Skip to content Skip to navigation Skip to collection information

OpenStax_CNX

You are here: Home » Content » Cơ sở Viễn thông » Phân tích tín hiệu

Navigation

Lenses

What is a lens?

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

This content is ...

Affiliated with (What does "Affiliated with" mean?)

This content is either by members of the organizations listed or about topics related to the organizations listed. Click each link to see a list of all content affiliated with the organization.
  • VOCW

    This module and collection are included inLens: Vietnam OpenCourseWare's Lens
    By: Vietnam OpenCourseWare

    Click the "VOCW" link to see all content affiliated with them.

Recently Viewed

This feature requires Javascript to be enabled.
 

Phân tích tín hiệu

Module by: ThS Phạm Văn Tấn. E-mail the author

Summary: + XEM LẠI CHUỖI FOURRIER. + PHỔ VẠCH. + BIẾN ĐỔI FOURRIER. + CÁC HÀM KỲ DỊ: ( SINGNLARITY FUNCTIONS ). + PHÉP CHỒNG (CONVOLUTION). + PHÉP CHỒNG ĐỒ HÌNH ( GRAPHICAL CONVOLUTION ). + ĐỊNH LÝ PARSEVAL. + NHỮNG TÍNH CHẤT CỦA BIẾN ĐỔI FOURRIER. + ĐỊNH LÝ VỀ SỰ BIẾN ĐIỆU. + CÁC HÀM TUẦN HOÀN.

XEM LẠI CHUỖI FOURRIER.

Một hàm bất kỳ S(t) có thể được viết: ( dạng lượng giác ).

S(t) = a0cos(0) + n=1¥n=1¥ size 12{ Sum cSub { size 8{n=1} } cSup { size 8{¥} } {} } {}[ an cos 2 nf0t + bn sin 2f0t ](2.1)

Với t0 < t < t0 + T ; T

Hình 1
Hình 1 (graphics1.png)
Hình 2
Hình 2 (graphics2.wmf)

Số hạng thứ nhất là a0 vì cos (0) = 1.

Việc chọn các hằng an và bn theo các công thức sau:

- Với n = 0 ; a0 =

Hình 3
Hình 3 (graphics3.wmf)
(2.2)

- Với n  0 ;an =

Hình 4
Hình 4 (graphics4.wmf)
(2.3)

bn =

Hình 5
Hình 5 (graphics5.wmf)
(2.4)

Hệ thức (2.2) có được bằng cách lấy tích phân 2 vế của (2.1).

Hệ thức (2.3) và (2.4) có được bằng cách nhân cả 2 vế của (2.1) cho hàm sin và lấy tích phân.

Dùng công thức EULER, có thể đưa dạng s(t) ở trên về dạng gọn hơn ( dạng hàm mũ phức ).

EULER  ej2nfot = cos 2nfot + j sin 2nfot(2.5)

S(t) = n=-¥¥n=-¥¥ size 12{ Sum cSub { size 8{n"=-¥"} } cSup { size 8{¥} } {} } {}Cn e j2nfot(2.6)

Tròn đó n: Số nguyên; dương hoặc âm. Và Cn được định bởi:

Cn =

Hình 6
Hình 6 (graphics6.wmf)
s(t) e -j2nfot dt(2.7)

Điều này dễ kiểm chứng, bằng cách nhân hai vế của (2.5) cho e -j2nfot và lấy tích phân hai vế.

Kết quả căn bản mà ta nhận được = một hàm bất kỳ theo thời gian có thể được diễn tả bằng tổng các hàm sin và cos hoặc là tổng của các hàm mũ phức trong một khoảng.

Nếu s(t) là một hàm tuần hoàn, ta chỉ cần viết chuỗi Fourrier trong một chu kỳ, chuỗi sẽ tương đương với s(t) trong mọi thời điểm.

Ví dụ 1: Hãy xác định chuỗi Fourrier lượng giác của s(t) như hình vẽ. Chuỗi này cần áp dụng trong khoảng - /2 < 1< /2 .

Hình 7
Hình 7 (graphics7.png)

Ta dùng chuỗi Fourrier lượng giác, với T =  và fo =

Hình 8
Hình 8 (graphics8.wmf)
như vậy chuỗi có dạng:

s(t) = a0 +

Hình 9
Hình 9 (graphics9.wmf)
[ an cos 2nt + bn sin 2nt ]

Trong đó: a0 =

Hình 10
Hình 10 (graphics10.wmf)

và an =

Hình 11
Hình 11 (graphics11.wmf)

Ta định giá bn như sau:

bn =

Hình 12
Hình 12 (graphics12.wmf)

Vì s(t) là một hàm chẵn theo thời gian, nên s(t) .sin 2nt là một hàm lẻ và tích phân từ - /2 đến /2 là zero. Vậy bn = 0 với mọi s(t) lẻ. Chuỗi Fourrier được viết :

s(t) =

Hình 13
Hình 13 (graphics13.wmf)
(2.8)

Lưu ý: Chuỗi Fourrier cho bởi phương trình trên đây có cùng khai triển như của hàm tuần hoàn sp(t) như hình dưới đây:

Hình 14
Hình 14 (graphics14.png)

Phổ vạch

Trong lúc tìm sự biểu diễn chuỗi Fourrier phức của 1 hàm theo thời gian, ta dùng một thừa số trọng lượng phức Cn cho mỗi trị của n. Thừa số Cn có thể được vẽ như là hàm của n. Vậy cần đến 2 đường biểu diễn. Một để biểu diễn cho suất của n và một để biểu diễn pha.

Đường biểu diễn này thì rời rạc. Nó chỉ khác zero đối với những trị gián đoạn của trục hòanh. ( Ví dụ: C1/2 thì không có ý nghĩa ).

Đường biểu diễn Cn đối với nf0 gọi là phổ Fourrier phức. Trong đó nf0 là lượng tương ứng với tần số của hàm mũ phức mà đối với nó Cn là một hệ số trọng lượng.

Ví dụ 2: Tìm phổ Fourrier phức của sóng cosin được chỉnh lưu toàn sóng, s(t) = cos t, như hình vẽ dưới đây.

Hình 15
Hình 15 (graphics15.png)

Trước hết ta phải tìm khai triển chuỗi Fourrier theo dạng hàm mũ phức.

Với F0 =

Hình 16
Hình 16 (graphics16.wmf)
, ta tính trị giá Cn từ (2.6) và tìm chuỗi Fourrier trực tiếp.

Tuy nhiên ở ví dụ 1, ta đã khai triển chuỗi Fourrier dưới dạng lượng giác rồi, nên có thể khai triển hàm cos để đưa về dạng hàm mũ phức bằng cách dùng công thức Euler:

s(t) =

Hình 17
Hình 17 (graphics17.wmf)

Với cos 2nt =

Hình 18
Hình 18 (graphics18.wmf)

Vậy chuỗi Fourrier dạng hàm mũ:

s(t) =

Hình 19
Hình 19 (graphics19.wmf)

=

Hình 20
Hình 20 (graphics20.wmf)
(2.9)

Ta đã đổi biến số ở số hạng sau. Vậy Cn liên hệ với an:

Cn =

Hình 21
Hình 21 (graphics21.wmf)
Với n > 0

Cn =

Hình 22
Hình 22 (graphics22.wmf)
Với n < 0

Cn =

Hình 23
Hình 23 (graphics23.wmf)

Trong trường hợp này, Cn là số thực. Nên chỉ cần vẽ một đồ hình.

nf02/2/32/351-1-2-3233-2/15

Hình 2.4: Phổ vạch của ví dụ 2 .

Biến đổi Fourrier:

Một tín hiệu không tuần hoàn được xem như là trường hợp giới hạn của một tín hiệu tuần hoàn, trong đó chu kỳ T của tín hiệu tiến đến . Nếu chu kỳ tiến đến , tần số căn bản F0 tiến đến 0. Các họa tần khép lại với nhau và, trong giới hạn, tổng chuỗi Fourrier biểu diễn cho s(t) sẽ trở thành một tích phân.

F [s(t)] = S(f) ***SORRY, THIS MEDIA TYPE IS NOT SUPPORTED.*** ¥s(t)ej2pftdt¥s(t)ej2pftdt size 12{ Int cSub { size 8{"-¥"} } cSup { size 8{¥} } {s \( t \) e rSup { size 8{-j2p ital "ft"} } } ital "dt"} {}

(2.10)

F [.] kí hiệu cho biến đổi Fourrier của [.].

Nó còn được gọi là phổ - hai - phía ( Two - Side - Spectrum ) của s(t), vì cả hai thành phần tần số dương và âm đều thu được từ (2.10). Giả sử s(t) là một hàm thực (vật lý).

Một cách tổng quát, S(f) là một hàm phức theo tần số. S(f) có thể phân làm hai hàm thực X(f) và Y(f) :

S(f) = X(f) + jY(f) (2.11)

Dạng trên gọi là dạng Cartesian, vì S(f) có thể được biểu diễn trong một hệ trục tọa độ Descartes. Cũng có thể biểu diễn S(f) trong một hệ trục cực. Khi đó, cặp hàm thực sẽ trình bày suất và pha.

S(f) = S(f)  ej(f)

(2.12)

Với :

S(f) =

Hình 24
Hình 24 (graphics24.wmf)
(2.13)

và:

(f) = tan-1

Hình 25
Hình 25 (graphics25.wmf)
(2.14)

Dạng trên đây còn gọi là dạng cực ( Polar form ).

Để xác định những tần số nào hiện hữu, ta khảo sát phổ của xuất S(f). ( Đôi khi gọi tắt là ” Phổ “ ).

Phổ của một dạng sóng ( dòng hay thế ) có thể thu được từ những phép tính toán học. Nó không xuất hiện một cách vật lý trong các mạch điện thực tế. Tuy nhiên có thể dùng Spectrum Analyser để quan sát một cách gần đúng.

* Để phục hồi lại s(t) từ biến đổi Fourrier của nó, ta tính tích phân sau:

s(t) = ¥S(f)ej2pftdt¥S(f)ej2pftdt size 12{ Int cSub { size 8{"-¥"} } cSup { size 8{¥} } {S \( f \) e rSup { size 8{j2p ital "ft"} } } ital "dt"} {} = F -1 [S(f)]

(2.15)

Phương trình này thường gọi là biến đổi ngược của S(f). Hai hàm s(t) và S(f) tạo thành một cặp biến đổi Fourrier. Trong đó, s(t) diễn tả trong phạm vi thời gian, còn S(f) diễn tả trong phạm vi tần số.

Ký hiệu cho một cặp biến đổi Fourrier :

S(f)  s(t) s(t)  S(f)

Hoặc(2.16)

Nếu tín hiệu hoặc nhiễu được mô tả trong phạm vi này, thì sự mô tả tương ứng trong phạm vi kia sẽ được biết nhờ cách dùng (2.10) hoặc (2.15).

Dạng sóng s(t) có thể biến đổi Fourrier được nếu nó thỏa các điều kiện Dirichelet. Tuy nhiên, tất cả các dạng sóng vật lý trong kỷ thuật đều thỏa các điều kiện đó.

Ví dụ 3: Phổ của một xung expo.

Đặt s(t) là một xung expo tắt ( Decaying Exponential Pulse ) bị ngắt ( Switched ) tại t = 0.

s(t) =

Hình 26
Hình 26 (graphics26.wmf)
(2.16)

Phổ của xung này có được bằng dùng phép biến đổi Fourrier.

S(f) =

Hình 27
Hình 27 (graphics27.wmf)

S(f) = 11+j2pf11+j2pf size 12{ { {1} over {1+j2pf} } } {}

(2.17)

Phổ của S(f) có thể tính bằng cách hữu tỷ hóa mẫu số (2.17)

X(f) =

Hình 28
Hình 28 (graphics28.wmf)
Và Y(f) =
Hình 29
Hình 29 (graphics29.wmf)

Và dạng cực:

S(f)  =

Hình 30
Hình 30 (graphics30.wmf)
; (f) = tan-1(2f)

Cặp Fourrier trong ví dụ trên:

Hình 31
Hình 31 (graphics31.wmf)
(2.18)

Các hàm kỳ dị: ( Singnlarity Functions ).

Ta phải đưa vào một loại hàm mới trước khi nói đến những ứng dụng của lý thuyết Fourrier. Loại hàm này nổi lên bất cứ lúc nào ta phân giải các loại hàm tuần hoàn. Đó là một phần của nhóm các hàm kỳ dị. Chúng có thể những chuyển hóa của hàm nấc đơn vị.

Ví dụ 4. Biến đổi Fourrier của hàm cổng ( Gating Function ):

Tìm biến đổi của s(t), trong đó:

s(t) =

Hình 32
Hình 32 (graphics32.wmf)
(2.19)

A-ts(t)

Hình 2.5 Tín hiệu s(t).

* Từ định nghĩa của biến đổi Fourrier.

S(f) =

Hình 33
Hình 33 (graphics33.wmf)

=

Hình 34
Hình 34 (graphics34.wmf)

= A

Hình 35
Hình 35 (graphics35.wmf)
(2.20)

= Agraphics36.wmf

s(f)f21/21/Hình 2.6 Anh của s(t) trong biến đổi Fourier.

Những hàm thuộc loại trên đây rất phổ biến trong kỷ thuật thông tin. Để tránh lập lại hàm này ta định nghĩa hàm Sa(x) như sau:

Sa(x)

Hình 36
Hình 36 (graphics37.png)
Hình 37
Hình 37 (graphics38.wmf)
(2.21)

Khi đó (2.20) được viết lại:

S(f) = 2A . Sa( 2f )(2.22)

Hàm xung lực ( Impulse ).

Bây giờ ta muốn tìm biến đổi Fourrier của 1 hằng, s(t) = A, với mọi t. Ta có thể xem nó là giới hạn của xung g(t) khi   . Ta cố gắng theo cách quanh co này, vì kỷ thuật trực tiếp thất bại trong trường hợp này.

Khi áp s(t) = A vào tích phân định nghĩa, ta có:

S(f) =

Hình 38
Hình 38 (graphics39.wmf)
(2.23)

Tích phân này không hội tụ. Từ (2.6), ta thấy khi    , biến đổi Fourrier tiến đến vô cực tại gốc và những điểm cắt trục zero trở nên cách nhau vô cùng lớn. Như vậy, trong giới hạn, chiều cao của biến đổi Fourrier tiến đến vô cực, còn bề rộng thì đến zero. Điều này nghe buồn cười ! Nhưng nó không phải là một hàm thực sự với mọi lúc vì nó không được xác định tại f = 0. Nếu ta có nói bất cứ điều gì về biến đổi Fourrier của một hằng, ta phải thay đổi cách nghĩ.

Sự thay đổi đó bắt đầu bằng cách định nghĩa một “ hàm “ mới đặt tên là xung lực ( mà nó không phải là một hàm thực sự tại mọi lúc ). Ký hiệu là (t).

Định nghĩa của xung lực được tạo bởi 3 quan sát đơn giản. Hai trong số đó đã nói đến rồi, đó là:

Hình 39
Hình 39 (graphics40.wmf)
(2.24)

Tính chất thứ 3 là diện tích tổng dưới dạng xung lực là đơn vị:

graphics41.wmf(2.25)

Vì tất cả diện tích của (t) tập trung tại một điểm, những giới hạn trên tích phân có thể chuyển về gốc mà không làm thay đổi giá trị của tích phân. Vậy:

Hình 40
Hình 40 (graphics42.wmf)
(2.26)

Ta có thể thấy rằng tích phân của (t) là u(t), hàm nấc đơn vị:

graphics43.wmf(2.27)

Bây giờ ta tính tích phân của một hàm bất kỳ với (t).

graphics44.wmf(2.28)

Ở (2.28) ta đã thay s(t) bởi một hàm không đổi, bằng với s(0) mà không làm thay đổi tích phân. Ta nhớ rằng vì (t) = 0 với mọi t  0. Vì thế tích của (t) với một hàm bất kỳ chỉ phụ thuộc trị giá của hàm đó tại t = 0. Với hàm không đổi ( theo thời gian ) được chọn, ta có thể đem nó ra ngoài dấu tích phân.

¥ s ( t ) d ( t ) dt = s ( 0 ) ¥ d ( t ) dt = s ( 0 ) ¥ s ( t ) d ( t ) dt = s ( 0 ) ¥ d ( t ) dt = s ( 0 ) size 12{ Int cSub { size 8{"-¥"} } cSup { size 8{¥} } {s \( t \) d \( t \) ital "dt"} =s \( 0 \) Int cSub { size 8{"-¥"} } cSup { size 8{¥} } {d \( t \) } "dt"=s \( 0 \) } {}

(2.29)

Đây là một kết quả có ý nghĩa, và nó được xem như là đặc tính mẫu ( Sampling Property ) của xung lực.

¥s(t)d(tt0)dt=¥s(k+t0)d(k)dk=s(t0)¥s(t)d(tt0)dt=¥s(k+t0)d(k)dk=s(t0) size 12{ Int cSub { size 8{"-¥"} } cSup { size 8{¥} } {s \( t \) d \( t-t rSub { size 8{0} } \) } "dt"= Int cSub { size 8{"-¥"} } cSup { size 8{¥} } {s \( k+t rSub { size 8{0} } \) d \( k \) "dk"=s \( t rSub { size 8{0} } \) } } {}Nếu đổi các biến số, sẽ có một xung bị dời ( Shifted Impules ) với đặc tính mẫu tương tự.

(t)(t-t0)t011tt(2.30)

Hình 2.7 Xung drac bị dời một khoảng t0.

Hai hình vẽ trên trình bày (t) và ( t - t0 ). Mũi tên hướng lên để chỉ trị giá tiến đến vô cực. Số 1 bên cạnh mũi tên để chỉ diện tích toàn phần của xung lực.

Ví dụ 5: Tính các tích phân sau:

a)

Hình 41
Hình 41 (graphics45.wmf)

b)

Hình 42
Hình 42 (graphics46.wmf)

c)

Hình 43
Hình 43 (graphics47.wmf)

d)

Hình 44
Hình 44 (graphics48.wmf)

Giải:

a) Áp dụng trực tiếp đặc tính mẫu:

graphics49.wmf = s(0) = 02 + 1 = 1

b) Vì xung lực rơi vào khoảng của tích phân: Từ phương trình (2.30)

Hình 45
Hình 45 (graphics50.wmf)
= s(1) = 12 + 1 = 2

c) Xung lực xảy ra ở t = 1, nằm ngoài khoảng của tích phân. Vậy:

Hình 46
Hình 46 (graphics51.wmf)
= 0

d) ( 1 - t ) rơi tại t = 1 vì đó là giá trị của t làm cho suất bằng zero. Vậy:

Hình 47
Hình 47 (graphics52.wmf)
= 14 + 2 = 3

* Bây giờ ta tìm biến đổi Fourrier của một xung lực:

(t) 

Hình 48
Hình 48 (graphics53.wmf)
= e0 = 1(2.31)

* Ta trở lại tính biến đổi của 1 hằng, s(t) = A. Ta dễ thấy là tích phân xác định không hội tụ.

A 

Hình 49
Hình 49 (graphics54.wmf)
(2.32)

Với f  0, tích phân này bị giới hạn bởi

Hình 50
Hình 50 (graphics55.wmf)
.

Với f = 0 tích phân sẽ ?

* Vì tích phân định nghĩa biến đổi Fourrier và tích phân để tính biến đổi ngược thì tương tự, nên ta có thể phỏng đoán rằng biến đổi của một hằng là 1 xung lực. Đó là vì, một xung lực biến đổi thành một hằng, vậy một hằng sẽ biến đổi thành một xung lực.

Ta hãy tìm biến đổi ngược của một xung.

(f) 

Hình 51
Hình 51 (graphics56.wmf)
= 1(2.33)

Như vậy, điều phỏng đoán của ta là đúng! Biến đổi ngược của (f) là một hằng, vậy ta có:

A  A(f)(2.34)

* Nếu ta biến đổi ngược 1 xung lực bị dời, ta khai triển cặp biến đổi sau:

Aej2fot  A ( f - f0 ) (2.35)

Ví dụ 6: Tìm biến đổi Fourrier của s(t) = cos2f0t

Giải: Dùng công thức Euler, để khai triển hàm cosin:

Cos2f0t =

Hình 52
Hình 52 (graphics57.wmf)
ej2fot +
Hình 53
Hình 53 (graphics58.wmf)
e - j2fot

Biến đổi Fourrier của s(t) là tổng các biến đổi của 2 hàm expo. Từ (2.34)

Cos2f0t «12d(ff0)+12d(f+f0)«12d(ff0)+12d(f+f0) size 12{« { {1} over {2} } d \( f-f rSub { size 8{0} } \) + { {1} over {2} } d \( f+f rSub { size 8{0} } \) } {}

(2.36)

-f0f01/21/2s(f)fBiến đổi này được vẽ:

Hình 2.8 Biến đổi Fourier của cos2f0t.

Hàm nấc đơn vị ( Unit step function ).

Một cặp biến đổi khác mà ta sẽ nói đến, là hàm nấc đơn vị. Ở đây, một lần nữa, ta lại gắn hàm vào định nghĩa của phép biến đổi, tích phân không hội tụ. Ta lại dùng đến kỷ thuật phỏng đoán. Và do sự không liên tục của hàm nấc, kỷ thuật này trở nên có nhiều hy vọng. Phép biến đổi thì tương đối dễ tính khi ta thực hiện như sau:

u(t) =

Hình 54
Hình 54 (graphics59.wmf)
(2.37)

Trong đó, hàm Sgn được định nghĩa bởi:

1/21/2U(t)/2-1/2ttt+=11/2sign (t)/2Sgn (t)

Hình 55
Hình 55 (graphics60.png)
Hình 56
Hình 56 (graphics61.wmf)
(2.38)

Hình 2.9 Tín hiệu của hàm dốc.

Biến đổi của

Hình 57
Hình 57 (graphics62.wmf)
Hình 58
Hình 58 (graphics63.wmf)
(t).

Biến đổi của hàm Sgn(t) có thể tính bằng cách xem nó như là một giới hạn của hàm expo.

a0Sgn(t) = lim [ e-at Sgn(t) ]

1-1te-at-eat

Hình 2.10 Hàm sgn(t).

Ta có:a0 F [ Sgn(t) ] = lim F [ e-at Sgn(t) ] (3.39)

a0= lim

Hình 59
Hình 59 (graphics64.wmf)

Biến đổi của hàm nấc đơn vị được cho bởi phương trình (2.40)

u(t)  1j2pf+12d(f)1j2pf+12d(f) size 12{ { {1} over {j2pf} } + { {1} over {2} } d \( f \) } {}

(2.40)

Phép chồng (CONVOLUTION)

Phép chồng 2 hàm r(t) và s(t) được định nghĩa bởi thuật toán tích phân:

r(t) * s(t) = ¥r(t)s(tt)dt=¥s(t)r(tt)dt¥r(t)s(tt)dt=¥s(t)r(tt)dt size 12{ Int cSub { size 8{"-¥"} } cSup { size 8{¥} } {r \( t \) s \( t-t \) dt} = Int cSub { size 8{"-¥"} } cSup { size 8{¥} } {s \( t \) r \( t-t \) dt} } {}(2.41)

Ký hiệu * thì được qui ước và đọc “ r(t) chồng với s(t) “.

Tích phân thứ hai là kết quả từ sự đổi biến số và chứng tỏ rằng phép chồng có tính giao hoán vậy:

r(t) * s(t) = s(t) * r(t).

Nhớ là phép chồng 2 hàm của t là một hàm của t.  là một biến số giả do tích phân mà ra.

Một cách tổng quát, tích phân của phương trình (2.41) thì rất khó tính.

Ví dụ 7: Tính phép chồng của r(t) với s(t). Trong đó, r(t) và s(t) là những xung vuông được vẽ như hình.

r(t)s(t)11-11-22ttHình 2.11 Dạng tín hiệu r(t) và s(t).

Giải:

Các hàm có thể viết dưới dạng:

r(t) = u ( t + 1) - u ( t - 1)

s(t) = u ( t + 2) - u ( t - 2)

Trong đó, u(t) là hàm nấc định nghĩa bởi:

u(t) =

Hình 60
Hình 60 (graphics65.wmf)

Phép chồng

r(t) * s(t)

Hình 61
Hình 61 (graphics66.png)
Hình 62
Hình 62 (graphics67.wmf)

Ta thấy rằng:

r() = u ( + 1) - u ( - 1)

và:

s( t -  ) = u ( t -  + 2 ) - u ( t -  - 2 )

r() s(t-) = u (+1)u(t-+2) - u(+1)u(t--2) - u(-1)u(t-+2) + u(-1)u(t--2)

Như vậy, tích phân được tính thành từng phần:

r(t) * s(t) =

Hình 63
Hình 63 (graphics68.wmf)
-
Hình 64
Hình 64 (graphics69.wmf)

-

Hình 65
Hình 65 (graphics70.wmf)
+
Hình 66
Hình 66 (graphics71.wmf)

Bây giờ, ta nhớ rằng u (  + 1 ) thì bằng zero với  < -1 và u (  - 1 ) thì bằng zero với t < 1. Như vậy, những giới hạn của tích phân được thu lại:

r(t) * s(t) =

Hình 67
Hình 67 (graphics72.wmf)
-
Hình 68
Hình 68 (graphics73.wmf)

-

Hình 69
Hình 69 (graphics74.wmf)
+
Hình 70
Hình 70 (graphics75.wmf)

Ta đã thay một của các hàm nấc bằng trị giá của nó ( là 1 ) trong khoảng mà nó áp dụng. Bây giờ, ta cố gắng tính từng tích phân. Nhớ là:

u(t -  + 2) = 0 ,  > t + 2

và u(t -  - 2) = 0,  > t - 2

Ta có:

Hình 71
Hình 71 (graphics76.wmf)

( Vì rằng t + 2 > -1 hoặc t > -3. Ở khoảng khác, tích phân là zero).

- Nếu t - 2 > -1 hoặc t > 1,

Hình 72
Hình 72 (graphics77.wmf)

- Nếu t + 2 > +1 hoặc t > -1,

Hình 73
Hình 73 (graphics78.wmf)

- Nếu t - 2 > 1 hoặc t > 3,

Hình 74
Hình 74 (graphics79.wmf)

Dùng 4 kết quả đó ta có:

r(t) * s(t) = ( t + 3)u(t + 3) - (t - 1)u(t - 1) - (t + 1)u(t + 1) + (t - 3)u(t - 3)

ttttt(t+3)U(t+3)(t-3)U(t-3)-(t+1)U(t+1)-(t-1)U(t-1)r(t)*s(t)2-1-2-3-41234-1-1133-3Bốn số hạng này và tổng của chúng được vẽ như hình dưới đây. Từ ví dụ khiêm tốn này, ta có thể thấy rằng nếu r(t) hoặc s(t) chứa hàm nấc, thì cách tính phép chồng trở nên rất lúng túng.

Hình 2.12 Phép chồng của tín hiệu r(t) và tín hiệu s(t).

Phép chồng đồ hình ( Graphical convolution )

Nếu r(t) và s(t) quá phức tạp, hoặc dạng sóng không được biết chính xác, ta có thể dùng phép chồng đồ hình. Phương pháp này dùng những quan sát và kiểm tra tổng quát mà không phải tính chi tiết các tích phân. Trong nhiều áp dụng thông tin, phương pháp này thì đủ mà không cần thiết phải tính một phép chồng chính xác.

Ví dụ 8: Dùng phép chồng đồ hình cho 2 hàm ở ví dụ 7.

Bảng 1
t11-111-111-111-111-111-111-111-111-111-111-111-11-6-2-5-1-4.5-.5-4-3.5.5-31-2.51.5-22-1.52.5-13-.53.515-11-11-11-11-11-.51-1.5-1-1-.511111111111111111111111r(t)s(t-)r()s(t-)Diện tích
-4   0
-3   0
graphics80.wmf   graphics81.wmf
2   1
graphics82.wmf   graphics83.wmf
-1   2
graphics84.wmf   2
0   2
graphics85.wmf   2
1   2
graphics86.wmf   graphics87.wmf
3   0
Hình 2.13 Phép chồng đồ hình cho hai hàm ở ví dụ 7.

Ảnh qua gương của s() là s( - ). Đó là s() được phản xạ qua trục đứng.

Với một t cho sẵn, ta lập s(t - ), biểu diễn cho hàm s( - ) bị dời về phía phải bởi t. Sau đó, ta lấy tích số:

r(t) s(t)( t -  )

Và lấy tích phân của tích số này ( chính là tìm diện tích ) để có được trị giá của phép chồng ứng với trị giá của t.

Hình trên đây trình bày 12 khung của sự dời hình. Với ví dụ đặc biệt này, không bắt buộc s(t) phải phản xạ để có ảnh qua gương, vì s(t) là một hàm chẳn.

Nhớ là diện tích của tích số biểu diễn cho trị giá của phép chồng. Diện tích này được vẽ thành một chuỗi các điểm. Có thể thấy là kết quả giống như ở ví dụ 7.

2231-1-2-3r(t)*s(t)tĐường nối các điểm là đường thẳng. Điều đó hiển nhiên, vì phép chồng trở thành tích phân của một hằng. Kết quả cho một hàm dốc ( Ramp Function ).

Hình 2.14 Kết quả phép chồng đồ hình của s(t) và r(t).

r(t)s(t)1113-11ttVí dụ 9: Tính phép chồng ( bằng đồ hình ) của 2 hàm sau đây: (Sinh viên tự giải)

Hình 2.15 Tín hiệu s(t) và r(t) .

Bây giờ ta xem phép chồng của một hàm bất kỳ với xung lực (t).

(T) * s(t) =

Hình 75
Hình 75 (graphics88.wmf)
(2.42)

Như vậy một hàm bất kỳ chồng với một xung lực thì giữ nguyên không thay đổi.

Hình 76
Hình 76 (graphics89.jpg)

Hình 2.16 Kết quả phép chồng đồ hình của s(t) và r(t)

Nếu ta chồng s(t) với xung lực bị dời ( Shifted ) (t - t0), ta thấy:

(t - t0) * s(t) =

Hình 77
Hình 77 (graphics90.wmf)
(2.43)

Tóm lại, phép chồng s(t) với một xung lực không làm thay đổi dạng hàm của s(t). Có thể chỉ gây nên một sự dời thời gian trong s(t) nếu xung lực không xảy ra tại t = 0.

Giờ ta đã có khái niệm về thuật toán gọi là “ phép chồng “. Ta hãy trở lại phép biến đổi Fourrier. Định lý về phép chồng:

Nếu r(t)  R(f)

Và s(t)  S(f)

Thì: r(t) * s(t)  R(f). S(f)(2.44)

Có thể chứng minh trực tiếp định lý bằng cách tính biến đổi Fourrier của phép chồng.

Ta cũng có thể chứng minh:

R(f) * S(f)  r(t) . s(t) (2.45)

Bằng cách tính biến đổi Fourrier ngược.

Ví dụ 9: Dùng định lý phép chồng để tính tích phân sau:

Hình 78
Hình 78 (graphics91.wmf)

Giải:

Tích phân trên biểu diễn phép chồng của 2 hàm theo thời gian:

sin

Hình 79
Hình 79 (graphics92.wmf)

2-3/23/2-1/21/2-1/21/2tttF F x=Biến đổi Fourrier của tích phân là tích của biến đổi Fourrier của 2 hàm. Hai biến đổi này có thể xem ở bảng phụ lục.

Hình 2.17 Tích của hai biến đổi Fourier từ s(t) và r(t).

Lấy biến đổi Fourrier ngược của tích này, ta sẽ có kết quả của phép chồng. Đó là:

Hình 80
Hình 80 (graphics93.wmf)

ĐỊnh lý Parseval

Dạng sóng của một hàm và của biến đổi Fourrier của nó thì rất ít giống nhau. Tuy nhiên, một vài hệ thức hiện hữu giữa năng lượng của một hàm thời gian và năng lượng của biến đổi Fourrier của nó.

Dùng “ năng lượng “ để chỉ tích phân của bình phương của hàm. Từ này được dùng và nó biểu diễn trị giá năng lượng ( watt - sec ) tiêu tán trong điện trở 1 nếu tín hiệu là điện thế hoặc dòng điện ngang qua điện trở.

Ta có:

r(t) s(t)  R(f) * S(f)

F [ r(t) s(t) ] =

Hình 81
Hình 81 (graphics94.wmf)
(2.46)

=

Hình 82
Hình 82 (graphics95.wmf)

Vì đẳng thức này đúng với mọi f, ta đặt f = 0. Khi đó:

Hình 83
Hình 83 (graphics96.wmf)
=
Hình 84
Hình 84 (graphics97.wmf)
(2.47)

Biểu thức (2.47) là một dạng của công thức Paseval. Nó liên quan đến năng lượng nên ta xét trường hợp đặc biệt:

s(t) = r * (t)

r*(t) là liên hợp của r(t).

F [ r*(t)] cho bởi liên hợp của biến đổi Fourrier, bị phản xạ qua trục dọc. Đó là R*(-f).

Dùng kết quả của (2.47), ta được:

graphics98.wmf(2.48)

Phương trình (2.48) chứng tỏ rằng năng lượng của hàm theo t thì bằng với năng lượng của biến đổi Fourrier của nó.

Những tính chất cỦa biến đổi Fourrier

Thực / ảo - Chẳn / lẻ.

Bảng sau đây tóm tắt những tính chất của biến đổi Fourrier dựa trên sự quan sát quan sát hàm theo t.

Bảng 2
  Hàm thời gian Biến đổi Fourrier
A Thực Phần thực chẳn - Phần ảo lẻ
B Thực và chẳn Thực và chẳn
C Thực và lẻ Ảo và lẻ
D Ảo Phần thực lẻ - Phần ảo chẳn
E Ảo và chẳn Ảo và chẳn
F Ảo và lẻ Thực và lẻ

Có thể dùng công thức Euler để chứng minh:

S(f ) =

Hình 85
Hình 85 (graphics99.wmf)

=

Hình 86
Hình 86 (graphics100.wmf)

= R + j X

R là một hàm chẳn của f vì khi f được thay bằng -f thì hàm không đổi. Tương tự, X là một hàm lẻ của f.

Nếu s(t) giả sử là thực, R trở thành phần thực của biến đổi và X là phần ảo. Vậy tính chất A đã được chứng minh.

Nếu s(t) thực và chẳn, thì X = 0. Điều này đúng vì X lẻ ( tích của hàm chẳn và lẻ ) và tích phân là 0. Vậy tính chất B đã được chứng minh.

Nếu s(t) thực và lẻ, R = 0. ( Tính chất C ).

Nếu s(t) ảo, X trở thành phần ảo của biến đổi và R là phần thực. Từ quan sát đơn giản đó, các tích chất D, E, F dễ dàng được chứng thật.

Dời thời gian ( Time Shift ).

Biến đổi Fourrier của một hàm thời gian bị dời thì bằng với biến đổi của hàm thời gian gốc nhân bởi một hàm expo phức.

e-j2fot S(f)  s(t - t0 )

(2.49)

Ví dụ 10: Tìm biến đổi Fourrier của:

s(t) =

Hình 87
Hình 87 (graphics101.wmf)

12ts(t)Hình 2.18 Dạng tín hiệu s(t).

Giải: Từ định nghĩa ta có:

S(f ) =

Hình 88
Hình 88 (graphics102.wmf)

= e-j2f

Hình 89
Hình 89 (graphics103.wmf)

Kết quả này có thể thu được từ việc dùng một hàm nấc trong ví dụ 4 và tính chất dời thời gian. s(t) ở ví dụ 10 trên đây thì giống như ở ví dụ 4 ( Với A =  = 1), ngoại trừ việc dịch thời gian 1 sec.

Dời tần số ( Frequency shift ).

Hàm theo thời gian tương ứng với một biến đổi Fourrier dời tần thì bằng với hàm theo thời gian của biến đổi không dời tần nhân với 1 hàm expo phức.

S(f - f0 )  ej2fo s(t)(2.50)

Ví dụ 11: Tìm biến đổi Fourrier của s(t).

s(t) =

Hình 90
Hình 90 (graphics104.wmf)

Giải:

s(t) này giống như s(t) ở ví dụ 4 ( với A =  = 1), trừ việc nhân với thừa số ej2t .

Định lý về sự dời tần được dùng để thấy rằng biến đổi là biến đổi gốc bị dời bởi một đơn vị tần số.

Như vậy, ta lấy biến đổi trong ví dụ 4 và thay thế f - 1 cho f.

S(f) =

Hình 91
Hình 91 (graphics105.wmf)

S(f)f0.51.51Hình 2.19 Biến đổi Fourier của tín hiệu s(t).

Sự tuyến tính.

Sự tuyến tính là tính chất quan trọng nhất của phép biến đổi Fourrier.

Biến đổi Fourrier của một tổ hợp tuyến tính của các hàm theo thời gian là một tổ hợp tuyến tính của các biến đổi Fourrier tương ứng.

as1(t) + bs2(t)  aS1(f) + bS2(f)(2.51)

Trong đó a, b là những hằng bất kỳ.

Có thể chứng minh trực tiếp từ định nghĩa của phép biến đổi Fourrier và từ tính chất của tuyến tính của thuật toán tích phân.

Hình 92
Hình 92 (graphics106.wmf)

= aS1(f) + bS2(f)

Ví dụ 12: Tìm biến đổi Fourrier của s(t).

s(t) =

Hình 93
Hình 93 (graphics107.wmf)

Hình 94
Hình 94 (.wmf)
s(t)21120.5t

Hình 2.20 Biến đổi Fourier của tín hiệu s(t).

Giải:

Ta dùng tính chất tuyến tính và thấy rằng s(t) là tổng của hàm trong ví dụ 4 với hàm trong ví dụ 11.

Vậy, biến đổi F cho bởi tổng của hai biến đổi.

S(f) =

Hình 95
Hình 95 (graphics108.wmf)

Vì hàm được cho sẽ chẳn nếu bị dời về trái 0,5 sec, ta có thể viết lại.

S(f) =

Hình 96
Hình 96 (graphics109.wmf)

Định lý về sự biến điệu

Định lý này kết hợp chặt chẻ với định lý về sự dời tần.

Cho một hàm s(t) và biến đổi Fourrier của nó. Hàm s(t) nhân với một sóng cosin:

s(t) cos2fot

Trong đó, f0 là tần số của cosin.

Biến đổi Fourrier của dạng sóng này cho bởi:

F [s(t) cos2f0t ] = 12S(ff0)+12S(f+f0)12S(ff0)+12S(f+f0) size 12{ { {1} over {2} } S \( f-f rSub { size 8{0} } \) + { {1} over {2} } S \( f+f rSub { size 8{0} } \) } {}(2.52)

Kết quả của sự nhân một hàm theo t với một hàm sin thuần túy là làm dời biến đổi gốc, cả chiều lên và chiều xuống, bởi tần số của hàm sin. ( Và cắt biên độ còn phân nữa).

Ta có thể chứng minh trực tiếp từ định lý dời tần. Phân cos2f0t thành 2 thành phần expo và áp định lý dời tần cho ta thấy rằng biến đổi F của một hàm tuần hoàn theo t là một đoàn xung lực cách đều nhau. Mỗi xung lực có độ lớn ( Strength ) bằng với hệ số Cn tương ứng.

Ví dụ 12: Tìm biến đổi F của hàm tuần hoàn tạo bởi các xung lực đơn vị như hình vẽ. Hàm cho bởi:

s(t) =

Hình 97
Hình 97 (graphics110.wmf)

T2T3T-Ts(t)tHình 2.21 Hàm tuần hoàn s(t).

Giải:

Biến đổi F cho bởi phương trình (2.53)

S(f) =

Hình 98
Hình 98 (graphics111.wmf)

Trong đó:

f0 =

Hình 99
Hình 99 (graphics112.wmf)

Cn =

Hình 100
Hình 100 (graphics113.wmf)
Hình 101
Hình 101 (graphics114.wmf)

Trong khoảng của tích phân, sự phân bố của s(t) chỉ do xung lực tại gốc. Vậy:

Cn =

Hình 102
Hình 102 (graphics115.wmf)
Hình 103
Hình 103 (graphics116.wmf)
=
Hình 104
Hình 104 (graphics117.wmf)

Cuối cùng, biến đổi F của đoàn xung lực là:

S(f) =

Hình 105
Hình 105 (graphics118.wmf)
Hình 106
Hình 106 (graphics119.wmf)

Trong đó f0 =

Hình 107
Hình 107 (graphics120.wmf)
.

Mỗi thành phần:

s(t) cos2f0t =

Hình 108
Hình 108 (graphics121.wmf)

Các hàm tuần hoàn

Ở ví dụ 6, ta đã thấy biến đổi F của 1 hàm cosin (f0) và tại trị âm của tần số này (-f0). Bây giờ, ta sẽ chứng tỏ rằng biến đổi F của một hàm bất kỳ là một hàm rời rạc của tần số. Đó là biến đổi thì khác zero chỉ tại những điểm rời rạc dọc theo trục f.

Cách chứng minh dựa vào sự khai triển chuỗi F và sự tuyến tính của phép biến đổi F.

Giả sử ta phải tìm biến đổi F của một hàm tuần hoàn s(t), với chu kỳ T. Ta có thể viết hàm s(t) theo cách biểu diễn chuỗi F phức.

s(t) =

Hình 109
Hình 109 (graphics122.wmf)

Trong đó f0 =

Hình 110
Hình 110 (graphics123.wmf)
.

Ta lập một cặp biến đổi:

Aej2fot  A (f - f0­)

Từ cặp này và tính tuyến tính của phép biến đổi F, ta có:

F [s(t) ] = n=-¥¥Cnn=-¥¥Cn size 12{ Sum cSub { size 8{n"=-¥"} } cSup { size 8{¥} } {C rSub { size 8{n} } } } {} F [ejn2fot]

(2.53)

s(f)fC4C2C0C-2f02f04f0-f0Biến đổi này được vẽ như hình dưới đây. Nhớ là Cn là số phức, vậy hình vẽ chỉ có chủ đích trình bày khái niệm. Nếu hàm s(t) thực và chẳn, Cn sẽ thực.

Hình 2.22 Biến đổi Fourier của hàm tuần hoàn s(t).

Collection Navigation

Content actions

Download:

Collection as:

PDF | EPUB (?)

What is an EPUB file?

EPUB is an electronic book format that can be read on a variety of mobile devices.

Downloading to a reading device

For detailed instructions on how to download this content's EPUB to your specific device, click the "(?)" link.

| More downloads ...

Module as:

PDF | EPUB (?)

What is an EPUB file?

EPUB is an electronic book format that can be read on a variety of mobile devices.

Downloading to a reading device

For detailed instructions on how to download this content's EPUB to your specific device, click the "(?)" link.

| More downloads ...

Add:

Collection to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks

Module to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks