Skip to content Skip to navigation Skip to collection information

OpenStax-CNX

You are here: Home » Content » Wiskunde Graad 9 » Om eenvoudige probleme op te los deur vergelykings te vorm

Navigation

Lenses

What is a lens?

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

This content is ...

In these lenses

  • GETSenPhaseMaths display tagshide tags

    This collection is included inLens: Siyavula: Mathematics (Gr. 7-9)
    By: Siyavula

    Collection Review Status: In Review

    Click the "GETSenPhaseMaths" link to see all content selected in this lens.

    Click the tag icon tag icon to display tags associated with this content.

Recently Viewed

This feature requires Javascript to be enabled.

Tags

(What is a tag?)

These tags come from the endorsement, affiliation, and other lenses that include this content.
 

Om eenvoudige probleme op te los deur vergelykings te vorm

Module by: Siyavula Uploaders. E-mail the author

WISKUNDE

Graad 9

GETALPATRONE

GRAFIESE VOORSTELLINGS

VERGELYKINGS

STATISTIEK

WAARSKYNLIKHEIDSLEER

Module 16

OM EENVOUDIGE PROBLEME OP TE LOS DEUR VERGELYKINGS TE VORM

AKTIWITEIT 1

Om eenvoudige probleme te doen deur vergelykings te vorm en op te los

[LU 2.2, 2.4]

Hoe word hierdie probleem gedoen?

Jamie se pa is vier keer so oud as Jamie. Sy pa is 40; hoe oud is Jamie?

a) Miskien moet ons baie hard dink en ‘n paar raaiskote waag, soos: As Jamie 1 is, is sy pa 4. Nie reg nie. Wat van 2 jaar oud? Ensovoorts.

b) Maak ‘n tabel en voltooi die spasies. Help dit?

Table 1
Ouderdom 1 2 3 4    
Ouderdom х 4 4 8 12   28 40

c) Teken ‘n vloeidiagram. Help dit?

Figure 1
Figure 1 (Picture 1.png)
  • Daar is duidelik nie veel verskil tussen die drie metodes nie – jy kan enigeen gebruik wat jou pas. Hulle is egter nie van veel waarde nie, want jy moet nog so baie raai. Vir moeiliker probleme word hierdie metodes onmoontlik om te gebruik.
  • Gelukkig is daar ‘n beter manier.
  • Die beste metode om hierdie probleem aan te pak is om ‘n vergelyking vanuit die inligting te vorm. Dan los ons die vergelyking op en skryf die antwoord neer uit die oplossing van die vergelyking.
  • Dis moeilik om vergelykings te vorm, maar dit word makliker met oefening.
  • Vir ‘n vergelyking benodig ons ‘n gelykaanteken en ‘n veranderlike (ons gebruik dikwels x, maar dit kan enige letter wees).

Jamie se pa is vier keer so oud as Jamie. Sy pa is 40; hoe oud is Jamie?

  • In die algemeen lyk die vergelyking so:
  • Vier maal Jamie se ouderdom = vader se ouderdom wat 40 is.
  • Die vraag vereis Jamie se ouderdom; dus: Laat Jamie se ouderdom xwees.
  • Nou word die vergelyking: 4x = 40
  • Ons moet ‘n getal vind wat 40 gee as ons dit met 4 vermenigvuldig. As ons 40 deur 4 deel, is die antwoord 10. Dus moet х 10 wees, en Jamie is dus 10 jaar oud. Dis maklik om te bevestig dat dit die korrekte antwoord is.

‘n Probleem vir jou: Leon het 48 albasters. Amy het slegs ‘n derde soveel as Leon; hoeveel het sy? Gebruik die vorige metode.

Sit jou antwoord op hierdie manier uiteen:

Wat stel die veranderlike voor?.

  • Skryf ‘n vergelyking met hierdie veranderlike.
  • Los die vergelyking op.
  • Skryf die oplossing neer, m.a.w. wat die waarde van die veranderlike is.
  • Skryf die antwoord op die probleem in woorde neer.

Let op dat die eerste stap en laaste stap in woorde is, en die middelste stappe, algebra.

Oefening:

Vind die antwoorde op die volgende probleme:

1. Mnr. Jacobs het R295,45 in sy sak. Mev. Jacobs het R55,30 minder as haar man in haar handsak. Wat is die bedrag in haar handsak?

2. Ek dink aan ‘n getal. Ek vermenigvuldig dit met 7 en deel die antwoord deur 3. Die resultaat is 49. Wat is die getal waaraan ek gedink het? Onthou om jou antwoord te kontroleer.

3. In Amerika koop Joanie ‘n item wat $5,75 kos. Sy bereken dat dit R41,69 is as sy dollars na rande omskakel. Wat is die dollar–rand wisselkoers wat sy gebruik het?

AKTIWITEIT 2

Om doeltreffende metodes te ontwikkel vir moeiliker probleme

[LU 2.3, 2.4]

  • Ons gaan nog woordsomme doen, maar ons gaan eers op die algebra in die oplossing konsentreer. Maak telkens seker dat jy weet wat elke stap beteken, en waarom dit gedoen word.
  • Party van die volgende probleme word deur hul oplossings gevolg. Probeer eers om self by die antwoord uit te kom voor jy verder lees. Vergelyk dan jou antwoord en die manier waarop jy dit uiteensit.

1. As ek die prys van die CD wat ek gekoop het, verdriedubbel en dan R90 by die antwoord tel, kom ek uit by die prys van die R495 draagbare CD-speler wat ek dieselfde tyd gekoop het. Hoeveel het ek vir die CD betaal? Hoeveel geld het ek altesaam uitgegee?

  • Oplossing:Prys van CD × 3 plus R90 = prys van CD-speler

Gestel x is die CD se prys.

x × 3 + 90 = 495 Vertaal woorde in algebra

3x + 90 = 495 Vereenvoudig

3x = 495 – 90 Trek 90 af van beide kante van die =

3x = 405 Vereenvoudig

x = 405  3 Deel deur 3 aan beide kante van die =

x = 135 Vereenvoudig

Die CD het R135 gekos.

Ek het R135 + R495 = R630 uitgegee.

2. Mev. Williams is ‘n toesighouer in ‘n fabriek. Devon Jones is so pas aangestel as ‘n toesighouer teen ‘n weeklikse loon van R900. Sy verstaan dat as R535 van haar weeklikse loon afgetrek word, die oorblywende deel presies die hefte van Devon s’n is. Mev. Williams is bekommerd dat sy nie soveel verdien as die onervare jong man nie. Het sy rede tot kommer? Wenk: Gestel yis Mev. Williams se loon.

3. ‘n Sekere getal is 6 groter as ‘n ander getal. Die som van die twee getalle is 28. Wat is die getal?

  • Oplossing:

(‘n Getal) + (die getal – 6) = 28

Gestel x is die getal; dan is die ander getal x – 6

x + (x –6) = 28 Vertaal in algebra

x + x – 6 = 28 Verwyder hakies

2 – 6 = 28 Vereenvoudig

2x = 28 + 6 Tel 6 by aan elke kant

2x = 34 Vereenvoudig

x = 34  2 Deel elke term deur 2

x = 17 Vereenvoudig

Die getal is 17

Bevestig jou antwoord!

4. Alan en sy suster loop elke oggend reguit skool toe. Elke middag loop Alan weer reguit huis toe, maar sy suster loop altyd by haar vriendin se huis verby op pad huis toe; hierdie roete is twee keer so lank as Alan se roete. Tesame is die oggend- en aandroetes 1½ kilometer. Hoe ver is hulle huis van die skool af?

Dit is belangrik om die probleem om te skakel na algebra, maar dit is ook belangrik om die algebra te kan gebruik om die vergelyking op te los en sodoende die vraag te beantwoord. Dit word nou hier aangespreek. Dit is die stappe wat ons hierbo gevolg het:

  • Verwyder hakies en vereenvoudig: x + (x–6) = 28x + x – 6 = 28
  • Maak nou seker dat al die terme met die veranderlike aan die linkerkant van die = teken is, en al die terme sonder die veranderlike aan die regterkant; tel terme by of trek terme af soos nodig, en vereenvoudig: 2x– 6 = 28 2x = 28 + 6 2x = 34
  • As die veranderlike ‘n getal-koëffisiënt het, deel ons beide kante daardeur, en vereenvoudig: x = 34  2 x = 17

Ons gebruik hier al die vaardighede wat ons geleer het by vereenvoudiging van uitdrukkings.

Oefen hierdie vaardighede by die oplos van hierdie vergelykings:

5. (a) 5х = 35 (b) 4х= 22 (c) 3х – 90 = 0 (d) ½ х = 21

6 (a) 5х + 15 = 35 (b) 8 + 4х = 22 (c) 3х – 90 = –60 (d) ½ х + 3 = 15

7 (a) 5х+ 15 = 2х (b) 8 + 4х = 22 – 2х (c) 3х – 90 = х (d) ½ х + 3 = 4 – ½ х

8 (a) 5(х + 1) = 20 (b) 8 + 4(х – 1) = 0 (c) х(х + 3) = х2 + 6 (d) ½ (4х+ 6) = 1

9 (a) 2(х + 1) = х + 2 (b) 2(х + 3) = 2х + 6 (c) 3 – 2х = –2(1 + х)

Laat ons ‘n paar van hierdie oplossings ontleed.

Hier is sommige antwoorde:

8 (a) х= 3

(b) х = –1

(c) х = 2

(d) х = –1

  • Hulle is almal aanvaarbare antwoorde.
  • Hulle gee die waarde van die veranderlike (х) wat die vergelyking waar maak.

9. (a) х = 0 Dit is ook ‘n aanvaarbare antwoord.

(b) 2х+ 6 = 2х + 6

2х– 2х = 6 – 6

0 = 0

  • Hierdie oplossing gee nie ‘n enkele waarde vir х nie.
  • Maar die stelling is waar: Nul is gelyk aan nul.
  • As ons ‘n antwoord kry wat ooglopend waar is, soos 12 = 12 of –3 = –3, ens., dan weet ons dat enige waarde van die veranderlike die vergelyking waar sal maak.
  • Ons gee dus die antwoord: х kan enige waarde aanneem.

(c) 3 – 2х = –2 – 2х

–2х+ 2х = –2 – 3

0 = –5

  • Hierdie antwoord gee nie ‘n waarde vir хnie.
  • Inderwaarheid is die stelling onwaar. Nul is nie gelyk aan negatief vyf nie.
  • As ons ‘n onwaar antwoord kry, soos 5 = –5 of 2 = –9, ens., dan weet ons dat geen waarde van die veranderlike die vergelyking waar sal maak nie.
  • Dus is die antwoord: Daar is geen oplossing nie.

Van nou af moet jy jou oë oophou vir hierdie spesiale gevalle (jy sal hulle nie veel sien nie) en ‘n geskikte antwoord gee

AKTIWITEIT 3

Om te bevestig dat oplossings korrek is

[LU 2.4, 2.6]

  • In Wiskunde is dit dikwels moeilik om seker te wees dat jou antwoord korrek is, maar wanneer ons vergelykings oplos, is dit baie maklik: ons kontroleer net ons antwoorde! Dit moet egter baie noukeurig op ‘n spesifieke manier gedoen word.

Dis hoe: Ons kyk weer na vraag 8 hierbo.

(a) 5(х + 1) = 20 gee die oplossing: х = 3

Begin met die oorspronklike vergelyking.

Kontroleer die linkerkant (LK) en regterkant (RK) apart.

Substitueer die oplossing vir х en vereenvoudig:

LK = 5(х + 1) = 5[(3) + 1] = 5(3 + 1) = 5(4) = 20

Soos gewoonlik by substitusie is hakies baie handig.

RK = 20

Omdat die RK en die LK gelyk is, weet ons die oplossing is korrek.

(b) 8 + 4(х – 1) = 0 Veronderstel ons antwoord was х = 2. Toets die antwoord:

LK = 8 + 4(х – 1) = 8 + 4[(2) – 1] = 8 + 4(2 – 1) = 8 + 4(1) = 8 + 4 = 12

RK = 0

Omdat LK ≠ RK weet ons dat 2 nie ‘n oplossing vir die vergelyking is nie.

Natuurlik is die regte antwoord: х = –1. Gaan dit na:

LK = 8 + 4(х – 1) = 8 + 4[(–1) – 1] = 8 + 4(–1 – 1) = 8 + 4(–2) = 8 – 8 = 0

LK = RK, en ons het bevestig dat х = –1 die korrekte oplossing is.

(c) х(х + 3) = х2 + 6 oplossing: х = 2

LK = х(х + 3) = (2)((2) + 3) = 2(2 + 3) = 2(5) = 10

RK = х2 + 6 = (2)2 + 6 = 4 + 6 = 10

LK = RK, dus is х = 2 die korrekte oplossing.

(d) ½ (4х + 6) = 1 oplossing: х= –1

LK = ½ (4х + 6) = ½ (4(–1) + 6) = ½ (–4 + 6) = ½ (2) = 1

RK = 1

LK = RK, dus is х = –1 die korrekte oplossing.

Gaan nou terug na 5, 6 en 7 en kontroleer jou oplossing op dieselfde manier.

As ons terug gaan na die spesiale gevalle in 9, kan ons hulle ook kontroleer:

(a) 2(х + 1) = х+ 2 gee die oplossing: х = 0

LK = 2(х + 1) = 2((0) + 1) = 2(0 + 1) = 2(1) = 2

RK = х + 2 = (0) + 2 = 2

LK = RK, dus is х = 0 die korrekte oplossing.

(b) 2(х + 3) = 2х + 6 Enige getal is ‘n oplossing! Toets bv. 5; of enige ander getal.

LK = 2(х + 3) = 2((5) + 3) = 2(5 + 3) = 2(8) = 16

RK = 2х + 6 = 2(5) + 6 = 10 + 6 = 16

LK = RK as х = 5. Inderdaad, LK sal gelyk wees aan RK vir enige waarde.

(c) 3 – 2х= –2(1 + х) Daar is geen oplossing nie; probeer 12. Jy kan ander getalle probeer.

LK = 3 – 2х = 3 – 2(12) = 3 – 24 = – 21

RK = –2(1 + х) = –2(1 + (12)) = –2(1 + 12) = –2(13) = –26

LK ≠ RK en hulle sal ongelyk wees vir enige getal.

AKTIWITEIT 4

Om uitdrukkings en vergelykings te onderskei

[LU 2.1, 2.6]

  • Uitdrukkings is kombinasies van letters (a, b, х, y, ens.), bewerkings (+, –, ×, ) en getalle (1, –5, π, ½ , ens.), asook hakies en ander tekens. Dit sluit nie gelykaantekens in nie.
  • ‘n Uitdrukking is nogal soos ‘n woord of ‘n frase – dit het nie ‘n werkwoord nie.
  • ‘n Paar voorbeelde: х, х3, 5½ , 2πr, 5(abbc), 5a3 – 3a2 + a – 3, 2a+b2a+b size 12{ sqrt {2 left (a+b right )} } {}, 5a42a25a42a2 size 12{ { {5a - 4} over {2a rSup { size 8{2} } } } } {}, ens.
  • ‘n Uitdrukking kan slegs gemanipuleer word, gewoonlik om dit te vereenvoudig. Dit kan nie opgelos word nie; dit het nie ‘n oplossing nie. Jy kan jou werk slegs kontroleer deur agteruit te werk om te sien of jy by die begin uitkom.
  • ‘n Vergelyking is doodgewoon twee uitdrukkings met ‘n gelykaanteken tussenin!
  • Dit is soos ‘n sin met ‘n werkwoord; dit maak ‘n stelling. Byvoorbeeld 2х – 3 = 45 sê dubbel ‘n sekere getal, met drie verminder, is gelyk aan 45. Dis ons werk om daardie getal te bepaal.
  • Vergelykings word opgelos; hulle het oplossings wat bevestig kan word.
  • Ons vereenvoudig heelwat tydens die oplos van vergelykings, maar ons doen meer – ons word toegelaat om meer te doen. Onthou dat ons terme kan bytel of aftrek, as ons dit net aan beide kante doen! Ons kan met faktore deel of vermenigvuldig, as ons dit net aan beide kante doen. Omdat ‘n uitdrukking nie twee kante het nie, kan ons hierdie bewerkings nie op uitdrukkings toepas nie. Moenie uitdrukkings en vergelykings verwar nie, en oefen totdat jy instinktief weet wat om te doen.

AKTIWITEIT 5

Om twee vergelykings gelyktydig op te los

[LU 2.4, 2.9]

Figure 2
Figure 2 (Picture 13.png)

1. Die lyn in diagram 1 het definisie-vergelyking y = 2.

Vraag: Lê die punt (1 ; 1) op die lyn?

Antwoord: Ons kan die antwoord grafies (deur die grafiek te bekyk) oplos. Dis duidelik dat die punt nie op die lyn lê nie, en dus is die antwoord nee.

Ons kan die antwoord algebraïes oplos, soos volg: Substitueer die punt (1 ; 1) vir (х;y) in die vergelyking. Doen LK en RK apart soos voorheen.

LK: y = (1) = 2 RK: 2 LK ≠ RK – die punt (1 ; 1) lê nie op y = 2 nie.

Vraag: Lê die punt (–2 ; 2) op die lyn?

Grafies: Ja.

Algebraïes: LK: y = (2) = 2 RK: 2 LK = RK; Ja.

Vraag: Lê die punt (1½ ; 2) op die lyn? Bepaal die antwoord beide grafies en algebraïes.

2. Die lyn in diagram 2 word gedefinieer deur die vergelyking y = 2х – 1.

Vrae: Lê die punt (0 ; 0) op die lyn?

Lê die punt (1 ; 1) op y = 2х – 1?

Lê die punt (1½ ; 2) op die lyn?

3. In diagram 3 is dieselfde twee lyne saam op een stel asse getrek.

Bepaal grafies: Watter punt lê op beide lyne? Die antwoorde op vrae 1 en 2 hierbo sal help.

Dit is ooglopend uit diagram 3 dat die enigste punt op beide lyne (1½ ; 2) is.

  • So bepaal ons dit algebraïes:

Die vergelyking y = 2 gee y die waarde 2. Substitueer nou hierdie waarde in y = 2х– 1.

As ons dan die vergelyking oplos, kry ons die waarde van х. So:

Substitueer: (2) = 2х – 1 en los op vir х:

2 = 2х – 1 х-terme na links

–2х + 2 = –1 konstante terme na regs

–2х = –2 – 1 vereenvoudig

–2х= –3 deel beide kante deur –2

х = –3  –2 vereenvoudig

х = 1½

Dit toon die punt waar die lyne mekaar sny: (х ; y) = (1½ ; 2).

  • In hierdie metode het ons die twee vergelykings gelyktydig opgelos om die waardes van beide veranderlikes te vind wat beide vergelykings waar maak. As ‘n vergelyking slegs een veranderlike het, benodig ons slegs een vergelyking om daardie waarde van die veranderlike te vind wat die vergelyking waar maak. As ons twee veranderlikes het, benodig ons twee vergelykings om op te los vir die twee veranderlikes.

Probleme:

1 Los algebraïes op vir a en b: 2a – 3b = 0 en a= 6

2 Waar sny die lyne y = –х + 5 en y = –1? Bepaal die antwoord algebraïes.

3 Lê die punt (3 ; 4) op beide lyn y = 4 en lyn y= –х + 1? Doen algebraïes.

4 Sny die lyne y= –2 en y = 2? Bepaal die antwoord algebraïes.

AKTIWITEIT 6

Om eenvoudige eksponiensiële vergelykings op te los

[LU 2.4, 2.8]

Probleme en sommige antwoorde.

1 Ek dink aan ‘n getal waarvan die kwadraat 100 is. Wat is die getal?

Die getal kan 10 wees, want 102 = 100. Maar is –10 nie ook ‘n korrekte antwoord nie?

Ja, hierdie probleem het twee geldige antwoorde!

Maak ‘n vergelyking uit hierdie stelling: Gestel die getal is х.

х2 = 100

х2 = 102 of х2 = (–10)2 Die hakies is noodsaaklik – sien jy dit?

х = 10 of х = –10 Beide antwoorde is geldig.

2 Ek dink aan ‘n negatiewe getal waarvan die kwadraat 25 is. Wat is dit?

Laat die getal y wees

y2 = 25

y2 = (5)2 of y2 = (–5)2

y = 5 of y = –5 is die twee oplossings verskaf deur die vergelyking.

Die probleemstelling bevestig egter dat y= –5 die enigste geldige antwoord is.

3 Vind daardie getal wat ‘n derdemag van 27 het.

Laat die getal х wees

х3 = 27 х3 = 33х = 3.

Hoekom kan х nie –3 wees nie?

4 Die derdemag van ‘n sekere getal is –8. Wat is die getal?

5 Los op vir х, en bevestig jou antwoord met die LK/RK metode:

a) х2 = 64

b) х2 = 36

c) х2 = –100

d) х2 – 49 = 0

e) х2 = 12,25

f) 3х2 = 12

g) 2х2 – 10,58 = 0

6 Los op vir a en kontroleer jou antwoord:

a) a3 = 64

b) a3 + 1 = 0

c) 2a2 = 16

d) a4 = 81

Collection Navigation

Content actions

Download:

Collection as:

EPUB (?)

What is an EPUB file?

EPUB is an electronic book format that can be read on a variety of mobile devices.

Downloading to a reading device

For detailed instructions on how to download this content's EPUB to your specific device, click the "(?)" link.

| More downloads ...

Module as:

PDF | More downloads ...

Add:

Collection to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks

Module to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks