Skip to content Skip to navigation

Connexions

You are here: Home » Content » Смена на променливата во неопределениот интеграл

Navigation

Recently Viewed

This feature requires Javascript to be enabled.
 

Смена на променливата во неопределениот интеграл

Module by: Liljana Stefanovska. E-mail the author

Summary: Се прикажуваат повеќе смени на променливата во решавање на неопределениот интеграл. The method of substitution of the variable in non proper integral is shown.

СМЕНА НА ПРОМЕНЛИВАТА ВО НЕОПРЕДЕЛЕНИОТ ИНТЕГРАЛ

Нека во интегралот

∫ f ( x ) dx ∫ f ( x ) dx size 12{ Int {f \( x \) ital "dx"} } {}
(1)

подинтегралната функција f(x)f(x) size 12{f \( x \) } {} не е некоја од наведените во таблицата од основни интеграли. Ако за независната променлива xx size 12{x} {} се воведе смена на променливата

x=g(t)x=g(t) size 12{x=g \( t \) } {},

каде tt size 12{t} {} е нова независна промелива, а g(t)g(t) size 12{g \( t \) } {} диференцијабилна функција, тогаш ако со смена на подинтегралниот израз

f ( x ) dx = f ( g ( t ) ) g ' ( t ) dt f ( x ) dx = f ( g ( t ) ) g ' ( t ) dt size 12{f \( x \) ital "dx"=f \( g \( t \) \) { {g}} sup { ' } \( t \) ital "dt"} {}
(2)

се добие интеграл од основната талица, по интегрирање и враќање на првобитната променлива се добива решението на интегралот

∫ f ( x ) d x = ∫ f ( g ( t ) ) g ' ( t ) dt = F ( t ) + C = F ( g − 1 ( x ) ) + C . ∫ f ( x ) d x = ∫ f ( g ( t ) ) g ' ( t ) dt = F ( t ) + C = F ( g − 1 ( x ) ) + C . size 12{ Int {f \( x \) d} x= Int {f \( g \( t \) \) { {g}} sup { ' } \( t \) ital "dt"} =F \( t \) +C=F \( g rSup { size 8{ - 1} } \( x \) \) +C "." } {}
(3)

Овој метод наречен метод на смена на промеливата се користи ако по новата променлива се добие основен интеграл, а после неговото решавање по новата промелива се враќаме на првобитната променлива.

Преку различни карактеристични примери ќе го прикажеме методот на смена на променливата во решавање на интегралите.

Пример 1.

Да се реши интегралот ∫sin3xdx.∫sin3xdx. size 12{ Int {"sin"3 ital "xdx" "." } } {}

За решавање на овој интеграл, за кој подинтегралната функција sin3xsin3x size 12{"sin"3ital"x"} {} не е елементарна, се воведува смената

3x = t 3x = t size 12{3x=t} {}
(4)

и со нејзино диференцирање се добива

3 dx = dt ⇒ dx = dt 3 . 3 dx = dt ⇒ dx = dt 3 . size 12{3 ital "dx"= ital "dt" drarrow ital "dx"= { { ital "dt"} over {3} } "." } {}
(5)

Затоа решението на интегралот е

∫ sin 3 xdx = ∫ sin t dt 3 = 1 3 ∫ sin tdt = − 1 3 cos t + C = − 1 3 cos 3x + C . ∫ sin 3 xdx = ∫ sin t dt 3 = 1 3 ∫ sin tdt = − 1 3 cos t + C = − 1 3 cos 3x + C . size 12{ Int {"sin"3 ital "xdx"={}} Int {"sin"t { { ital "dt"} over {3} } ={}} { {1} over {3} } Int {"sin" ital "tdt"={}} - { {1} over {3} } "cos"t+C= - { {1} over {3} } "cos"3x+C "." } {}
(6)

Пример 2.

Да се реши интегралот ∫12x−3dx.∫12x−3dx. size 12{ Int { { {1} over {2x - 3} } ital "dx" "." } } {}

Интегралот не е табличен, но линеарниот член во именителот асоцира на табличен интеграл чие решение е логаритамска функција. Се воведува смената

2x−3=t⇒2dx=dt⇒dx=12dt2x−3=t⇒2dx=dt⇒dx=12dt size 12{2x - 3=t drarrow 2 ital "dx"= ital "dt" drarrow ital "dx"= { {1} over {2} } ital "dt"} {},

со која интегралот се сведува на табличен и се решава:

∫12x−3dx=12∫dtt=12ln∣t∣+C=12ln∣2x−3∣+C∫12x−3dx=12∫dtt=12ln∣t∣+C=12ln∣2x−3∣+C size 12{ Int { { {1} over {2x - 3} } ital "dx"= { {1} over {2} } } Int { { { ital "dt"} over {t} } } = { {1} over {2} } "ln" \lline t \lline +C= { {1} over {2} } "ln" \lline 2x - 3 \lline +C} {}.

Пример 3.

Да се реши интегралот ∫xx2+3dx.∫xx2+3dx. size 12{ Int {x sqrt {x rSup { size 8{2} } +3} ital "dx" "." } } {}

Во овој пример се забележува дека под знакот за квадратен корен се наоѓа квадратна функција, а во подинтегралната функција се наоѓа како множител линерна функција која е извод од квадратна функција. Затоа се корисити смената

x 2 + 3 = t 2 xdx = dt ⇒ xdx = dt 2 x 2 + 3 = t 2 xdx = dt ⇒ xdx = dt 2 alignl { stack { size 12{x rSup { size 8{2} } +3=t} {} # 2 ital "xdx"= ital "dt" drarrow ital "xdx"= { { ital "dt"} over {2} } {} } } {}
(7)

и интегралот по новата променлива е решлив и табличен

∫ x x 2 + 3 dx = ∫ t dt 2 = 1 2 t 3 2 3 2 + C = 1 3 t t + C = 1 3 ( x 2 + 3 ) x 2 + 3 + C . ∫ x x 2 + 3 dx = ∫ t dt 2 = 1 2 t 3 2 3 2 + C = 1 3 t t + C = 1 3 ( x 2 + 3 ) x 2 + 3 + C . size 12{ Int {x sqrt {x rSup { size 8{2} } +3} ital "dx"={}} Int { sqrt {t} { { ital "dt"} over {2} } ={}} { {1} over {2} } { {t rSup { size 8{ { {3} over {2} } } } } over { { {3} over {2} } } } +C= { {1} over {3} } t sqrt {t} +C= { {1} over {3} } \( x rSup { size 8{2} } +3 \) sqrt {x rSup { size 8{2} } +3} +C "." } {}
(8)

Пример 4.

Да се реши интегралот ∫tanxdx.∫tanxdx. size 12{ Int {"tan" ital "xdx" "." } } {}

Поднитегралната функција tanxtanx size 12{"tan"x} {} не е наведена во табличните интеграли и затоа во интегралот

∫ tan xdx = ∫ sin x cos x dx ∫ tan xdx = ∫ sin x cos x dx size 12{ Int {"tan" ital "xdx"= Int { { {"sin"x} over {"cos"x} } ital "dx"} } } {}
(9)

се користи смената

cos x = t ⇒ − sin xdx = dt cos x = t ⇒ − sin xdx = dt size 12{"cos"x=t drarrow - "sin" ital "xdx"= ital "dt"} {}
(10)

со која интегралот е решлив

∫ tan xdx = ∫ sin x cos x dx = − ∫ dt t = − ln ∣ t ∣ + C = − ln ∣ cos x ∣ + C . ∫ tan xdx = ∫ sin x cos x dx = − ∫ dt t = − ln ∣ t ∣ + C = − ln ∣ cos x ∣ + C . size 12{ Int {"tan" ital "xdx"= Int { { {"sin"x} over {"cos"x} } ital "dx"} } = - Int { { { ital "dt"} over {t} } ={}} - "ln" \lline t \lline +C= - "ln" \lline "cos"x \lline +C "." } {}
(11)

Аналогно, ∫cotxdx=ln∣sinx∣+C.∫cotxdx=ln∣sinx∣+C. size 12{ Int {"cot" ital "xdx"="ln" \lline "sin"x \lline +C "." } } {}

Пример 5.

Интегралот од облик ∫dxa2+x2dx∫dxa2+x2dx size 12{ Int { { { ital "dx"} over {a rSup { size 8{2} } +x rSup { size 8{2} } } } ital "dx"} } {} се решава со негово сведување на табличниот интеграл ∫dx1+x2dx=arctanx+C.∫dx1+x2dx=arctanx+C. size 12{ Int { { { ital "dx"} over {1+x rSup { size 8{2} } } } ital "dx"} ="arctan"x+C "." } {}

За таа цел интегралот се доведува во облик

∫ dx a 2 + x 2 dx = 1 a 2 ∫ dx 1 + x a 2 dx ∫ dx a 2 + x 2 dx = 1 a 2 ∫ dx 1 + x a 2 dx size 12{ Int { { { ital "dx"} over {a rSup { size 8{2} } +x rSup { size 8{2} } } } ital "dx"} = { {1} over {a rSup { size 8{2} } } } Int { { { ital "dx"} over {1+ left ( { {x} over {a} } right ) rSup { size 8{2} } } } ital "dx"} } {}

за кој се користи смената

x a = t ⇒ dx = adt x a = t ⇒ dx = adt size 12{ { {x} over {a} } =t drarrow ital "dx"= ital "adt"} {}
(12)

со која интегралот се решава

∫ dx a 2 + x 2 dx = 1 a 2 ∫ dx 1 + x a 2 dx = 1 a 2 ∫ adt 1 + t 2 = 1 a ∫ dt 1 + t 2 = 1 a arctan t + C = 1 a arctan x a + C . ∫ dx a 2 + x 2 dx = 1 a 2 ∫ dx 1 + x a 2 dx = 1 a 2 ∫ adt 1 + t 2 = 1 a ∫ dt 1 + t 2 = 1 a arctan t + C = 1 a arctan x a + C . size 12{ Int { { { ital "dx"} over {a rSup { size 8{2} } +x rSup { size 8{2} } } } ital "dx"} = { {1} over {a rSup { size 8{2} } } } Int { { { ital "dx"} over {1+ left ( { {x} over {a} } right ) rSup { size 8{2} } } } ital "dx"} = { {1} over {a rSup { size 8{2} } } } Int { { { ital "adt"} over {1+t rSup { size 8{2} } } } = { {1} over {a} } } Int { { { ital "dt"} over {1+t rSup { size 8{2} } } } = { {1} over {a} } } "arctan"t+C= { {1} over {a} } "arctan" { {x} over {a} } +C "." } {}
(13)

Пример 6.

Со иста смена и аналогна постапка се решаваат и интегралите

∫ dx a 2 − x 2 dx = 1 2a ln ∣ a + x a − x ∣ + C ∫ dx a 2 − x 2 dx = 1 2a ln ∣ a + x a − x ∣ + C size 12{ Int { { { ital "dx"} over {a rSup { size 8{2} } - x rSup { size 8{2} } } } ital "dx"= { {1} over {2a} } } "ln" lline { {a+x} over {a - x} } rline +C} {}

∫ dx a 2 − x 2 dx = arcsin x a + C ∫ dx a 2 − x 2 dx = arcsin x a + C size 12{ Int { { { ital "dx"} over { sqrt {a rSup { size 8{2} } - x rSup { size 8{2} } } } } ital "dx"="arcsin" { {x} over {a} } } +C} {}
(14)
∫ dx x 2 ± a 2 dx = ln ∣ x + x 2 ± a 2 ∣ + C . ∫ dx x 2 ± a 2 dx = ln ∣ x + x 2 ± a 2 ∣ + C . size 12{ Int { { { ital "dx"} over { sqrt {x rSup { size 8{2} } +- a rSup { size 8{2} } } } } ital "dx"="ln" lline x+ sqrt {x rSup { size 8{2} } +- a rSup { size 8{2} } } rline } +C "." } {}
(15)

Пример 7.

Да се реши интегралот ∫18+6x−9x2dx.∫18+6x−9x2dx. size 12{ Int { { {1} over { sqrt {8+6x - 9x rSup { size 8{2} } } } } ital "dx" "." } } {}

Квадратниот израз под квадратен корен се доведува до полн квадрат

∫18+6x−9x2dx=∫18+1−1+6x−9x2dx=∫19−(1−6x+9x2)dx=∫19−(1−3x)2dx∫18+6x−9x2dx=∫18+1−1+6x−9x2dx=∫19−(1−6x+9x2)dx=∫19−(1−3x)2dx size 12{ Int { { {1} over { sqrt {8+6x - 9x rSup { size 8{2} } } } } ital "dx"={}} Int { { {1} over { sqrt {8+1 - 1+6x - 9x rSup { size 8{2} } } } } ital "dx"={}} Int { { {1} over { sqrt {9 - \( 1 - 6x+9x rSup { size 8{2} } \) } } } ital "dx"={}} Int { { {1} over { sqrt {9 - \( 1 - 3x \) rSup { size 8{2} } } } } ital "dx"} } {}кој со смента

1 − 3x = t dx = − dt 3 1 − 3x = t dx = − dt 3 alignl { stack { size 12{1 - 3x=t} {} # size 12{ ital "dx"= - { { ital "dt"} over {3} } } {} } } {}

се сведува на

∫ 1 9 − ( 1 − 3x ) 2 dx = − 1 3 ∫ 1 9 − t 2 dt = − 1 3 arcsin t 3 + C = − 1 3 arcsin 1 − 3x 3 + C . ∫ 1 9 − ( 1 − 3x ) 2 dx = − 1 3 ∫ 1 9 − t 2 dt = − 1 3 arcsin t 3 + C = − 1 3 arcsin 1 − 3x 3 + C . size 12{ Int { { {1} over { sqrt {9 - \( 1 - 3x \) rSup { size 8{2} } } } } ital "dx"= - { {1} over {3} } } Int { { {1} over { sqrt {9 - t rSup { size 8{2} } } } } ital "dt"= - { {1} over {3} } } "arcsin" { {t} over {3} } +C= - { {1} over {3} } "arcsin" { {1 - 3x} over {3} } +C "." } {}
(16)

Пример 8.

Да се реши интегралот ∫12+x+13dx.∫12+x+13dx. size 12{ Int { { {1} over {2+ nroot { size 8{3} } {x+1} } } ital "dx" "." } } {}

Кога во подинтегралната функција се јавува корен, се воведува смена со која ќе се елиминира коренот. Затоа во овој пример се користи смента

x + 1 = t 3 ⇒ dx = 3t 2 dt . x + 1 = t 3 ⇒ dx = 3t 2 dt . size 12{x+1=t rSup { size 8{3} } drarrow ital "dx"=3t rSup { size 8{2} } ital "dt" "." } {}

Со оваа смена интегралот е решлив и

∫ 1 2 + x + 1 3 dx = 3 ∫ t 2 2 + t dt = 3 ∫ t − 2 + 4 2 + t dt = 3 t 2 2 − 2t + 4 ln ∣ t + 2 ∣ + C = 3 2 ( x + 1 ) 2 3 − 6 x + 1 3 + 12 ln ∣ x + 1 3 + 2 ∣ + C , ∫ 1 2 + x + 1 3 dx = 3 ∫ t 2 2 + t dt = 3 ∫ t − 2 + 4 2 + t dt = 3 t 2 2 − 2t + 4 ln ∣ t + 2 ∣ + C = 3 2 ( x + 1 ) 2 3 − 6 x + 1 3 + 12 ln ∣ x + 1 3 + 2 ∣ + C , alignl { stack { size 12{ Int { { {1} over {2+ nroot { size 8{3} } {x+1} } } ital "dx"={}} 3 Int { { {t rSup { size 8{2} } } over {2+t} } ital "dt"={}} 3 Int { left (t - 2+ { {4} over {2+t} } right ) ital "dt"={}} 3 left ( { {t rSup { size 8{2} } } over {2} } - 2t+4"ln" \lline t+2 \lline right )+C={}} {} # = { {3} over {2} } nroot { size 8{3} } { \( x+1 \) rSup { size 8{2} } } - 6 nroot { size 8{3} } {x+1} +"12""ln" \lline nroot { size 8{3} } {x+1} +2 \lline +C, {} } } {}
(17)

бидејки

t2:(2+t)=t−2+42+tt2:(2+t)=t−2+42+t size 12{t rSup { size 8{2} } : \( 2+t \) =t - 2+ { {4} over {2+t} } } {}.

Пример 9.

Да се реши интегралот ∫9−x23x6dx.∫9−x23x6dx. size 12{ Int { { { sqrt { left (9 - x rSup { size 8{2} } right ) rSup { size 8{3} } } } over {x rSup { size 8{6} } } } ital "dx" "." } } {}

Интегралите од обликот ∫f(a2−x2)dx∫f(a2−x2)dx size 12{ Int {f \( sqrt {a rSup { size 8{2} } - x rSup { size 8{2} } } \) ital "dx"} } {} се решаваат сo смената x=asint.x=asint. size 12{x=a"sin"t "." } {}

Во дадената задача a=3a=3 size 12{a=3} {} и со воведување на смената

x = 3 sin t dx = 3 cos tdt x = 3 sin t dx = 3 cos tdt alignl { stack { size 12{x=3"sin"t} {} # size 12{ ital "dx"=3"cos" ital "tdt"} {} } } {}
(18)

се добива

∫ 9 − x 2 3 x 6 dx = ∫ 9 − 9 sin 2 t 3 3 6 sin 6 t 3 cos tdt = 3 4 3 6 ∫ ( 1 − sin 2 t ) 3 sin 6 t cos tdt = 1 9 ∫ ( cos 2 t ) 3 sin 6 t cos tdt = 1 9 ∫ cos 4 t sin 6 t dt = 1 9 ∫ cos 4 t sin 4 t sin 2 t dt = 1 9 ∫ ctg 4 t sin 2 t dt = − 1 9 ⋅ 5 ctg 5 t + C = C − 1 45 ctg 5 t . ∫ 9 − x 2 3 x 6 dx = ∫ 9 − 9 sin 2 t 3 3 6 sin 6 t 3 cos tdt = 3 4 3 6 ∫ ( 1 − sin 2 t ) 3 sin 6 t cos tdt = 1 9 ∫ ( cos 2 t ) 3 sin 6 t cos tdt = 1 9 ∫ cos 4 t sin 6 t dt = 1 9 ∫ cos 4 t sin 4 t sin 2 t dt = 1 9 ∫ ctg 4 t sin 2 t dt = − 1 9 ⋅ 5 ctg 5 t + C = C − 1 45 ctg 5 t . alignl { stack { size 12{ Int { { { sqrt { left (9 - x rSup { size 8{2} } right ) rSup { size 8{3} } } } over {x rSup { size 8{6} } } } ital "dx"= Int { { { sqrt { left (9 - 9"sin" rSup { size 8{2} } t right ) rSup { size 8{3} } } } over {3 rSup { size 8{6} } "sin" rSup { size 8{6} } t} } 3"cos" ital "tdt"= { {3 rSup { size 8{4} } } over {3 rSup { size 8{6} } } } } } Int { { { sqrt { \( 1 - "sin" rSup { size 8{2} } t \) rSup { size 8{3} } } } over {"sin" rSup { size 8{6} } t} } } "cos" ital "tdt"= { {1} over {9} } Int { { { sqrt { \( "cos" rSup { size 8{2} } t \) rSup { size 8{3} } } } over {"sin" rSup { size 8{6} } t} } } "cos" ital "tdt"={}} {} # = { {1} over {9} } Int { { {"cos" rSup { size 8{4} } t} over {"sin" rSup { size 8{6} } t} } ital "dt"={}} { {1} over {9} } Int { { {"cos" rSup { size 8{4} } t} over {"sin" rSup { size 8{4} } t"sin" rSup { size 8{2} } t} } ital "dt"={}} { {1} over {9} } Int { { { ital "ctg" rSup { size 8{4} } t} over {"sin" rSup { size 8{2} } t} } ital "dt"={}} - { {1} over {9 cdot 5} } ital "ctg" rSup { size 8{5} } t+C=C - { {1} over {"45"} } ital "ctg" rSup { size 8{5} } t "." {} } } {}
(19)

Од смената

x = 3 sin t ⇒ sin t = x 3 , cos t = 1 − sin 2 t = 1 − x 3 2 = 1 3 9 − x 2 , x = 3 sin t ⇒ sin t = x 3 , cos t = 1 − sin 2 t = 1 − x 3 2 = 1 3 9 − x 2 , alignl { stack { size 12{x=3"sin"t drarrow } {} # size 12{"sin"t= { {x} over {3} } ,} {} # size 12{"cos"t= sqrt {1 - "sin" rSup { size 8{2} } t} = sqrt {1 - left ( { {x} over {3} } right ) rSup { size 8{2} } } = { {1} over {3} } sqrt {9 - x rSup { size 8{2} } } ,} {} } } {}

и враќајки се на решението на интегралот и негово изразување преку променливата xx size 12{x} {} се добива

∫ 9 − x 2 3 x 6 dx = C − 1 45 ctg 5 t = C − 1 45 cos 5 t sin 5 t = C − 1 45 1 / 3 5 ( 9 − x 2 ) 5 ( x / 3 ) 5 = C − 1 45 ( 9 − x 2 ) 5 x 5 . ∫ 9 − x 2 3 x 6 dx = C − 1 45 ctg 5 t = C − 1 45 cos 5 t sin 5 t = C − 1 45 1 / 3 5 ( 9 − x 2 ) 5 ( x / 3 ) 5 = C − 1 45 ( 9 − x 2 ) 5 x 5 . size 12{ Int { { { sqrt { left (9 - x rSup { size 8{2} } right ) rSup { size 8{3} } } } over {x rSup { size 8{6} } } } ital "dx"=C - { {1} over {"45"} } ital "ctg" rSup { size 8{5} } t=C - { {1} over {"45"} } { {"cos" rSup { size 8{5} } t} over {"sin" rSup { size 8{5} } t} } } =C - { {1} over {"45"} } { {1/3 rSup { size 8{5} } sqrt { \( 9 - x rSup { size 8{2} } \) rSup { size 8{5} } } } over { \( x/3 \) rSup { size 8{5} } } } =C - { {1} over {"45"} } { { sqrt { \( 9 - x rSup { size 8{2} } \) rSup { size 8{5} } } } over {x rSup { size 8{5} } } } "." } {}
(20)

Content actions

Download module as:

PDF | EPUB (?)

What is an EPUB file?

EPUB is an electronic book format that can be read on a variety of mobile devices.

Downloading to a reading device

For detailed instructions on how to download this content's EPUB to your specific device, click the "(?)" link.

| More downloads ...

Add module to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks