WISKUNDE

Graad 9

GETALPATRONE

GRAFIESE VOORSTELLINGS

VERGELYKINGS

STATISTIEK

WAARSKYNLIKHEIDSLEER

Module 14

VERGELYKINGS EN GRAFIEKE

AKTIWITEIT 1

Om te begryp hoe om vergelykings op ’n grafiek voor te stel

[LU 2.2, 2.5, 2.6]

Voorbeeld: Die vergelyking y = 3х + 2 sê hoe die waardes van х en y verwant is – dit wys die verwantskap tussen twee veranderlikes, х en y.

Byvoorbeeld, as х gelyk is aan 5 , dan kan y se waarde bereken word uit 3 × 5 + 2 = 17. Ons substitueer die waarde 5 vir die х, en voltooi die berekening.

Langsaan is ’n tabel met sommige berekeninge.

Die nut van ’n tabel is dat dit vir ons die koördinate gee wat ons op ’n assestelsel kan stip. Hieruit kan ’n grafieklyn geteken word, wat vir ons die prentjie gee van die verwantskap tussen х en y.

1 Voltooi die tabelle vanaf die gegewe vergelykings hieronder, in groepe van ongeveer 4 of 5 leerders. Elkeen kan ’n ander tabel maak en dan kan julle die antwoorde bespreek en inskryf op julle eie tabelle. Onder elke tabel is ’n assestelsel waar die grafiek geteken moet word. Al hierdie grafieke is reguit lyne; dus is dit korrek om die punte te verbind.

2 Bespreek in die groep wat gebeur met die grafieke. Vergelyk elke grafiek met sy vergelyking. Hier is ’n paar voorstelle om te ondersoek:

2.1 Wat is die effek op die grafiek van die koëffisiënt van х in die vergelyking? Wat gebeur as die koëffisiënt negatief is?

2.2 In 1.6 het die tabel slegs twee kolomme. Is meer as twee kolomme nodig as jy weet dit gaan ’n reguitlyngrafiek wees?

2.3 Vergelyk 1.1 en 1.5 om uit te vind wat die konstante aan die grafiek doen.

Hier is ’n opsomming van die woorde oor vergelykings, tabelle en grafieke. Hierdie inligting moet gememoriseer word – jy kan nie behoorlik met grafieke werk as jy nie die woorde ken nie.

AKTIWITEIT 2

Om al die eienskappe van die reguitlyngrafiek te begryp en toe te pas

[LU 2.5]

1 In die vorige aktiwiteit het jy vergelykings gebruik om tabelle te maak waarvandaan die grafieke getrek kon word. Dit is egter ook moontlik om ’n grafiek direk vanaf ’n vergelyking te trek sonder die gebruik van ’n tabel. Dit is duidelik uit grafiek 1.6 hierbo dat ons slegs twee punte benodig om ’n reguit lyn deur die twee punte te trek. Dus, ons het nie ’n tabel nodig om die grafiek van ’n reguit lyn te trek nie.

In hierdie deel gaan ons herhaaldelik terug verwys na die ses grafieke in die vorige oefening.

Kom ons ondersoek eerstens die struktuur van die vergelyking:

y = mх + c is die standaardvorm van die vergelyking:

y is aan die linkerkant van die gelyk–teken, en y het geen koëffisiënt nie (dis dieselfde as om te sê dat die koëffisiënt 1 is, maar ons skryf dit nie neer nie).

Regs van die gelyk–teken kan daar een óf twee terme wees (sien vergelykings 1.5 en 1.6 hierbo). As daar twee terme is, word die term in х eerste geskryf – die х kan enige getal (positief, negatief of ’n breuk) as koëffisiënt neem.

In die standaardvorm skryf ons m om vir die koëffisiënt te staan. As die koëffisiënt 1 is, skryf ons dit weer eens nie.

Die c staan vir ’n konstante – enige getal wat nie ’n veranderlike is nie – positief, negatief of ’n breuk.

Die vergelyking y = mх + c is die algemene vergelyking vir alle reguit lyne. Maar y = –3х + 2 is die bepalende vergelyking vir ‘n spesifieke reguit lyn.

Hoe om vergelykings in die standaardvorm te skryf: Hier is ’n voorbeeld:

6х + 2y – 1 = 0 Hou die term in y aan die linkerkant; skuif die ander regs.

2y = –6х + 1 Maak die koeffisiënt van y = 1: deel al die terme deur 2.

y = –3х + ½ Dis die standaardvorm.

Hier is m = –3 en c = ½.

Oefen ’n paar – skryf ook m en c neer, soos hierbo.

1.1 2х + y = 3

1.2 3y – 9 = 6х

1.3 3х = 6y

1.4 2y – 8 = 0

2 Wat beteken die gradiënt?

Ons het alreeds verneem dat die steilte van ’n grafiek bereken kan word – dit is baie maklik as die grafiek ’n reguit lyn is. Die lyn is ewe steil oral – ons sê dat die gradiënt van ’n reguit lyn konstant bly.

Kyk weer na die waardes van m in die ses vorige grafie­ke.

As jy reg gewerk het, sal jou grafiek opwaarts na regs loop as m positief is, en afwaarts na regs waar m negatief is.

Anders gestel, m gee vir ons die gradiënt. (Wat, meen jy, gaan aan by y = 4?)

Met ’n positiewe m kry ons die gradiënt vanuit die aantal eenhede wat die lyn styg vir elke één eenheid wat dit regs loop. As m negatief is, kry ons die gradiënt uit die aantal eenhede wat die lyn val vir elke één eenheid wat dit regs loop.

Twee voorbeelde: Ons voltooi twee reghoekige driehoeke langs die lyne in gerieflike posisies op die grafiek, dan kan ons die gradiënt maklik aflees:

Vir die boonste lyn: m=−25m=−25 size 12{m= - { {2} over {5} } } {}, negatief omdat die lyn na regs val; 2 is die hoogte van die driehoek en 5 is sy lengte.

Vir die onderste lyn: m=+69=23m=+69=23 size 12{m"=+" { {6} over {9} } = { {2} over {3} } } {}, met 6 die hoogte van die driehoek, en 9 sy lengte. Ons laat die + uit, en ons vereenvoudig die breuk.

2.1 Gaan nou weer terug na die vorige ses grafieke en herhaal hierdie proses om te bevestig dat die m in die vergelyking ooreenstem met die gradiënt wat jy uit die grafiek self bereken. Let ook op hoe die grootte van m die steilte van die grafiek aandui.

3 Om te bepaal waar die lyn die y-as sny (ons noem dit die y-afsnit):

Let op dat die konstante term (c) in die vergelyking presies sê waar die lyn die y-as sny.

Byvoorbeeld, in y = 3х –4, is die y-afsnit by –4 op die y-as.

Bevestig dat dit so is vir al ses grafieke.

Ons het nou ’n metode om ’n reguit lyn te skets vanuit ’n gegewe vergelyking in die standaardvorm. Ons het nie ’n tabel nodig nie – ons gebruik eenvoudig die y-afsnit (die c), en die gradiënt (die m).

Merk die y-afsnit op die grafiekpapier. Gebruik nou die gradiënt in die vorm van ’n breuk – as dit ’n heelgetal is, skryf dit met 1 as noemer. Vanaf die y-afsnit, tel net soveel eenhede na regs as die noemer. Van daaraf, tel soveel eenhede as die teller op as m positief is, of af as m negatief is. Hier is twee voorbeelde:

(a) y=23x−2y=23x−2 size 12{ size 11{y```=``` { { size 11{2}} over { size 11{3}} } `x`` - ``2}} {}

Die y-afsnit is –2, by die sirkeltjie op die y-as. Die gradiënt is 2323 size 12{ { {2} over {3} } } {}, dus beweeg ons drie eenhede regs van die sirkeltjie, en dan twee eenhede op (nie af nie – die gradiënt is positief). Nog ’n sirkeltjie wys waar ons nou is. Trek nou die reguit lyn deur hierdie twee punte.

(b) y = –х + 3

Die y-afsnit is 3, by die sirkeltjie. Die gradiënt is –1; verander dit na −11−11 size 12{ - { {1} over {1} } } {}. Ons beweeg een eenheid (noemer) regs en een eenheid af (nie op nie). Ons eindig by ( 1 ; 2 ), by die tweede sirkeltjie. Trek die lyn deur die twee punte.

Teken nou die volgende grafieke d.m.v. die y-afsnit / gradiënt-metode soos hierbo.

3.1 y=−3x+1y=−3x+1 size 12{ size 13{y```=`` - 3x``+``1}} {}

3.2 y=13x−52y=13x−52 size 12{ size 13{y```=``` { { size 13{1}} over { size 13{3}} } x``` - ``` { { size 13{5}} over { size 13{2}} } }} {}

3.3 y=−34xy=−34x size 12{ size 13{y```=``` { { size 13{ - 3}} over { size 13{4}} } x}} {}

3.4 4х – 3y = 5

4 In probleem 3.4 hierbo moes jy eers die vergelyking in die standaardvorm skryf om m en c te verkry om die y-afsnit/gradiënt metode te gebruik. Dis ’n hele klomp ekstra werk.

Maar daar is ’n ander manier om die twee punte te verkry. As ons kan uitvind waar die grafiek die х-as sowel as die y-as sny, dan kan ons die lyn deur die twee afsnitte trek!

Terug by die vorige ses grafieke: hier­die tabel gee die х- en y-afsnitte van drie van hulle as koördinaat-pare.

Die belangrike punt om na op te let is dat die y–afsnit altyd ’n nul in die х-koördinaat se plek het, en die х-afsnit altyd ’n nul in die y–koördinaat se plek het.

Ons kan nou die vergelyking neem, net soos dit is, en die х gelyk stel aan nul. As ons dan vereenvoudig, kry ons die y-afsnit. Stel ons die y in die vergelyking gelyk aan nul, en vereenvoudig, kry ons die х-afsnit. Kom ons kyk hoe dit werk vir die vergelyking 9 – 6х = 3y (definitief nie in die standaardvorm nie):

Bereken die y-afsnit:

Substitueer 0 vir х:

9 – 6(0) = 3y 9 – 0 = 3y 9 = 3y 3y = 9 y = 3

Die y-afsnit in koördinaatvorm is ( 0 ; 3 )

Stip hierdie punt op die grafiek.

Bereken die х-afsnit:

Substitueer 0 vir y:

9 – 6х = 3(0) 9 – 6х = 0 9 = 6х 6х = 9  x=96=32x=96=32 size 12{x= { { size 8{9} } over { size 8{6} } } = { { size 8{3} } over { size 8{2} } } } {}

Die х-afsnit in koördinaatvorm is 32;032;0 size 12{ left ( { { size 8{3} } over { size 8{2} } } `;``0 right )} {}

Stip hierdie punt op die grafiek. Trek nou die reguit lyn deur die twee afsnitte, soos op die skets.

Dit is ’n baie maklike en gerieflike metode. As jy konsentreer en versigtig werk, sal dinge nie maklik verkeerd loop nie. Oefen die metode op die volgende vergelykings:

4.1 4y + 3х = 4

4.2 6y + 15 = 2х

4.3 3х + 4y = 0

4.4 3y + 5 = 4х

4.5 2y + 8 = 6х

4.6 4y – 2х – 4 = 0

Lyk hierdie vergelykings bekend?

5 Daar is nog ’n paar spesiale gevalle om na te kyk. Met die vergelyking in die standaardvorm kan ons heelwat aflei omtrent die grafiek.

Ons weet reeds dat die standaardvorm van die reguitlyn-grafiek y = mх + c is. As c nul is, word die vergelyking y = mх; as m nul is, word die vergelyking y = c.

y = mх + c, met nóg m nóg c nul, is die vergelyking van die lyne wat nie deur die oorsprong loop nie, en ook nie horisontaal of vertikaal is nie. Daar is party van hulle in die eerste diagram. Om hierdie grafieke te skets is óf die y-afsnit/gradiënt óf die twee–afsnit metode geskik.

y = mх (c is nul) is die vergelyking van lyne wat nóg horisontaal nóg vertikaal is, maar wel deur die oorsprong loop – soos te wagte, aangesien c nul is, d.w.s die y-afsnit is nul. In die tweede diagram is vier van hulle. Die y-afsnit/gradiënt metode is die maklikste om hierdie grafieke mee te teken.

y = c is die vergelyking van alle horisontale lyne, soos jy vantevore gesien het. Skets hulle deur ’n horisontale lyn deur die y-afsnit (c) te trek.

As die vergelyking х = k is, met k ’n konstante, stel dit ’n vertikale lyn voor wat deur k op die х-as loop. Trek sulke lyne deur k op die х-as te merk en dan ’n vertikale lyn deur die punt te trek.In die derde diagram verskyn party van hierdie grafieke.

Voorsien van al die goeie raad hierbo, behoort jy maklik die vergelykings van hierdie twaalf grafieke te kan bepaal. Indien nie, sal jy hulp kry in die volgende deel.

Assessering

Memorandum

Vergelykings en grafieke

Uit die eerste oefening met die ses vergelykings volg hierdie belangrike punte: die skuinste van gradiënte (beide positief en negatief) van die lyne; die y-afsnit en die feit dat hierdie waardes maklik afgelei kan word vanuit die standaardvorm van die vergelyking. Die opvoeder kan die leerders lei om af te lei dat slegs twee punte op die lyn nodig is om die grafiek te kan skets.

Aangesien hierdie ses grafieke herhaaldelik gebruik word, is dit ‘n goeie plan om seker te maak dat leerders korrekte weergawes het vir toekomstige gebruik.

Kies bruikbare punte op die grafiek om die reghoekige driehoek op te konstrueer. Ook, hoe groter die driehoek, hoe meer akkuraat die lesing.

Grafieke vanuit vergelykings

1.1 y = –2x + 3; m = –2 en c = 3

1.2 y = 2x + 3; m = 2 en c = 3

1.3 y = ½x; m = ½ en c = 0

1.4 y = 4; m = 0 en c = 4

In hierdie deel word gradiente van die grafiek afgelees. Dis goed as die leerders intuïtief kan begin verstaan hoe die gradiënt werk. Later bepaal ons dit uit twee punte se koördinate.

3.1 tot 3.4 Die memorandum word aan opvoeder oorgelaat.

4.1 (0 ; 1) ( 4343 size 12{ { {4} over {3} } } {} ; 0)

4.2 (0 ; –2½) (7½ ; 0)

4.3 (0 ; 0) (0 ; 0)

4.4 (0 ; −53−53 size 12{ - { {5} over {3} } } {}) ( 5454 size 12{ { {5} over {4} } } {} ; 0)

4.5 (0 ; –4) ( 4343 size 12{ { {4} over {3} } } {} ; 0)

4.6 (0 ; ½) (–½ ; 0)

Content actions

Footer

This work is licensed by Siyavula Uploaders under a Creative Commons Attribution License (CC-BY 3.0), and is an Open Educational Resource.

Last edited by Siyavula Uploaders on Aug 20, 2009 7:10 am -0500.