Skip to content Skip to navigation Skip to collection information

OpenStax-CNX

You are here: Home » Content » Wiskunde Graad 9 » Algebra van die vier basiese operasies

Navigation

Lenses

What is a lens?

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

This content is ...

In these lenses

  • GETSenPhaseMaths display tagshide tags

    This collection is included inLens: Siyavula: Mathematics (Gr. 7-9)
    By: Siyavula

    Collection Review Status: In Review

    Click the "GETSenPhaseMaths" link to see all content selected in this lens.

    Click the tag icon tag icon to display tags associated with this content.

Recently Viewed

This feature requires Javascript to be enabled.

Tags

(What is a tag?)

These tags come from the endorsement, affiliation, and other lenses that include this content.
 

Algebra van die vier basiese operasies

Module by: Siyavula Uploaders. E-mail the author

WISKUNDE

Graad 9

ALGEBRA EN MEETKUNDE

Module 6

ALGEBRA VAN DIE VIER BASIESE OPERASIES

Aktiwiteit 1

Om die optelling– en aftrekkingsreëls van algebra te hersien

[LU 1.2, 1.6]

A Onthou jy nog wat terme is?

  • Terme word deur + of – geskei. Sê in elk van die volgende hoeveel terme daar is:

1. a + 5

2. 2a2

3. 5a(a+1)

4. 3a1a2+5a3a1a2+5a size 12{ { {3a - 1} over {a rSup { size 8{2} } } } +5a} {}

  • Versamel die gelyksoortige terme om elk van die volgende uitdrukkings te vereenvoudig:

1. 5a + 2a

2. 2a2 + 3a – a2

3. 3x – 6 + x + 11

4. 2a(a–1) – 2a2

B Optel van uitdrukkings

  • Voorbeeld:

Tel 3x + 4 by x + 5. (x + 5) + (3x + 4) Skryf as som, met hakies.

x + 5 + 3x + 4 Verwyder hakies versigtig.

4x + 9 Versamel gelyksoortige terme.

Tel die twee gegewe uitdrukkings bymekaar:

1. 7a + 3 en a + 2

2. 5x – 2 en 6 – 3x

3. x + ½ en 4x – 3½

4. a2 + 2a + 6 en a – 3 + a2

5. 4a2 – a – 3 en 1 + 3a – 5a2

C Aftrek van uitdrukkings

  • Bestudeer die volgende voorbeelde sorgvuldig:

Trek 3x – 5 van 7x + 2 af.

(7x + 2) – (3x – 5) Let op: 3x – 5 is in tweede posisie, na die minus.

7x + 2 – 3x + 5 Die minus voor die hakie maak ‘n verskil!

4x + 7 Versamel gelyksoortige terme.

Bereken 5a – 1 minus 7a + 12: (5a – 1) – (7a + 12)

5a – 1 – 7a – 12

–2a – 13

D Gemengde probleme

  • Onthou om jou antwoorde volledig te vereenvoudig in die volgende oefening:

1. Tel 2a – 1 by 5a + 2.

2. Vind die som van 6x + 5 en 2 – 3x.

3. Wat is 3a – 2a2 plus a2 – 6a?

4. (x2 + x) + (x + x2) = . . .

5. Bereken (3a – 5) – (a – 2).

6. Trek 12a + 2 van 1 + 7a af.

7. Hoeveel is 4x2 + 4x minder as 6x2 – 13x?

8. Hoeveel is 4x2 + 4x meer as 6x2 – 13x?

9. Wat is die verskil tussen 8x + 3 en 2x +1?

  • Gebruik geskikte tegnieke om die volgende uitdrukkings te vereenvoudig:

1. x2 + 5x2 – 3x + 7x – 2 + 8

2. 7a2 – 12a + 2a2 – 5 + a – 3

3. (a2 – 4) + (5a + 3) + (7a2 + 4a)

4. (2x – x2) – (4x2 – 12) – (3x – 5)

5. (x2 + 5x2 – 3x) + (7x – 2 + 8)

6. 7a2 – (12a + 2a2 – 5) + a – 3

7. (a2 – 4) + 5a + 3 + (7a2 + 4a)

8. (2x – x2) – 4x2 – 12 – (3x – 5)

9. x2 + 5x2 – 3x + (7x – 2 + 8)

10. 7a2 – 12a + 2a2 – (5 + a – 3)

11. a2 – 4 + 5a + 3 + 7a2 + 4a

12. (2x – x2) – [(4x2 – 12) – (3x – 5)]

  • Hier is die antwoorde op die vorige 12 probleme:

1. 6x2 + 4x + 6

2. 9a2 – 11a – 8

3. 8a2 + 9a – 1

4. – 5x2 – x + 17

5. 6x2 + 4x + 6

6. 5a2 – 11a + 2

7. 8a2 + 9a – 1

8. – 5x2 – x – 7

9. 6x2 + 4x + 6

10. 9a2 – 13a – 2

11. 8a2 + 9a – 1

12. – 5x2 + 5x + 7

Aktiwiteit 2

Om sekere polinome (veelterme) te vermenigvuldig deur hakies en die distributiewe wet te gebruik

[LU 1.2, 1.6, 2.7]

‘n Monomiaal het een term; ‘n binomiaal het twee terme; ‘n trinomiaal het drie terme. Ons noem hulle dikwels eenterme, tweeterme en drieterme.

A Vermenigvuldiging van eenterme.

Ons gebruik dikwels hakies.

  • Voorbeelde:

2a × 5a = 10a2

3a3 × 2a × 4a2 = 24 a6

4ab × 9a2 × (–2a) × b = –36a4b2

a × 2a × 4 × (3a2)3 = a × 2a × 4 × 3a2 × 3a2 × 3a2 = 126a8

(2ab2)3 × (a2bc)2 × (2bc)2 = (2ab2) (2ab2) (2ab2) × (a2bc) (a2bc) × (2bc) (2bc) = 32a7b10c4

Maak altyd seker dat jou antwoord in die eenvoudigste vorm is.

Oefening:

1. (3x) (5x2)

  1. (x3) (–2x)
  2. (2x)2 (4)
  3. (ax)2 (bx2) (cx2)2

B Eenterm × tweeterm

Hakies is noodsaaklik.

  • Voorbeelde:

5(2a + 1) beteken: vermenigvuldig 5 met 2a en ook met 1. 5 (2a + 1) = 10a + 5

Wees baie versigtig om nie tekenfoute te maak nie.

4a(2a + 1) = 8a + 4a

–5a(2a + 1) = –10a2 – 5a

a2(–3a2 – 2a) = –3a4 – 2a3

–7a(2a – 3) = –14a2 + 21a

Let op: Ons het ‘n uitdrukking met faktore verander na ‘n uitdrukking met terme. Ons kan ook sê: ‘n Produkuitdrukking is nou ‘n somuitdrukking.

Oefening:

1. 3x (2x + 4)

  1. x2 (5x – 2)
  2. –4x (x2 – 3x)
  3. (3a + 3a2) (3a)

C Eenterm × drieterm

  • Voorbeelde:

5a(5 + 2a – a2) = 25a + 10a2 – 5a3

– ½ (10x5 + 2a4 – 8a3) = – 5x5 – a4 +4a3

Oefening:

  1. 3x (2x2 – x + 2)
  2. –ab2 (–bc + 3abc – a2c)
  3. 12a ( ¼ + 2a + ½ a2)

Probeer: 4. 4x (5 – 2x + 4x2 – 3x3 + x4)

D Tweeterm × tweeterm

Elke term van die eerste tweeterm word vermenigvuldig met elke term van die tweede tweeterm.

(3x + 2) (5x + 4) = (3x)(5x) + (3x)(4) + (2)(5x) + (2)(4) = 15x2 + 12x + 10x + 8

= 15x2 + 22x + 8 Maak altyd seker dat jou antwoord vereenvoudig is.

  • Hierdie katgesiggie sal jou help onthou hoe om twee tweeterme te vermenigvuldig:

Figure 1
Figure 1 (Picture 5.png)

  • Die linkeroor sê: Vermenigvuldig die eerste term van die eerste tweeterm met die eerste term van die tweede tweeterm.
  • Die ken sê: Vermenigvuldig die eerste term van die eerste tweeterm met die tweede term van die tweede tweeterm.
  • Die bekkie sê: Vermenigvuldig die tweede term van die eerste tweeterm met die eerste term van die tweede tweeterm.
  • Die regteroor sê: Vermenigvuldig die tweede term van die eerste tweeterm met die tweede term van die tweede tweeterm.

Daar is belangrike patrone in die volgende vermenigvuldigingsoefening – let baie mooi op na hulle.

Oefening:

  1. (a + b) (c + d)
  2. (2a – 3b) (–c + 2d)
  3. (a2 + 2a) (b2 –3b)
  4. (a + b) (a + b)
  5. (x2 + 2x) (x2 + 2x)
  6. (3x – 1) (3x – 1)
  7. (a + b) (a – b)
  8. (2y + 3) (2y – 3)
  9. (2a2 + 3b) (2a2 – 3b)
  10. (a + 2) (a + 3)
  11. (5x2 + 2x) (x2 – x)

E Tweeterm × veelterm

  • Voorbeeld:

(2a + 3) (a3 – 3a2 + 2a – 3) = 2a4 – 6a3 + 4a2 – 6a + 3a3 – 9a2 + 6a – 9

= 2a4 – 3a3 – 5a2 – 9 (vereenvoudigde vorm)

Oefening:

  1. (x2 – 3x) (x2 + 5x – 3)
  2. (b + 1) (3b2 – b + 11)
  3. (a – 4) (5 + 2a – b + 2c)
  4. (–a + 2) (a + b + c – 3d)
  • Hoe goed het jy in hierdie aktiwiteit gevaar?

Aktiwiteit 3

Om faktore van sekere algebraïese uitdrukkings te vind

[LU 1.6, 2.1, 2.7]

A Faktore

Hierdie tabel toon die faktore van sekere eenterme.

Table 1
Uitdrukking Kleinste faktore
42 2 × 3 × 7
6ab 2 × 3 × a × b
21a2b 3 × 7 × a × a × b
(5abc2)2 5 × a × b × c × c × 5 × a × b × c × c
–8y4 –2 × 2 × 2 × y × y × y × y
(–8y4)2 –2 × 2 × 2 × y × y × y × y × –2 × 2 × 2 × y × y × y × y

Die faktore kan in enige orde geskryf word, maar as jy by die gebruiklike orde hou, sal jou werk vergemaklik word Twee van die lyste faktore in die tabel is nie in die gebruiklike orde nie – herskryf hulle in orde.

B Gemene faktore van tweeterme

  • Beskou die tweeterm 6ab + 3ac.
  • Die faktore van 6ab is 2 × 3 × a × b en die faktore van 3ac is 3 × a × c.
  • Die faktore wat in beide 6ab en 3ac voorkom, is 3 en a – hulle is gemene faktore.
  • Ons gebruik nou hakies om die gemene faktore en die res te groepeer:

6ab = 3a × 2b en 3ac = 3a × c

  • Ons faktoriseer nou 6ab + 3ac. Dit word so uiteengesit:

6ab + 3ac = 3a (2b + c).

  • ‘n Uitdrukking met terme word verander na ‘n uitdrukking met faktore.
  • Ons kan ook sê: ‘n Somuitdrukking is nou ‘n produkuitdrukking.
  • Nog voorbeelde:
  1. 6x2 + 12x = 3x (2x + 4)
  2. 5x3 – 2x2 = x2 (5x – 2)
  3. –4x3 + 12x2 = –4x (x2 – 3x)
  4. 9a2 + 9a3 = (3a + 3a2) (3a)

Kyk weer na die oefening in deel B van die vorige aktiwiteit – het jy die probleme herken?

C Gemene faktore van veelterme

Presies dieselfde metode word gebruik as ons die gemene faktore van meer as twee terme moet vind.

  • Voorbeelde:

6x3 – 3x2 + 6x = 3x (2x2 – x + 2)

ab3c – 3a2b3c + a3b2c = ab2c (b – 3ab + a2)

3a + 24a2 + 6a3 = 3a ( 1 + 8a + 2a2)

20x – 8x2 + 16x3 – 12x4 +4x5 = 4x (5 – 2x + 4x2 – 3x3 + x4)

As jy mooi kyk, sal jy oplet dat die terme wat in die hakies oorbly, nie meer enige gemene faktore het nie. Dis wat gebeur as die uitdrukking ten volle gefaktoriseer is. Jy moet altyd die grootste moontlike gemene faktor van al die terme uithaal.

Oefening:

Faktoriseer die volgende uitdrukkings volledig deur die grootste gemene faktor uit te haal:

  1. 12abc + 24ac
  2. 15xy – 21y
  3. 3abc + 18ab2c3
  4. 8x2y2 – 2x
  5. 2a2bc2 + 4ab2c – 7abc
  6. 12a(bc)2 – 8(abc)3 + 4(ab)2c3 – 20bc + 4a

Paaraktiwiteit:

Het jy opgelet dat in elke geval die aantal terme in die hakies na faktorisering presies dieselfde is as die aantal terme in die oorspronklike uitdrukking?

Verduidelik vir jou maat hoekom jy dink dat dit altyd so sal gebeur.

D Faktore van die verskil van kwadrate

In deel D van die vorige aktiwiteit moes jy hierdie drie pare tweeterme vermenigvuldig:

(a + b) (a – b) ,

(2y + 3) (2y – 3) en

(2a2 + 3b) (2a2 – 3b)

  • Hier is die oplossing:

(a + b) (a – b) = a2 – b2

(2y + 3) (2y – 3) = 4y2 – 9

(2a2 + 3b) (2a2 – 3b) = 4a4 – 9b2

Let op dat die antwoorde ‘n baie spesifieke patroon aanneem: vierkant minus vierkant.

Ons noem dit die verskil van kwadrate of verskil van vierkante, en dit word so gefaktoriseer:

Eerste–vierkant minus tweede–vierkant

= ( eerstevierkanteerstevierkant size 12{ sqrt { ital "eerste" - ital "vierkant"} } {}plustweedevierkanttweedevierkant size 12{ sqrt { ital "tweede" - ital "vierkant"} } {}) ( eerstevierkanteerstevierkant size 12{ sqrt { ital "eerste" - ital "vierkant"} } {}minustweedevierkanttweedevierkant size 12{ sqrt { ital "tweede" - ital "vierkant"} } {})

  • Voorbeelde:

x2 – 25 = (x + 5) (x – 5)

4 – b2 = (2 + b) (2 – b)

9a2 – 1 = (3a + 1) (3a – 1)

DIT WORD VAN JOU VERWAG OM GOED VERTROUD TE WEES MET DIE ALGEMEENSTE VIERKANTE EN HUL VIERKANTSWORTELS.

Hier is ‘n klompie belangrikes – voeg self ander by die lys.

22 = 4 32 = 9 (a2)2 = a4

(a3)2 = a6

(½)2 = ¼ 12 = 1

Oefening:

Faktoriseer volledig:

1. a2 – b2

  1. 4y2 – 9
  2. 4a4 – 9b2
  3. 1 – x2
  4. 25 – a6
  5. a8 – ¼
  6. 4a2b2 – 81
  7. 0,25 – x2y6

9. 2a2 – 2b2 (versigtig!)

E Gekombineerde gemene faktore en verskille van vierkante

Soos in die laaste probleem (9), is dit noodsaaklik om eers gemene faktore uit te haal, en om daarna die uitdrukking in die hakies te faktoriseer, indien moontlik.

  • Nog ‘n voorbeeld:

Faktoriseer 12ax2 – 3ay2

Herken eers die gemene faktor 3a, voor jy sê dat dit nie ‘n verskil van vierkante kan wees nie.

12ax2 – 3ay2 = 3a (4x2 – y2) Nou herken ons 4x2 – y2 as verskil van twee vierkante.

12ax2 – 3ay2 = 3a (4x2 – y2) = 3a(2x + y)(2x – y).

Oefening:

Faktoriseer volledig:

1. ax2 – ay4

2. a3 – ab2

3. 0,5a2x – 4,5b2x

4. a5b3c – abc

F Opeenvolgende verskille van vierkante

Hou jou oë oop en probeer hierdie tweeterm volledig faktoriseer: a4 – b4

Nou hierdie oefening – soos gewoonlik, faktoriseer volledig.

1. x6 – 64

2. 1 – m8

3. 3a4 – 24b8

4. x – x9

G Faktore van drieterme

Bestudeer die antwoorde op hierdie vier probleme (uit ‘n vorige aktiwiteit). Die vereenvoudigde antwoorde het partykeer twee terme, partykeer drie terme en partykeer vier. Bespreek met ‘n maat wat hier aan die gang is en besluit wat die verskille veroorsaak.

1. (a + b) (a – b) = a2 – ab + ab – b2 = a2 – b2 (vereenvoudig)

2. (a + 2) (a + 3) = a2 + 3a + 2a + 6 = a2 + 5a + 6

3. (a + b) (a + b) = a×a +ab + ba + b×b = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 (vereenvoudig)

4. (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd (hierdie antwoord kan nie vereenvoudig word nie)

  • Die antwoord op die soort probleem in vraag 1 hierbo het die vorm van ‘n verskil van vierkante.
  • Die antwoorde op 2 en 3 is drieterme. Ons gaan nou probeer om drieterme te faktoriseer.
  • Die eerste feit om te onthou is dat nie alle drieterme gefaktoriseer kan word nie.

Werk agteruit deur probleem 2:

a2 + 5a + 6 = a2 + 3a + 2a + 6 = (a + 2) (a + 3).

  • So is dit duidelik waar die a2 vandaan kom, en die 5a en die 6.

Faktoriseer nou a2 + 7a + 12 = ( ) ( ) deur twee geskikte tweeterme in die twee paar hakies te skryf.

  • As jy die tweeterme in die hakies uitvermenigvuldig soos jy in aktiwiteit 2.2 geleer is, kan jy jou antwoord toets. Hou aan en toets telkens jou antwoorde tot jy seker is hoe om dit te doen. Doen dieselfde in die volgende oefeninge:
  • Elke drieterm het ‘n maat in die tweede kolom; soek hulle uit:

A. a2 – 5a – 6 1. (x + 2)(x + 3)

B. a2 – a – 6 2. (x – 2)(x + 3)

C. a2 – 5a + 6 3. (x + 1)(x – 6)

D. a2 + 7a + 6 4. (x – 2)(x – 3)

E. a2 + 5a + 6 5. (x + 1)(x + 6)

F. a2 + 5a – 6 6. (x – 1)(x + 6)

G. a2 + a – 6 7. (x + 2)(x – 3)

H. a2 – 7a + 6 8. (x – 1)(x – 6)

  • Faktoriseer nou die volgende drieterme op dieselfde manier. Die laaste twee is moeiliker as die eerste vier!
  1. a2 + 3a + 2
  2. a2 + a – 12
  3. a2 – 4a + 3
  4. a2 – 9a + 20
  5. a2 + ab – 12b2
  6. 2a2 – 18a + 40

Aktiwiteit 4

Om faktorisering te gebruik in die vereenvoudiging van breuke, en in die optelling, vermenigvuldiging en deling van breuke

[LU 1.2, 1.6, 2.9]

A. Vereenvoudiging van algebraïese breuke

Twee van die volgende vier breuke kan vereenvoudig word, en twee nie. Watter twee kan?

2 + a 2 a 2 + a 2 a size 12{ { {2+a} over {2 - a} } } {}

3 a + b a + b 3 a + b a + b size 12{ { {3 left (a+b right )} over {a+b} } } {}

4 + x x + 4 4 + x x + 4 size 12{ { {4+x} over {x+4} } } {}

a b c 2 b + c a b c 2 b + c size 12{ { {a left (b - c right )} over {2 left (b+c right )} } } {}
(1)

Jy het seker nou al agtergekom dat dit baie moeite is om te faktoriseer. Hoekom doen ons dit?

  • Hierdie breuk kan nie vereenvoudig word soos dit staan nie: 6a2b6b2a26a2b6b2a2 size 12{ { {6a rSup { size 8{2} } b - 6b} over {2a - 2} } } {}. Dis omdat ons nie terme mag kanselleer nie. As ons die somuitdrukkings na produkuitdrukkings kan verander (deur faktorisering) sal ons die faktore kan kanselleer, en sodoende klaar kan vereenvoudig.

6a2b – 6b = 6b(a2 – 1) = 6b (a + 1) (a – 1) en 2a – 2 = 2(a – 1)

  • Dus is die motivering vir faktorisering die behoefte aan vereenvoudiging.

Dus: 6a2b6b2a26a2b6b2a2 size 12{ { {6a rSup { size 8{2} } b - 6b} over {2a - 2} } } {} = 6ba+1a12a16ba+1a12a1 size 12{ { {6b left (a+1 right ) left (a - 1 right )} over {2 left (a - 1 right )} } } {} = 3ba+113ba+11 size 12{ { {3b left (a+1 right )} over {1} } } {} = 3b(a + 1) .

Dit is baie belangrik om volledig te faktoriseer.

Oefening:

Faktoriseer beide teller en noemer, en vereenvoudig:

1 12a+6b2a+b12a+6b2a+b size 12{ { {"12"a+6b} over {2a+b} } } {}

2 x29x+3x29x+3 size 12{ { {x rSup { size 8{2} } - 9} over {x+3} } } {}

3 2a+1a16a+122a+1a16a+12 size 12{ { {2 left (a+1 right ) left (a - 1 right )} over {6 left (a+1 right ) rSup { size 8{2} } } } } {}

4 5a255a+55a255a+5 size 12{ { {5a rSup { size 8{2} } - 5} over {5a+5} } } {}

B. Vermenigvuldiging en deling van breuke

  • Die gewone reëls om breuke te vermenigvuldig en te deel bly steeds van toepassing. Bestudeer die volgende voorbeelde – let veral op na die faktorisering en kansellering.

4x3y6y2÷xy3x2×2xy23x4x3y6y2÷xy3x2×2xy23x size 12{ { {4x rSup { size 8{3} } y} over {6y rSup { size 8{2} } } } div { { ital "xy"} over {3x rSup { size 8{2} } } } times { {2 ital "xy" rSup { size 8{2} } } over {3x} } } {} = 4x3y6y2×3x2xy×2xy23x4x3y6y2×3x2xy×2xy23x size 12{ { {4x rSup { size 8{3} } y} over {6y rSup { size 8{2} } } } times { {3x rSup { size 8{2} } } over { ital "xy"} } times { {2 ital "xy" rSup { size 8{2} } } over {3x} } } {} = 4x434x43 size 12{ { {4x rSup { size 8{4} } } over {3} } } {}

a292×14a212aa292×14a212a size 12{ { {a rSup { size 8{2} } - 9} over {2} } times { {1} over {4a rSup { size 8{2} } - "12"a} } } {} = a+3a32×14aa3a+3a32×14aa3 size 12{ { { left (a+3 right ) left (a - 3 right )} over {2} } times { {1} over {4a left (a - 3 right )} } } {} = a+38aa+38a size 12{ { { left (a+3 right )} over {8a} } } {}

3a+65÷a24103a+65÷a2410 size 12{ { {3a+6} over {5} } div { {a rSup { size 8{2} } - 4} over {"10"} } } {} = 3a+65×10a243a+65×10a24 size 12{ { {3a+6} over {5} } times { {"10"} over {a rSup { size 8{2} } - 4} } } {} = 3a+25×10a+2a23a+25×10a+2a2 size 12{ { {3 left (a+2 right )} over {5} } times { {"10"} over { left (a+2 right ) left (a - 2 right )} } } {} = 6a26a2 size 12{ { {6} over {a - 2} } } {}

Oefening:

Vereenvoudig:

1. 2ab2b3c×9ac24b÷3ac2b22ab2b3c×9ac24b÷3ac2b2 size 12{ { {2 ital "ab" rSup { size 8{2} } } over {b rSup { size 8{3} } c} } times { {9 ital "ac" rSup { size 8{2} } } over {4b} } div { {3 ital "ac"} over {2b rSup { size 8{2} } } } } {}

2. 2a+1a22a23a+3×9a+1a+324a2÷3a+1a+32a222a+1a22a23a+3×9a+1a+324a2÷3a+1a+32a22 size 12{ { {2 left (a+1 right ) left (a - 2 right ) rSup { size 8{2} } } over { left (a - 2 right ) rSup { size 8{3} } left (a+3 right )} } times { {9 left (a+1 right ) left (a+3 right ) rSup { size 8{2} } } over {4 left (a - 2 right )} } div { {3 left (a+1 right ) left (a+3 right )} over {2 left (a - 2 right ) rSup { size 8{2} } } } } {}

3. 4a2+8a2b+4×3b2+23a2+6a4a2+8a2b+4×3b2+23a2+6a size 12{ { {4a rSup { size 8{2} } +8a} over {2b+4} } times { {3 left (b rSup { size 8{2} } +2 right )} over {3a rSup { size 8{2} } +6a} } } {}

4. x215x5÷x+1215x+15x215x5÷x+1215x+15 size 12{ { {x rSup { size 8{2} } - 1} over {5x - 5} } div { { left (x+1 right ) rSup { size 8{2} } } over {"15"x+"15"} } } {}

5. 7x3xy÷3x+65x2y÷5x103x2127x3xy÷3x+65x2y÷5x103x212 size 12{ { {7x} over {3 ital "xy"} } div { {3x+6} over {5x rSup { size 8{2} } y} } div { {5x - "10"} over {3x rSup { size 8{2} } - "12"} } } {}

6. 5x2+5xx2x5x+5x215x2+5xx2x5x+5x21 size 12{ { { { {5x rSup { size 8{2} } +5x} over {x rSup { size 8{2} } - x} } } over { { {5x+5} over {x rSup { size 8{2} } - 1} } } } } {} (Hier is ‘n breuk gedeel deur ‘n breuk – herskryf dit eers soos in 4)

C. Optelling van breuke

  • Jy weet alreeds dat die optelling en aftrekking van breuke heelwat moeiliker is as vermenigvuldiging en deling. Dit is omdat ons slegs gelyksoortige breuke (met eenderse noemers) kan optel en aftrek. As die noemers verskil, moet jy die kleinste gemene veelvoud (KGV) van die noemers soek en dan elke breuk oor hierdie noemer skryf. Vereenvoudig dan die breuk. Vereenvoudig weer die antwoord so ver moontlik. Hier volg voorbeelde – al die stappe word getoon:

Vereenvoudig:

1. 5abx2cx+4ac3x+cx2a5abx2cx+4ac3x+cx2a size 12{ { {5 ital "abx"} over {2 ital "cx"} } + { {4 ital "ac"} over {3x} } + { { ital "cx"} over {2a} } } {} (KGV = 6acx)

5abx2cx×3a3a+4ac3x×2ac2ac+cx2a×3cx3cx5abx2cx×3a3a+4ac3x×2ac2ac+cx2a×3cx3cx size 12{ left ( { {5 ital "abx"} over {2 ital "cx"} } times { {3a} over {3a} } right )+ left ( { {4 ital "ac"} over {3x} } times { {2 ital "ac"} over {2 ital "ac"} } right )+ left ( { { ital "cx"} over {2a} } times { {3 ital "cx"} over {3 ital "cx"} } right )} {}= 15a2bx6acx+8a2c26acx+3c2x26acx15a2bx6acx+8a2c26acx+3c2x26acx size 12{ { {"15"a rSup { size 8{2} } ital "bx"} over {6 ital "acx"} } + { {8a rSup { size 8{2} } c rSup { size 8{2} } } over {6 ital "acx"} } + { {3c rSup { size 8{2} } x rSup { size 8{2} } } over {6 ital "acx"} } } {} = 15a2bx+8a2c2+3c2x26acx15a2bx+8a2c2+3c2x26acx size 12{ { {"15"a rSup { size 8{2} } ital "bx"+8a rSup { size 8{2} } c rSup { size 8{2} } +3c rSup { size 8{2} } x rSup { size 8{2} } } over {6 ital "acx"} } } {}

2. a+b2+b+c3a+c6a+b2+b+c3a+c6 size 12{ { {a+b} over {2} } + { {b+c} over {3} } - { {a+c} over {6} } } {} (LCD = 6) Let baie fyn op hoe die tekens hieronder hanteer word!

3a+b6+2b+c6a+c63a+b6+2b+c6a+c6 size 12{ { {3 left (a+b right )} over {6} } + { {2 left (b+c right )} over {6} } - { {a+c} over {6} } } {} = 3a+b+2b+ca+c63a+b+2b+ca+c6 size 12{ { {3 left (a+b right )+2 left (b+c right ) - left (a+c right )} over {6} } } {} = 3a+3b+2b+2cac63a+3b+2b+2cac6 size 12{ { {3a+3b+2b+2c - a - c} over {6} } } {} = 2a+5b+c62a+5b+c6 size 12{ { {2a+5b+c} over {6} } } {}

3. a+3a24+13a+6+25a10a+3a24+13a+6+25a10 size 12{ { {a+3} over {a rSup { size 8{2} } - 4} } + { {1} over {3a+6} } + { {2} over {5a - "10"} } } {}

Om die Kleinste Gemene Noemer te vind, faktoriseer eers die noemers!

a + 3 a + 2 a 2 + 1 3 a + 2 + 2 5 a 2 a + 3 a + 2 a 2 + 1 3 a + 2 + 2 5 a 2 size 12{ { {a+3} over { left (a+2 right ) left (a - 2 right )} } + { {1} over {3 left (a+2 right )} } + { {2} over {5 left (a - 2 right )} } } {}

Kan jy sien die KGV is 3×5×(a+2)(a–2)?

a + 3 a + 2 a 2 × 15 15 + 1 3 a + 2 × 5 a 2 5 a 2 + 2 5 a 2 × 3 a + 2 3 a + 2 a + 3 a + 2 a 2 × 15 15 + 1 3 a + 2 × 5 a 2 5 a 2 + 2 5 a 2 × 3 a + 2 3 a + 2 size 12{ left ( { {a+3} over { left (a+2 right ) left (a - 2 right )} } times { {"15"} over {"15"} } right )+ left ( { {1} over {3 left (a+2 right )} } times { {5 left (a - 2 right )} over {5 left (a - 2 right )} } right )+ left ( { {2} over {5 left (a - 2 right )} } times { {3 left (a+2 right )} over {3 left (a+2 right )} } right )} {}

= 15a+3+5a2+6a+215a+2a215a+3+5a2+6a+215a+2a2 size 12{ { {"15" left (a+3 right )+5 left (a - 2 right )+6 left (a+2 right )} over {"15" left (a+2 right ) left (a - 2 right )} } } {} = 15a+45+5a10+6a+1215a+2a215a+45+5a10+6a+1215a+2a2 size 12{ { {"15"a+"45"+5a - "10"+6a+"12"} over {"15" left (a+2 right ) left (a - 2 right )} } } {} = 26a+4715a+2a226a+4715a+2a2 size 12{ { {"26"a+"47"} over {"15" left (a+2 right ) left (a - 2 right )} } } {}

Oefening:

Vereenvoudig die volgende uitdrukkings deur van faktorisering gebruik te maak:

1. ax2ax+5a2xax2ax+5a2x size 12{ { {a} over {x rSup { size 8{2} } } } - { {a} over {x} } + { {5a} over {2x} } } {}

2. 13+2x+12xx13x13+2x+12xx13x size 12{ { {1} over {3} } + { {2x+1} over {2x} } - { {x - 1} over {3x} } } {}

3. 4a4b2a22b232a2b4a4b2a22b232a2b size 12{ { {4a - 4b} over {2a rSup { size 8{2} } - 2b rSup { size 8{2} } } } - { {3} over {2a - 2b} } } {}

4. 12a2+23a+134a312a2+23a+134a3 size 12{ { {1} over {2} } left (a - 2 right )+ { {2} over {3} } left (a+1 right ) - { {3} over {4} } left (a - 3 right )} {}

  • ‘n Laaste wenk. Ons sou 2x13x+3×9x+31x2x13x+3×9x+31x size 12{ { {2 left (x - 1 right )} over {3 left (x+3 right )} } times { {9 left (x+3 right )} over { left (1 - x right )} } } {} beter kon vereenvoudig as (1–x) so gelyk het: (x–1).
  • Ons kan hierdie verandering maak as ons die teken van die hele tweeterm ook verander: (1–x) = –(x–1) omdat –(x–1) = –x + 1, en dit is 1–x. Voltooi self die probleem.

Assessering

Table 2
Leeruitkomstes(LUs)
 
LU 1
Getalle, Bewerkings en VerwantskappeDie leerder is in staat om getalle en die verwantskappe daarvan te herken, te beskryf en voor te stel, en om tydens probleemoplossing bevoeg en met selfvertroue te tel, te skat, te bereken en te kontroleer.
Assesseringstandaarde(ASe)
 
Ons weet dit as die leerder:
1.1 die historiese ontwikkeling van getallestelsels in ’n verskeidenheid historiese en kulturele kontekste (insluitend plaaslik) beskryf en illustreer;
1.2 rasionale getalle (insluitend baie klein getalle in wetenskaplike notasie) herken, gebruik en voorstel, en sonder huiwering tussen ekwivalente vorms in gepaste kontekste beweeg;
1.3 probleme in konteks oplos, insluitend kontekste wat gebruik word om ‘n bewustheid van ander leerareas, asook van menseregte-, sosiale, ekonomiese en omgewingsake, te bevorder, soos:
1.3.1 finansiële kontekste (insluitend wins en verlies, begrotings, rekeninge, lenings, enkelvoudige en saamgestelde rente, huurkoop, wisselkoerse, kommissie, huur en die bankwese);
1.3.2 metings in die Natuurwetenskappe en Tegnologie;
1.4 probleme oplos wat verhouding, koers en proporsie (direkte en omgekeerde) behels;
1.5 skat en bereken deur geskikte bewerkings vir probleme te kies en te gebruik en die redelikheid van resultate te beoordeel (insluitend meetprobleme wat rasionale benaderings van irrasionale getalle behels);
1.6 ’n verskeidenheid van tegnieke en instrumente (insluitend tegnologie) gebruik om berekeninge doeltreffend en met die nodige mate van akkuraatheid te doen, insluitend die volgende reëls en betekenisse van eksponente (leerders behoort in staat te wees om hierdie reëls en betekenisse slegs in berekeninge te gebruik):
1.6.1 x n × x m = xn + m
1.6.2 x n  x m = xn – m
1.6.3 x 0 = 1
1.6.4 x –n = 1xn1xn size 12{ { {1} over {x rSup { size 8{n} } } } } {}
1.7 die eienskappe van rasionale getalle herken, beskryf en gebruik.
LU 2
Patrone, Funksies en AlgebraDie leerder is in staat om patrone en verwantskappe te herken, te beskryf en voor te stel, en probleme op te los deur algebraïese taal en vaardighede te gebruik.
Ons weet dit as die leerder:
2.1 op verskillende maniere ‘n verskeidenheid numeriese en meetkundige patrone en verwantskappe ondersoek deur dit voor te stel en te veralgemeen, en deur die reëls onderliggend daaraan te verduidelik en te bewys (insluitend patrone in natuurlike en kulturele vorms en patrone wat die leerders self geskep het);
2.7 die distributiewe wet en manipuleringsvaardighede wat in graad 8 ontwikkel is gebruik om die volgende te doen:
  • bepaal die produk van tweeterme;
  • faktoriseer algebraïse uitdrukkings (beperk tot gemene faktore en die verskil van vierkante);
2.8 die eksponentwette gebruik om uitdrukkings te vereenvoudig en vergelykings op te los;
2.9 faktorisering om algebraïese uitdrukkings te vereenvoudig en vergelykings op te los gebruik.

Memorandum

Bespreking

Terminologie

  • Leerders gebruik dikwels metodes vir gebruik met uitdrukkings wanneer hulle met vergelykings werk (byvoorbeeld, hulle kan noemers in uitdrukkings weglaat), en andersom. Hou ‘n ogie hierop en leer hulle om die konteks te ondersoek voor hulle blindelings voortgaan.
  • Vermenigvuldiging en faktorisering werk omgekeerd – die leerders moet hiervan bewus word. Dit maak in elk geval die werk makliker om te bemeester.
  • As leerders nie terme en faktore kan onderskei nie, sal hulle nie uitdrukkings behoorlik kan manipuleer nie. As dit nodig blyk, kan hulle meer oefeninge gegee word.
  • In die algemeen vind leerders breuke moeilik. Dit is dalk goed om in sulke gevalle met nie–algebraïse breuke te begin om die basis te vestig.

TOETS

1. Vereenvoudig die volgende uitdrukkings deur gelyksoortige terme bymekaar te maak.

1.1 3a2 + 3a2 – 6a + 3a – 4 + 1

1.2 2y2 – 1y + 2y2 – 6 + 2y – 9

1.3 8x2 – (5x + 12x2 – 1) + x – 4

1.4 (3aa2) – [(2a2 – 11) – (5a – 3)]

2. Gee die antwoorde tot die volgende probleme in die eenvoudigste vorm:

2.1 Tel 3x2 + 5x – 1 by x2 – 3x

2.2 Bereken die som van 2a + 3b – 5 en 3 + 2b – 7a

2.3 Trek 6a + 7 af van 5a2 + 2a + 2

2.4 Hoeveel is 3a – 8b + 3 minder as a + b + 2?

3. Vereenvoudig deur vermenigvuldiging en laat antwoord in eenvoudigste vorm:

3.1 (3x2) × (2x3)

3.2 (abc) (a2c) (2b2)

3.3 abc(a2c + 2b2)

3.4 –3a(2a2 – 5a)

3.5 (a – 2b) (a + 2b)

3.6 (3 – x2) (2x2 + 5)

3.7 (x – 5y)2

3.8 (2 – b) (3a + c)

Memorandum

1.1 6a2 – 3a – 3

1.2 4y2 + y – 15

1.3 – 4x2 – 4x – 3

1.4 – 3a2 + 8a + 8

2.1 4x2 + 2x – 1

2.2 – 5a + 5b – 2

2.3 5a2 – 4a – 5

2.4 – 2a + 9b – 1

3.1 6x5

3.2 2a3b3c2

3.3 a3bc2 + 2ab3c

3.4 – 6a3 + 15a2

3.5 a2 – 4b2

3.6 –2x4 + x2 + 15

3.7 x2 – 10xy + 25y2

3.8 6a + 2c – 3abbc

TOETS

1. Bepaal die Grootste Gemene Faktor van hierdie drie uitdrukkings: 6a2c2 en 2ac2 en 10ab2c3.

2. Faktoriseer die volgende uitdrukkings volledig deur gemene faktore te bepaal:

2.1 12a3 + 3a4

2.2 –5xy – 15x2y2 – 20y

2.3 6a2c2 – 2ac2 + 10ab2c3

3. Faktoriseer hierdie verskille van kwadrate volledig:

3.1 a2 – 4

3.2 19a29b219a29b2 size 12{ { {1} over {9} } a rSup { size 8{2} } - 9b rSup { size 8{2} } } {}

3.3 x4 – 16y4

3.4 1 – a4b4

4. Faktoriseer hierdie uitdrukkings so ver as moontlik:

4.1 3x2 – 27

4.2 2a – 8ab2

4.3 a2 – 5a – 6

4.4 a2 + 7a + 6

5. Vereenvoudig die volgende breuke deur van faktorisering gebruik te maak:

5.1 3a236a+63a236a+6 size 12{ { {3a rSup { size 8{2} } - 3} over {6a+6} } } {}

5.2 6x2y6y2x26x2y6y2x2 size 12{ { {6x rSup { size 8{2} } y - 6y} over {2x - 2} } } {}

5.3 a292×14a212aa292×14a212a size 12{ { {a rSup { size 8{2} } - 9} over {2} } times { {1} over {4a rSup { size 8{2} } - "12"a} } } {}

5.4 3x+65÷x24153x+65÷x2415 size 12{ { {3x+6} over {5} } div { {x rSup { size 8{2} } - 4} over {"15"} } } {}

5.5 abx2cx+2ac3x+3cx2aabx2cx+2ac3x+3cx2a size 12{ { { ital "abx"} over {2 ital "cx"} } + { {2 ital "ac"} over {3x} } + { {3 ital "cx"} over {2a} } } {}

5.6 2ax23ax+a2x2ax23ax+a2x size 12{ { {2a} over {x rSup { size 8{2} } } } - { {3a} over {x} } + { {a} over {2x} } } {}

5.7 4a4b2a22b232a2b4a4b2a22b232a2b size 12{ { {4a - 4b} over {2a rSup { size 8{2} } - 2b rSup { size 8{2} } } } - { {3} over {2a - 2b} } } {}

5.8 23a+2+13a114a523a+2+13a114a5 size 12{ { {2} over {3} } left (a+2 right )+ { {1} over {3} } left (a - 1 right ) - { {1} over {4} } left (a - 5 right )} {}

Memorandum

1. 2ac2

2.1 3a3 (4 + a2)

2.2 –5y (x + 3x2y + 4)

2.3 2ac2 (3a – 1 + 5b2c)

3.1 (a + 2) (a – 2)

3.2 13a+3b13a3b13a+3b13a3b size 12{ left ( { {1} over {3} } a+3b right ) left ( { {1} over {3} } a - 3b right )} {}

3.3 (x2 + 4y2) (x + 2y) (x – 2y)

3.4 (1 + a2b2) (1 + ab) (1 – ab)

4.1 3 (x + 3) (x – 3)

4.2 2a (1 + 4b) (1 – 4b)

4.3 (a + 1) (a – 6)

4.4 (a + 1) (a + 6)

5.1 a12a12 size 12{ { {a - 1} over {2} } } {}

5.2 3y (x + 1)

5.3 a+38aa+38a size 12{ { {a+3} over {8a} } } {}

5.4 9x29x2 size 12{ { {9} over {x - 2} } } {}

5.5 3a2bx+4a2c2+9c2x26acx3a2bx+4a2c2+9c2x26acx size 12{ { {3a rSup { size 8{2} } ital "bx"+4a rSup { size 8{2} } c rSup { size 8{2} } +9c rSup { size 8{2} } x rSup { size 8{2} } } over {6 ital "acx"} } } {}

5.6 4a5ax2x24a5ax2x2 size 12{ { {4a - 5 ital "ax"} over {2x rSup { size 8{2} } } } } {}

5.7 a7b2a+baba7b2a+bab size 12{ { {a - 7b} over {2 left (a+b right ) left (a - b right )} } } {}

5.8 3a+943a+94 size 12{ { {3a+9} over {4} } } {}

Collection Navigation

Content actions

Download:

Collection as:

EPUB (?)

What is an EPUB file?

EPUB is an electronic book format that can be read on a variety of mobile devices.

Downloading to a reading device

For detailed instructions on how to download this content's EPUB to your specific device, click the "(?)" link.

| More downloads ...

Module as:

PDF | More downloads ...

Add:

Collection to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks

Module to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks