KLASWERK

1. Ons noem die versameling natuurlike getalle N, en ons skryf die versameling so neer: N = { 1 ; 2 ; 3 ; . . . }

1.1 As jy enige twee natuurlike getalle bymekaartel, is jou antwoord altyd weer ’n natuurlike getal? Hoe sal jy te werk gaan om iemand te oortuig dat dit wel so is?

1.2 Vermenigvuldig enige twee natuurlike getalle. Is die antwoord ook altyd ’n natuurlike getal?

1.3 Trek nou enige natuurlike getal van enige ander natuurlike getal af. Beskryf al die moontlike soorte antwoorde wat jy kan verwag. Probeer neerskryf hoekom dit gebeur.

2. Om voorsiening te maak vir die antwoorde wat jy in 3.1 teëgekom het, moet ons die getallestelsel uitbrei na die heelgetalle, wat die natuurlike getalle insluit. Hulle word voorgestel deur die simbool Z en hier is een manier om hulle neer te skryf: Z = { 0 ; ±1 ; ±2 ; ±3 ; . . . }

2.1 Voltooi die volgende definisies deur neer te skryf wat in die hakies moet kom:

3. As jy enige heelgetal deur enige ander heelgetal (behalwe 0) deel, kry jy altyd weer ’n heelgetal?Om voorsiening te maak vir hierdie antwoorde, moet ons die getallestelsel weer uitbrei; hierdie keer na die rasionale getalle:

3.1 Q (rasionale getalle) is al die getalle wat geskryf kan word in die vorm abab size 12{ { { size 11{a}} over { size 11{b}} } } {} waar a en b heeltallig is, en b nie ’n nul is nie. Verduidelik baie mooi waarom b nie nul mag wees nie.

4. Q` (irrasionale getalle) is al die getalle wat nie as ’n breuk geskryf kan word nie, en dus nie in Q is nie. As ’n mens Q en Q` saamvoeg dan kry jy die reële getalle, R.

4.1 Skryf neer wat jy dink in die versameling R` is. Ons noem hulle nie-reëel.

einde van KLASWERK

Knoopskrif is dikwels in die antieke tyd in verskeie wêrelddele gebruik. Dit was ’n manier om goed, veral getalle, te onthou deur knope te maak in ’n tou. Die gebruike wissel vanaf eenvoudige stelsels waar een knop een item voorgestel het, tot ingewikkelde maniere om van plekwaardes gebruik te maak. Deur verskillende kleure tou te gebruik, kan meer as een stelsel getalle saam voorgestel word. Die Inkas se naam vir hierdie stelsel was quipu.

HUISWERKOPDRAG

1. Die tabel bevat nie ’n nul nie. Hoe belangrik is dit dat ons ’n nul moet hê? Dink aan al die goed wat ons nie sal kan doen sonder ’n nul nie.

2. Vind uit wat die naam is vir die versameling getalle wat jy sal kry as jy R en R` saamvoeg. Kan jy enigiets meer van hulle sê?

3. Ontwerp jou eie stel natuurlike getalsimbole soos dié in die vorige tabelle. Vul hulle in en wys hoe jy enige getal kan skryf met jou simbole. Dink nou nuwe tekens uit om + en – en × en  te vervang, en maak dan ’n paar sommetjies om jou werk duidelik te maak.

einde van HUISWERKOPDRAG

VERRYKINGSOPDRAG

Maak kennis met rasionale getalle

Is 3,013 ’n rasionale getal? Ja, want ons kan so maak:

3,013 = 31+131 00031+131 000 size 12{ { { size 11{3}} over { size 11{1}} } + { { size 11{"13"}} over { size 11{"1 000"}} } } {} = 3 0001 000+131 0003 0001 000+131 000 size 12{ { { size 11{"3 000"}} over { size 11{"1 000"}} } + { { size 11{"13"}} over { size 11{"1 000"}} } } {} = 3 000+131 0003 000+131 000 size 12{ { { size 11{"3 000"+"13"}} over { size 11{"1 000"}} } } {} = 3 0131 0003 0131 000 size 12{ { { size 11{"3 013"}} over { size 11{"1 000"}} } } {}

Jy kan dit maklik sommer direk neerskryf. Skryf neer presies wat die metode is.

2. 3 + 2  3 – 1 + 1  3 = 2,333 . . . = 2, 3˙3˙ size 12{ { dot {3}}} {} Dis ook ’n rasionale getal:

Stel x = 2,333 . . .

 10x = 23,333 . . .

Trek af: 9x = 21

 x=219x=219 size 12{ size 11{x}= { {"21"} over {9} } } {}

3. 6 + 9  22 – 2 + 3  11 = 4,1363636 . . . = 4,13˙6˙4,13˙6˙ size 12{4,1 { dot {3}} { dot {6}}} {}

Is 4,13˙6˙4,13˙6˙ size 12{4,1 { dot {3}} { dot {6}}} {} ’n rasionale getal? Ja, maak so:

Stel x = 4,1363636 . . . 10x = 41,3636 . . . en 1000x = 4136,3636 . . .

Trek nou die laaste twee af: 1000x – 10x = 4136,3636 . . . – 41,3636 . . .

 990x = 4095 Los op: x=4095990=9122x=4095990=9122 size 12{ size 11{x}= { {"4095"} over {"990"} } = { {"91"} over {"22"} } } {}

Maklik, nè?

4. Maar ons kan slegs eindige desimale breuke en repeterende desimale breuke in die vorm abab size 12{ { {a} over { size 11{b}} } } {} skryf.

4.1 Hier volg ’n paar irrasionale getalle (wat sê jou sakrekenaar?):

π 22 size 12{ sqrt {2} } {}113113 size 12{ nroot { size 8{3} } {"11"} } {} 3,030030003000030…

4.2 Hierdie drie is egter NIE irrasionaal nie.

Verduidelik waarom nie: 227227 size 12{ { {"22"} over {7} } } {}2525 size 12{ sqrt {"25"} } {}273273 size 12{ nroot { size 8{3} } {"27"} } {}

4.3 Skryf die volgende getalle in die vorm abab size 12{ { {a} over {b} } } {}:

4.3.1 1,553

4.3.2 0,56˙0,56˙ size 12{0,5 { dot {6}}} {}

4.3.3 30,341 {3˙4˙1˙30,341 {3˙4˙1˙ size 12{"30","341 {" dot {3}} { dot {4}} { dot {1}}} {}

4.3.4 2,427 {2˙7˙2,427 {2˙7˙ size 12{2,"427 {" dot {2}} { dot {7}}} {}

einde van VERRYKINGSOPDRAG

Hoe werk ’n mens akkuraat?

KLASOPDRAG

Figuur 1

Figuur 2

einde van KLASOPDRAG

VERRYKINGSOPDRAG

Ongelykhede – woorde vertaal in wiskunde

1. Die getallelyn sê iets baie belangriks vir ons: enige getal wat links van ’n ander getal op die getallelyn lê, is kleiner as die ander een. As ’n getal regs van ’n ander getal lê, is hy groter as die ander getal.

Byvoorbeeld op die getallelyn is 4,5 links van 10, dus is 4,5 kleiner as 10. So word dit wiskundig geskryf: 4,5 < 10.

Watter getalle is dan gelyk aan mekaar? Sekerlik 6  3 en 44 size 12{ sqrt {4} } {} ! Dus: 6  3 = 44 size 12{ sqrt {4} } {}.

1.1 Gebruik < of > of = tussen die volgende pare getalle, sonder om die twee getalle om te ruil:

5,6 en 5,7

3+ 9 en 4 × 3

–1 en –2

3 en –3

273273 size 12{ nroot { size 8{3} } {"27"} } {} en 1515 size 12{ sqrt {"15"} } {}

2. Ons gebruik dieselfde tekens as ons met veranderlikes (soos x of y, ens.) werk in plaas van met konstantes.

As ons byvoorbeeld van al die getalle groter as 3 wil praat, dan kan ons x gebruik vir al daardie getalle (daar is natuurlik ontelbaar baie van hulle: 3,1 en 3,2 en 3,34 en 6 en 8 en 808 en 1 000 000 ens). Dan is dit: x > 3.

2.1 Gebruik die veranderlike y en skryf ongelykhede vir die volgende beskrywings:

Al die getalle groter as –13,4

Al die getalle kleiner of gelyk aan π

3. Ons brei die gedagte verder uit:

Dit die beste om die getalle in die volgorde te skryf soos hulle op die getallelyn voorkom, naamlik die klein getal links en die grote regs. Dan kies jy net óf < óf ≤.

3.1 Skryf drie beskrywings in woorde, en dan skryf jy en ’n maat mekaar se sinne as ongelykhede.

Ongelykhede – grafiese voorstellings

2.1 Teken self die diagramme vir die twee vrae.

Figuur 4

3.1 Teken weer jou eie diagramme.

einde van VERRYKINGSOPDRAG

GROEPOPDRAG

1. NOU MAG SAKREKENAARS NIE GEBRUIK WORD NIE – MOENIE SOMME MAAK NIE. MAAK ’N SKATTING (DIE BESTE WAT JY KAN) EN VUL DAN JOU SKATTING AS ANTWOORD IN. Hierdie opdrag werk net soos die vorige; maar elkeen moet sy eie geskikte getallelyn teken en dan die gegewe waardes daarop invul. Vir elke getal moet elkeen eers alleen werk, en dan besluit die groep saam wat die beste antwoord is. Hierdie antwoord word dan op die groep se getallelyn ingevul. Hierdie groeppoging word ingehandig om nagesien te word.

1.1 –8 ; 12 ; 5–11 ; 4 + 0 – 412412 size 12{4 left ( { {1} over {2} } right )} {} ; 369+124+2211+1369+124+2211+1 size 12{ { {"36"} over {9} } + { {"12"} over {4} } + { {"22"} over {"11"} } +1} {} ; 814814 size 12{ nroot { size 8{4} } {"81"} } {} ; 4+94+9 size 12{ sqrt {4} + sqrt {9} } {} ; 6+16+1 size 12{ sqrt {6} +1} {} ; 273273 size 12{ nroot { size 8{3} } {"27"} } {}

1.2 2.5 – ½ ; 1313 size 12{ { {1} over {3} } } {} ; 113113 size 12{1 { {1} over {3} } } {} ; 56−2656−26 size 12{ { {5} over {6} } - { {2} over {6} } } {} ; 0,5 ; 0,05 ; 0,005

1.3 3 ; 3,5 ; 3,14 ; 22 ÷ 7 ; 355 ÷ 113 ; π

einde van GROEPOPDRAG

KLASWERK

1. Natuurlik kan ’n mens enige getal op baie maniere neerskryf:

1.1 Is 1  3 gelyk aan 1,3˙1,3˙ size 12{1, { dot {3}}} {}? Wat van 1,33˙1,33˙ size 12{1,3 { dot {3}}} {}? En 1,33 of 1,333 of 1,3?

1.2 Is 55 size 12{ sqrt {5} } {} dieselfde as 2,2? Of 2,24? Of 2,236? Of 2,2361? Of dalk 2,2360? Bespreek.

1.3 Is 3 en 3,5 en 3,14 en 22 ÷ 7 en 355 ÷ 113 dieselfde as π ? Neem ’n besluit.

2. Ons kan nie elke keer 3,1415926535897932384626 . . . neerskryf as ons van π gebruik wil maak nie. Waarom nie?

As ek moet neerskryf presies wat π is, dan moet ek π skryf! Die ander getalle in vraag 1.3 is net ongeveer gelyk aan π. Maar as ek π in ’n berekening moet gebruik en ’n antwoord gee, dan moet ek korrek kan afrond.

So lyk π as dit afgerond word tot verskillende grade van akkuraatheid:

1 desimale plek: 3,1

2 desimale plekke: 3,14

3 desimale plekke: 3,142

4 desimale plekke: 3,1416

5 desimale plekke: 3,14159

6 desimale plekke: 3,141593

3. Vereenvoudig en rond die volgende waardes af, korrek tot die aantal desimale plekke wat in die hakies gegee word.

3.1 3,1  3 (2) 3.2 2 × 22 size 12{ sqrt {2} } {} 2) 3.3 5 × π (2)

3.4 4,5 × 77 size 12{ sqrt {7} } {} (0) 3.5 1,000008 + 25  10000 (1)

einde van KLASWERK

KLASWERK

1.1 Hoeveel ure is daar in 17 weke? 24 × 7 × 17 = 2 856 uur

1.2 Hoeveel minute is daar in ’n week? 60 × 24 × 7 = 10 080 minute

1.3 Is dit net so maklik om te bereken hoeveel ure daar in 135 maande is? Bespreek die vraag in ’n groep en besluit watter probleme ons moet oplos voor ons die som kan maak.

1.4 Hoeveel jare is daar in 173 maande? 173  12 = 14,4166 6˙6˙ size 12{ { dot {6}}} {} ≈ 14,42 jaar

2. Waarom word daar in vraag 1.1 en vraag 1.2 vermenigvuldig, en in vraag 1.4 gedeel?

3. Hoeveel sekondes is daar in ’n eeu? Dit gaan dalk ’n rukkie neem voor jy ’n antwoord het! Hoe sal jy weet of jou antwoord betroubaar is?

4.1 Daar is eenduisend meter in ’n kilometer, dus kan ons sê dat een meter gelyk is aan 0,001 kilometer. Een meter = 1  1 000 kilometer of 1 m = 11000km11000km size 12{ { {1} over {"1000"} } ital "km"} {}

4.2 Daar is een duisend millimeter in ’n meter: 1 mm = 11000×1000km11000×1000km size 12{ { {1} over {"1000" times "1000"} } ital "km"} {} = 0,000 001 km

4.3 Daar is een duisend mikrometer in ’n millimeter: 1 μm = 0,000 000 001 km. (μ is ’n Griekse letter – mu.)

5. Net soos ons baie groot getalle meer gerieflik in wetenskaplike notasie geskryf het, skryf ons baie klein getalle ook in wetenskaplike notasie. Hier volg ’n klompie voorbeelde van beide. Maak seker dat jy kan omskakel van gewone getalle na wetenskaplike notasie en andersom. Sakrekenaars maak ook van ’n soort wetenskaplike notasie gebruik. Hulle verskil en jy moet dus seker maak dat jy verstaan hoe jou eie sakrekenaar baie groot of klein getalle hanteer.

5.1 1 μm = 0,000 000 001 km Dus is 1 μm = 1,0 × 10^–9 km

5.2 Die materiaal van ’n gewone laken het ongeveer drie drade per millimeter, beide kruis en dwars. Neem aan dat ’n dubbelbedlaken 2 × 2 vierkante meter groot is. Dit beteken dat daar 6,0 × 10³ drade kruis en 6,0 × 10³ drade dwars is. Dit is . . . . . . . . . . . . . .(vul in) drade in totaal – elk ongeveer 2 m lank. Bereken nou hoeveel kilometer drade daardie laken bevat. Meet vanaand jou kussingsloop en maak dieselfde berekening daarvoor.

5.3 Daar is ongeveer 1 × 10^–5 liter water in ’n gemiddelde reëndruppel. Op party plekke in Suid Afrika reën dit ongeveer 1 meter per jaar. Op een hektaar is dit ongeveer 1 × 10¹² druppels per jaar. Op ’n groterige stad is dit omtrent 6 × 10¹⁶ reëndruppels per jaar – ongeveer 1 × 10⁷ druppels vir elke man, vrou en kind op aarde. Hoeveel liter elk is dit?

5.4 Bereken: (laat antwoorde in wetenskaplike notasie)

5.4.1 3,501×10−59,5×10−8+4,3×10−113,501×10−59,5×10−8+4,3×10−11 size 12{ { {3,"501" times "10" rSup { size 8{ - 5} } } over {9,5 times "10" rSup { size 8{ - 8} } } } +4,3 times "10" rSup { size 8{ - "11"} } } {} 5.4.2 3,5×106+1,4×10−173,5×106−1,4×10−173,5×106+1,4×10−173,5×106−1,4×10−17 size 12{ { {3,5 times "10" rSup { size 8{6} } +1,4 times "10" rSup { size 8{ - "17"} } } over {3,5 times "10" rSup { size 8{6} } - 1,4 times "10" rSup { size 8{ - "17"} } } } } {}

einde van KLASWERK

Ons gebruik voorvoegsels wat meestal uit Grieks en Latyn kom om eenhede name te gee. Die standaardeenheid van lengte is een meter. As ons van tien meter praat, kan ons daardie lengte een dekameter noem; honderd meter is ’n hektometer en, natuurlik, ’n duisend meter is ’n kilometer. Een tiende van ’n meter is ’n desimeter; een honderdste van ’n meter is ’n sentimeter en een duisendste van ’n meter is ’n millimeter. Daar is nog ander voorvoegsels – kyk hoeveel van hulle jy kan opspoor.

Jou rekenaarvriende sal hopelik kan bevestig dat in rekenaartaal ’n “kilobyte” in werklikheid 1 024 “bytes” is. (Die Afrikaanse woord vir “byte” is greep – dus is ’n kilobyte eintlik ’n kilogreep.) Nou, hoekom is dit 1 024 grepe en nie 1 000 grepe nie? Die antwoord lê opgesluit in die feit dat rekenaars in die binêre stelsel werk en nie, soos ons, in die desimale stelsel nie. Snuffel die antwoord self uit.

TOETS: GETALLESTELSELS DATUM:NAAM:

Aan watter versameling (s) behoort elke getal? Vereenvoudig die getalle, indien nodig, en voltooi dan die tabel deur kruisies onder alle gepaste kolomopskrifte te maak.

Figuur 5

TOETS – Memorandum

Figuur 6

Memoranda

KLASOPDRAG

1.1 Ja; enige informele “bewys” is aanvaarbaar.

1.2 Soos 1.1

1.3 Nou kom nul en negatiewe getalle te voorskyn. Die verduideliking is nie ter sake nie – slegs die feit dat die leerder daaroor dink.

2.1 N₀ = {0 ; 1 ; 2 ; . . . } en Z = { . . . –3 ; –2 ; –1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; . . .}

3 Nou kom breuke ook te voorskyn. Maak duidelik dat heelgetalle ook as breuke geskryf kan word, en dat dit dikwels handig is om dit so te doen.

4.1 Nie alle leerders sal hier sukses behaal nie. R` is die antwoorde wat ons kry as ons die vierkantswortel (onder andere) van ‘n negatiewe getal neem.

TAAK

2. Wys leerders daarop dat nul ontbreek uit die tabel.

HUISWERKOPDRAG

1. Beklemtoon dat nul benodig word:

Die konsep van plekwaardes is streng afhanklik van die waarde nul.

Dit skei negatiewe en positiewe getalle.

Dit stel “niks” voor.

Dit word algebraïes gedefinieer as a + (–a).

Mens kan hier vertel dat die gedagte en simbolisering van nul uit die Ooste gekom het.

2. Komplekse getalle – nie veel kan van die meeste leerders verwag word nie.

As die simbool i gebruik word vir −1−1 size 12{ sqrt { - 1} } {}, dan kan ons nie-reële getalle as volg voorstel: −12−12 size 12{ sqrt { - "12"} } {} = 2−32−3 size 12{2 sqrt { - 3} } {} = 23×−123×−1 size 12{2 sqrt {3 times - 1} } {} = 23−123−1 size 12{2 sqrt {3} sqrt { - 1} } {} = 23i23i size 12{2 sqrt {3} `i} {}

3 + 5i en 2,5 – 16i is voorbeelde van nie-reële getalle, en hulle bestaan uit twee dele elk: ‘n reële deel en ‘n nie-reële deel. Die belangrikste gevolge hiervan is dat die rekenkundige bewerkings versigtig benader moet word, en dat hierdie getalle nie in volgorde gerangskik kan word nie!

3. Enige redelike antwoord kan aanvaar word. Dit sal dalk goed werk as die leerders mekaar se getallestelsels beoordeel.

VERRYKINGSOPDRAG

As daar geleentheid is, kan hierdie werk met ‘n sterk klas deurgewerk word.

4.1 Nie-repeterend; alhoewel 3,030030003000030… ‘n patroon het, repeteer hy nie!

4.2 Beklemtoon dat die eerste een NIE gelyk is aan π nie. Die ander twee moet ordentlik vereenvoudig word.

4.3.1 1553100015531000 size 12{ { {"1553"} over {"1000"} } } {}

4.3.2 51905190 size 12{ { {"51"} over {"90"} } } {}

4.3.3 3031199930311999 size 12{ { {"30311"} over {"999"} } } {}

4.3.4 24039902403990 size 12{ { {"2403"} over {"990"} } } {}

KLASOPDRAG

Hierdie oefening is bedoel om die leerders meer insig te gee in onvereenvoudigde waardes sodat hulle kan begin skat wat die groottes is. Die belangrikste werk is om die vereenvoudigings reg te doen. Daarna moet die waardes ten minste in die regte volgorde gerangskik word. As die spasies tussen die getalle redelik in verhouding is, is dit ‘n bonus. Die volgorde word hier aangedui:

1.1: 0,00 ; 1 ; 2 ; 3,0 ; 4 ; 5,0000 ; 5+2 ; 6 ; 9–1

1.2: –4 ; –3 ; –1 ; 3–3 ; 2 ; 5

1.3: 1515 size 12{ { {1} over {5} } } {} ; 1414 size 12{ { {1} over {4} } } {} ; 0.666 ; 2323 size 12{ { {2} over {3} } } {} ; 2222 size 12{ { {2} over {2} } } {} ; 1,000 ; 0,2+1 ; 1.75

1.4: 32−1232−12 size 12{ { {3} over {2} } - "12"} {} ; −8+75−8+75 size 12{ - 8+ { {7} over {5} } } {} ; –5,5 ; −52−52 size 12{ - { {5} over {2} } } {} ; –2,5 ; 5,55 ; 142142 size 12{ { {"14"} over {2} } } {}

1.5: −9−9 size 12{ - sqrt {9} } {} ; −4−4 size 12{ - sqrt {4} } {} ; 00 size 12{ sqrt {0} } {} ; 11 size 12{ sqrt {1} } {} ; 9494 size 12{ sqrt { { {9} over {4} } } } {} ; 162162 size 12{ { { sqrt {"16"} } over {2} } } {} ; 99 size 12{ sqrt {9} } {} ; 3636 size 12{ sqrt {"36"} } {}–1

1.6: 44 size 12{ sqrt {4} } {} ; 66 size 12{ sqrt {6} } {} ; 99 size 12{ sqrt {9} } {} ; 1616 size 12{ sqrt {"16"} } {} ; 2525 size 12{ sqrt {"25"} } {} ; 2020 size 12{ sqrt {"20"} } {}+1 ; 3232 size 12{ sqrt {"32"} } {} ; 3636 size 12{ sqrt {"36"} } {}

VERRYKINGSOPDRAG

1.1: 5,6 < 5,7

3 + 9 = 4 × 3 –1 > –2 3 > –3 273273 size 12{ nroot { size 8{3} } {"27"} } {} < 1515 size 12{ sqrt {"15"} } {}

2.1: y > –13,4

Figuur 7

GROEPOPDRAG

Hier word vereenvoudigde waardes in die oorspronlike volgorde gegee:

1.1 –8 ; 12 ; –6 ; 2 ; 10 ; 3 ; 5 ; 3,44… ; 3

1.2 2 ; 0,3… ; 1,3… ; 0,5 ; 0,5 ; 0,05 ; 0,005

1.3 3 ; 3,5 ; 3,14 ; 3,142857… ; 3,1415929… ; 3,1415926… (die laaste is π)

Hier is die waardes in die korrekte volgorde:

1.1 –8 ; –6 ; 2 ; 3 ; 3,44… ; 5 ; 10 ; 12

1.2 0,005 ; 0,05 ; 0,3… ; 0,5 ; 1,3… ; 2

1.3 3 ; 3,14 ; π ; 3,1415929… ; 3,142857…

KLASWERK

Hierdie oefening is ontwerp om ‘n gevoel vir die gevolge van afronding (benaderde antwoorde) te ontwikkel. Dikwels vertrou leerders hulle sakrekenaarantwoorde sonder om enige dinkwerk te doen.

1.1 Dit gaan om die notasie sowel as die aantal desimale plekke.

1.2 Net soos 1.1

1.3 Beklemtoon weereens dat benaderings tot π nie gelyk is aan π nie.

Bespreek gerus die term “benaderd gelyk aan”.

3. Antwoorde: 1,03 ; 2,83 ; 15,71 ; 12 ; 1,0 (die nul moet daar wees).

KLASWERK

Baie leerders vind omskakelings moeilik – hier sal dalk heelwat hulp en raad nodig wees.

1.3 Nie alle maande is ewe lank nie; dus sal eenvoudige vermenigvuldiging nie die beste antwoord gee nie. Die belangrikste is om uit te vind watter maande ter sprake is – en moenie van skrikkeljare vergeet nie!

1.4 Hoekom is daar deling ter sprake? Help om strategieë te ontwikkel.

3. Dieselfde probleme as by 1.3 kon na vore. Die antwoord kan wel benader word. Verduidelik hoekom dit aanvaarbaar is. Hierdie antwoord is ‘n motivering om binnekort van wetenskaplike gebruik te maak: ≈ 3 157 056 000 sekondes.

5.1 9,1 × 10²⁸ 5.2 24 km 5.3 100 liter