { size 8{"11"} } \( s \) "." "." "." "." G rSub { size 8{"12"} } \( s \) "." "." "." "." "." "." "." "." "." "." G rSub { size 8{1p} } \( s \) {} # right ] left [G rSub { size 8{"21"} } \( s \) "." "." "." "." G rSub { size 8{"22"} } \( s \) "." "." "." "." "." "." "." "." "." "." G rSub { size 8{2p} } \( s \) {} # right ] left [ "." "." "." "." "." "." "." "." "." "." "." "." "." "." "." "." "." "." "." "." "." "." "." "." "." "." "." "." "." "." "." "." "." "." "." "." "." "." {} # right ] left [G rSub { size 8{q1} } \( s \) "." "." "." "." G rSub { size 8{q2} } \( s \) "." "." "." "." "." "." "." "." "." "." G rSub { size 8{ ital "qp"} } \( s \) {} # righ]} } \[ \] } {} (2.13)

Là một ma trận qxp, gọi là ma trận chuyển (transfer matrix)

Xem một thí dụ về một hệ đa biến đơn giản của một bộ điều khiển động cơ DC

Các phương trình cho bởi :

v ( t ) = R . i ( t ) + L di ( t ) dt T ( t ) = J . dω ( t ) dt + Bω ( t ) + T L ( t ) v ( t ) = R . i ( t ) + L di ( t ) dt T ( t ) = J . dω ( t ) dt + Bω ( t ) + T L ( t ) alignl { stack { size 12{v \( t \) =R "." i \( t \) +L { { ital "di" \( t \) } over { ital "dt"} } } {} # size 12{T \( t \) =J "." { {dω \( t \) } over { ital "dt"} } +Bω \( t \) +T rSub { size 8{L} } \( t \) } {} } } {}

Trong đó :

v(t): Điện áp đặt vào rotor

i(t) : Dòng điêïn tương ứng của rotor.

R : Điện trở nội cuộn dây quấn rotor.

L : Điện cảm của rotor.

J : Quán tính của rotor.

B : Hệ số ma sát.

T(t): moment quay.

TL(t): moment phá rối, hoặc tải (moment cản).

(t): Vận tốc của trục motor.

Moment của motor liên hệ với dòng rotor bởi hệ thức :

T(t)=Ki.i(t) (2.16)

Trong đó, Ki : là hằng số moment

Để tìm hàm chuyển giữa các input (là v(t) và TL(t)) và output (là (t)), ta lấy biến đổi Laplace hai vế các phương trình (2.14) đến (2.16). Giả sử điều kiện đầu là zero.

V(s) = (R + LS) I(s) (2.17)

T(s)= (B + JS) (s) + TL(s) (2.18)

T(s)= KI .I(s) (2.19)

=> Ω(s)=Ki(B+JS)(R+LS)V(S)−1B+JSTL(s)Ω(s)=Ki(B+JS)(R+LS)V(S)−1B+JSTL(s) size 12{ %OMEGA \( s \) = { { ital "Ki"} over { \( B+ ital "JS" \) \( R+ ital "LS" \) } } V \( S \) - { {1} over {B+ ital "JS"} } T rSub { size 8{L} } \( s \) } {} (2.20)

Phương trình này có thể viết lại :

C(s)= G11(s).R1(s) + G12(s).R2(s) (2.21)

Trong đó C(s) = (s) ; R1(s) = V(s) ; R2(s) = TL(s)

G 11 ( s ) = Ki ( B + JS ) ( R + LS ) ; G 12 ( s ) = − 1 B + JS G 11 ( s ) = Ki ( B + JS ) ( R + LS ) ; G 12 ( s ) = − 1 B + JS alignl { stack { size 12{G rSub { size 8{"11"} } \( s \) = { { ital "Ki"} over { \( B+ ital "JS" \) \( R+ ital "LS" \) } } ;} {} # G rSub { size 8{"12"} } \( s \) = { { - 1} over {B+ ital "JS"} } {} } } {}

G11(s) được xem như hàm chuyển giữa điêïn thế vào và vận tốc motor khi moment tải là zero. G12(s) được xem là hàm chuyển giưã moment cản và vận tốc motor khi điện thế vào là 0 .

Sơ đồ khối của một hệ thống điều khiển .

Một thành phần được dùng nhiềøu trong các sơ đồ khối của hệ điều khiển, đó là bộ cảm biến (sensing device), nó đóng vai trò so sánh tín hiệu và thực hiện vài thuật toán đơn giản như cộng, trừ, nhân và đôi khi tổ hợp của chúng.

Bộ cảm biến có thể là một biến trở, một nhiïêt trở hoặc một linh kiện chuyển năng khác (transducer), cũng có thể là một mạch khuếch đại vi sai, mạch nhân ...

Sơ đồ khối của cảm biến trình bày ở H.2_3a,b,c,d.

+ H.2_3a,b,c: mạch cộng trừ thì tuyến tính. Nên các biến ở ngõ vào và ra có thể là biến theo t hoặc s ( biến đỏi Laplace ).

e(t) = r(t) -c(t) (2.22)

hoặc E(s)=R(s)-C(s) (2.23)

Hình 5

Ở H.2_3d, mạch nhân thì phi tuyến, nên liên hệ giữa input và output chỉ có thêû ở phạm vi thời gian (Time domain). Nghĩa là,

e(t)=r(t).c(t) (2.24)

Trong trường hợp này sẽ không đưa đến E(s)=R(s) .C(s).

Có thể dùng định lý chập phức (complexe_convolution) của biến đổi Laplace để đưa (2.24) đến :

E(s)=R(s)*C(s) (2.25)

 Một hệ tự điều khiển tuyến tính có thể được trình bày bằng sơ đồ khối chính tắc như H.2_4. Trong đó :

r(t), R(s): tín hiệu tham khảo vào.

c(t), C(s): biến số được kiểm soát ở ngõ ra.

b(t), B(s): tín hiệu hồi tiếp.

e(t), E(s): tín hiệu sai biệt ( error ).

G(s)=C(s)E(s)G(s)=C(s)E(s) size 12{G \( s \) = { {C \( s \) } over {E \( s \) } } } {} : Hàm chuyển vòng hở hoặc hàm chuyển đường trực tiếp

(forward path).

M(s)=C(s)R(s)M(s)=C(s)R(s) size 12{M \( s \) = { {C \( s \) } over {R \( s \) } } " "} {}: Hàm chuyển vòng kín, hoặc tỉ số điều khiển .

H(s): Hàm chuyển hồi tiếp (feedback transfer )

G(s).H(s): Hàm chuyển đường vòng (loop transfer)

Hình 6

Từ H.2_4 ta có :

C(s)=G(s).E(s) (2.26)

E(s)=R(s) – B(s) (2.27)

B(s)=H(s).C(s) (2.28)

Thế (2.27) vào (2.26):

C(s)=G(s).R(s)-G(s).B(s) (2.29)

Thay (2.28) vào (2.29):

C(s)=G(s)R(s)-G(s).H(s)C(s) (2.30)

Từ phương trình cuối cùng suy ra hàm chuyển đôï lợi vòng kín:

M(s)=C(s)R(s)=G(s)1+G(s)H(s)M(s)=C(s)R(s)=G(s)1+G(s)H(s) size 12{M \( s \) = { {C \( s \) } over {R \( s \) } } = { {G \( s \) } over {1+G \( s \) H \( s \) } } } {} (2.31)

Sơ đồ khối và hàm chuyển của hệ thống đa biến.

H.2_5 trình bày sơ đồ khối nhiều biến, với p input và q output.

Hình 7

H.2_5b được dùng nhiều vì đơn giản. Sự nhiều input và output được biểu diễn bằng vector .

H.2_6 chỉ sơ đồ khối dạng chính tắc của hệ thống đa biến.

Hình 8

H.2_6: Sơ đồ khối dạng chính tắc của hệ đa biến.

Hàm chuyển được suy bằng cách dùng phép tính đại số các ma trận.

C(s) = G(s). E(s) (2.32)

E(s) = R(s) - B(s) (2.33)

B(s) = H(s). C(s) (2.34)

Ở đó : C(s) là ma trận qx1: vector output

E(s), B(s), R(s): đều là ma trận px1

G(s) và H(s) là ma trận qxp và pxq : ma trận chuyển.

Thay (2.34) vào (2.33) và rồi thay (2.33) vào (2.32) :

C(s)=G(s). R(s) – G(s). H(s).C(s) (2.35)

Giải C(s) từ (2.35) :

C(s)=[ I + G(s). H(s)]-1. G(s). R(s) (2.36)

Giả sử I + G(s). H(s) không kỳ dị (non singular).

Nhận thấy rằng sự khai triển tương quan vào ra ở đây cũng tương tự như hệ đơn biến. Nhưng ở đây không thể nói về tỉ số C(s)/ R(s), vì chúng đều là các ma trận. Tuy nhiên, vẫn có thể định nghĩa ma trận chuyển vòng kín như sau:

M(s) = [ I + G(s). H(s)]-1. G(s) (2.37)

Phương trình (2.36) được viết lại :

C(s) = M(s). R(s) (2.38)

Thí dụ 2.1: Xem ma trận hàm chuyển đường trực tiếp và ma trận hàm chuyển hồi tiếp của hệ H.2_6 là :

G(s)=1s+1−1s21s+2G(s)=1s+1−1s21s+2 size 12{G \( s \) = left [ matrix { { {1} over {s+1} } {} # - { {1} over {s} } {} ## 2 {} # { {1} over {s+2} } {} } right ]} {}(2.39)

H ( s ) = 1 0 0 1 H ( s ) = 1 0 0 1 size 12{H \( s \) = left [ matrix { 1 {} # 0 {} ## 0 {} # 1{} } right ]} {}

(2.40)

Ma trâïn hàm chuyển vòng kín được cho bởi phương trình (2.37) và được tính như sau:

I + G ( s ) H ( s ) = 1 + 1 s + 1 − 1 s 2 1 + 1 s + 2 I + G ( s ) H ( s ) = 1 + 1 s + 1 − 1 s 2 1 + 1 s + 2 size 12{I+G \( s \) H \( s \) = left [ matrix { 1+ { {1} over {s+1} } {} # - { {1} over {s} } {} ## 2 {} # 1+ { {1} over {s+2} } {} } right ]} {}

(2.44)

(2.41) =s+2s+1−1s2s+3s+2=s+2s+1−1s2s+3s+2 size 12{ {}= left [ matrix { { {s+2} over {s+1} } {} # - { {1} over {s} } {} ## 2 {} # { {s+3} over {s+2} } {} } right ]} {}

M ( s ) = I + G ( s ) H ( s ) − 1 G ( s ) = 1 Δ s + 3 s + 2 1 s − 2 s + 2 s + 1 1 s + 1 − 1 s 2 1 s + 2 M ( s ) = I + G ( s ) H ( s ) − 1 G ( s ) = 1 Δ s + 3 s + 2 1 s − 2 s + 2 s + 1 1 s + 1 − 1 s 2 1 s + 2 size 12{M \( s \) = left [I+G \( s \) H \( s \) right ] rSup { size 8{ - 1} } G \( s \) = { {1} over {Δ} } left [ matrix { { {s+3} over {s+2} } {} # { {1} over {s} } {} ## - 2 {} # { {s+2} over {s+1} } {} } right ] left [ matrix { { {1} over {s+1} } {} # - { {1} over {s} } {} ## 2 {} # { {1} over {s+2} } {} } right ]} {}

(2.42)

Trong đó:

(2.43) Δ=s+2s+1s+3s+2+2s=s2+5s+2s(s+1)Δ=s+2s+1s+3s+2+2s=s2+5s+2s(s+1) size 12{Δ= { {s+2} over {s+1} } { {s+3} over {s+2} } + { {2} over {s} } = { {s rSup { size 8{2} } +5s+2} over {s \( s+1 \) } } } {}

Vậy:

M ( s ) = s ( s + 1 ) s 2 + 5s + 2 3s 2 + 9s + 4 s ( s + 1 ) ( s + 2 ) − 1 s 2 3s + 2 s ( s + 1 ) M ( s ) = s ( s + 1 ) s 2 + 5s + 2 3s 2 + 9s + 4 s ( s + 1 ) ( s + 2 ) − 1 s 2 3s + 2 s ( s + 1 ) size 12{M \( s \) = { {s \( s+1 \) } over {s rSup { size 8{2} } +5s+2} } left [ matrix { { {3s rSup { size 8{2} } +9s+4} over {s \( s+1 \) \( s+2 \) } } {} # - { {1} over {s} } {} ## 2 {} # { {3s+2} over {s \( s+1 \) } } {} } right ]} {}

(2.43)

Những định lý biến đổi sơ đồ khối.

a. Các khối nối tiếp.

Một số hữu hạn bất kỳ các khối nối tiếp có thể kết hợp bởi một phép nhân đại số.

Đó là, n khối với hàm chuyển tương ứng G1,G2,…..Gn mắc nối tiếp thì tương đương một khối duy nhất có hàm chuyển là G cho bởi:

(2.44) G=G1.G2.G3...Gn=∏i=1nGiG=G1.G2.G3...Gn=∏i=1nGi size 12{G=G rSub { size 8{1} } "." G rSub { size 8{2} } "." G rSub { size 8{3} } "." "." "." G rSub { size 8{n} } = Prod cSub { size 8{i=1} } cSup { size 8{n} } {G rSub { size 8{i} } } } {}

Thí dụ 2.2:

Hình 9

Phép nhân của hàm chuyển thì giao hoán :

Gi.Gj=Gj.Gi (2.45)

Với mọi i,j.

b. Các khối song song:

n khối với hàm chuyển tương ứng G1,G2,…,Gn mắc song song thì tương đương một khối duy nhất có hàm chuyển G cho bởi:

G = ∑ i = 1 n G i G = ∑ i = 1 n G i size 12{ size 13{G= Sum cSub { size 8{i=1} } cSup { size 8{n} } { size 13{G rSub { size 8{i} } }} }} {}

Hình 10

c. Bảng biến đổûi sơ đồ khối .

Sơ đồ khối của hệ điều khiển phức tạp có thể đơn giản hóa bằng cách dùng các biến đổi.

Trong bảng sau đây, chữ P được dùng để chỉ một hàm chuyển bất kỳ và W, X, Y, Z để chỉ những tín hiệu trong phạm vi tần số s.

Thu gọn các sơ đồ khối phức tạp.

Sơ đồ khối của các hệ tự điều khiển thực tế thì thường rất phức tạp. Để có thể đưa về dạng chính tắc, cần thu gọn chúng lại. Kỹ thuật thu gọn, có thể theo các bước sau đây :

- Bước 1: kết hợp tất cả các khối nối tiếp, dùng biến đổi 1.

- Bước 2: kết hợp tất cả các khối song song, dùng biến đổi 2.

- Bước 3: giảm bớt các vòng hồi tiếp phụ, dùng biến đổi 4.

- Bước 4: dời các “điểm tổng” về bên trái và cacù “điểm lấy” về bên phải vòng chính, dùng biến đổi 7, 10 và 12.

- Bước 5: lặp lại các bước từ 1-> 4, cho đến khi được dạng chính tắc đối với một input nào đó .

- Bước 6: lặp lại các bước từ 1-> 5 đối với các input khác nếu cần .

Các biến đổi 3, 5, 6, 8, 9 và 11 đôi khi cũng cần đến .

Thí dụ 2.3 : Hãy thu gọn sơ đồ khối sau đây về dạng chính tắc.

Hình 11

Bước 1:

Hình 12

Bước 2:

Bước 3:

Bước 4: không dùng.

Bước 5:

Hình 13

Thí dụ 2.4 : Hãy thu gọn sơ đồ khối thí dụ trên bằng cách cô lập H1 (để H1 riêng)

Bước 1 và 2:

Hình 14

Không dùng bươc 3 lúc này, nhưng đi thăûng đến bước 4 .

Bước 4: dời điểm lấy 1 về phía sau khối [ ( G2+G3 )]

Hình 15

Sắp xếp lại các “điểm tổng “

Hình 16

Bước 3: thu gọn vòng phụ có chứa H2 .

Hình 17

Cuối cùng, áp dụng biến đổi 5 để di chuyển [1/( G1+G3)] khỏi vòng hồi tiếp .

Hình 18

Thí dụ 2.5 : Hãy thu gọn hệ sau đây về dạng hệ điều khiển hồi tiếp đơn vị.

Hình 19

Một thành phần phi tuyến ( trên đường truyền thẳng ) không thể thu gọn như biến đổi 5 được. Khối tuyến tính trên đường hồi tiếp có thể kết hợp vơí khối tuyến tính của đường truyền thẳng. Kết quả là:

Hình 20

Thí dụ 2.6 : Hãy xác định output C của hệ nhiều input sau đây :

Hình 21

Các bộ phận trong hệ đều tuyến tính, nên có thể áp dụng nguyên lý chồng chất .

- Cho u1=u2=0. Sơ đồ khối trở nên.

Hình 22

Ởû đó CR là output chỉ do sự tác đôïng riêng của R. từ phương trình (2.31

- Cho R=u2=0, Sơ đồ khối trở nên :

Hình 23

Ở đó C1 là đáp ứng chỉ do sự tác đôïng riêng của u1. Sắp xếp lại các khối :

Hình 24

Vậy:

C 1 = G 2 1 − G 1 G 2 H 1 H 2 u 1 C 1 = G 2 1 − G 1 G 2 H 1 H 2 u 1 size 12{C rSub { size 8{1} } = left [ { {G rSub { size 8{2} } } over {1 - G rSub { size 8{1} } G rSub { size 8{2} } H rSub { size 8{1} } H rSub { size 8{2} } } } right ]u rSub { size 8{1} } } {}

Hình 25

Ởû đó C2 là đáp ứng do tác đôïng riêng của u2 .

Hình 26

Vậy:

Bằng sự chồng chất, đáp ứng của toàn hệ là:

C=G1G2R+G2U1+G1G2H1u21−G1G2H1H2C=G1G2R+G2U1+G1G2H1u21−G1G2H1H2 size 12{C= { {G rSub { size 8{1} } G rSub { size 8{2} } R+G rSub { size 8{2} } U rSub { size 8{1} } +G rSub { size 8{1} } G rSub { size 8{2} } H rSub { size 8{1} } u rSub { size 8{2} } } over {1 - G rSub { size 8{1} } G rSub { size 8{2} } H rSub { size 8{1} } H rSub { size 8{2} } } } } {} C = CR+C1+C2

Thí dụ 2.7:

Sơ đồ khối sau đây là một ví dụ về hệ nhiều input và nhiều output. Hãy xác định C1 và C2.

Hình 27

a)Trước hết bỏ qua C2. Xét hệ thống với 2 input R1 ,R2 và output C1.

Hình 28

- Đặt R2 =0 và kết hợp với các điểm tổng:

Hình 29

Như vậy, C11 là output ở C1, chỉ do R1 gây ra.

C 11 = G 1 R 1 1 − G 1 G 2 G 3 G 4 C 11 = G 1 R 1 1 − G 1 G 2 G 3 G 4 size 12{C rSub { size 8{"11"} } = { {G rSub { size 8{1} } R rSub { size 8{1} } } over {1 - G rSub { size 8{1} } G rSub { size 8{2} } G rSub { size 8{3} } G rSub { size 8{4} } } } } {}

Hình 30

C12 là output ở C1, chỉ do R2 gây ra.

C1=C11+C12=G1R1−G1G3G4R21−G1G2G3G4C1=C11+C12=G1R1−G1G3G4R21−G1G2G3G4 size 12{C rSub { size 8{1} } =C rSub { size 8{"11"} } +C rSub { size 8{"12"} } = { {G rSub { size 8{1} } R rSub { size 8{1} } - G rSub { size 8{1} } G rSub { size 8{3} } G rSub { size 8{4} } R rSub { size 8{2} } } over {1 - G rSub { size 8{1} } G rSub { size 8{2} } G rSub { size 8{3} } G rSub { size 8{4} } } } } {} Vậy:

b. Bây giờ, bỏ qua C1. Xét hệ thống với 2 input R1,R2 và output C2.

Hình 31

Đặt R1=0.

Hình 32

Vậy :

- Đặt R2=0.

Hình 33

Vậy :

Cuối cùng: C2 =C21+C22 .

BÀI TẬP CHƯƠNG II

2.1: Tìm hàm chuển của 1 hệ thống mà input và output của nó liên hệ bằng phương trình vi phân:

d2ydt2+3dydt+2y=x+dxdtd2ydt2+3dydt+2y=x+dxdt size 12{ { {d rSup { size 8{2} } y} over { ital "dt" rSup { size 8{2} } } } +3 { { ital "dy"} over { ital "dt"} } +2y=x+ { { ital "dx"} over { ital "dt"} } } {}.

2.2 : Một hệ thống chứa thời trể có phương trình vi phân:

d dt y ( t ) + y ( t ) = x ( t − T ) d dt y ( t ) + y ( t ) = x ( t − T ) size 12{ { {d} over { ital "dt"} } y \( t \) +y \( t \) =x \( t - T \) } {}

Tìm hàm chuyển của hệ.

2.3 : Vị trí Y của 1 vật có khối lượng không đổi M liên hệ với lực f đặt lên nó bởi phương trình vi phân:

M d 2 y dt 2 = f M d 2 y dt 2 = f size 12{M { {d rSup { size 8{2} } y} over { ital "dt" rSup { size 8{2} } } } =f} {}

Xác định hàm chuyển tương quan giữa vị trí và lực.

2.4 : Một động cơ dc mang tải cho 1 moment tỉ lệ với dòng điện vào i. Nếu phương trình vi phân đối với động cơ và tải là:

J d 2 θ dt 2 = B dθ dt = ki J d 2 θ dt 2 = B dθ dt = ki size 12{J { {d rSup { size 8{2} } θ} over { ital "dt" rSup { size 8{2} } } } =B { {dθ} over { ital "dt"} } = ital "ki"} {}

Trong đó J là quán tính rotor, B là hệ số ma sát.

Xác định hàm chuyển giữa dòng điện vào và vị trí trục rotor.

2.5 : Một xung lực được đặt vào ngõ vào của 1 hệ thống và ở ngõ ra được 1 hàm thời gian e-2t .

Tìm hàm chuyển của hệ.

2.6 : Đáp ứng xung lực của 1 hệ là tín hiệu hình sin. Xác định hàm chuyển của hệ và phương trình vi phân.

2.7 : Đáp ứng nấc của hệ thống là:

c=1−73e−t+32e−2t−16e−4tc=1−73e−t+32e−2t−16e−4t size 12{c=1 - { {7} over {3} } e rSup { size 8{ - t} } + { {3} over {2} } e rSup { size 8{ - 2t} } - { {1} over {6} } e rSup { size 8{ - 4t} } } {}.

Tìm hàm chuyển.

2.8 : Tìm hàm chuyển của các mạch bổ chính sau đây:

Hình 34

Hình 35

a)b)

c)d)

e)f)

2.9 : Tìm hàm chuyển của mạch điện gồm 2 mạch vẽ ở bài tập 2.8f nối tiếp.

2.10 : Xác định đáp ứng dốc (ramp) của 1 hệ có hàm chuyển:

P ( s ) = s 2 s 2 + ( 3 / RC ) s + 1 / R 2 C 2 P ( s ) = s 2 s 2 + ( 3 / RC ) s + 1 / R 2 C 2 size 12{P \( s \) = { {s rSup { size 8{2} } } over {s rSup { size 8{2} } + \( 3/ ital "RC" \) s+1/R rSup { size 8{2} } C rSup { size 8{2} } } } } {}

2.11 : Xem 2 Mạch điện vẽ ở bài tập 2.8d và 2.8e. Hàm chuyển của mạch 2.9d là:

P(s ) = as+aas+a size 12{ { {a} over {s+a} } } {} ; với a=1/RC.

Hỏi hàm chuyển của mạch 2.9e có bằng as+a2as+a2 size 12{ left ( { {a} over {s+a} } right ) rSup { size 8{2} } } {} không? Tại sao?

II.12 : Sơ đồ khối chính tắc của 1 hệ tự kiểm được vẽ như sau :

Hình 36

Xác định :

a) Hàm chuyển đường vòng GH.

b) Hàm chuyển vòng kín C/R.

c) Tỷ số sai biệt E/R.

d) Tỷ số B/R.

e) Phương trình đặc trưng.

2.13 : Thu gọn sơ đồ sau đây về dạng chính tắc và tìm output C. Cho k là hằng so.á

Hình 37

II.14 : Xác định hàm chuyển của hệ thống trong sơ đồ khối sau đây rồi đặc H1 =1/G1 ; H2 =1/G2 .

Hình 38

II.15 : Xác định C/R cho mỗi hệ sau đây :

a).

b).

c).

2.16 : Thu gọn các sơ đồ khối sau đây về dạng chính tắc:

Hình 39

2.17 : Xem sơ đồ khối của 1 hệ như sau . Xác định đáp ứng ở ngõ ra.

Hình 40

LỜI GIẢI CHƯƠNG II

2.1 : Lấy biến đổi laplace phương trình trên, bỏ qua các số hạng do điều

kiện đầu.

S2 Y(s)+3SY(s) +2Y(s)=X(s)+SX(s)

P ( s ) = Y ( s ) X ( s ) = s + 1 s 2 + 3s + 2 P ( s ) = Y ( s ) X ( s ) = s + 1 s 2 + 3s + 2 size 12{P \( s \) = { {Y \( s \) } over {X \( s \) } } = left [ { {s+1} over {s rSup { size 8{2} } +3s+2} } right ]} {}

Hàm chuyển của hệ : P(s)=s+1s2+3s+2P(s)=s+1s2+3s+2 size 12{P \( s \) = left [ { {s+1} over {s rSup { size 8{2} } +3s+2} } right ]} {}

2.2 : Lấy biến đổi laplace phương trình trên, bỏ qua điều kiện đầu:

SY(s)+Y(s)=e-STX(s).

Hàm chuyển của hệ là:

P ( s ) = Y ( s ) X ( s ) = e − ST s + 1 P ( s ) = Y ( s ) X ( s ) = e − ST s + 1 size 12{P \( s \) = { {Y \( s \) } over {X \( s \) } } = { {e rSup { size 8{ - ital "ST"} } } over {s+1} } } {}

2.3 : Lấy laplace phương trình:

Ms2Y(s)=F(s)

Hàm chuyển : P(s)=Y(s)F(s)=1Ms2P(s)=Y(s)F(s)=1Ms2 size 12{P \( s \) = { {Y \( s \) } over {F \( s \) } } = { {1} over { ital "Ms" rSup { size 8{2} } } } } {}

2.4 : Biến đổi laplace của phương trình: (JS2+BS).(s)=KI(s)

Hàm chuyển: P(s)=θ(s)I(s)=Ks(Js+B)P(s)=θ(s)I(s)=Ks(Js+B) size 12{P \( s \) = { {θ \( s \) } over {I \( s \) } } = { {K} over {s \( ital "Js"+B \) } } } {}

2.5 : Hàm chuyển là : P(s)=C(s)/R(s).

Và R(S) =1, khi r(t)=(t).

Vậy: P(s)=C(s)=1s+2P(s)=C(s)=1s+2 size 12{P \( s \) =C \( s \) = { {1} over {s+2} } } {}

II.6 : Hàm chuyển của hệ là phương trình laplace của đáp ứng xung lực của

nó:

P ( s ) = 1 s 2 + 1 P ( s ) = 1 s 2 + 1 size 12{P \( s \) = { {1} over {s rSup { size 8{2} } +1} } } {}

Dùng toán tử D: P(D)=1D2+1=crP(D)=1D2+1=cr size 12{P \( D \) = { {1} over {D rSup { size 8{2} } +1} } = { {c} over {r} } } {}

D2c+c=r hoặc : d2cdt2+c=rd2cdt2+c=r size 12{ { {d rSup { size 8{2} } c} over { ital "dt" rSup { size 8{2} } } } +c=r} {}

2.7 :Vì đạo hàm của hàm nấc là 1 xung lực, nên đáp ứng xung lực của hệ là

p ( t ) = dc dt = 7 3 e − t − 3 e − 2t + 2 3 e − 4t p ( t ) = dc dt = 7 3 e − t − 3 e − 2t + 2 3 e − 4t size 12{p \( t \) = { { ital "dc"} over { ital "dt"} } = { {7} over {3} } e rSup { size 8{ - t} } - 3e rSup { size 8{ - 2t} } + { {2} over {3} } e rSup { size 8{ - 4t} } } {}

Biến đổi laplace của P(t) và hàm chuyển:

P ( s ) = 7 3 ( s + 1 ) + − 3 s + 2 + 2 3 ( s + 4 ) = s + 8 ( s + 1 ) ( s + 2 ) ( s + 4 ) P ( s ) = 7 3 ( s + 1 ) + − 3 s + 2 + 2 3 ( s + 4 ) = s + 8 ( s + 1 ) ( s + 2 ) ( s + 4 ) size 12{P \( s \) = { {7} over {3 \( s+1 \) } } + { { - 3} over {s+2} } + { {2} over {3 \( s+4 \) } } = { {s+8} over { \( s+1 \) \( s+2 \) \( s+4 \) } } } {}

2.8 :

a) P(s)=v0(s)vi(s)=s+as+bP(s)=v0(s)vi(s)=s+as+b size 12{P \( s \) = { {v rSub { size 8{0} } \( s \) } over {v rSub { size 8{i} } \( s \) } } = { {s+a} over {s+b} } } {} ; với a=1R1Ca=1R1C size 12{a= { {1} over {R rSub { size 8{1} } C} } } {} và b=1R1C+1R2Cb=1R1C+1R2C size 12{b= { {1} over {R rSub { size 8{1} } C} } + { {1} over {R rSub { size 8{2} } C} } } {}

b) P(s)=a(s+b)b(s+a)P(s)=a(s+b)b(s+a) size 12{P \( s \) = { {a \( s+b \) } over {b \( s+a \) } } } {} với a=1(R1+R2)Ca=1(R1+R2)C size 12{a= { {1} over { \( R rSub { size 8{1} } +R rSub { size 8{2} } \) C} } } {} và b=1R2Cb=1R2C size 12{b= { {1} over {R rSub { size 8{2} } C} } } {}

c) P(s)=(s+a1)(s+b2)(s+a2)(s+b1)P(s)=(s+a1)(s+b2)(s+a2)(s+b1) size 12{P \( s \) = { { \( s+a rSub { size 8{1} } \) \( s+b rSub { size 8{2} } \) } over { \( s+a rSub { size 8{2} } \) \( s+b rSub { size 8{1} } \) } } } {} với a1=−1R1C1a1=−1R1C1 size 12{a rSub { size 8{1} } = - { {1} over {R rSub { size 8{1} } C rSub { size 8{1} } } } } {} và b2=−1R2C2b2=−1R2C2 size 12{b rSub { size 8{2} } = - { {1} over {R rSub { size 8{2} } C rSub { size 8{2} } } } } {}

b1a2=a1b2b1a2=a1b2 size 12{b rSub { size 8{1} } a rSub { size 8{2} } =a rSub { size 8{1} } b rSub { size 8{2} } } {}; b1+a2=a1+b2+1R2C1b1+a2=a1+b2+1R2C1 size 12{b rSub { size 8{1} } +a rSub { size 8{2} } =a rSub { size 8{1} } +b rSub { size 8{2} } + { {1} over {R rSub { size 8{2} } C rSub { size 8{1} } } } } {}

d) P(s)=1RC(s+1RC)P(s)=1RC(s+1RC) size 12{P \( s \) = { {1} over { ital "RC" \( s+ { {1} over { ital "RC"} } \) } } } {}

e) P(s)=1R1R2C1C2s2+(R1C1+R1C2+R2C2)s+1P(s)=1R1R2C1C2s2+(R1C1+R1C2+R2C2)s+1 size 12{P \( s \) = { {1} over {R rSub { size 8{1} } R rSub { size 8{2} } C rSub { size 8{1} } C rSub { size 8{2} } s rSup { size 8{2} } + \( R rSub { size 8{1} } C rSub { size 8{1} } +R rSub { size 8{1} } C rSub { size 8{2} } +R rSub { size 8{2} } C rSub { size 8{2} } \) s+1} } } {}

P ( s ) = s s + 1 RC P ( s ) = s s + 1 RC size 12{P \( s \) = { {s} over {s+ { {1} over { ital "RC"} } } } } {}

2.9 :

P(s)= P(s)=s2s2+(3RC)s+1R2C2P(s)=s2s2+(3RC)s+1R2C2 size 12{P \( s \) = { {s rSup { size 8{2} } } over {s rSup { size 8{2} } + \( { {3} over { ital "RC"} } \) s+ { {1} over {R rSup { size 8{2} } C rSup { size 8{2} } } } } } } {}

2.10 :

c(t)= c(t)=14−14e−2t+12tc(t)=14−14e−2t+12t size 12{c \( t \) = { {1} over {4} } - { {1} over {4} } e rSup { size 8{ - 2t} } + { {1} over {2} } t} {}

2.11 : Sinh viên tự giải.

2.12 :

a) GH=K1K2s+pGH=K1K2s+p size 12{ ital "GH"= { {K rSub { size 8{1} } K rSub { size 8{2} } } over {s+p} } } {}

b) CR=G1−GHCR=G1−GH size 12{ { {C} over {R} } = { {G} over {1 - ital "GH"} } } {} (với dấu trừ cho biết hồi tiếp dương).

C R = K 1 s ( s + p − K 1 K 2 ) C R = K 1 s ( s + p − K 1 K 2 ) size 12{ { {C} over {R} } = { {K rSub { size 8{1} } } over {s \( s+p - K rSub { size 8{1} } K rSub { size 8{2} } \) } } } {}

c) ER=11−GH=s+ps+p−K1K2ER=11−GH=s+ps+p−K1K2 size 12{ { {E} over {R} } = { {1} over {1 - ital "GH"} } = { {s+p} over {s+p - K rSub { size 8{1} } K rSub { size 8{2} } } } } {}

d) BR=11−GH=K1K2s+p−K1K2BR=11−GH=K1K2s+p−K1K2 size 12{ { {B} over {R} } = { {1} over {1 - ital "GH"} } = { {K rSub { size 8{1} } K rSub { size 8{2} } } over {s+p - K rSub { size 8{1} } K rSub { size 8{2} } } } } {}

e) Phương trình đặc trưng của hệ được xác định bởi: 1 GH=0

Trường hợp này vì là hồi tiếp dương nên :1-GH=0

=>s+p-K1K2 = 0

2.13 :

Hình 41

C = KR ( 1 + K ) s + ( 1 + 0 . 1K ) C = KR ( 1 + K ) s + ( 1 + 0 . 1K ) size 12{C= { { ital "KR"} over { \( 1+K \) s+ \( 1+0 "." 1K \) } } } {}

2.14 : Thu gọn các vòng trong.

Hình 42

Hình 43

2.15 : Sinh viên tự giải.

2.16 :

Hình 44

2.17 :

y(t)=5(cost-2sin2t –t2).