S(t) = a0cos(0) + ∑n=1¥∑n=1¥ size 12{ Sum cSub { size 8{n=1} } cSup { size 8{¥} } {} } {}[ an cos 2 nf0t + bn sin 2f0t ](2.1)

Với t0 < t < t0 + T ; T

Hình 1

Hình 2

Số hạng thứ nhất là a0 vì cos (0) = 1.

Việc chọn các hằng an và bn theo các công thức sau:

- Với n = 0 ; a0 =

Hình 3

- Với n  0 ;an =

Hình 4

bn =

Hình 5

Hệ thức (2.2) có được bằng cách lấy tích phân 2 vế của (2.1).

Hệ thức (2.3) và (2.4) có được bằng cách nhân cả 2 vế của (2.1) cho hàm sin và lấy tích phân.

EULER  ej2nfot = cos 2nfot + j sin 2nfot(2.5)

S(t) = ∑n=-¥¥∑n=-¥¥ size 12{ Sum cSub { size 8{n"=-¥"} } cSup { size 8{¥} } {} } {}Cn e j2nfot(2.6)

Tròn đó n: Số nguyên; dương hoặc âm. Và Cn được định bởi:

Cn =

Hình 6

Điều này dễ kiểm chứng, bằng cách nhân hai vế của (2.5) cho e -j2nfot và lấy tích phân hai vế.

Kết quả căn bản mà ta nhận được = một hàm bất kỳ theo thời gian có thể được diễn tả bằng tổng các hàm sin và cos hoặc là tổng của các hàm mũ phức trong một khoảng.

Nếu s(t) là một hàm tuần hoàn, ta chỉ cần viết chuỗi Fourrier trong một chu kỳ, chuỗi sẽ tương đương với s(t) trong mọi thời điểm.

Ví dụ 1: Hãy xác định chuỗi Fourrier lượng giác của s(t) như hình vẽ. Chuỗi này cần áp dụng trong khoảng - /2 < 1< /2 .

Hình 7

Ta dùng chuỗi Fourrier lượng giác, với T =  và fo =

Hình 8

s(t) = a0 +

Hình 9

Trong đó: a0 =

Hình 10

và an =

Hình 11

Ta định giá bn như sau:

bn =

Hình 12

Vì s(t) là một hàm chẵn theo thời gian, nên s(t) .sin 2nt là một hàm lẻ và tích phân từ - /2 đến /2 là zero. Vậy bn = 0 với mọi s(t) lẻ. Chuỗi Fourrier được viết :

s(t) =

Hình 13

Lưu ý: Chuỗi Fourrier cho bởi phương trình trên đây có cùng khai triển như của hàm tuần hoàn sp(t) như hình dưới đây:

Hình 14

Trong lúc tìm sự biểu diễn chuỗi Fourrier phức của 1 hàm theo thời gian, ta dùng một thừa số trọng lượng phức Cn cho mỗi trị của n. Thừa số Cn có thể được vẽ như là hàm của n. Vậy cần đến 2 đường biểu diễn. Một để biểu diễn cho suất của n và một để biểu diễn pha.

Đường biểu diễn này thì rời rạc. Nó chỉ khác zero đối với những trị gián đoạn của trục hòanh. ( Ví dụ: C1/2 thì không có ý nghĩa ).

Đường biểu diễn Cn đối với nf0 gọi là phổ Fourrier phức. Trong đó nf0 là lượng tương ứng với tần số của hàm mũ phức mà đối với nó Cn là một hệ số trọng lượng.

Ví dụ 2: Tìm phổ Fourrier phức của sóng cosin được chỉnh lưu toàn sóng, s(t) = cos t, như hình vẽ dưới đây.

Hình 15

Trước hết ta phải tìm khai triển chuỗi Fourrier theo dạng hàm mũ phức.

Với F0 =

Hình 16

Tuy nhiên ở ví dụ 1, ta đã khai triển chuỗi Fourrier dưới dạng lượng giác rồi, nên có thể khai triển hàm cos để đưa về dạng hàm mũ phức bằng cách dùng công thức Euler:

s(t) =

Hình 17

Với cos 2nt =

Hình 18

Vậy chuỗi Fourrier dạng hàm mũ:

s(t) =

Hình 19

=

Hình 20

Ta đã đổi biến số ở số hạng sau. Vậy Cn liên hệ với an:

Cn =

Hình 21

Cn =

Hình 22

Cn =

Hình 23

Trong trường hợp này, Cn là số thực. Nên chỉ cần vẽ một đồ hình.

nf02/2/32/351-1-2-3233-2/15

Hình 2.4: Phổ vạch của ví dụ 2 .

Một tín hiệu không tuần hoàn được xem như là trường hợp giới hạn của một tín hiệu tuần hoàn, trong đó chu kỳ T của tín hiệu tiến đến . Nếu chu kỳ tiến đến , tần số căn bản F0 tiến đến 0. Các họa tần khép lại với nhau và, trong giới hạn, tổng chuỗi Fourrier biểu diễn cho s(t) sẽ trở thành một tích phân.

F [s(t)] = S(f) ***SORRY, THIS MEDIA TYPE IS NOT SUPPORTED.*** ∫-¥¥s(t)e−j2pftdt∫-¥¥s(t)e−j2pftdt size 12{ Int cSub { size 8{"-¥"} } cSup { size 8{¥} } {s \( t \) e rSup { size 8{-j2p ital "ft"} } } ital "dt"} {}

(2.10)

F [.] kí hiệu cho biến đổi Fourrier của [.].

Nó còn được gọi là phổ - hai - phía ( Two - Side - Spectrum ) của s(t), vì cả hai thành phần tần số dương và âm đều thu được từ (2.10). Giả sử s(t) là một hàm thực (vật lý).

Một cách tổng quát, S(f) là một hàm phức theo tần số. S(f) có thể phân làm hai hàm thực X(f) và Y(f) :

S(f) = X(f) + jY(f) (2.11)

Dạng trên gọi là dạng Cartesian, vì S(f) có thể được biểu diễn trong một hệ trục tọa độ Descartes. Cũng có thể biểu diễn S(f) trong một hệ trục cực. Khi đó, cặp hàm thực sẽ trình bày suất và pha.

S(f) = S(f)  ej(f)

(2.12)

Với :

S(f) =

Hình 24

và:

(f) = tan-1

Hình 25

Dạng trên đây còn gọi là dạng cực ( Polar form ).

Để xác định những tần số nào hiện hữu, ta khảo sát phổ của xuất S(f). ( Đôi khi gọi tắt là ” Phổ “ ).

Phổ của một dạng sóng ( dòng hay thế ) có thể thu được từ những phép tính toán học. Nó không xuất hiện một cách vật lý trong các mạch điện thực tế. Tuy nhiên có thể dùng Spectrum Analyser để quan sát một cách gần đúng.

* Để phục hồi lại s(t) từ biến đổi Fourrier của nó, ta tính tích phân sau:

s(t) = ∫-¥¥S(f)ej2pftdt∫-¥¥S(f)ej2pftdt size 12{ Int cSub { size 8{"-¥"} } cSup { size 8{¥} } {S \( f \) e rSup { size 8{j2p ital "ft"} } } ital "dt"} {} = F -1 [S(f)]

(2.15)

Phương trình này thường gọi là biến đổi ngược của S(f). Hai hàm s(t) và S(f) tạo thành một cặp biến đổi Fourrier. Trong đó, s(t) diễn tả trong phạm vi thời gian, còn S(f) diễn tả trong phạm vi tần số.

Ký hiệu cho một cặp biến đổi Fourrier :

S(f)  s(t) s(t)  S(f)

Hoặc(2.16)

Nếu tín hiệu hoặc nhiễu được mô tả trong phạm vi này, thì sự mô tả tương ứng trong phạm vi kia sẽ được biết nhờ cách dùng (2.10) hoặc (2.15).

Dạng sóng s(t) có thể biến đổi Fourrier được nếu nó thỏa các điều kiện Dirichelet. Tuy nhiên, tất cả các dạng sóng vật lý trong kỷ thuật đều thỏa các điều kiện đó.

Ví dụ 3: Phổ của một xung expo.

Đặt s(t) là một xung expo tắt ( Decaying Exponential Pulse ) bị ngắt ( Switched ) tại t = 0.

s(t) =

Hình 26

Phổ của xung này có được bằng dùng phép biến đổi Fourrier.

S(f) =

Hình 27

S(f) = 11+j2pf11+j2pf size 12{ { {1} over {1+j2pf} } } {}

(2.17)

Phổ của S(f) có thể tính bằng cách hữu tỷ hóa mẫu số (2.17)

X(f) =

Hình 28

Hình 29

Và dạng cực:

S(f)  =

Hình 30

Cặp Fourrier trong ví dụ trên:

Hình 31

Ta phải đưa vào một loại hàm mới trước khi nói đến những ứng dụng của lý thuyết Fourrier. Loại hàm này nổi lên bất cứ lúc nào ta phân giải các loại hàm tuần hoàn. Đó là một phần của nhóm các hàm kỳ dị. Chúng có thể những chuyển hóa của hàm nấc đơn vị.

Ví dụ 4. Biến đổi Fourrier của hàm cổng ( Gating Function ):

Tìm biến đổi của s(t), trong đó:

s(t) =

Hình 32

(2.19)

A-ts(t)

Hình 2.5 Tín hiệu s(t).

* Từ định nghĩa của biến đổi Fourrier.

S(f) =

Hình 33

=

Hình 34

= A

Hình 35

(2.20)

= A

s(f)f21/21/Hình 2.6 Anh của s(t) trong biến đổi Fourier.

Những hàm thuộc loại trên đây rất phổ biến trong kỷ thuật thông tin. Để tránh lập lại hàm này ta định nghĩa hàm Sa(x) như sau:

Sa(x)

Hình 36

Hình 37

(2.21)

Khi đó (2.20) được viết lại:

S(f) = 2A . Sa( 2f )(2.22)

Hàm xung lực ( Impulse ).

Bây giờ ta muốn tìm biến đổi Fourrier của 1 hằng, s(t) = A, với mọi t. Ta có thể xem nó là giới hạn của xung g(t) khi   . Ta cố gắng theo cách quanh co này, vì kỷ thuật trực tiếp thất bại trong trường hợp này.

Khi áp s(t) = A vào tích phân định nghĩa, ta có:

S(f) =

Hình 38

(2.23)

Tích phân này không hội tụ. Từ (2.6), ta thấy khi    , biến đổi Fourrier tiến đến vô cực tại gốc và những điểm cắt trục zero trở nên cách nhau vô cùng lớn. Như vậy, trong giới hạn, chiều cao của biến đổi Fourrier tiến đến vô cực, còn bề rộng thì đến zero. Điều này nghe buồn cười ! Nhưng nó không phải là một hàm thực sự với mọi lúc vì nó không được xác định tại f = 0. Nếu ta có nói bất cứ điều gì về biến đổi Fourrier của một hằng, ta phải thay đổi cách nghĩ.

Sự thay đổi đó bắt đầu bằng cách định nghĩa một “ hàm “ mới đặt tên là xung lực ( mà nó không phải là một hàm thực sự tại mọi lúc ). Ký hiệu là (t).

Định nghĩa của xung lực được tạo bởi 3 quan sát đơn giản. Hai trong số đó đã nói đến rồi, đó là:

Hình 39

(2.24)

Tính chất thứ 3 là diện tích tổng dưới dạng xung lực là đơn vị:

(2.25)

Vì tất cả diện tích của (t) tập trung tại một điểm, những giới hạn trên tích phân có thể chuyển về gốc mà không làm thay đổi giá trị của tích phân. Vậy:

Hình 40

(2.26)

Ta có thể thấy rằng tích phân của (t) là u(t), hàm nấc đơn vị:

(2.27)

Bây giờ ta tính tích phân của một hàm bất kỳ với (t).

(2.28)

Ở (2.28) ta đã thay s(t) bởi một hàm không đổi, bằng với s(0) mà không làm thay đổi tích phân. Ta nhớ rằng vì (t) = 0 với mọi t  0. Vì thế tích của (t) với một hàm bất kỳ chỉ phụ thuộc trị giá của hàm đó tại t = 0. Với hàm không đổi ( theo thời gian ) được chọn, ta có thể đem nó ra ngoài dấu tích phân.

∫ -¥ ¥ s ( t ) d ( t ) dt = s ( 0 ) ∫ -¥ ¥ d ( t ) dt = s ( 0 ) ∫ -¥ ¥ s ( t ) d ( t ) dt = s ( 0 ) ∫ -¥ ¥ d ( t ) dt = s ( 0 ) size 12{ Int cSub { size 8{"-¥"} } cSup { size 8{¥} } {s \( t \) d \( t \) ital "dt"} =s \( 0 \) Int cSub { size 8{"-¥"} } cSup { size 8{¥} } {d \( t \) } "dt"=s \( 0 \) } {}

(2.29)

Đây là một kết quả có ý nghĩa, và nó được xem như là đặc tính mẫu ( Sampling Property ) của xung lực.

∫-¥¥s(t)d(t−t0)dt=∫-¥¥s(k+t0)d(k)dk=s(t0)∫-¥¥s(t)d(t−t0)dt=∫-¥¥s(k+t0)d(k)dk=s(t0) size 12{ Int cSub { size 8{"-¥"} } cSup { size 8{¥} } {s \( t \) d \( t-t rSub { size 8{0} } \) } "dt"= Int cSub { size 8{"-¥"} } cSup { size 8{¥} } {s \( k+t rSub { size 8{0} } \) d \( k \) "dk"=s \( t rSub { size 8{0} } \) } } {}Nếu đổi các biến số, sẽ có một xung bị dời ( Shifted Impules ) với đặc tính mẫu tương tự.

(t)(t-t0)t011tt(2.30)

Hình 2.7 Xung drac bị dời một khoảng t0.

Hai hình vẽ trên trình bày (t) và ( t - t0 ). Mũi tên hướng lên để chỉ trị giá tiến đến vô cực. Số 1 bên cạnh mũi tên để chỉ diện tích toàn phần của xung lực.

Ví dụ 5: Tính các tích phân sau:

a)

Hình 41

b)

Hình 42

c)

Hình 43

d)

Hình 44

Giải:

a) Áp dụng trực tiếp đặc tính mẫu:

= s(0) = 02 + 1 = 1

b) Vì xung lực rơi vào khoảng của tích phân: Từ phương trình (2.30)

Hình 45

= s(1) = 12 + 1 = 2

c) Xung lực xảy ra ở t = 1, nằm ngoài khoảng của tích phân. Vậy:

Hình 46

= 0

d) ( 1 - t ) rơi tại t = 1 vì đó là giá trị của t làm cho suất bằng zero. Vậy:

Hình 47

= 14 + 2 = 3

* Bây giờ ta tìm biến đổi Fourrier của một xung lực:

(t) 

Hình 48

= e0 = 1(2.31)

* Ta trở lại tính biến đổi của 1 hằng, s(t) = A. Ta dễ thấy là tích phân xác định không hội tụ.

A 

Hình 49

(2.32)

Với f  0, tích phân này bị giới hạn bởi

Hình 50

.

Với f = 0 tích phân sẽ ?

* Vì tích phân định nghĩa biến đổi Fourrier và tích phân để tính biến đổi ngược thì tương tự, nên ta có thể phỏng đoán rằng biến đổi của một hằng là 1 xung lực. Đó là vì, một xung lực biến đổi thành một hằng, vậy một hằng sẽ biến đổi thành một xung lực.

Ta hãy tìm biến đổi ngược của một xung.

(f) 

Hình 51

= 1(2.33)

Như vậy, điều phỏng đoán của ta là đúng! Biến đổi ngược của (f) là một hằng, vậy ta có:

A  A(f)(2.34)

* Nếu ta biến đổi ngược 1 xung lực bị dời, ta khai triển cặp biến đổi sau:

Aej2fot  A ( f - f0 ) (2.35)

Ví dụ 6: Tìm biến đổi Fourrier của s(t) = cos2f0t

Giải: Dùng công thức Euler, để khai triển hàm cosin:

Cos2f0t =

Hình 52

ej2fot +

Hình 53

e - j2fot

Biến đổi Fourrier của s(t) là tổng các biến đổi của 2 hàm expo. Từ (2.34)

Cos2f0t «12d(f−f0)+12d(f+f0)«12d(f−f0)+12d(f+f0) size 12{« { {1} over {2} } d \( f-f rSub { size 8{0} } \) + { {1} over {2} } d \( f+f rSub { size 8{0} } \) } {}

(2.36)

-f0f01/21/2s(f)fBiến đổi này được vẽ:

Hình 2.8 Biến đổi Fourier của cos2f0t.

Hàm nấc đơn vị ( Unit step function ).

Một cặp biến đổi khác mà ta sẽ nói đến, là hàm nấc đơn vị. Ở đây, một lần nữa, ta lại gắn hàm vào định nghĩa của phép biến đổi, tích phân không hội tụ. Ta lại dùng đến kỷ thuật phỏng đoán. Và do sự không liên tục của hàm nấc, kỷ thuật này trở nên có nhiều hy vọng. Phép biến đổi thì tương đối dễ tính khi ta thực hiện như sau:

u(t) =

Hình 54

(2.37)

Trong đó, hàm Sgn được định nghĩa bởi:

1/21/2U(t)/2-1/2ttt+=11/2sign (t)/2Sgn (t)

Hình 55

Hình 56

(2.38)

Hình 2.9 Tín hiệu của hàm dốc.

Biến đổi của

Hình 57

là

Hình 58

(t).

Biến đổi của hàm Sgn(t) có thể tính bằng cách xem nó như là một giới hạn của hàm expo.

a0Sgn(t) = lim [ e-at Sgn(t) ]

1-1te-at-eat

Hình 2.10 Hàm sgn(t).

Ta có:a0 F [ Sgn(t) ] = lim F [ e-at Sgn(t) ] (3.39)

a0= lim

Hình 59

Biến đổi của hàm nấc đơn vị được cho bởi phương trình (2.40)

u(t)  1j2pf+12d(f)1j2pf+12d(f) size 12{ { {1} over {j2pf} } + { {1} over {2} } d \( f \) } {}

(2.40)

Phép chồng 2 hàm r(t) và s(t) được định nghĩa bởi thuật toán tích phân:

r(t) * s(t) = ∫-¥¥r(t)s(t−t)dt=∫-¥¥s(t)r(t−t)dt∫-¥¥r(t)s(t−t)dt=∫-¥¥s(t)r(t−t)dt size 12{ Int cSub { size 8{"-¥"} } cSup { size 8{¥} } {r \( t \) s \( t-t \) dt} = Int cSub { size 8{"-¥"} } cSup { size 8{¥} } {s \( t \) r \( t-t \) dt} } {}(2.41)

Ký hiệu * thì được qui ước và đọc “ r(t) chồng với s(t) “.

Tích phân thứ hai là kết quả từ sự đổi biến số và chứng tỏ rằng phép chồng có tính giao hoán vậy:

r(t) * s(t) = s(t) * r(t).

Nhớ là phép chồng 2 hàm của t là một hàm của t.  là một biến số giả do tích phân mà ra.

Một cách tổng quát, tích phân của phương trình (2.41) thì rất khó tính.

Ví dụ 7: Tính phép chồng của r(t) với s(t). Trong đó, r(t) và s(t) là những xung vuông được vẽ như hình.

r(t)s(t)11-11-22ttHình 2.11 Dạng tín hiệu r(t) và s(t).

Giải:

Các hàm có thể viết dưới dạng:

r(t) = u ( t + 1) - u ( t - 1)

s(t) = u ( t + 2) - u ( t - 2)

Trong đó, u(t) là hàm nấc định nghĩa bởi:

u(t) =

Hình 60

Phép chồng

r(t) * s(t)

Hình 61

Hình 62

Ta thấy rằng:

r() = u ( + 1) - u ( - 1)

và:

s( t -  ) = u ( t -  + 2 ) - u ( t -  - 2 )

r() s(t-) = u (+1)u(t-+2) - u(+1)u(t--2) - u(-1)u(t-+2) + u(-1)u(t--2)

Như vậy, tích phân được tính thành từng phần:

r(t) * s(t) =

Hình 63

Hình 64

-

Hình 65

Hình 66

Bây giờ, ta nhớ rằng u (  + 1 ) thì bằng zero với  < -1 và u (  - 1 ) thì bằng zero với t < 1. Như vậy, những giới hạn của tích phân được thu lại:

r(t) * s(t) =

Hình 67

Hình 68

-

Hình 69

Hình 70

Ta đã thay một của các hàm nấc bằng trị giá của nó ( là 1 ) trong khoảng mà nó áp dụng. Bây giờ, ta cố gắng tính từng tích phân. Nhớ là:

u(t -  + 2) = 0 ,  > t + 2

và u(t -  - 2) = 0,  > t - 2

Ta có:

Hình 71

( Vì rằng t + 2 > -1 hoặc t > -3. Ở khoảng khác, tích phân là zero).

- Nếu t - 2 > -1 hoặc t > 1,

Hình 72

- Nếu t + 2 > +1 hoặc t > -1,

Hình 73

- Nếu t - 2 > 1 hoặc t > 3,

Hình 74

Dùng 4 kết quả đó ta có:

r(t) * s(t) = ( t + 3)u(t + 3) - (t - 1)u(t - 1) - (t + 1)u(t + 1) + (t - 3)u(t - 3)

ttttt(t+3)U(t+3)(t-3)U(t-3)-(t+1)U(t+1)-(t-1)U(t-1)r(t)*s(t)2-1-2-3-41234-1-1133-3Bốn số hạng này và tổng của chúng được vẽ như hình dưới đây. Từ ví dụ khiêm tốn này, ta có thể thấy rằng nếu r(t) hoặc s(t) chứa hàm nấc, thì cách tính phép chồng trở nên rất lúng túng.

Hình 2.12 Phép chồng của tín hiệu r(t) và tín hiệu s(t).

Nếu r(t) và s(t) quá phức tạp, hoặc dạng sóng không được biết chính xác, ta có thể dùng phép chồng đồ hình. Phương pháp này dùng những quan sát và kiểm tra tổng quát mà không phải tính chi tiết các tích phân. Trong nhiều áp dụng thông tin, phương pháp này thì đủ mà không cần thiết phải tính một phép chồng chính xác.

Ví dụ 8: Dùng phép chồng đồ hình cho 2 hàm ở ví dụ 7.

Bảng 1

t	11-111-111-111-111-111-111-111-111-111-111-111-11-6-2-5-1-4.5-.5-4-3.5.5-31-2.51.5-22-1.52.5-13-.53.515-11-11-11-11-11-.51-1.5-1-1-.511111111111111111111111r(t)	s(t-)	r()s(t-)	Diện tích
-4				0
-3				0
2				1
-1				2
				2
0				2
				2
1				2
3				0

Ảnh qua gương của s() là s( - ). Đó là s() được phản xạ qua trục đứng.

Với một t cho sẵn, ta lập s(t - ), biểu diễn cho hàm s( - ) bị dời về phía phải bởi t. Sau đó, ta lấy tích số:

r(t) s(t)( t -  )

Và lấy tích phân của tích số này ( chính là tìm diện tích ) để có được trị giá của phép chồng ứng với trị giá của t.

Hình trên đây trình bày 12 khung của sự dời hình. Với ví dụ đặc biệt này, không bắt buộc s(t) phải phản xạ để có ảnh qua gương, vì s(t) là một hàm chẳn.

Nhớ là diện tích của tích số biểu diễn cho trị giá của phép chồng. Diện tích này được vẽ thành một chuỗi các điểm. Có thể thấy là kết quả giống như ở ví dụ 7.

2231-1-2-3r(t)*s(t)tĐường nối các điểm là đường thẳng. Điều đó hiển nhiên, vì phép chồng trở thành tích phân của một hằng. Kết quả cho một hàm dốc ( Ramp Function ).

Hình 2.14 Kết quả phép chồng đồ hình của s(t) và r(t).

r(t)s(t)1113-11ttVí dụ 9: Tính phép chồng ( bằng đồ hình ) của 2 hàm sau đây: (Sinh viên tự giải)

Hình 2.15 Tín hiệu s(t) và r(t) .

Bây giờ ta xem phép chồng của một hàm bất kỳ với xung lực (t).

(T) * s(t) =

Hình 75

Như vậy một hàm bất kỳ chồng với một xung lực thì giữ nguyên không thay đổi.

Hình 76

Hình 2.16 Kết quả phép chồng đồ hình của s(t) và r(t)

Nếu ta chồng s(t) với xung lực bị dời ( Shifted ) (t - t0), ta thấy:

(t - t0) * s(t) =

Hình 77

Tóm lại, phép chồng s(t) với một xung lực không làm thay đổi dạng hàm của s(t). Có thể chỉ gây nên một sự dời thời gian trong s(t) nếu xung lực không xảy ra tại t = 0.

Giờ ta đã có khái niệm về thuật toán gọi là “ phép chồng “. Ta hãy trở lại phép biến đổi Fourrier. Định lý về phép chồng:

Nếu r(t)  R(f)

Và s(t)  S(f)

Thì: r(t) * s(t)  R(f). S(f)(2.44)

Có thể chứng minh trực tiếp định lý bằng cách tính biến đổi Fourrier của phép chồng.

Ta cũng có thể chứng minh:

R(f) * S(f)  r(t) . s(t) (2.45)

Bằng cách tính biến đổi Fourrier ngược.

Ví dụ 9: Dùng định lý phép chồng để tính tích phân sau:

Hình 78

Giải:

Tích phân trên biểu diễn phép chồng của 2 hàm theo thời gian:

sin

Hình 79

2-3/23/2-1/21/2-1/21/2tttF F x=Biến đổi Fourrier của tích phân là tích của biến đổi Fourrier của 2 hàm. Hai biến đổi này có thể xem ở bảng phụ lục.

Hình 2.17 Tích của hai biến đổi Fourier từ s(t) và r(t).

Lấy biến đổi Fourrier ngược của tích này, ta sẽ có kết quả của phép chồng. Đó là:

Hình 80

Dạng sóng của một hàm và của biến đổi Fourrier của nó thì rất ít giống nhau. Tuy nhiên, một vài hệ thức hiện hữu giữa năng lượng của một hàm thời gian và năng lượng của biến đổi Fourrier của nó.

Dùng “ năng lượng “ để chỉ tích phân của bình phương của hàm. Từ này được dùng và nó biểu diễn trị giá năng lượng ( watt - sec ) tiêu tán trong điện trở 1 nếu tín hiệu là điện thế hoặc dòng điện ngang qua điện trở.

Ta có:

r(t) s(t)  R(f) * S(f)

F [ r(t) s(t) ] =

Hình 81

=

Hình 82

Vì đẳng thức này đúng với mọi f, ta đặt f = 0. Khi đó:

Hình 83

Hình 84

Biểu thức (2.47) là một dạng của công thức Paseval. Nó liên quan đến năng lượng nên ta xét trường hợp đặc biệt:

s(t) = r * (t)

r*(t) là liên hợp của r(t).

F [ r*(t)] cho bởi liên hợp của biến đổi Fourrier, bị phản xạ qua trục dọc. Đó là R*(-f).

Dùng kết quả của (2.47), ta được:

(2.48)

Phương trình (2.48) chứng tỏ rằng năng lượng của hàm theo t thì bằng với năng lượng của biến đổi Fourrier của nó.

Định lý này kết hợp chặt chẻ với định lý về sự dời tần.

Cho một hàm s(t) và biến đổi Fourrier của nó. Hàm s(t) nhân với một sóng cosin:

s(t) cos2fot

Trong đó, f0 là tần số của cosin.

Biến đổi Fourrier của dạng sóng này cho bởi:

F [s(t) cos2f0t ] = 12S(f−f0)+12S(f+f0)12S(f−f0)+12S(f+f0) size 12{ { {1} over {2} } S \( f-f rSub { size 8{0} } \) + { {1} over {2} } S \( f+f rSub { size 8{0} } \) } {}(2.52)

Kết quả của sự nhân một hàm theo t với một hàm sin thuần túy là làm dời biến đổi gốc, cả chiều lên và chiều xuống, bởi tần số của hàm sin. ( Và cắt biên độ còn phân nữa).

Ta có thể chứng minh trực tiếp từ định lý dời tần. Phân cos2f0t thành 2 thành phần expo và áp định lý dời tần cho ta thấy rằng biến đổi F của một hàm tuần hoàn theo t là một đoàn xung lực cách đều nhau. Mỗi xung lực có độ lớn ( Strength ) bằng với hệ số Cn tương ứng.

Ví dụ 12: Tìm biến đổi F của hàm tuần hoàn tạo bởi các xung lực đơn vị như hình vẽ. Hàm cho bởi:

s(t) =

Hình 97

T2T3T-Ts(t)tHình 2.21 Hàm tuần hoàn s(t).

Giải:

Biến đổi F cho bởi phương trình (2.53)

S(f) =

Hình 98

Trong đó:

f0 =

Hình 99

Cn =

Hình 100

Hình 101

Trong khoảng của tích phân, sự phân bố của s(t) chỉ do xung lực tại gốc. Vậy:

Cn =

Hình 102

Hình 103

Hình 104

Cuối cùng, biến đổi F của đoàn xung lực là:

S(f) =

Hình 105

Hình 106

Trong đó f0 =

Hình 107

Mỗi thành phần:

s(t) cos2f0t =

Hình 108

Ở ví dụ 6, ta đã thấy biến đổi F của 1 hàm cosin (f0) và tại trị âm của tần số này (-f0). Bây giờ, ta sẽ chứng tỏ rằng biến đổi F của một hàm bất kỳ là một hàm rời rạc của tần số. Đó là biến đổi thì khác zero chỉ tại những điểm rời rạc dọc theo trục f.

Cách chứng minh dựa vào sự khai triển chuỗi F và sự tuyến tính của phép biến đổi F.

Giả sử ta phải tìm biến đổi F của một hàm tuần hoàn s(t), với chu kỳ T. Ta có thể viết hàm s(t) theo cách biểu diễn chuỗi F phức.

s(t) =

Hình 109

Trong đó f0 =

Hình 110

Ta lập một cặp biến đổi:

Aej2fot  A (f - f0­)

Từ cặp này và tính tuyến tính của phép biến đổi F, ta có:

F [s(t) ] = ∑n=-¥¥Cn∑n=-¥¥Cn size 12{ Sum cSub { size 8{n"=-¥"} } cSup { size 8{¥} } {C rSub { size 8{n} } } } {} F [ejn2fot]

(2.53)

s(f)fC4C2C0C-2f02f04f0-f0Biến đổi này được vẽ như hình dưới đây. Nhớ là Cn là số phức, vậy hình vẽ chỉ có chủ đích trình bày khái niệm. Nếu hàm s(t) thực và chẳn, Cn sẽ thực.

Hình 2.22 Biến đổi Fourier của hàm tuần hoàn s(t).