Meetkunde van lyne en driehoeke

Aktiwiteit 1

Om die gebruiklike benoeming van sye en hoeke in driehoeke te leer

Figure 1

Oefening:

Teken die volgende tekening in die spasie

regs, om te wys dat jy begryp hoe die beskrywings

gebruik word:

Teken ΔQRT met q=4cm, T=65° en QT=5,5cm.

Sien jy dat dit nie nodig is om die lengte van t,

of die groottes van QˆQˆ size 12{ { hat {Q}}} {} of RˆRˆ size 12{ { hat {R}}} {}te weet nie? Maak eers

‘n rowwe skets om jou te help om jou werk te

beplan.

Opdrag:

Jy weet alreeds dat driehoeke volgens hulle vorm geklassifiseer word. Maak ‘n A4–grootte plakkaat vir jouself waarop die eienskappe van die volgende soorte driehoeke duidelik aangetoon word: gelyksydig, reghoekig, gelykbenig en ongelyksydig. Benoem die hoeke en sye soos hierbo verduidelik. Werk so noukeurig en netjies as moontlik.

Meet die sye en hoeke van jou driehoeke en vul dit in op die plakkaat.

Aktiwiteit 2

Om die beginsel van kongruensie in driehoeke te ondersoek

[LU 4.4, 3.3, 3.5]

In die vorige oefening het jy ΔQTR volgens gegewe spesifikasies geteken. Vra die ander leerders wat hierdie oefening gedoen het om jou hulle sketse te wys, en bevestig dat hulle mates perfek ooreenstem met dié wat gegee is. Meet nou die sy en twee hoeke wat nie gegee is nie om te sien of hulle met joune ooreenstem.

ΔQRT: Twee sye en die hoek tussen hulle is gegee.

ΔAGE: ‘n Regte hoek, die skuinssy en nog ‘n sy is gegee.

ΔNOH: Een sy en twee hoeke is gegee.

ΔAMP: Drie sye is gegee.

ΔBAT: Drie hoeke is gegee, maar daar is niks gesê van die driehoek se grootte nie!

ΔMOD: Twee sye en die hoek nie tussen die twee sye, is gegee. Dus kan dit gebeur dat sommige leerders ‘n kort OM sy en sommige ‘n lang OM sy sou teken; omdat die lengte van OM nie gespesifiseer word nie!

Figure 2

Figure 3

Ondersoek:

In die volgende oefening is daar 15 driehoeke, A tot O. Hulle is doelbewus deurmekaar en in vreemde posisies. Werk in ‘n groep van 4 of 5 om te besluit of enige daarvan kongruent is. Groepeer die name van dié wat kongruent is, met redes en verduidelikings. Dis nie ‘n eenvoudige oefening nie – dis meer soos ‘n raaisel. Jy moet al jou ondervinding, gesonde verstand en logika inspan. Moenie iets meet nie – die mates is nie bedoel om akkuraat te wees nie.

Figure 4

Aktiwiteit 3

Om die vier gevalle van kongruensie in probleme toe te pas

[LU 4.4, 3.3, 3.4]

Bewys dat ΔABC en ΔDEF kongruent is.

Figure 5

Neem die oefening in die vorige deel en doen ten minste drie kongruensies op hierdie manier.

Oefening:

Bewys dat die twee driehoeke in elk van die volgende probleme kongruent is.

Figure 6

2.

Figure 7

3.

Figure 8

Aktiwiteit 4

Om die beginsel van gelykvormigheid in driehoeke te begryp

[LU 1.2, 1.4, 3.5]

Opdrag:

Voorbeeld:

Bestudeer die twee driehoeke en bereken die waardes van x en y.

Figure 9

Is die driehoeke gelykvormig? Is die hoeke gelyk? Is die sye in verhouding? In hierdie probleem sien ons maklik dat die hoeke gelyk is, maar ons het nie genoeg inligting oor die sye nie. In ander probleme is dit dalk andersom.

Sit dit so uiteen:

1. A = 65° omdat die hoeke van ΔABC saam 180° maak.

F = 35° omdat die hoeke ΔDEF saam 180° maak.

2. Die hoeke van die driehoek is gelyk en dus is die driehoeke gelykvorming:

ΔABC  ΔDEF (gelykhoekig).

3. Dit beteken dat die sye in verhouding moet wees.

4. Bereken die konstante verhouding. AC = 16 en DF = 8.

5. Ons bereken nou die waarde van x deur 9 deur 2 te deel: x = 2  9,4 = 4,7.

6. En y = 2 × 5,5 = 11.

Oefening:

Bereken die lengtes van die twee sye PR en XY in hierdie twee driehoeke.

Figure 10

Voorbeeld:

Indien moontlik, bereken die groottes van al die ontbrekende hoeke :

Figure 11

1. Die sye is in verhouding: 42 × 1,5 = 63 , 38 × 1,5 = 57 en 34 × 1,5 = 51

2. Dit beteken die driehoeke is gelykvormig: ΔEFG  ΔKLM (sye in verhouding)

3. Dus: ooreenstemmende hoeke is gelyk: L = 68° (stem ooreen met F)

E = 51° (stem ooreen met K)

G = M = 61° (som van die hoek van ‘n driehoek)

Oefening:

Bereken al die ontbrekende hoeke in hierdie driehoeke:

Figure 12

Aktiwiteit 5

Om gelykvormigheid in probleme toe te pas

[LU 4.4, 1.4, 3.5]

In die volgende probleme moet jy sketse van die gegewe driehoeke maak, maar jy moet NIE akkurate tekeninge maak nie.

1. Is die volgende driehoeke gelykvormig?

1.1 ΔBAG met B = 90°, AG = 15cm en AB = 9cm en

ΔPOT met P = 90°, OT = 5cm en PO = 4cm.

1.2 ΔREM met R = 60° en M = 50° en

ΔSUP met U = 70° en S = 50°.

1.3 ΔLOP met P = 90°, LO = 13cm en OP = 12cm en

ΔCAT met C = 90°, AC = 16cm en CT = 12cm.

2. Bereken die konstante verhouding in die gelykvormige driehoeke ΔABC en ΔDEF met

AB = 36cm, EF = 12cm, C = 48° en D = 48°.

3. Twee vlagpale (een langer as die ander) gooi skaduwees op die grond. Die skaduwee van die lang paal (wat 8m hoog is) is 3m, en die kort paal het ‘n 2,5m skaduwee. Bereken hoe lank die kort vlagpaal is.

4. Gloria ontwerp ‘n logo vir haar skool se rekenaarklub. Die ontwerp het ‘n rekenaar langs ‘n stapel boeke wat 50 % hoër is as die rekenaar. Sy gebruik ‘n kopieermasjien om die ontwerp te verklein. Op die kopie is die rekenaar 18cm hoog en op die oorspronklike skets is die stapel boeke 54cm hoog. Met watter proporsionele faktor het sy die skets kleiner gemaak?

Meetkunde

Bespreking

Wys leerders op die verwantskap tussen hoekgroottes en lengtes van oorstaande sye, m.a.w. dat die grootste hoek teenoor die langste sy is, ens. In hierdie verband is die volgende stellings van belang:

In ΔABC:

As b² = a² + c² , dan BˆBˆ size 12{ { hat {B}}} {}= 90°

As b² > a² + c² , dan BˆBˆ size 12{ { hat {B}}} {}> 90°

As b² < a² + c² , dan BˆBˆ size 12{ { hat {B}}} {}< 90°

Kongruensie

In die eerste oefening van aktiwiteit 3.2 moet die leerders liefs nie in groot groepe saamwerk nie – pare sou goed wees. Die doel is om soveel moontlik verskillende weergawes van die driehoek te verkry, om sodoende te toon wanneer hulle kongruent is en wanneer nie. Heel beste is om hierdie oefening as huiswerk te gee as die leerders dit sonder hulp sou kon voltooi.

Wanneer die vier kongruensie-gevalle bespreek word, let op dat twee reghoekige driehoeke wel kongruent is as twee nie-skuissy sye onderskeidelik gelyk is; nie deur die RHS-reël nie, maar wel deur SS.

Leerders moet ook gewoond raak aan figure wat nie volgens skaal geteken is nie – en dat die gegewe mate op die skets gebruik moet word. Tensy gevra moet hulle nie kenmerke meet nie.

Antwoorde op pas-oefening:

A  O (SSS of RHS uit berekende skuinssy, Pythagoras)

B  G (SS) Nie kongruent aan I nie; die gegewe hoek is nie ingeslote nie

C  F  N (SSS of RHS uit berekende skuinssy)

D, L en K is nie kongruent nie – slegs hoeke is gegee

E  H (S) Nie kongruent aan M nie; die gegewe sy is nie in ooreenstemmende posisie nie

Kongruensiebewyse:

1. C = 180° – 88° – 43° = 49° = F (som van hoeke van Δ)

B = 43° = E (gegee)

AB = 15 = DE oorkant 49°–hoeke (gegee)

ΔABC  ΔDEF (S)

2. BC = 12 = FE (Pythagoras)

AC = 15 = DE (gegee)

Reghoekige driehoeke

ΔABC  ΔDFE (RHS)

3. BC = BC (gemene / gedeelde sy)

B = 55° = C (gegee)

A = D (gegee; sien merkie)

ΔABC  ΔDCB(RHS)

Gelykvormigheid

Met ‘n fotokopieerder kan opvoeders nog oefeninge ontwerp wat die beginsels van gelykvormigheid goed illustreer deur direkte meting.

Oefening:

Q = 55° en Z = 65°

ΔPQR  ΔXYZ (gelykhoekig)

213 = 3(71)

PR = 201  3 = 67 en XY = 74 × 3 = 222

DE = AB × 4, DF = AC × 4 and EF = BC × 4

ΔABC  ΔDEF (sye in verhouding)

Ooreenstemmende hoeke moet gelyk wees

A = D = 62°; E = B = 49° en C = F = 69° (som van hoeke van Δ)

Oefening uit aktiwiteit 3.5:

1.1 Ja, Pythagoras gee BG = 12 cm en PT = 3 cm; sye in verhouding

1.2 Ja, E = 70° = U en P = 60° = R (hoeke van driehoek); gelykhoekig

1.3 Nee, LP = 5 cm en AT = 20 cm (Pythagoras); maar sye nie in verhouding

2. Konstante verhouding = 36  12 = 3

3. Kort vlagpaal is 6,67 m hoog

4. Stapel boeke op kopie is 18  2 × 3 = 27 cm hoog

54  27 = 2 is die faktor waarmee ontwerp verklein is.

Toets

Hierdie eenheid het nie ‘n toets nie.