Supongamos que se tiene una señal Si(t) que representa a un símbolo m_i. Se estima que esta señal pase por el receptor que está encargado de obtener cada símbolo de la misma. Sin embargo, es evidente que al pasar por el canal, la señal se contaminará debido a la existencia de ruido en el sistema. En una condición ideal, el resultado sería el siguiente:

Figure 1:

Al introducir ruido (AWGN) en el sistema, quedaría como sigue:

{}

Figure 2: Sistema de recepción con introducción de ruido AWGN.

La segunda situación ocasiona que a la salida del receptor no se obtiene el símbolo m_i como tal, más bien se obtiene un estimado del símbolo original.

Es en este punto en donde entra el concepto de ortogonalización G-S: La señal Si(t) puede expresarse en función de un conjunto finito de bases (o vectores) ortonormales (U), de forma tal que cada forma de onda estaría relacionada con un coeficiente que llamaremos s(Una señal de energía). Matemáticamente tendríamos esto:

Es decir, a cada símbolo m_i se le asocia una forma de onda s. Si desarrollamos la fórmula anterior, para todos los símbolos posibles, tendríamos un sistema de ecuaciones como sigue:

El objetivo en el segundo sistema mostrado en la Figura 1 es el de obtener el estimado que más se aproxime al valor real. Esto se hace minimizando la energía de la señal de error entre el símbolo original y el estimado:

Si lo vemos desde la perspectiva vectorial, el procedimiento será entonces el de obtener una representación de la señal en función de dos vectores en el plano. El estimado del vector original sería entonces la proyección de éste sobre el plano:

Figure 3: Ejemplo aplicado a vectores. ŝ(t) es el estimado de cada forma de onda original s(t) y e(t) sería la introducción de ruido de AWGN en el sistema.

Habiendo explicado la síntesis teórica de la ortogonalización, ¿Cómo podemos hallar las bases necesarias para representar las señales de nuestro sistema? Para ello deben seguirse estos pasos:

Supongamos que se da un conjunto de señales de energía s_i(t) que se quieren representar por medio de bases U_j en un intervalo de tiempo [0,T]:

Las bases deben cumplir con el principio de ortonormalidad mencionado al principio:

Entonces:

Figure 4

Elevamos toda la ecuación al cuadrado y la integramos en el intervalo [0,T]:

Por el principio de ortonormalidad:

Figure 5

Quedando s₁(t) sólo en función de s₁₁, por lo que ya se puede despejar:

Finalmente:

Con esto obtenemos la primera base para representar nuestra señal. Para calcular U₂(t), debemos restarle a s₂(t) su proyección sobre U₁(t); esto cumpliría con la condición de que la base sea ortogonal.

Figure 6

Ecuación (a)

Multiplicamos la ecuación por U₁(t) y la integramos en el intervalo [0,T]:

Quedando entonces:

La ecuación (a) podemos reordenarla así:

Al igual que para el paso 1, elevamos toda la ecuación al cuadrado y la integramos en el intervalo [0,T], quedando como sigue:

Usando nuevamente el principio de ortonormalidad, nos queda S₂₂ en función de la señal S₂, el coeficiente S₂₁ y la base U₁:

Finalmente, con la ecuación (a):

Se buscarán cuantas bases sean necesarias hasta el punto en el que Un=0. Se pudiera resumir este proceso de la siguiente forma:

Figure 7

Donde:

Es importante resaltar que si el proceso de ortogonalización se inicia con una señal diferente a la señal s₁(t), se obtendría un conjunto distinto de bases ortonormales pero igualmente representativa.

Es la representación gráfica de cada señal s_i(t) en función de las bases U_i. Más adelante observaremos que los diagramas de constelación también sirven para representar los esquemas de modulación digital en el plano complejo. Cada punto perteneciente a la constelación corresponde a un símbolo de modulación.

Aquí consideraremos como ‘ejes’ las bases calculadas a partir de la Ortogonalización, es decir, Uj. El procedimiento es sencillo: sólo se debe representar con un punto a la(s) forma(s) de onda s_i sobre el eje de la base. Por ejemplo: Supongamos que se tienen dos señales, que identifican una determinada codificación o modulación, y que pueden representarse con una sola base de acuerdo a las siguientes ecuaciones:

Como sólo se necesita una base para representar estas formas de onda, entonces se tendrá un ‘eje’ que es U₁:

Figure 8: Ejemplo de constelación.

A partir de la constelación se puede obtener un parámetro fundamental que es la Energía. Si elevamos al cuadrado la distancia que existe entre el origen y un punto de la constelación obtendríamos la energía de la primera forma de onda S₁:

Es 1 = V 2 Tb Es 1 = V 2 Tb size 12{ ital "Es" rSub { size 8{1} } =V rSup { size 8{2} } ital "Tb"} {}

Para calcular la Energía de S₂ se hace exactamente el mismo procedimiento.

En la simulación de este módulo se podrá calcular el número de bases necesarias de acuerdo a los coeficientes s_i dados. A partir de ellas también se podrá observar la constelación correspondiente. Para descargar el código fuente, se debe hacer click en el siguiente enlace: