Skip to content Skip to navigation

OpenStax_CNX

You are here: Home » Content » Vergelyking van vierhoeke ten opsigte van verskille en ooreenkomste

Navigation

Lenses

What is a lens?

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

This content is ...

In these lenses

  • GETSenPhaseMaths display tagshide tags

    This module is included inLens: Siyavula: Mathematics (Gr. 7-9)
    By: SiyavulaAs a part of collection: "Wiskunde Graad 9"

    Collection Review Status: In Review

    Click the "GETSenPhaseMaths" link to see all content selected in this lens.

    Click the tag icon tag icon to display tags associated with this content.

Recently Viewed

This feature requires Javascript to be enabled.

Tags

(What is a tag?)

These tags come from the endorsement, affiliation, and other lenses that include this content.
Download
x

Download module as:

  • PDF
  • EPUB (what's this?)

    What is an EPUB file?

    EPUB is an electronic book format that can be read on a variety of mobile devices.

    Downloading to a reading device

    For detailed instructions on how to download this content's EPUB to your specific device, click the "(what's this?)" link.

  • More downloads ...
Reuse / Edit
x

Module:

Add to a lens
x

Add module to:

Add to Favorites
x

Add module to:

 

Vergelyking van vierhoeke ten opsigte van verskille en ooreenkomste

Module by: Siyavula Uploaders. E-mail the author

WISKUNDE

Graad 9

VIERKANTE, PERSPEKTIEFTEKENING, TRANSFORMASIES

Module 22

VERGELYKING VAN VIERHOEKE TEN OPSIGTE VAN VERSKILLE EN OOREENKOMSTE

AKTIWITEIT 1

Om vierhoeke te vergelyk ten opsigte van ooreenkomste en verskille

[LU 3.4]

1. Vergelykings

Werk saam in klein groepies aan die volgende oefening. Vergelyk die pare vierhoeke wat hieronder aangegee word. Skryf neer in watter opsigte hulle eenders is en hoe hulle verskil. Probeer om te sê hoe om die een in die ander te verander – as jy dit kan doen, dan verstaan jy hul eienskappe werklik. As ‘n voorbeeld, kyk na die vraag aan die einde van deel 3 hierbo oor ewewydige sye.

Elke groep moet met ten minste een paar vierhoeke werk. As jy met ‘n vlieër werk, ondersoek beide soorte vlieërs.

  • Ruit en vierkant
  • Trapesium en parallelogram
  • Vierkant en reghoek
  • Vlieër en ruit
  • Parallelogram en vlieër
  • Reghoek en trapesium

As jy hierby nóg ‘n paar vierhoeke wil vergelyk, doen dit gerus!

1. Definisies

‘n Kort en akkurate beskrywing van ‘n vierhoek volgens hierdie eienskappe word ‘n definisie genoem. ‘n Definisie is ondubbelsinnig, sodat dit slegs op een vierhoek van toepassing is, en sodat ons dit kan gebruik om tussen soorte vierhoeke te onderskei.

Die definisies word in ‘n sekere orde aangegee, want die latere definisies verwys na vorige definisies om hulle korter en makliker verstaanbaar te maak. Daar bestaan meer as een stel definisies; hier volg een so ‘n stel.

  • ‘n Vierhoek is ‘n vlak figuur begrens deur vier reguit lyne.
  • ‘n Vlieër is ’n vierhoek met twee paar aanliggende gelyke sye.
  • ‘n Trapesium is ‘n vierhoek met een paar ewewydige teenoorstaande sye.
  • ‘n Parallelogram is ‘n vierhoek met twee paar ewewydige teenoorstaande sye.
  • ‘n Ruit is ‘n parallelogram met gelyke aanliggende sye.
  • ‘n Vierkant is ‘n ruit met vier gelyke binnehoeke.
  • ‘n Reghoek is ‘n parallelogram met vier gelyke binnehoeke.

AKTIWITEIT 2

Om informeel formules vir die oppervlaktes van vierhoeke te ontwikkel

[LU 3.4]

Bereken oppervlaktes van plat figure

  • Ons begin by die oppervlaktes van driehoeke: Julle het dalk al die woorde, “half basis maal hoogte” gehoor. Dis die formule vir die oppervlakte van ‘n driehoek. Ons gebruik A vir die oppervlakte, h vir die hoogte en b vir die basis.
  • Oppervlakte = ½ × basis × hoogte; A = ½ bh; A = bh2bh2 size 12{ { { ital "bh"} over {2} } } {} is verskeie weergawes van die formule.
  • Wat is nou eintlik die basis? En wat is die hoogte? Wat belangrik is, is dat die hoogte en die basis saam hoort: die basis is nie net sommer enige sy nie, en die hoogte nie sommer net enige lyn nie.
Figuur 1
Figuur 1 (Picture 2.png)
  • Die hoogte is altyd ‘n lyn wat loodreg is op dié sy wat jy die basis noem. Verwys na die sketse hierbo. Die basis en sy ooreenstemmende hoogte is donker lyne. Hieronder is nog drie voorbeelde van basis/hoogte-pare.
Figuur 2
Figuur 2 (Picture 3.png)
  • Trek met twee ander kleure die ander twee basis/hoogte-pare in elk van die boonste ses driehoeke, elke paar in sy eie kleur. Doen daarna die volgende oefening:

Kies een van die driehoeke en bereken sy oppervlakte drie keer. Meet die lengtes met jou liniaal en gebruik elke slag ‘n ander basis/hoogte-paar vir jou berekening. Stem die antwoorde grootliks ooreen? Indien nie, meet weer versigtig en doen weer die som.

Die hoogtelyn lê gewoonlik binne die driehoek. Dit is die geval in vier van die ses driehoeke hierbo, maar in die geval van ‘n reghoekige driehoek is die hoogtelyn een van die sye, soos in die vierde driehoek. In die sesde driehoek is dit nodig om die hoogtelyn buite die driehoek te trek.

Opsommend:

As jy die oppervlakte-formule wil gebruik, moet jy ‘n basis en ‘n hoogte hê wat saam hoort en jy moet hulle lengte ken of kan bereken. In sommige van die probleme wat volg, sal jy dalk die oppervlakte van ‘n driehoek moet bereken as deel van die werk.

Kyk weer na die Stelling van Pythagoras; onthou dat dit net op reghoekige driehoeke van toepassing is – maar jy kan van nou af baie van hulle te wagte wees.

I

In ‘n reghoekige driehoek is die vierkant op die skuinssy gelyk aan die som van die vierkante op die ander twee sye.

As jy al vergeet het hoe om die stelling toe te pas, moet jy teruggaan na die oefeninge wat jy alreeds gedoen het om jou geheue te verfris.

  • Bereken die oppervlakte van ΔABC met A = 90°, BC = 10 cm en AC = 8 cm. Dit sal help as jy ‘n redelik akkurate skets maak. Hierdie probleem het twee stappe: Pas eers Pythagoras toe, en gebruik dan die oppervlakte-formule.
  • By die berekening van die oppervlakte van ‘n vierhoek gebruik ons dieselfde beginsel: As ons na ‘n hoogte verwys, is daar altyd ‘n spesifieke basis ter sprake.
  • Ons kan by die formule vir die oppervlakte van ‘n driehoek begin en daarvandaan formules vir die ses vierhoeke aflei.
    Figuur 3
    Figuur 3 (graphics1.png)
  • ‘n Vierkant bestaan uit twee identiese driehoeke, soos in die skets. Die sylengte van die vierkant is s. Dan is die oppervlakte (A) van die vierkant:

A = 2 × oppervlakte van 1 driehoek = 2 (½ × basis × hoogte) = 2 × ½ × s × s = s2 = sy kwadraat.

Jy weet dit sekerlik alreeds!

Figuur 4
Figuur 4 (graphics2.png)
  • Dieselfde metode werk vir die reghoek: Die reghoek is b breed en l lank, en sy oppervlakte (A) is:

A = eerste driehoek + tweede driehoek

= (½ × basis × hoogte) + (½ × basis × hoogte)

= (½ × b × size 12{ℓ} {}) + (½ × size 12{ℓ} {} × b) = ½ b size 12{ℓ} {} + ½ b size 12{ℓ} {} = b size 12{ℓ} {}

= breedte maal lengte.

Dus: nog ‘n bekende formule.

Figuur 5
Figuur 5 (graphics3.png)
  • Die parallelogram is ‘n bietjie moeiliker, maar die skets sal help om dit duidelik te maak. Verdeel ons dit in twee driehoeke, dan kan ons dié twee dieselfde basis gee (die lang sy van die parallelogram in elke geval). Ons noem ook hierdie lyn die basis van die parallelogram, en ons gebruik die letter b. Die hoogtelyne (h) van die twee driehoeke is ewe lank. (Onthou dat ‘n hoogtelyn altyd loodreg op ‘n basis moet wees.)
  • Is jy oortuig dat die twee hoogtes dieselfde is? Meet hulle! En wat van die twee basisse? Die oppervlakte is: A = driehoek + driehoek = ½ bh + ½ bh = bh = basis maal hoogte.
  • ‘n Uitdaging: Doen dieselfde in die geval van die ruit. (Antwoord: A = bh, soos die parallelogram).
  • Figuur 6
    Figuur 6 (graphics4.png)
  • Kom ons pak die trapesium aan. Aangesien die twee ewewydige sye nie ewe lank is nie, verskil dit van ‘n parallelogram.
  • Ons noem hulle Ps1 en Ps2. Die twee hoogtelyne, egter, is ewe lank.
  • Die hoeklyn verdeel dit in twee driehoeke, en uit hulle skryf ons nou ‘n formule neer vir die oppervlakte van ‘n trapesium:

A = driehoek1 + driehoek2 = ½ × Ps1 × h + ½ × Ps2 × h

= ½ h (Ps1 + Ps2) = half hoogte maal som van ewewydige sye.

(Het jy die faktorisering raakgesien?)

Figuur 7
Figuur 7 (graphics5.png)
  • Laastens kom ons by die vlieër uit. Dit het een lang hoeklyn (ook die simmetrie–lyn) en een kort hoeklyn. Ons noem hulle dus sl (simmetrie-lyn) en kl (kort hoeklyn).
  • Die simmetrie-lyn verdeel dus die vlieër in twee (kongruente) driehoeke. Omdat ‘n vlieër loodregte hoeklyne het, kan ons baie maklik die oppervlakte-formule vir ‘n driehoek toepas op beide driehoeke.
  • Dit beteken dus dat die hoogte van beide driehoeke presies die helfte van die kort hoeklyn is: h = ½ × kl. Jy sal sien dat ons h in ½ klverander hieronder!
  • Figuur 8
    Figuur 8 (graphics6.png)
    As jy na die sketse verwys, sal jy oplet dat beide soorte vlieërs op dieselfde wyse by die formule uitkom.

Oppervlakte = 2 identiese driehoeke

= 2( ½ × sl × h) = 2 × ½ × kl × ½ × kl

= sl × ½ × kl = ½ × sl × kl

= halflang hoeklyn maal kort hoeklyn.

Die vrae in die volgende oefening begin maklik, maar word moeiliker – moenie van die Stelling van Pythagoras vergeet wanneer jy met regte hoeke werk nie.

Bereken die oppervlaktes van die volgende vierhoeke:

1 Vierkant met sylengte 13 cm

2 Vierkant met hoeklyn 13 cm (gebruik eerstens Pythagoras)

3 Reghoek met lengte 5 cm en breedte 6,5 cm

4 Reghoek met lengte 12 cm en hoeklyn 13 cm (Pythagoras)

5 Parallelogram met hoogte 4 cm en basislengte 9 cm

6 Parallelogram met hoogte 2,3 cm en basislengte 7,2 cm

7 Ruit met sye 5 cm en hoogte 3,5 cm

8 Ruit met hoeklyne 11 cm en 12 cm

(Noem ‘n belangrike feit i.v.m. die hoeklyne van ruite.)

9 Trapesium met die twee ewewydig sye 18 cm en 23 cm wat 7,5 cm van mekaar is.

10 Vlieër met hoeklyne 25 cm en 17 cm

Assessering

Tabel 1
LU 3
Ruimte en Vorm (meetkunde)Die leerder is in staat om eienskappe van en verwantskappe tussen tweedimensionele vorms en driedimensionele voorwerpe in ‘n verskeidenheid oriëntasies en posisies te beskryf en voor te stel.
Dit is duidelik wanneer die leerder:
3.2 die onderlinge verwantskappe van meetkundige figure en driedimensionele voorwerpe se eienskappe beskryf met bewyse in kontekste, insluitend dié wat gebruik kan word om ’n bewustheid van sosiale, kulturele en omgewingsake te bevorder, insluitend:
3.2.2 transformasies;
3.3 die meetkunde van reguitlyne en driehoeke gebruik om probleme op te los en verwantskappe in meetkundige figure te bewys;te beskryf, insluitend:
3.4 meetkundige figure teken en/of konstrueer en modelle van driedimensionele voorwerpe maak om die eienskappe daarvan en van modelsituasies in die omgewing te ondersoek en te vergelyk.

Memorandum

Oppervlakte–berekenings

Daar word eerstens aandag gegee aan driehoek-oppervlaktes omdat dit so ‘n belangrike rol speel in die oppervlaktes van meer komplekse vorms, soos vierhoeke. Dis ook ‘n goeie aansluitingspunt tussen die bekende en die onbekende. Belangrike voorafkennis is weer die Stelling van Pythagoras.

‘n Algemene probleem by oppervlakte-berekenings is dat die hoogte en basis nie ooreenstem nie. Aangesien dit later weer probleme kan skep, sal dit die moeite loon om nou seker te maak dat almal dit hier bemeester. Die oefening waar leerders gevra word om basisse en hoogtes te meet en driekeer die oppervlakte uit te werk, sal help om die beginsel vas te lê; veral as hulle sien dat verkeerde groepering verkeerde antwoorde gee.

Die memorisering van die formules is minder belangrik as die verstaan van die proses wat gevolg word om by die antwoord uit te kom. Hierdie vaardigheid word benodig by die algemene oplossing van meetkunde probleme.

Die oefening is eenvoudig en behels hoofsaaklik die substitusie van waardes in formules, en die noukeurige en akkurate bepaling van die antwoord.

1. 169 cm2 (maak altyd seker dat leerders die regte eenhede gebruik)

2. 84,5 cm2 (dis nie nodig om die sylengte te bereken nie)

3. 32,4 cm2 4 60 cm2

4. 36 cm2 6 16,56 cm2

5. 17,5 cm2

6. 66 cm2 (hoeklyne is loodreg; gebruik Pythagoras)

7. 153,75 cm2 10 212,5 cm2

Content actions

Download module as:

PDF | EPUB (?)

What is an EPUB file?

EPUB is an electronic book format that can be read on a variety of mobile devices.

Downloading to a reading device

For detailed instructions on how to download this content's EPUB to your specific device, click the "(?)" link.

| More downloads ...

Add module to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks

Reuse / Edit:

Reuse or edit module (?)

Check out and edit

If you have permission to edit this content, using the "Reuse / Edit" action will allow you to check the content out into your Personal Workspace or a shared Workgroup and then make your edits.

Derive a copy

If you don't have permission to edit the content, you can still use "Reuse / Edit" to adapt the content by creating a derived copy of it and then editing and publishing the copy.