Skip to content Skip to navigation Skip to collection information

OpenStax-CNX

You are here: Home » Content » Wiskunde Graad 9 » Vorm en ruimte

Navigation

Lenses

What is a lens?

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

This content is ...

In these lenses

  • GETSenPhaseMaths display tagshide tags

    This collection is included inLens: Siyavula: Mathematics (Gr. 7-9)
    By: Siyavula

    Collection Review Status: In Review

    Click the "GETSenPhaseMaths" link to see all content selected in this lens.

    Click the tag icon tag icon to display tags associated with this content.

Recently Viewed

This feature requires Javascript to be enabled.

Tags

(What is a tag?)

These tags come from the endorsement, affiliation, and other lenses that include this content.
 

Vorm en ruimte

Module by: Siyavula Uploaders. E-mail the author

WISKUNDE

Graad 9

ALGEBRA EN MEETKUNDE

Module 7

VORM EN RUIMTE

Aktiwiteit 1

Om die struktuur van sommige regte prismas te verstaan

[LU 3.3, 3.4]

A. Bou houers

Daar sal aan jou ‘n vel papier met vorms gegee word. Jy benodig ‘n liniaal waarmee jy kan meet, ‘n skêr en gom of kleefband. Kleurpotlode sal ook help. Doen die volgende:

  1. Meet al die lyne en skryf jou mate netjies neer (jy behoort tot die naaste half-millimeter te kan meet). Doen ook jou bes om die deursnee (of die radius) van die sirkel te meet. As jy ‘n gradeboog beskikbaar het, bepaal ook waar die 90° hoeke is.
  2. Bepaal nou die oppervlaktes van al die vorms vanuit jou mates. Tel die verskillend dele bymekaar om die totale oppervlaktes van die vier verskillende vorms te bereken. Sit jou werk versigtig uiteen sodat enigeen kan begryp wat jy doen. Gebruik die regte name vir die vorms waarmee jy werk.

Byvoorbeeld, vir die laaste figuur sou dit so lyk:

Totale oppervlakte = klein reghoek + klein reghoek + groot reghoek

= (l × b) + (l × b) + (l × b)

ensovoorts . . . (Onthou om altyd geskikte eenhede te gebruik.)

  1. Sny nou die vorms versigtig uit. Jy kan hulle inkleur as dit jou sou help om die bokant en onderkant van die sykante (met die strepe) te onderskei. Vou die vorms nou en gebruik kleefband of gom en papierstrokies om vier houertjies te maak. Hou die kante met die strepe aan die buitekant.
  2. Skryf die Totale Buite-Oppervlakte (TBO) van elke vorm neer. (Dis wat jy reeds bereken het!)
  3. Werk saam in groepies van drie of vier en probeer uitwerk hoeveel 1cm × 1cm blokkies in elk van die houers sou inpas. Hierdie waarde is volume van die houer. As julle ‘n metode of formule kan vind wat vir elkeen van die vorms sou werk, skryf dit sorgvuldig neer.
  4. As jy klaar is met hierdie oefening behoort jy twee formules te hê.

B. Regte prismas

  • Hierdie vier houers is elk ‘n regte prisma. Hierdie vorms het ‘n basis en ‘n bokant wat presies dieselfde grootte en vorm het, met sye wat reguit boontoe loop en ‘n 90° hoek vorm met die basis. Soek vir jou items wat aan hierdie vereistes voldoen en dus regte prismas is.
  • Ons benoem regte prismas volgens die vorm van die basis, byvoorbeeld vierkantige prisma, reghoekige prisma, driehoekige prisma en sirkelvormige prisma (silinder).
  • Is hierdie twee vorms regte prismas? Beskryf die vorm van elkeen se basis en bevestig of die sye regop loop teen 90° met die basis.
Figure 1
Figure 1 (Picture 1.png)

C. Formules

  • Om die totale buite-oppervlakte (TBO) en volume (V) van enige regte prisma te bereken, gebruik ons die volgende algemene formules: (Let op dat H na die prisma se hoogte verwys.)

TBO = 2 × basisoppervlakte + sy-oppervlakte en V = basisoppervlakte × prismahoogte

Die volgende voorbeelde is belangrik. Dit is die vier houers wat jy uitgesny en gevou het. Let op dat elke afdeling van die berekening apart gedoen word en dan uiteindelik in die formule ingestel word.

  1. Vierkant–prisma:

TBO = 2 basisoppervlakte + sy-oppervlakte = (2 × s2) + (H × basisomtrek)

Figure 2
Figure 2 (graphics1.png)

s = 28mm

Stap 1: Bepaal waar die basis is en skets dit saam met die afmetings.

Stap 2: Bereken die basisoppervlakte.

Basisoppervlakte = s2 = 282 = 784 mm2

Stap 3: Bereken die basisomtrek.

Basisomtrek = 4 × s = 112mm

Stap 4: Skryf die prismahoogte neer

H = 52mm

Stap 5: Bereken die TBO en V.

V = 784 × 52 = 40 768 mm3 ≈ 40,7 cm3

TBO = (2 × 784) + (52 × 112) = 7 392 mm2 ≈ 73,9 cm2

  1. Reghoek-prisma:

Figure 3
Figure 3 (graphics2.png)
TBO = 2 basisoppervlakte + sy-oppervlakte = 2 (l × b) + (H × basisomtrek)

1 = 41mm; b = 14mm

Stap 1: Bepaal waar die basis is en skets dit saam met die afmetings.

Stap 2: Bereken die basisoppervlakte.

Basisoppervlakte = l × b = 41 × 14 = 574 mm2

Stap 3: Bereken die basisomtrek.

Basisomtrek = 2 (14 + 41) = 110mm

Stap 4: Skryf die prismahoogte neer

H = 54mm

Stap 5: Bereken die TBO en V.

V = 574 × 54 = 30 996 mm3 ≈ 31 cm3

TBO = (2 × 574) + (54 × 110) = 7 088 mm2 ≈ 70,1 cm2

  1. Silinder:

TBO = 2 basisoppervlakte + sy-oppervlakte = 2 (π r2) + (H × basisomtrek)

Figure 4
Figure 4 (graphics3.png)

r = 17,5mm

Stap 1: Bepaal waar die basis is en skets dit saam met die afmetings.

Stap 2: Bereken die basisoppervlakte.

Basisoppervlakte = π r2 = 3,14159 × (17,5)2 ≈ 962,1mm2

Stap 3: Bereken die basisomtrek.

Basisomtrek = 2 π r = 109,956mm

Stap 4: Skryf die prismahoogte neer

H = 60,5mm

Stap 5: Bereken die TBO en V.

V = 962,1 × 60,5 ≈ 58 207,8 mm3 ≈ 58 cm3

TBO = (2 × 962,1) + (60.5 × 109,956) ≈ 8 576,55 mm2 ≈ 85,8 cm2

  1. Driehoek-prisma:

TBO = 2 basisoppervlakte + sy-oppervlakte = 2 (½ × b × h) + (H × basisomtrek)

Figure 5
Figure 5 (graphics4.png)

b = 43,5mm; h = 31,5mm skuinssy = 53,7mm (Pyth.)

Stap 1: Bepaal waar die basis is en skets dit saam met die afmetings.

Stap 2: Bereken die basisoppervlakte.

Basisoppervlakte = ½ b × h = 685,125 ≈ 685,1mm2

Stap 3: Bereken die basisomtrek.

Basisomtrek = b + h + skuinssy ≈ 128,7mm

Stap 4: Skryf die prismahoogte neer

H = 60,5mm

Stap 5: Bereken die TBO en V.

V = 685,1 × 60,5 ≈ 41 450,1 mm3 ≈ 41 cm3

TBO = (2 × 685,1) + (60.5 × 128,7) ≈ 9 157,06 mm2 ≈ 91,6 cm2

Oefening:

Bereken die totale buite-oppervlakte en die volume van die volgende drie prismas.

Figure 6
Figure 6 (Picture 2.png)

Opdrag om in pare te doen:

  • Help Ouma haar probleem oplos. Sy het ‘n pot perskekonfyt gekook. Die konfyt is 2 cm vanaf die boonste rand van die kastrol met deursnit 24 cm en hoogte 21cm.
  • Sy het mooi konfytbotteltjies wat sy graag tot ongeveer ½ cm van bo-af wil volmaak.
  • Ouma het twee tipes botteltjies. Die bruines het ‘n vierkantige basis (8 cm × 8 cm) en is 12 cm hoog, en die geles het ‘n basis van 6,5 cm × 11,5 cm en is 11 cm hoog. Sy het elf van elke soort.
  • Haar probleem is dat sy slegs een soort botteltjie vir die perskekonfyt wil gebruik. Dit beteken dat sy nie die een soort wil begin gebruik om net agter te kom dat sy nog konfyt oor het as al elf vol is nie.
  • Jou taak is om uit te vind of sy genoeg botteltjies van een soort het om al die konfyt te bevat, en om dan ‘n aanbeveling te maak oor watter soort botteltjie om te gebruik.

Aktiwiteit 2

Om vertroud te raak met verskeie twee- en driedimensionele figure

[LU 3.1, 3.5]

A. Tweedimensionele figure

Dit is figure wat op ‘n vel papier geteken kan word. Hulle is dus plat figure. Daar is natuurlik ontelbaar baie sulke figure.

Veelhoeke (poligone) is geslote figure met drie of meer reguit sye. As al die sye ewe lank is en al die binnehoeke ewe groot, praat ons van reëlmatige veelhoeke. Driehoeke is driesydige veelhoeke, en ‘n gelyksydige driehoek is ‘n reëlmatige driesydige veelhoek. ‘n Vierkant is ‘n reëlmatige viersydige veelhoek. Pentagone (vyfhoeke) het vyf sye, heksagone het ses sye en heptagone het sewe. Maak ‘n lys van al hierdie spesiale name wat jy kan opspoor.

Hier is ‘n klompie geslote plat figure; kleur hulle in, en skryf die naam van elk op die vorm.

Figure 7
Figure 7 (Picture 3.png)

B. Ondersoek

Kies vier veelhoeke uit die boonste oefening; almal reëlmatig, maar met verskillende aantal sye. Meet nou die binnehoeke van elk. Probeer uitvind of daar dalk ‘n formule bepaal kan word wat kan voorspel hoe groot die hoeke is, en wat die som van die hoeke sal wees.

Die volgende tabel sal help. Soos jy kan aflei, is daar oneindig veel poligone.

Table 1
Aantal sye a = binnehoek-grootte b = 360 – a c = b – 180 Totaal van a Totaal van c
Drie       3×a = 3×c =
Vier       4×a = 4×c =
Vyf       5×a = 5×c =
Ses       6×a = 6×c =
Sewe       7×a = 7×c =
Twaalf       12×a = 12×c =
  • Die eienskappe in die tabel is baie handig wanneer daar besluit moet word hoe om ‘n vloer te teël met reëlmatige veelhoeke sodat hulle nie oorvleuel of gate laat nie. Party veelhoeke sal met ander gekombineer kan word, ander sal alleen werk.
  • Ontwerp en teken jou eie herhalende teëlpatroon deur slegs reëlmatige veelhoeke te gebruik, en kleur dit so in dat die patroon duidelik is.

C. Driedimensionele geslote figure.

  • As hierdie figure se sye uit veelhoeke bestaan, noem ons hulle polihedra of veelvlakke. ‘n Reëlmatige polihedron (veelvlak) se kante is kongruente reëlmatige poligone, met binnehoeke dieselfde vorm en grootte.
  • Anders as die veelhoeke, bestaan daar net vyf reëlmatige veelvlakke. Hulle is al bekend sedert die dae van Plato en die Griekse wiskundiges; daarom staan hulle bekend as die vyf Platoniese ruimtefigure.

D. Projek

Vors die vyf Platoniese ruimtefigure na om hulle name en eienskappe op te spoor, asook ander interessante feite en verhale oor hulle. Maak ‘n aantreklike plakkaat of modelle van die figure wat die feite van elk aantoon. Hieronder is diagramme van die figure.

Figure 8
Figure 8 (Picture 4.png)

Assessering

Table 2
LU 3
Ruimte en Vorm (Meetkunde)Die leerder is in staat om eienskappe van en verwantskappe tussen tweedimensionele vorms en driedimensionele voorwerpe in ‘n verskeidenheid oriëntasies en posisies te beskryf en voor te stel.
Ons weet dit as die leerder:
3.1 meetkundige figure en driedimensionele voorwerpe in natuurlike en kulturele vorms en meetkundige agtergrond herken, visualiseer en benoem, insluitend:
3.1.1 reëlmatige en onreëlmatige veelhoeke en veelvlakke;
3.1.2 sfere;
3.1.3 silinders;
3.2 die onderlinge verwantskappe van meetkundige figure en driedimensionele voorwerpe se eienskappe met bewyse in kontekste, insluitend dié wat gebruik kan word om ‘n bewustheid van sosiale, kulturele en omgewingsake te bevorder beskryf, insluitend:3.2.1 kongruensie en reguitlynmeetkunde;
3.3 die meetkunde van reguitlyne en driehoeke gebruik om probleme op te los en verwantskappe in meetkundige figure te bewys;
3.4 meetkundige figure teken en/of konstrueer en modelle maak van driedimensionele voorwerpe om die eienskappe daarvan en van modelsituasies in die omgewing te ondersoek en vergelyk;
3.5 transformasies, kongruensie en gelykvormigheid gebruik om die eienskappe van meetkundige figure en driedimensionele voorwerpe te ondersoek (alleen en/of as ‘n lid van ‘n span of groep), insluitend toetse vir die gelykvormigheid en kongruensie van driehoeke.

Memorandum

Bespreking

  • Ingesluit by hierdie gids is daar twee bladsye figure vir die konstruksie van eenvoudige regte prismas. Dupliseer genoeg vir die leerders om ten minste twee elk van die figure te maak. Probeer om hiervoor ligte karton of swaar papier te gebruik. Leerders kan gevra word om dele (soos onder-en bokant) in te kleur om die begrip van die moeilike formules duideliker te maak.
  • In die algemeen is die twee formules vir regte prismas:
  • Totale Buite Oppervlakte = tweemaal die basis–area + prisma–hoogte × basis–omtrek
  • Volume = basis – area × prisma – hoogte
  • Die toepaslike eenhede (tot die mag 2 of 3) vir elke formule moet altyd vereis word.
  • Daar is nog ‘n moontlike probleem omdat die woord hoogte gebruik word by die berekening van oppervlaktes van driehoeke asook by die mate van ‘n prisma. Gebruik gerus h by die driehoek, en H by die prisma.
  • As leerders verwar word deur die komponente van die formules, is die metode waar die stappe opgebreek word, van veel hulp. Natuurlik sal die bedrewe leerder direk reg in die formule kan instel. Dis ‘n effektiese gebruik en kan gerus aangemoedig word.

Oefening: Oplossings:

Reghoekige prisma: TBO = 412 cm2 Vol = 480 cm3

Driehoekige prisma: TBO = 307,71 cm2 Vol = 360 cm3

Silinder: TBO = 402,12 cm2 Vol = 603,19 cm3

Ouma se Konfyt: Kastrol: Vol = 8 595,40 cm2

11 Vierkantige bottels: Vol = 8 096 cm2

11 Reghoekige bottels: Vol =8 633,63 cm2

As ouma al die konfyt wil inkry moet sy die reghoekige botteltjies gebruik!

Figure 9
Figure 9 (Picture 105.png)

3 = driehoek; 4 = vierhoek; 5 = vyfhoek; 6 = seshoek; 7 = sewehoek; 8 = agthoek; * = nie veelhoek

Table 3
Aantal sye a = binnehoekgrootte b = 360° – a c = b – 180° Totaal van a Totaal van c
Drie 60° 300° 120° a = 180° c = 360°
Vier 90° 270° 90° a = 360° c = 360°
Vyf 108° 252° 72° a = 540° c = 360°
Ses 120° 240° 60° a = 720° c = 360°
Sewe 308,57° 51,43° –128,57° a = 2160° c = –360°
Twaalf 330° 30° –150° 12×a = 3960° 12×c = –360°

Die

TOETS 1

1. Verduidelik hoe om ‘n regte prisma te herken.

2. Verduidelik hoe om die basis van ‘n regte prisma te bepaal.

3. Bereken die totale buiteoppervlakte en volume van elk van die volgende drie prismas. Gee jou antwoord akkuraat tot twee desimale plekke.

Figure 10
Figure 10 (Picture 106.png)

Memorandum

1. Belangrike punte in verduideliking: driedimensioneel; bokant en onderkant kongruente plat- vlakke; sye reghoekig tot basis.

2. Enige redelike verduideliking, bv. as die gekose basis onder is, pas dit die beskrywing van ‘n regte prisma.

3. Reghoekige regte prisma: TBO = 1 939,68 cm2 Volume = 5 769,72 cm3

Driehoekige regte prisma: TBO = 1 507,74 mm2 Volume = 2 312 mm3

Silinder: TBO = 8 022,37 m2 Volume = 41 593,67 m3

Collection Navigation

Content actions

Download:

Collection as:

EPUB (?)

What is an EPUB file?

EPUB is an electronic book format that can be read on a variety of mobile devices.

Downloading to a reading device

For detailed instructions on how to download this content's EPUB to your specific device, click the "(?)" link.

| More downloads ...

Module as:

PDF | More downloads ...

Add:

Collection to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks

Module to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks