Skip to content Skip to navigation

OpenStax-CNX

You are here: Home » Content » Поим за неопределен интеграл

Navigation

Recently Viewed

This feature requires Javascript to be enabled.
 

Поим за неопределен интеграл

Module by: Liljana Stefanovska. E-mail the author

Summary: Се дефинира примитивна функција и неопределн интеграл. Се дава таблица од основни интеграли и правила за интегрирање. The primitive function and non proper integral is defined. The table of non proper integrals is given.

ПОИМ ЗА НЕОПРЕДЕЛЕН ИНТЕГРАЛ И НЕГОВО РЕШАВАЊЕ

Во делот диференцијално сметање за функција од една променлива, за дадена функција се бараше нејзиниот извод. Сосема пририродно е да се постави инверзната задача: како да се определи функцијата чии што извод е познат?

Дефиниција :

Функцијата F(x)F(x) size 12{F \( x \) } {} е примитивна функцијаза функцијата f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {} на [a,b][a,b] size 12{ \[ a,b \] } {} ако x[a,b]x[a,b] size 12{ forall x in \[ a,b \] } {} важи

F ' ( x ) = f ( x ) . F ' ( x ) = f ( x ) . size 12{ { {F}} sup { ' } \( x \) =f \( x \) "." } {}
(1)

Бидејки

[ F ( x ) + C ] ' = F ' ( x ) = f ( x ) , C const , [ F ( x ) + C ] ' = F ' ( x ) = f ( x ) , C const , size 12{ \[ F \( x \) +C { { \] }} sup { ' }= { {F}} sup { ' } \( x \) =f \( x \) ,~C - ital "const",} {}
(2)

значи постои цела класа функции F(x)+CF(x)+C size 12{F \( x \) +C} {} кои меѓусебно се разликуваат за константа CC size 12{C} {} кои имаат ист извод f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {}.

Дефиниција :

Нека F(x)F(x) size 12{F \( x \) } {} е примитивна функција за функцијата f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {} на [a,b][a,b] size 12{ \[ a,b \] } {}. Множеството примитивни функции F(x)+CF(x)+C size 12{F \( x \) +C} {} се нарекува неопределен интеграл за функцијата f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {} и се означува

f ( x ) dx = F ( x ) + C . f ( x ) dx = F ( x ) + C . size 12{ Int {f \( x \) ital "dx"=F \( x \) +C "." } } {}
(3)

Пример 1.

Познато ни е дека за функцијата f(x)=lnxf(x)=lnx size 12{f \( x \) ="ln"x} {} изводот е f'(x)=1xf'(x)=1x size 12{ { {f}} sup { ' } \( x \) = { {1} over {x} } } {}, па оттаму со инверзна постапка

1 x dx = ln x + C . 1 x dx = ln x + C . size 12{ Int { { {1} over {x} } ital "dx"="ln" \lline x \lline } +C "." } {}

Ознаката за интеграл size 12{ Int {} } {}е издолжена буква SS size 12{S} {} и е воведена од Лајбниц. Тоа е првата буква од зборот сума, а потекнува од дефиницијата за определен интеграл кој се дефинира преку суми наречени интегрални суми.

Во неопределениот интеграл f(x)dx=F(x)+C:f(x)dx=F(x)+C: size 12{ Int {f \( x \) ital "dx"=F \( x \) +C:} } {}

  • изразот f(x)dxf(x)dx size 12{f \( x \) ital "dx"} {} се нарекува подинтегрален израз;
  • функцијата f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {} се нарекува подинтегрална функција;
  • CC size 12{C} {} e интегрална константа.

Постапката за наоѓање на неопределен инеграл за функцијата f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {} се нарекува интегрирање на функцијата f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {}.

Од дефиницијата за неопределен интеграл следува дека:

  • ( f ( x ) dx ) ' = ( F ( x ) + C ) ' = F ' ( x ) = f ( x ) ( f ( x ) dx ) ' = ( F ( x ) + C ) ' = F ' ( x ) = f ( x ) size 12{ \( Int {f \( x \) ital "dx"} { { \) }} sup { ' }= \( F \( x \) +C { { \) }} sup { ' }= { {F}} sup { ' } \( x \) =f \( x \) } {}
    (4)
  • d f ( x ) dx = d ( F ( x ) + C ) = dF ( x ) = F ' ( x ) dx = f ( x ) dx d f ( x ) dx = d ( F ( x ) + C ) = dF ( x ) = F ' ( x ) dx = f ( x ) dx size 12{d Int {f \( x \) ital "dx"=d \( F \( x \) +C \) = ital "dF" \( x \) = { {F}} sup { ' } \( x \) ital "dx"=f \( x \) ital "dx"} } {}
    (5)
  • dF ( x ) = F ( x ) + C . dF ( x ) = F ( x ) + C . size 12{ Int { ital "dF" \( x \) =F \( x \) +C "." } } {}
    (6)

Правила за интегрирање

За интегралите важат само следните две правила:

1. (f(x)±g(x))dx=f(x)dx±g(x)dx(f(x)±g(x))dx=f(x)dx±g(x)dx size 12{ Int { \( f \( x \) +- g \( x \) \) ital "dx"= Int {f \( x \) ital "dx" +- Int {g \( x \) ital "dx"} } } } {}

2. Kf(x)dx=Kf(x)dx,(Kconst).Kf(x)dx=Kf(x)dx,(Kconst). size 12{ Int { ital "Kf" \( x \) ital "dx"=K Int {f \( x \) ital "dx",~ \( K - ital "const" \) "." } } } {}

Овие правила лесно се докажуваат со диференцирање на наведените равенства.

Таблица од основни интеграли

Аналогно како за изводите, и за интегралите се дава таблица од основни интеграли, a тоа се оние интеграли на кои се сведуваат сите интеграли кои може да се решат и е инверзна на таблицата од изводи, бидејки и постапката интегрирање е инверзна на постапката диференцирање. Воглавно таблицата од основни интеграли е следната:

Table 1
x n dx = x n + 1 n + 1 + C , ( n 1 ) x n dx = x n + 1 n + 1 + C , ( n 1 ) size 12{ Int {x rSup { size 8{n} } ital "dx"= { {x rSup { size 8{n+1} } } over {n+1} } +C,~ \( n <> - 1 \) } } {}
1 x dx = ln x + C 1 x dx = ln x + C size 12{ Int { { {1} over {x} } } ital "dx"="ln" \lline x \lline +C} {}
e x dx = e x + C e x dx = e x + C size 12{ Int {e rSup { size 8{x} } ital "dx"} =e rSup { size 8{x} } +C} {}
a x dx = a x ln a + C a x dx = a x ln a + C size 12{ Int {a rSup { size 8{x} } ital "dx"} = { {a rSup { size 8{x} } } over {"ln"a} } +C} {}
sin xdx = cos x + C sin xdx = cos x + C size 12{ Int {"sin" ital "xdx"= - "cos"x+C} } {}
cos xdx = sin x + C cos xdx = sin x + C size 12{ Int {"cos" ital "xdx"="sin"x+C} } {}
1 cos 2 x dx = tan x + C 1 cos 2 x dx = tan x + C size 12{ Int { { {1} over {"cos" rSup { size 8{2} } x} } ital "dx"="tan"x+C} } {}
1 sin 2 x dx = cot x + C 1 sin 2 x dx = cot x + C size 12{ Int { { {1} over {"sin" rSup { size 8{2} } x} } ital "dx"= - "cot"x+C} } {}
1 1 + x 2 dx = arctan x + C 1 1 + x 2 dx = arctan x + C size 12{ Int { { {1} over {1+x rSup { size 8{2} } } } ital "dx"="arctan"x+C} } {}
1 1 x 2 dx = 1 2 ln 1 + x 1 x + C 1 1 x 2 dx = 1 2 ln 1 + x 1 x + C size 12{ Int { { {1} over {1 - x rSup { size 8{2} } } } ital "dx"= { {1} over {2} } "ln" lline { {1+x} over {1 - x} } rline +C} } {}
1 1 x 2 dx = arcsin x + C 1 1 x 2 dx = arcsin x + C size 12{ Int { { {1} over { sqrt {1 - x rSup { size 8{2} } } } } ital "dx"="arcsin"x+C} } {}
1 1 + x 2 dx = ln x + 1 + x 2 + C 1 1 + x 2 dx = ln x + 1 + x 2 + C size 12{ Int { { {1} over { sqrt {1+x rSup { size 8{2} } } } } ital "dx"="ln" \lline x+ sqrt {1+x rSup { size 8{2} } } \lline +C} } {}
1 x 2 1 dx = ln x + x 2 1 + C 1 x 2 1 dx = ln x + x 2 1 + C size 12{ Int { { {1} over { sqrt {x rSup { size 8{2} } - 1} } } ital "dx"="ln" \lline x+ sqrt {x rSup { size 8{2} } - 1} \lline +C} } {}

Видовме дека за секоја непрекината функција лесно може да се најде неjзиниот извод, додека обратната задача е многу потешка. Може да се најде интеграл од непрекината функција само ако таа се сведе на некој наведените видови интеграли дадени со таблицата од основни интеграли. Затоа и задачата за решавање на интеграл, односно определувањето на примитивната функција не е само потешка задача туку во општ случај таа е нерешлива.

Пример 2.

Да се реши интегралот x+xax2x23xdx.x+xax2x23xdx. size 12{ Int { { { sqrt {x} + ital "xa" rSup { size 8{x} } - 2x rSup { size 8{2} } } over {3x} } } ital "dx" "." } {}

За решавање на оваа задача се применуваат правила за интегрирање

x + xa x 2x 2 3x dx = x 3x dx + xa x 3x dx + 2x 2 3x dx = x + xa x 2x 2 3x dx = x 3x dx + xa x 3x dx + 2x 2 3x dx = size 12{ Int { { { sqrt {x} + ital "xa" rSup { size 8{x} } - 2x rSup { size 8{2} } } over {3x} } } ital "dx"= Int { { { sqrt {x} } over {3x} } } ital "dx"+ Int { { { ital "xa" rSup { size 8{x} } } over {3x} } } ital "dx"+ Int { { { - 2x rSup { size 8{2} } } over {3x} } } ital "dx"={}} {}
(7)

= 1 3 x 1 2 dx + 1 3 a x dx 2 3 x dx = 1 3 x 1 2 1 2 + 1 3 a x ln a 2 3 x 2 2 + C = 2 3 x + a x 3 ln a x 2 3 + C . = 1 3 x 1 2 dx + 1 3 a x dx 2 3 x dx = 1 3 x 1 2 1 2 + 1 3 a x ln a 2 3 x 2 2 + C = 2 3 x + a x 3 ln a x 2 3 + C . size 12{ {}= { {1} over {3} } Int {x rSup { size 8{ - { {1} over {2} } } } } ital "dx"+ { {1} over {3} } Int {a rSup { size 8{x} } } ital "dx" - { {2} over {3} } Int {x} ital "dx"= { {1} over {3} } { {x rSup { size 8{ { {1} over {2} } } } } over { {} rSup { size 8{ { {1} over {2} } } } } } + { {1} over {3} } { {a rSup { size 8{x} } } over {"ln"a} } - { {2} over {3} } { {x rSup { size 8{2} } } over {2} } +C= { {2} over {3} } sqrt {x} + { {a rSup { size 8{x} } } over {3"ln"a} } - { {x rSup { size 8{2} } } over {3} } +C "." } {}

Пример 3.

Да се реши интегралот 1cos2x+sin2xdx.1cos2x+sin2xdx. size 12{ Int { { {1} over {"cos"2x+"sin" rSup { size 8{2} } x} } } ital "dx" "." } {}

Бидејки подинтегралната функција не е функција содржана во таблицата од интеграли, со трансформации ќе треба да се сведе на решлив-табличен вид. За таа цел се применуваат тригонометриските релацијии

cos 2x = cos 2 x sin 2 x cos 2x = cos 2 x sin 2 x size 12{"cos"2x=``"cos" rSup { size 8{2} } x`` - `"sin" rSup { size 8{2} } x``} {}

и

cos 2 x + sin 2 x = 1 cos 2 x + sin 2 x = 1 size 12{"cos" rSup { size 8{2} } x``+`"sin" rSup { size 8{2} } x`=1`} {}

и интегралот е

1 cos 2x + sin 2 x dx = cos 2 x + sin 2 x cos 2 x sin 2 x + sin 2 x dx = cos 2 x + sin 2 x cos 2 x dx = cos 2 x cos 2 x dx + sin 2 x cos 2 x dx = dx + 1 cos 2 x cos 2 x dx = x + 1 cos 2 x dx dx = tan x + C . 1 cos 2x + sin 2 x dx = cos 2 x + sin 2 x cos 2 x sin 2 x + sin 2 x dx = cos 2 x + sin 2 x cos 2 x dx = cos 2 x cos 2 x dx + sin 2 x cos 2 x dx = dx + 1 cos 2 x cos 2 x dx = x + 1 cos 2 x dx dx = tan x + C . alignl { stack { size 12{ Int { { {1} over {"cos"2x+"sin" rSup { size 8{2} } x} } } ital "dx"= Int { { {"cos" rSup { size 8{2} } x+"sin" rSup { size 8{2} } x} over {"cos" rSup { size 8{2} } x - "sin" rSup { size 8{2} } x+"sin" rSup { size 8{2} } x} } } ital "dx"= Int { { {"cos" rSup { size 8{2} } x+"sin" rSup { size 8{2} } x} over {"cos" rSup { size 8{2} } x} } } ital "dx"={}} {} # Int { { {"cos" rSup { size 8{2} } x} over {"cos" rSup { size 8{2} } x} } } ital "dx"+ Int { { {"sin" rSup { size 8{2} } x} over {"cos" rSup { size 8{2} } x} } } ital "dx"= Int { ital "dx"+{}} Int { { {1 - "cos" rSup { size 8{2} } x} over {"cos" rSup { size 8{2} } x} } } ital "dx"=x+ Int { { {1} over {"cos" rSup { size 8{2} } x} } } ital "dx" - Int { ital "dx"} ="tan"x+C "." {} } } {}
(8)

Пример 4.

Да се реши интегралот (1+x)2x(1+x2)dx.(1+x)2x(1+x2)dx. size 12{ Int { { { \( 1+x \) rSup { size 8{2} } } over {x \( 1+x rSup { size 8{2} } \) } } } ital "dx" "." } {}

И оваа подинтегрална функција не е табличен случај, затоа најпрво квадрираме и вршиме подредување на собироците од броителот.

( 1 + x ) 2 x ( 1 + x 2 ) dx = 1 + 2x + x 2 x ( 1 + x 2 ) dx = 1 + x 2 x ( 1 + x 2 ) dx + 2x x ( 1 + x 2 ) dx = 1 x dx + 2 1 1 + x 2 dx = ( 1 + x ) 2 x ( 1 + x 2 ) dx = 1 + 2x + x 2 x ( 1 + x 2 ) dx = 1 + x 2 x ( 1 + x 2 ) dx + 2x x ( 1 + x 2 ) dx = 1 x dx + 2 1 1 + x 2 dx = size 12{ Int { { { \( 1+x \) rSup { size 8{2} } } over {x \( 1+x rSup { size 8{2} } \) } } } ital "dx"= Int { { {1+2x+x rSup { size 8{2} } } over {x \( 1+x rSup { size 8{2} } \) } } } ital "dx"= Int { { {1+x rSup { size 8{2} } } over {x \( 1+x rSup { size 8{2} } \) } } ital "dx"+ Int { { {2x} over {x \( 1+x rSup { size 8{2} } \) } } } ital "dx"} = Int { { {1} over {x} } } ital "dx"+2 Int { { {1} over {1+x rSup { size 8{2} } } } } ital "dx"={}} {}
(9)

= ln x + 2 arctan x + C = ln x + 2 arctan x + C size 12{ {}="ln" \lline x \lline +2"arctan"x+C} {} .

Мора да се нагласи дека при решавање на интегралите, само мал број од нив се основни. За таа цел постојат методи со кои интегралите се сведуваат на основни, а такви се методот на смена на променливата и парцијална интеграција.

Content actions

Download module as:

Add module to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks