Wij vinden het heel normaal om te rekenen in het tientallig stelsel. We gebruiken de cijfers 0 t/m 9. Maar is dat eigenlijk wel zo gewoon?

Er bestaan ook andere getallenstelsels. Dan gebruik je meer of minder cijfers. Leer er meer over in deze les.

Na deze leereenheid

Tijd:

Je hebt 6 lesuren van 50 minuten nodig.

Werkvorm:

Je werkt alleen of met z'n tweeën.

Benodigdheden:

Computer met internetverbinding.

Inleveren:

Werkblad.

Wat weet je al?

Weet je nog wat machten zijn? Bij machtsverheffen vermenigvuldig je een getal met zichzelf.

In plaats van 2∙2 schrijven we 2². En in plaats van 2∙2∙2∙2∙ schrijven we: 2⁴. Zo is 3∙3∙3∙3∙3 = 3⁵ en 10∙10∙10∙10∙10∙10= 10⁶. Een vorm zoals 2⁴, 3⁵ en 10⁶ noemen we een macht. We noemen 3⁵ de vijfde macht van 3; spreek uit als: drie-tot-de-vijfde.

In 10³ heet 10 het grondtal en 3 de exponent. Het berekenen van een macht heet machtsverheffen. De uitkomst van 10³ is 1000, want 10∙10∙10 = 1000.

Test jezelf. Zoek de juiste machten en getallen bij elkaar en maak de juiste combinaties

De derde macht van 7 1000 8¹

32 2⁵ 8

Zes tot de derde 216 512

343 8³ Tien tot de macht 3

Als wij rekenen gebruiken we het tientallig stelsel. We gebruiken tien verschillende cijfers om getallen mee te maken: 0 tot en met 9.

Als je begint te tellen kun je bij 0 beginnen en doorgaan tot 9. Dan zijn de cijfers op. Maar wat als je nog verder moet tellen? Daar hebben we al heel lang geleden iets op gevonden. Je zet de cijfers dan in een groep om een groter getal te maken. De plaats waar een cijfer staat in zo'n groepje zegt iets over de waarde ervan. Dat noemen we een positiestelsel.

Tien is het kleinste groepje dat je kunt maken. Het is gemaakt van twee cijfers: een 1 en een 0.

In het rijtje hier onder wordt de 1 steeds meer waard:

          10        100      1000    10000

Oude koek natuurlijk. Al in groep 3 heb je op deze manier leren rekenen.

Je kunt die getallen ook schrijven als machten van 10:10 = 10 tot de macht 1100 = 10 tot de macht 21000 = 10 tot de macht 310000 = 10 tot de macht 4Op dit manier kun je een getal in het tientallig stelsel altijd schrijven als machten van 10. Maar daarvoor moet je nog één ding weten: een getal tot de macht 0 is altijd 1, dus ook 10⁰ = 1.Hoe schrijf je dan bijvoorbeeld 3614 als machten van 10?Je rafelt het getal uit elkaar:3000 = 3 * 10³600 = 6 * 10²10 = 1 * 10¹4 = 4 * 10⁰3614 = 3 * 10³ + 6 * 10² + 1 * 10¹ + 4 * 10⁰

Oefen zelf:

7 * 10^{1 =}

3 * 10³ + 5 * 10^{0 =}

7 * 10^{0 =}

2 * 10¹ + 5 * 10^{0 =}

Binair of tweetallig stelsel

Waarom werken wij eigenlijk zo graag met het tientallig stelsel? Misschien wel omdat we 10 vingers hebben. Voor ons werkt het tientallig stelsel handig. Maar voor een computer is het helemaal niet zo handig. Een computer heeft per slot van rekening geen vingers. Een computer gebruikt dan ook een ander getalstelsel om gemakkelijk te kunnen rekenen: het tweetallig of binair stelsel (bi betekent twee). Je hebt gezien dat het tientallig stelsel bestaat uit 10 cijfers: 0 tot en met 9. Uit welke cijfers zou het binair stelsel dan bestaan? Juist: uit 0 en 1.

Waarom is het binair stelsel voor computers handig? Dat komt omdat de elektronica in computers gebruik maakt van kleine schakelaartjes die 'aan'of 'uit' kunnen staan. Om die twee standen te kunnen weergeven zijn twee cijfers genoeg. Daarom is het binair stelsel voor een computer heel praktisch: de 1 wordt gebruikt wanneer een schakelaar 'aan' is, en de 0 wanneer een schakelaar 'uit' is.

Een binair getal maken

Je hebt in het tientallig stelsel gezien dat je, als je begint te tellen eerst alle cijfers gebruikt: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Dan zijn de cijfers op. Wat doe je dan? Je zet er een 1 voor (tiental) en begint opnieuw: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19.

In het tweetallig stelsel werkt dit precies hetzelfde. Je begint te tellen bij 0 en daarna krijg je 1. Nu zijn de cijfers op. Dat betekent dat je een 1 voor het getal zet en opnieuw begint: 10, 11. Nu zijn de cijfers al weer op. Dus zet je weer een 1 voor het getal: 100, 101, 110, 111.

Je krijgt een rijtje dat er zo uit ziet

Dec.

Binair

  0 =

                        0

  1 =

                        1

  2 =

                      10

  3 =

                      11

  4 =

                    100

  5 =

                    101

  6 =

                    110

  7 =

                    111

  8 =

                  1000

  9 =

                  1001

10 =

                  1010

Als je in het tweetallig stelsel telt ziet het er dus heel anders uit dan je gewend bent. Maar je kunt een tweetallig getal natuurlijk ook omrekenen naar een gewoon decimaal getal.

Bij het tientallig stelsel gebruikten we machten van 10 om de waarde van een getal uit te rekenen. In het tweetallig stelsel gebruiken we machten van 2.

Neem bijvoorbeeld het binaire getal 1001.

Oefen zelf

Maak de kruiswoordpuzzel

Bron: Thinkquest

Om een decimaal getal om te zetten naar een binair, moet je werken met machten van 2.

Het decimale getal 123 kun je dus binair schrijven als 1111011

Vraag

Begrijp je het? Test jezelf.

Het decimale getal 43 schrijf je binair als:

Maak de puzzel

Bron: Thinkquest

Waarom moet je eigenlijk weten hoe binaire getallen werken? Je hebt al geleerd dat binaire getallen worden gebruikt in computers. Voor computers is het tweetallig stelsel heel handig. In een computer zitten heel veel hele kleine schakelaartjes. Ieder schakelaartje heeft twee standen: ‘aan’ of ‘uit. In het binaire stelsel kennen we ook maar twee standen: 0 of 1. Een schakelaartje dat uit staat kun je voorstellen als een 0, een schakelaar die aanstaat als  een 1. Vandaar dat computers en het binaire stelsel goed bij elkaar passen.

Eén zo’n schakelaartje wordt een bit genoemd (binary digit) en met zo’n bit kun je dus twee getallen weergeven: 0 en 1. Dat is niet zoveel en daarom worden bits weer in groepjes van 8 bij elkaar genomen, in zogenaamde bytes (by eight). Eén byte geeft al 256 mogelijkheden (reken maar na). Op deze manier kun je veel grotere getallen opslaan en weergeven.

Door combinaties van enen en nullen kunnen cijfers, letters en tekens maar ook beelden worden opgeslagen.

Op Teleblik kun je een filmpje over dit onderwerp vinden.

Het verwerken van tekens

Als je een letter typt op je toetsenbord dan kan de computer daar niets mee. Daarom krijgt de letter een code mee van nullen en enen, van schakelaartjes aan en uit.

Bijvoorbeeld: A is 1000001. Omgerekend naar een decimaal getal is dat 65. Je kunt dat controleren door de ALT-toets in te drukken en op het numerieke pad van je computer 65 in te typen: je ziet dan een A op je beeldscherm verschijnen.

Deze code heet ASCII en wordt door alle pc's op de hele wereld gebruikt. ASCII gebruikt altijd 8 bits. Eén bit (Binary digIT) staat voor één 0 of 1. Een combinatie van 8 bits noemen we een byte (By eight) Eén byte geeft dus 256 verschillende combinaties van nullen en enen, reken maar na. 

Met behulp van ASCII worden dus alle tekens die je op je toetsenbord intypt omgezet naar een serie nullen en enen zodat ze door de computer kunnen worden gebruikt en opgeslagen.

Test jezelf:

Welk teken hoort bij 10001001?

(Tip: reken dit binaire getal eerst om naar decimaal, en typ dan op je toetsenbord/numerieke pad ALT-<getal>)

Schrijf je eigen voornaam in ASCII-code. Let op: zowel decimaal als binair.Denk eraan dat je begint met een hoofdletter.

Klik op het plaatje voor de ASCII-tabel.

ascii tabel (Bron: www.hektra.nl )

We hebben gezien dat een pc werkt met kleine schakelaartjes die aan of uit kunnen staan (1 of 0). We hebben ook gezien dat een byte een groepje is van 8 schakelaartjes. Vaak worden een aantal bytes tegelijk gebruikt. Je krijgt dan een hele serie enen en nullen achter elkaar. Voor een mens is dat wel heel lastig te lezen of in te typen: je maakt heel gauw fouten.

Om dit nu te voorkomen gebruik je hexadecimale getallen. Hexadecimaal betekent 16, en het is dus vrij logisch dat het hexadecimale stelsel ook het zestientallig stelsel genoemd wordt. Je hebt dus eigenlijk 16 verschillende cijfers nodig om een hexadecimaal getal goed te kunnen schrijven. Dat is een probleem, want wij kennen eigenlijk maar 10 verschillende tekens voor de cijfers. Om toch tot 16 te komen gebruiken we de cijfers 0 t/m 9 en gaan dan door met letters: A t/m F. Van 0 tot en met 15 tel je dus: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Hoe geef je nu een hexadecimaal getal weer in het decimale stelsel? Op een manier die je eerder al hebt gebruikt.

Omrekenen hexadecimaal naar decimaal

Je kunt dan natuurlijk ook een decimaal getal als hexadecimaal schrijven. Je neemt de grootste macht van 16 die in het getal past. Let op. Het kan nu voorkomen dat er een macht méér dan één keer in het getal past, terwijl de grotere macht er niet meer in past. Schrijf het aantal keer dat de grootste macht er in past op. Trek dat getal van het totaal af, en ga dan verder met de één kleinere macht.

(Bron: Omrekenen decimaal naar hexadecimaal)

Het is handig om een hexadecimaal getal te kunnen omrekenen naar een decimaal getal. Zo begrijp je zelf tenminste wat er staat.

Maar een computer begrijpt er niets van: daarvoor moeten we het hexadecimale getal kunnen omrekenen naar een binair getal.

Zoek bij de onderstaande decimale getallen het juiste hexadecimale getal.

'Waarom nu weer een ander getalstelsel', zul je je misschien afvragen. Dat komt omdat het binaire stelsel precies past binnen het hexadecimale. (2⁴=16)Een computer hoeft eigenlijk niet eens te rekenen om een hexadecimaal getal om te zetten naar een binair getal. En voor jezelf blijft het omrekenen ook overzichtelijk omdat je kunt denken in groepjes van 4.Om een hexadecimaal getal om te zetten naar een binair getal, kun je namelijk ieder hexadecimaal cijfer apart omzetten naar een binair getal. Let wel op: schrijf ieder binair getalletje als een groepje van 4. Gebruik voorloopnullen waar dat nodig is.

Andersom werkt het natuurlijk ook. Dat gaat op de volgende manier:

Een ander getalstelsel dat ook wel bij computers gebruikt wordt is het octale stelsel oftewel het achttallig stelsel. 8 is net als 16 een macht van 2 en daarom is een octaal getal snel te herleiden tot een binair.

Octaal naar binair

Dit gaat op precies dezelfde manier als bij het hexadecimale stelsel, schrijf ieder cijfer apart als binair getal. Let op: schrijf de uitkomsten steeds als een groepje van 3. Gebruik voorloopnullen als het nodig is. 

Binair naar octaal

Ook het omrekenen van een binair getal naar octaal is precies gelijk als bij het hexadecimale stelsel. Verdeel het binaire getal vanaf rechts gezien in groepjes van 3 en zet daarna ieder groepje apart om naar een cijfer.

Octaal naar decimaal

Ook het omrekenen van een octaal getal naar een decimaal gaat op een bekende manier. Schrijf de getallen als macht van 8 en reken uit.

Decimaal naar octaal.

En tot slot het omrekenen van een decimaal getal naar octaal. Ook hier kun je de kunst afkijken van het omrekenen naar het hexadecimaal stelsel.

Geen steeds het passende antwoord:

Genoeg geoefend.

Je gaat nu zelf een kruiswoordpuzzel maken. Er zijn verschillende (gratis) pakketjes te vinden waarmee je dat op de computer kunt doen. Op deze pagina vind je links naar twee verschillende.

Op internet een kruiswoordpuzzel maken: http://puzzlemaker.discoveryeducation.com/

Een gratis pakketje downloaden om een kruiswoordpuzzel mee te maken: www.eclipsecrossword.com

Ook kun je natuurlijk je puzzel op (ruitjes)papier maken.

Je docent zal je vertellen welke methode jullie gaan gebruiken

Let op:

Om een kruiswoordpuzzel te maken geef je normaal gesproken een woord en de omschrijving van een woord door. Wij maken een kruiswoordpuzzel met getallen.

Je mag allerlei combinaties maken. Neem bijvoorbeeld als omschrijving: 'Het hexadecimale getal AA als decimaal getal geschreven.' Bedenk de omschrijvingen  én de antwoorden.

Zorg voor minimaal 20 omschrijvingen/antwoorden.

Als je kruiswoordpuzzel klaar is, lever je hem in bij je docent.

Beantwoord de volgende vragen:

Hoe sloot de beoordelingsopdracht aan bij de

leerdoelen?

Wat was het belangrijkste van deze les?

Wat zijn de nieuwe dingen die je hebt geleerd in deze les?

Wat vind je niet goed aan de nieuwe

leerstof?

Wat was het doel van deze les?

Is het doel gehaald?

Arrangeurs: Harry en Linda le Grand, Mondriaan College Oss