Connexions

You are here: Home » Content » Wiskunde Graad 9 » Pythagoras

Lenses

What is a lens?

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags?

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

In these lenses

• GETSenPhaseMaths

This collection is included inLens: Siyavula: Mathematics (Gr. 7-9)
By: Siyavula

Collection Review Status: In Review

Click the "GETSenPhaseMaths" link to see all content selected in this lens.

Click the tag icon to display tags associated with this content.

Recently Viewed

This feature requires Javascript to be enabled.

Tags

(What is a tag?)

These tags come from the endorsement, affiliation, and other lenses that include this content.

Inside Collection (Course):

Course by: Siyavula Uploaders. E-mail the author

Pythagoras

Module by: Siyavula Uploaders. E-mail the author

WAAROM IS PYTHAGORAS SO BELANGRIK?

ONDERSOEK

1.1 Werk in ’n groep, maar begin eers alleen. Trek drie reghoekige driehoeke van verskillende vorms en groottes. Werk so akkuraat moontlik. As jy op blokkiespapier werk, is dit baie makliker. Werk nou nog meer akkuraat en meet die drie sye van elke driehoek. Werk tot die naaste millimeter. Vul die eerste drie rye van die tabel in. Gebruik nou ’n sakrekenaar om die tabel te voltooi.

 SIMBOOL DRIEHOEK A DRIEHOEK B DRIEHOEK C Lengte van die kortste sy a .................... .................... .................... Lengte van middelste sy b .................... .................... .................... Lengte van die langste sy c .................... .................... .................... Kwadraat van lengte van kortste sy a 2 .................... .................... .................... Kwadraat van lengte van middelste sy b 2 .................... .................... .................... Som van die boonste twee kwadrate a2 + b2 .................... .................... .................... Kwadraat van lengte van langste sy c 2 .................... .................... ....................

1.2 Daar behoort iets aan te gaan met die waardes in die gemerkte blokkies. In die groep, skryf neer presies wat julle waarneem en (as julle kan) wat die rede is.

• ’n Mens kan die drie gegewe lyne gebruik om ’n reghoekige driehoek te vorm.

Uitknipwerk:

2.1 Kan ’n mens die drie gegewe vierhoeke ook gebruik om ’n driehoek te vorm?

3. Som die uitslag van hierdie ondersoek netjies op.

einde van ONDERSOEK

Die Stelling van Pythagoras lui:

• In ’n reghoekige driehoek is die kwadraat van die skuinssy se lengte gelyk aan die som van die kwadrate van die lengtes van die ander twee sye.

Die belangrikheid van die Stelling van Pythagoras is dat ons dit op twee maniere gebruik: Eerstens, as ons weet dat ’n driehoek reghoekig is, dan kan ons iets belangriks sê oor die lengtes van die sye. Tweedens, as ons weet dat die drie sye van ’n driehoek die gegewe verband met mekaar het, dan moet die driehoek reghoekig wees.

KLASWERK

1. Ons benoem driehoeke soos volg:

• Verwys na die skets hierlangs.
• Die drie hoekpunte kry hoofletters as name. (A, B en C)
• Die sye kan benoem word as die twee hoekpuntewaartussen die sy lê (AB, BC en AC), of kleinletterskan gebruik word, dikwels dieselfde kleinletter as diehoekpunt oorkant die sy (a, b en c).
• Ons werk hier met reghoekige driehoeke, maar hierdiebenoeming werk vir ander driehoeke ook.
• Ons gebruik dieselfde letters vir beide die naam van ’n sy en vir die lengte van die sy.
• Bv. PR = 3,5 cm of r = 5 cm.ΔPRS beteken: driehoekPRS

ONTHOU om altyd ’n liniaal te gebruik vir mooi sketse!

• In die volgende oefeninge is die eerste probleem telkens ’n voorbeeld.

2. Probleem: Driehoek AEH het ’n regte hoek by H.AH = 6 cm en EH = 8 cm.Maak ’n skets (nie akkuraat nie) van die driehoek engebruik die Stelling van Pythagoras om die lengte vansy AE te bereken.

Oplossing: Omdat ons weet dat die driehoek ’nregte hoek het, mag ons sê dat AE2 = AH2 + EH2 (of: h2 = e2 + a2 )

Substitusie:AH2 + EH2 = (6)2 + (8)2 = 36 + 64 = 100 cm2 As, dus, AE2 = 100 cm2 , dan is AE 10 cm.

2.1 Bereken die derde sy van die volgende driehoeke:

2.1.1 ΔDEF met D ’n regte hoek en e = 5 mm en f = 12 mm

2.1.2 ΔXYZ met Y ’n regte hoek en x = 3 cm en y = 5 cm.

3. Probleem: Wat is die lengte van die kortste sy (b) van die reghoekige driehoek ABC as die ander twee sye 6 cm en 9 cm is? C is die regte hoek.

Oplossing: In ’n reghoekige driehoek is die langste sy altyd die skuissy, naamlik die sy oorkant die regte hoek. Ons moet dus die Stelling van Pythagoras in sy ander vorm gebruik.

• As b die kortste sy is, en C ’n regte hoek, dan is c die langste sy. Gebruik dus:

b2 = c2a2 (let op waar b2 is, en dat ons aftrek)

b2 = (9)2 – (6)2 = 81 – 36 = 45 cm2 Sakrekenaar tyd!

b2 = 45. Gebruik die size 12{ sqrt {} } {} – knoppie op die sakrekenaar om b se waarde te kry.

• Jou sakrekenaar gee die antwoord: b = 6,7082039 . . . ensovoorts. Maar maak dit sin om dit as ’n antwoord te gee? Bespreek gerus of die benaderde (afgeronde) antwoord, naamlik 6,7cm, aan ons vereistes voldoen.

3.1.1 Bereken die skuissy van ’n driehoek met die lengtes van die ander twee sye albei gelyk aan 9 cm. (Benoem die driehoek self.)

3.1.2 ΔPQR is reghoeking en gelykbenig. Bereken die lengte van PR, as die skuinssy 13,5 cm is.

4. Probleem: Is ΔGHK reghoekig as GK = 24 cm, GH = 26 cm en HK = 10 cm is?

Oplossing: In hierdie probleem weet ons wat al drie die sylengtes is. As ons wil weet of dit ’n reghoekige driehoek is, moet ons bevestig dat (skuinssy)2 = (een sy)2 + (ander sy)2 .

Die skuinssy is altyd die langste. Ons gebruik ’n spesifieke metode as ons ’n antwoord moet bevestig. Ons werk die linkerkant van die vergelyking en die regterkant apart uit. So:

• Linkerkant = (skuinssy)2 = 262 = 676 cm2
• Regterkant = (een sy)2 + (ander sy)2 = 242 + 102 = 576 + 100 = 676 cm2
• Omdat die linkerkant en die regterkant gelyk is, is die driehoek wel reghoekig.
• Is dit moontlik om te besluit watter hoek die regte hoek moet wees? Antwoord self!

4.1 Is die driehoeke met die volgende sylengtes reghoekig? Watter hoek is die regte hoek?

4.1.1 a = 30 mm, b = 40 mm en c = 50 mm.

4.1.2 p = 8 cm, q = 13 cm en r = 15 cm.

4.1.3 MN = 15,56 cm, en NP = MP = 11 cm.

einde van KLASWERK

HUISWERKOPDRAG

1. Bereken die derde sy van die volgende driehoeke:

1.1 ΔABC met C = 90° en b = 5 mm en c = 13 mm

1.2 ΔMNO met O die regte hoek en m = 6 cm en n = 8 cm.

2. Vind uit of die volgende driehoeke reghoekig is, en watter hoek 90° is.

2.1 a = 9 mm, b = 11 mm en c 13 cm

2.2 XZ = 85 mm, XY = 13 mm en YX = 86 mm.

einde van HUISWERKOPDRAG

Die verband tussen wortels en eksponente

KLASWERK

1. Agt van die vergelykings in hierdie lys moet in die tweede ry van die tabel onder die vergelyking in die boonste ry wat die beste pas, ingevul word.

25=525=5 size 12{ sqrt {"25"} =5} {} ; b=b2b=b2 size 12{ size 11{b}= sqrt { size 11{b rSup { size 8{2} } }} } {} ; 9=39=3 size 12{ sqrt {9} =3} {} ; 646=2646=2 size 12{ nroot { size 8{6} } {"64"} =2} {} ; a33=aa33=a size 12{ nroot { size 8{3} } { size 11{a rSup { size 8{3} } }} size 12{ {}=}a} {} ; 83=283=2 size 12{ nroot { size 8{3} } {8} =2} {} ;

814=3814=3 size 12{ nroot { size 8{4} } {"81"} =3} {} ; 64=864=8 size 12{ sqrt {"64"} =8} {} ; 49=749=7 size 12{ sqrt {"49"} =7} {}

 Eksponent­vorm 2 3 = 8 2 3 = 8 size 12{2 rSup { size 8{3} } =8} {} 9 = 3 2 9 = 3 2 size 12{9=3 rSup { size 8{2} } } {} 25 = 5 2 25 = 5 2 size 12{"25"=5 rSup { size 8{2} } } {} 7 2 = 49 7 2 = 49 size 12{7 rSup { size 8{2} } ="49"} {} 3 4 = 81 3 4 = 81 size 12{3 rSup { size 8{4} } ="81"} {} b × b = b 2 b × b = b 2 size 12{ size 11{b} times size 11{b}= size 11{b rSup { size 8{2} } }} {} 64 = 2 6 64 = 2 6 size 12{"64"=2 rSup { size 8{6} } } {} a × a × a = a 3 a × a × a = a 3 size 12{ size 11{a} times size 11{a} times size 11{a}= size 11{a rSup { size 8{3} } }} {} Wortelvorm ........... .......... ............ ............. ............ ............... ............. ....................

2. Hoe om wortelvorme te vereenvoudig. Voorbeeld: 2ab3c×8abc52ab3c×8abc5 size 12{ sqrt {2 size 11{ bold "ab" rSup { size 8{3} } } size 12{c times 8} bold "abc" rSup { size 8{5} } } } {}.

• Die belangrikste stap is om die uitdrukking onder die wortelteken so eenvoudig moontlik as produkte van magte te skryf: 2ab3c×8abc52ab3c×8abc5 size 12{ sqrt {2 size 11{ bold "ab" rSup { size 8{3} } } size 12{c times 8} bold "abc" rSup { size 8{5} } } } {}= 24a2b4c624a2b4c6 size 12{ sqrt {2 rSup { size 8{4} } size 11{a rSup { size 8{2} } b rSup { size 8{4} } c rSup { size 8{6} } }} } {}.
• Ons soek ’n vierkantswortel – nou groepeer ons vierkante: 24a2b4c624a2b4c6 size 12{ sqrt {2 rSup { size 8{4} } size 11{a rSup { size 8{2} } b rSup { size 8{4} } c rSup { size 8{6} } }} } {} = 22ab2c3222ab2c32 size 12{ sqrt { left (2 rSup { size 8{2} } size 11{ bold "ab" rSup { size 8{2} } c rSup { size 8{3} } } right ) rSup { size 8{2} } } } {}
• en verwyder wortelteken, dus: 2ab3c×8abc52ab3c×8abc5 size 12{ sqrt {2 size 11{ bold "ab" rSup { size 8{3} } } size 12{c times 8} bold "abc" rSup { size 8{5} } } } {} = 22ab2c3222ab2c32 size 12{ sqrt { left (2 rSup { size 8{2} } size 11{ bold "ab" rSup { size 8{2} } c rSup { size 8{3} } } right ) rSup { size 8{2} } } } {} = 22ab2c322ab2c3 size 12{2 rSup { size 8{2} } ital "ab" rSup { size 8{2} } c rSup { size 8{3} } } {} = 4ab2c34ab2c3 size 12{4 size 11{ bold "ab" rSup { size 8{2} } c rSup { size 8{3} } }} {}
• Nog ’n voorbeeld: 16x2y52x2y316x2y52x2y3 size 12{ nroot { size 8{3} } {16 size 11{x rSup { size 8{2} } y rSup { size 8{5} } } size 12{ times 2}x rSup { size 8{2} } y} } {}
• Skryf as produkte van magte: 16x2y52x2y316x2y52x2y3 size 12{ nroot { size 8{3} } {"16" size 11{x rSup { size 8{2} } y rSup { size 8{5} } } size 12{ times 2}x rSup { size 8{2} } y} } {} = 24x2y52x2y324x2y52x2y3 size 12{ nroot { size 8{3} } {2 rSup { size 8{4} } size 11{x rSup { size 8{2} } y rSup { size 8{5} } } size 12{ times 2}x rSup { size 8{2} } y} } {} = 25x4y6325x4y63 size 12{ nroot { size 8{3} } {2 rSup { size 8{5} } size 11{x rSup { size 8{4} } y rSup { size 8{6} } }} } {}
• Omdat ons die derdemagswortel soek, groepeer ons derdemagte: 25x4y6325x4y63 size 12{ nroot { size 8{3} } {2 rSup { size 8{5} } size 11{x rSup { size 8{4} } y rSup { size 8{6} } }} } {} = 23x3y622x1323x3y622x13 size 12{ nroot { size 8{3} } {2 rSup { size 8{3} } size 11{x rSup { size 8{3} } y rSup { size 8{6} } } size 12{ times 2 rSup { size 8{2} } } size 11{x rSup { size 8{1} } }} } {} = 2xy234x32xy234x3 size 12{ nroot { size 8{3} } { left (2 size 11{ bold "xy" rSup { size 8{2} } } right ) rSup { size 8{3} } size 12{ times "4x"}} } {}
• Die wortelvorm oor die deel wat vereenvoudig kan word, word verwyder. 2xy234x32xy234x3 size 12{ nroot { size 8{3} } { left (2 size 11{ bold "xy" rSup { size 8{2} } } right ) rSup { size 8{3} } size 12{ times 4}x} } {} = 2xy24x32xy24x3 size 12{2 size 11{ bold "xy" rSup { size 8{2} } } size 12{ nroot { size 8{3} } {4x} }} {}
• Die vereenvoudigde deel is ’n koëffisiënt; die res bly as ’n wortelvorm.

Let op dat ons dit net kan doen as ons faktore in die wortel het; m.a.w. ons kan dit nie doen as ons ’n somuitdrukking het nie.

• Vereenvoudig hierdie wortelvorme so ver moontlik:

2.1 25a5b3c225a5b3c2 size 12{ sqrt {"25" size 11{a rSup { size 8{5} } b rSup { size 8{3} } c rSup { size 8{2} } }} } {} 2.2 81x9y12381x9y123 size 12{ nroot { size 8{3} } {"81" size 11{x rSup { size 8{9} } y rSup { size 8{"12"} } }} } {} 2.3 16a+b216a+b2 size 12{ sqrt {"16" left ( size 11{a}+ size 11{b} right ) rSup { size 8{2} } } } {}

einde van KLASWERK

VERRYKINGSOPDRAG

1. Soos jy gesien het, het die meeste reghoekige driehoeke nie sye met natuurlike getalle as lengtes nie. Daardie reghoekige driehoeke wat wel natuurlike getalle as sylengtes het, is egter baie interessant. Die bekende (3 ; 4 ; 5)-driehoek is een van hulle. Ons noem hierdie groepe van drie getalle Drietalle van Pythagoras.

1.1 Neem groepe van drie getalle uit die volgende lys en probeer om al die drietalle van Pythagoras te kry.

3 ; 4 ; 5 ; 12 ; 13 ; 35 ; 36 ; 37 ; 77 ; 84 ; 85

einde van VERRYKINGSOPDRAG

Daar is baie verskillende maniere om die Stelling van Pythagoras te bewys.

• ’n Wiskundige in Amerika het, as ’n stokperdjie, soveel bewyse bymekaargemaak (meer as vier honderd) dat hy ’n boek gepubliseer het wat net uit die bewyse bestaan.

Assessering

 LU 4 MetingDie leerder is in staat om gepaste meeteenhede, -instrumente en formules in ’n verskeidenheid kontekste te gebruik. Ons weet dit as die leerder: 4.1 verhoudings en koersprobleme wat tyd, afstand en spoed behels, oplos; 4.2 probleme oplos – insluitende probleme in kontekste wat gebruik kan word om ‘n bewustheid van menseregte, sosiale, ekonomiese, kulturele en omgewingsake te bevorder – wat bekende meetkundige figure en driedimensionele voorwerpe in ‘n verskeidenheid meetkontekste behels, deur die volgende te doen: 4.2.1 meet noukeurig en kies meetinstrumente wat geskik vir die probleem is; 4.2.2 skat en bereken noukeurig; 4.2.3 kies en gebruik geskikte formules en meeteenhede; 4.3 die ontwikkeling van meetinstrumente en konvensies deur die geskiedenis heen in verskillende kulture beskryf en illustreer; 4.4 die stelling van Pythagoras gebruik om probleme op te los wat ontbrekende lengtes in bekende meetkundige figure en driedimensionele voorwerpe behels.

Memorandum

TOETS

Waar toepaslik, gee antwoorde benaderd tot 1 desimale plek.

1. Skryf die Stelling van Pythagoras volledig in woorde neer.

2. Bereken die skuinssy van ΔABC as hoek A ‘n regte hoek is en b = 15 mm en c = 20 mm.

3. ΔPQR het ‘n regte hoek by R. PR = QR. Bereken die lengte van sye PR en QR as QP = 15 cm.

4. Is ΔDEF reghoekig as DF = 16 cm, DE = 14 cm en EF = 12 cm?

5. Watter soort driehoek is ΔXYZ as YZ = 24 cm, XY = 10 cm en XZ = 26 cm? Gee volledige redes.

Memorandum

1. In ‘n reghoekige driehoek is die kwadraat van die skuinssy se lengte gelyk aan die som van die kwadrate van die lengtes van die ander twee sye.

2. Skuinssy = a. a2 = 152 + 202 = 225 + 400 = 625 a = 25 Skuinssy is 25 mm

3. PR2 + QR2 = QP2 2(PR)2 = 152 2(PR)2 = 225 PR2 = 112,5 PR ≈ 10,6 cm

4. LK = 162 = 256

RK = 142 + 122 = 196 + 144 = 340

LKRK, dus is ΔDEF nie reghoekig nie.

5 LK = 262 = 676

RK = 242 + 102 = 576 + 100 = 676

LK = RK, dus is ΔXYZ reghoekig met hoek Y ‘n regte hoek.

6 Skryf die volgende wortelvorme in eenvoudigste vorm:

6.1 1212 size 12{ sqrt {"12"} } {}

6.2 50a3b550a3b5 size 12{ sqrt {"50"a rSup { size 8{3} } b rSup { size 8{5} } } } {}

6.3 64a14b464a14b4 size 12{ nroot { size 8{4} } {"64" left (a - 1 right ) rSup { size 8{4} } b} } {}

Memoranda

ONDERSOEK

• As die a, b, c-simbole verwarrend is, teken gerus ‘n driehoek vir leiding om die tabel te voltooi. Dit sal waarskynlik nodig wees om individuele aandag aan daardie leerders te gee wat as ‘n gevolg van swak meettegnieke nie die verwagte antwoorde lewer nie.
• Die vierkante behoort gekopieer te word sodat dit uitgeknip kan word.

2.1 Hier is die baie bekende “bewys” van die Stelling van Pythagoras. Hierdie werk word weer aangespreek waar gelykvormigheid behandel word.

KLASWERK

Dit is baie belangrik dat leerders die gewoonte ontwikkel om realistiese sketse te maak.

2.1.1 EF = dd2 = 122 + 52 = 144 + 25 = 169 = 132d = 13

2.1.2 XY = 4

3.1.1 skuinssy2 = 81 + 81 = 162 skuinssy ≈ 12,73 cm

3.1.2 PR2 + RQ2 = 2 (PR)2 – gelykbenig 2(PR)2 = 13,52PR ≈ 9,55 cm

4. Om dat GH die langste sy is, moet dit dus die skuinssy wees – dus is K ‘n regte hoek.

4.1.1 LK = c2 = 502 = 2 500 mm2

RK = a2 + b2 = 302 + 402 = 2500 mm2

LK = RK dus is driehoek reghoekig; C is die regte hoek.

4.1.2 LK = 225 cm2RK = 64 + 169 = 233 cm2

LKRK dus is driehoek nie reghoekig nie.

4.1.3 LK = 242,11 cm2RK = 121 + 121 = 242 cm2

LKRK maar hulle is amper gelyk; hoek P is baie naby aan 90°.

HUISWERKOPDRAG

1.1 a = 12 mm

1.2 o = 10 cm

2.1 Nee

2.2 Baie naby – hoek Z ≈ 90°

KLASWERK

Memorandum

1 64=864=8 size 12{ sqrt {"64"} =8} {} pas nie in die tabel nie.

 c 9 = 3 2 9 = 3 2 size 12{9=3 rSup { size 8{2} } } {} 25 = 5 2 25 = 5 2 size 12{"25"=5 rSup { size 8{2} } } {} 7 2 = 49 7 2 = 49 size 12{7 rSup { size 8{2} } ="49"} {} 3 4 = 81 3 4 = 81 size 12{3 rSup { size 8{4} } ="81"} {} b × b = b 2 b × b = b 2 size 12{b times b=b rSup { size 8{2} } } {} 64 = 2 6 64 = 2 6 size 12{"64"=2 rSup { size 8{6} } } {} a × a × a = a 3 a × a × a = a 3 size 12{a times a times a=a rSup { size 8{3} } } {} 8 3 = 2 8 3 = 2 size 12{ nroot { size 8{3} } {8} =2} {} 9 = 3 9 = 3 size 12{ sqrt {9} =3} {} 25 = 5 25 = 5 size 12{ sqrt {"25"} =5} {} 49 = 7 49 = 7 size 12{ sqrt {"49"} =7} {} 81 4 = 3 81 4 = 3 size 12{ nroot { size 8{4} } {"81"} =3} {} b = b 2 b = b 2 size 12{b= sqrt {b rSup { size 8{2} } } } {} 64 6 = 2 64 6 = 2 size 12{ nroot { size 8{6} } {"64"} =2} {} a 5 5 = a a 5 5 = a size 12{ nroot { size 8{5} } {a rSup { size 8{5} } } =a} {}

2.1 5a2bcab5a2bcab size 12{5a rSup { size 8{2} } ital "bc" sqrt { ital "ab"} } {}

2.2 3x3y4333x3y433 size 12{3x rSup { size 8{3} } y rSup { size 8{4} }  nroot { size 8{3} } {3} } {}

2.3 4(a+b)

VERRYKINGSOPDRAG

• Groepeer leerders en vra hulle om mekaar se werk na te gaan en sodoende kan die hele klas uiteindelik besluit oor die antwoord.

Content actions

EPUB (?)

What is an EPUB file?

EPUB is an electronic book format that can be read on a variety of mobile devices.

For detailed instructions on how to download this content's EPUB to your specific device, click the "(?)" link.

PDF | EPUB (?)

What is an EPUB file?

EPUB is an electronic book format that can be read on a variety of mobile devices.

For detailed instructions on how to download this content's EPUB to your specific device, click the "(?)" link.

Collection to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags?

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks

Module to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags?

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks